1. Capitolul 2
Existenta ¸i unicitatea solutiei
¸ s ¸
problemei Cauchy
an univ. 2001/2002
Vom prezenta pe scurt principalele momente din evolutia studiului problemei cu valori
¸
initiale numit˘ ¸i problem˘ Cauchy. Aceasta const˘ ˆ determinarea unei solutii x = x(t) a
¸ as a a in ¸
unei ecuatii diferentiale, care pentru o valoare dat˘ t0 ia o valoare precizat˘ x0 .
¸ ¸ a a
Numeroase ecuatii diferentiale nu pot fi rezolvate explicit. De aceea s-au c˘utat conditii
¸ ¸ a ¸
suficiente cˆt mai generale asupra datelor unei probleme cu valori initiale pentru ca aceasta
a ¸
s˘ admit˘ cel putin o solutie. Primul care a stabilit un rezultat notabil ˆ acest sens a
a a ¸ ¸ in
ˆ 1820, a utilizat metoda liniilor poligonale pentru
fost Augustin Cauchy (1789-1857) care, in
a demonstra existenta local˘ (nu ¸i unicitatea) pentru problema cu valori initiale al c˘rui
¸ a s ¸ a
¸ a 1 ˆ
membru drept este o functie de clas˘ C . Metoda, imbun˘t˘¸it˘ de Lipschitz (1832-1903) a
a at a
fost impus˘ ˆ cadrul cel mai general de c˘tre Giuseppe Peano (1858-1932) ˆ 1890.
a in a in
Un alt pas important ˆ ceea ce prive¸te problema aproxim˘rii solutiilor unei ecuatii
in s a ¸ ¸
a ˆ 1890 de c˘tre Emile Picard (1856-1941) cˆnd a introdus metoda
diferentiale a fost f˘cut in
¸ a a
aproximatiilor succesive, devenind curˆnd foarte cunoscut˘.
¸ a a
Dup˘ cum am v˘zut, principala preocupare a matematicienilor secolelor XVII-XVIII,
a a
referitoare la ecuatiile diferentiale, a fost de a pune ˆ evidenta unele metode eficiente, fie de
¸ ¸ in ¸˘
determinare explicit˘ a solutiilor, fie de aproximare a lor. Din p˘cate s-a constatat c˘ aceste
a ¸ a a
obiective sunt rareori realizabile. Inˆ conferinta ¸inut˘ ˆ cadrul Congresului International
¸ t a in ¸
al Matematicienilor din 1908 Henri Poincar´ a afirmat: In
e ˆ trecut o ecuatie era considerat˘
¸ a
rezolvat˘ numai dac˘ se exprima solutia cu ajutorul unui num˘r finit de functii cunoscute;
a a ¸ a ¸
dar aceasta este greu de realizat ˆ intr-un caz dintr-o sut˘. Ceea ce putem face ˆ
a intotdeauna,
sau mai degrab˘ ceea ce putem ˆ
a intotdeauna ˆ incerca s˘ facem, este de a rezolva s˘ spunem
a a
a a ˆ
problema calitativ˘, adic˘ s˘ incerc˘m s˘ g˘sim forma curbei ce reprezint˘ functia necunos-
a a a a a ¸
cut˘.“
a
23

2. 24 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸
2.1 Existenta ¸i unicitatea solutiei problemei Cauchy
¸ s ¸
Fie multimea D ⊂R2 dreptunghiul (multime compact˘) de forma
¸ ¸ a
D = {(t, x) | |t − t0 | ≤ a, |x − x0 | ≤ b}
¸i fie functia f : D→ R.
s ¸
Problema Cauchy ata¸at˘ unei ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai const˘ ˆ g˘sirea
s a ¸ ¸ intˆ a in a
unei functii de clas˘ C 1 , x = x(t), definit˘ pe un interval I ⊂ [t0 − a, t0 + a] satisf˘cˆnd
¸ a a a a
x (t) = f (t, x(t)), ∀t ∈ I, t0 ∈ I ¸i x(t0 ) = x0 . Vom nota o astfel de problem˘ prin
s a
x = f (t, x)
(2.1)
x(t0 ) = x0 .
Definitia 2.1 O functie x : I → R cu propriet˘¸ile de mai sus se nume¸te solutie pentru
¸ ¸ at s ¸
problema (2.1).
Distingem mai multe tipuri de solutii pentru (2.1). Astfel, dac˘ I = [t0 − α, t0 + α] ,
¸ a
¸ s ¸ a ˆ caz contrar local˘. Dac˘ I = [t0 , β) sau I = [t0 , β] ,
solutia x se nume¸te solutie global˘, in a a
atunci x se nume¸te solutie la dreapta. Analog, dac˘ I = [α, t0 ) sau I = [α, t0 ] , atunci
s ¸ a
x se nume¸te solutie la stˆnga, ˆ timp ce dac˘ inf I <t0 < sup I, x se nume¸te solutie
s ¸ a in a s ¸
bilateral˘.
a
Definitia 2.2 Functia f = f (t, x), definit˘ pe D, satisface conditia Lipschitz local˘ ˆ
¸ ¸ a ¸ a ın
raport cu variabila x, dac˘ pentru orice punct (t0 , x0 ) ∈ D exist˘ o vecin˘tate V(t0 , x0 ) ⊂ D,
a a a
astfel ˆ at oricare ar fi (t, x) ¸i (t, x) din V(t0 , x0 ), are loc inegalitatea
ıncˆ s
|f (t, x) − f (t, x)| ≤ L |x − x| (2.2)
constanta L > 0 depinzˆnd, ˆ general, de punctul (t0 , x0 ).
a ın
ˆ acest caz vom spune c˘ f este local lipschitzian˘ ˆ raport cu variabila x. Dac˘
In a a in a
inegalitatea (2.2) este satisf˘cut˘ cu aceea¸i constant˘ pentru orice pereche de puncte (t, x)
a a s a
¸i (t, x) din D, vom spune c˘ f satisface pe D conditia Lipschitz global˘ ˆ raport cu
s a ¸ a in
variabila x.
∂f
Observatia 2.1 Dac˘
¸ a exist˘ ¸i este local m˘rginit˘ ˆ D, conditia Lipschitz amintit˘
as a a in ¸ a
∂x
este satisf˘cut˘.
a a
Teorema 2.1 (Teorema de existent˘ ¸i unicitate a solutiei problemei Cauchy
¸a s ¸
ecuatiei diferentiale de ordin ˆ ai)
¸ ¸ ıntˆ
Dac˘ f = f (t, x) este continu˘ ˆ D ¸i local lipschitzian˘ ˆ raport cu variabila x,
a a in s a in
atunci pentru orice punct (t0 , x0 ) ∈ D exist˘ o solutie unic˘ x = x(t) a ecuatiei (2.1),
a ¸ a ¸
b
definit˘ ˆ
a intr-o vecin˘tate suficient de mic˘ a lui t0 , |t − t0 | ≤ h unde h = min a,
a a ,
M
unde M = sup |f (t, x)| ¸i ˆ
s indeplinind conditia x(t0 ) = x0 .
¸
(t,x)∈D1

3. 2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸ 25
Demonstratie.¸
ˆ ipoteza c˘ exist˘ o solutie a problemei Cauchy (2.1), y = y(t), vom avea
In a a ¸
y (t) = f (t, y(t)), ∀t ∈ J ¸i y(t0 ) = x0 . Deoarece y ¸i f sunt functii continue avem:
s s ¸
t
y(t) = x0 + f (s, y(s)) ds. (2.3)
t0
Orice solutie a lui (2.1) este ¸i solutie a lui (2.1) ¸i reciproc.
¸ s ¸ s
Pentru a demonstra teorema vom ar˘ta c˘ ecuatia (2.1) admite solutie continu˘ pe
a a ¸ ¸ a
b
intervalul |t − t0 | ≤ h unde h = min a, . Deoarece f este continu˘ pe un interval
a
M
compact rezult˘ c˘ exist˘ M = sup |f (t, x)| (teorema lui Weierstass). Conditia x(t0 ) =
a a a ¸
(t,x)∈D1
x0 este echivalent˘ cu faptul geometric: graficul solutiei trece prin punctulde coordonate
a ¸
(t0 , x0 ).
Pentru determinarea solutiei y = y(t) vom folosi metoda aproximatiilor succesive.
¸ ¸
Metoda const˘ in
a ˆ a construi un ¸ir de functii continue, (yn (t))n∈N care s˘ convearg˘ uniform
s ¸ a a
pe multimea |t − t0 | ≤ h c˘tre o functie continu˘ y(t), solutie a ecuatiei (2.1).
¸ a ¸ a ¸ ¸
Definim ¸irul aproximatiilor succesive prin relatia de rcurenta
s ¸ ¸ ¸˘
t
yn (t) = x0 + f (s, yn−1 (s)) ds, (2.4)
t0
Demonstr˘m c˘ acest ¸ir are urm˘toarele propriet˘¸i:
a a s a at
- verific˘ conditia initial˘ yn (t0 ) = x0 , (integrala din (2.4) este nul˘);
a ¸ ¸ a a
- toti termenii ¸irului sunt functii continue pe intervalul [x0 − h, x0 + h] deoarece f este
¸ s ¸
continu˘ ¸i toate intergralele care intervin sun functii continue;
as ¸
- pentru t ∈ [t0 − h, t0 + h] ⇒ yn (t) ∈ [x0 − b, x0 + b] , ∀n ∈ N. Demonstr˘m prina
inductie.
¸
t
Avem: |f (t, x)| ≤ M, ∀(t, x) ∈ D deci |y1 (t) − x0 | = f (s, y0 )ds ≤ M |t − t0 | ≤
t0
b
M h ≤ b deoarece h = min a, .
M
Presupunem c˘ yn−1 (t) satisface conditia yn−1 (t) ∈ [x0 − b, x0 + b] ; de aici rezult˘ c˘
a ¸ a a
t
|f (t, yn−1 (t))| ≤ M, ∀(t, x) ∈ D. Putem scrie m˘rginirea |yn (t) − x0 | =
a f (s, yn−1 (s))ds ≤
t0
b
M |t − t0 | ≤ M h ≤ b deoarece h = min a, , adic˘ toate aproximatiile succesive
a ¸
M
apartin intervalului [x0 − b, x0 + b] .
¸
- ¸irul (yn (t))n∈N converge uniform pe multimea |t − t0 | ≤ h c˘tre o functie continu˘
s ¸ a ¸ a
y(t) cˆnd n → ∞.
a

4. 26 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸
Convergenta acestui ¸ir este echivalent˘ cu convergenta seriei de functii
¸ s a ¸ ¸
y0 + (y1 (t) − y0 ) + (y2 (t) − y1 (t)) + . . . + (yn (t) − yn−1 (t)) + . . . (2.5)
deoarece ¸irul sumelor partiale ale seriei (2.5) este ¸irul (yn (t))n∈N .
s ¸ s
Pentru a ar˘ta c˘ seria (2.5) converge uniform pe intervalul considerat este suficient s˘
a a a
ar˘t˘m c˘ este majorat˘ de o serie numeric˘ cu tremeni pozitivi convergent˘. Ar˘t˘m c˘
aa a a a a aa a
pentru t ∈ [t0 − h, t0 + h] ,
n−1 |t − t0 |n
|yn (t) − yn−1 (t)| ≤ M L , n = 1, 2, . . . (2.6)
n!
Demonstr˘m inegalitatea (2.6) prin inductie. Avem:
a
t
|y1 (t) − x0 | ≤ f (s, x0 )ds ≤ M |t − t0 | .
t0
Presupunem inegalitatea adev˘rat˘ pentru n − 1,
a a
|t − t0 |n−1
|yn−1 (t) − yn−2 (t)| ≤ M Ln−2
(n − 1)!
¸i ar˘t˘m c˘ este adev˘rat˘ pentru n; avem, folosind conditia lui Lipschitz,
s aa a a a
t t
|yn (t) − yn−1 (t)| ≤ [f (s, yn−1 (s)) − f (s, yn−2 (s))] ds ≤ L [yn−1 (s) − yn−2 (s)] ds ≤
t0 t0
t
n−2 |s − t0 |n−1
≤L ML ds
(n − 1)!
t0
sau
t
n−1 |s − t0 |n−1 n−1 |t − t0 |
n
|yn (t) − yn−1 (t)| ≤ M L ds ≤ M L .
(n − 1)! n!
t0
Deoarece |t − t0 | ≤ h avem
M (Lh)n
|yn (t) − yn−1 (t)| ≤ , ∀t ∈ [t0 − h, t0 + h] .
L n!
∞
M (Lh)n
Deoarece seria este convergent˘ (folosim criteriul raportului), rezult˘ c˘ se-
a a a
n=1
L n!
∞
ria y0 + (yn (t) − yn−1 (t)) este absolut si uniform convergent˘ pentru t ∈ [t0 − h, t0 + h] .
a
n=1
Rezult˘ c˘ limita sirului de aproximatii este o functie continu˘. Fie x(t) = lim yn (t).
a a a
n→∞
a ˆ relatia (2.4) obtinem c˘ x veific˘ ().
Trecˆnd la limit˘ in
a a a
Demonstr˘m c˘ x este solutia c˘utat˘. Din (2.1) se observ˘ c˘ x(t0 ) = x0 (integrala va fi
a a ¸ a a a a
nul˘) ¸i deoarece functia definit˘ cu ajutorul integralei din (2.1) este continu˘ ¸i derivabil˘,
a s ¸ a as a
rezult˘ c˘ x ∈ C ([t0 − h, t0 + h] , R) iar prin derivarea relatiei (2.1) .
a a 1
¸

5. 2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸ 27
 t

d 
x (t) = x0 + f (s, x(s)) ds = f (t, x(t))
dt
t0
¸i ecuatia diferential˘ (2.1) este verificat˘.
s ¸ ¸ a a
Unicitatea solutiei. Presupunem c˘ problema ar mai admite o solutie ϕ(t) care satisface
a
t
aceeasi conditie initial˘ si deci ϕ(t) = x0 +
a f (s, ϕ(s)) ds. Atunci
t0
t t
|yn (t) − ϕ(t)| ≤ [f (s, yn−1 (s)) − f (s, ϕ(s))] ds ≤ L [yn−1 (s) − ϕ(s)] ds ≤
t0 t0
t
n
n−2 |s− t0 | n−1
n−1 |t − t0 | M (Lh)n
≤L ML ds ≤ M L ≤ , ∀t ∈ [t0 − h, t0 + h]
(n − 1)! n! L n!
t0
de unde deducem c˘ lim yn (t) = ϕ(t) = x(t)
a
n→∞
Observatia 2.2 . Caracterul local al teoremei precedente este evident, deoarece ea ne
¸
garanteaz˘ existenta solutiei numai pe un interval suficient de mic, cu centrul ˆ t0 . De
a ¸ ¸ in
fapt, solutia g˘sit˘ poate fi prelungit˘, obtinˆndu-se o solutie a ecuatiei (2.1), definit˘ pe
¸ a a a ¸ a ¸ ¸ a
ˆ
un interval ce include pe [t0 − h, t0 + h]. intr-adev˘r, considerˆnd punctul (t0 − h, x(t0 − h))
a a
din D ¸i aplicˆnd din nou teorema, vom construi o alt˘ solutie a ecuatiei (2.1), definit˘ pe
s a a ¸ ¸ a
un interval de forma [t0 − h − δ1 , t0 − h + δ1 ], cu conditia δ1 > 0 suficient de mic. Aceast˘
¸ a
solutie va coincide cu cea g˘sit˘ anterior, pe intervalul comun de definitie. La fel, plecˆnd
¸ a a ¸ a
de la punctul (t0 + h, x(t0 + h)) ∈ D, g˘sim o solutie a ecuatiei (2.1), definit˘ pe un interval
a ¸ ¸ a
de forma [t0 +h−δ2 , t0 +h+δ2 ], cu δ2 > 0 suficient de mic. Aceast˘ nou˘ solutie va coincide
a a ¸
cu cea definit˘ pe [t0 − h, t0 + h], ˆ intervalul comun de definitie. Concluzia este c˘ solutia
a in ¸ a ¸
a c˘rei grafic trece prin (t0 , x0 ) este definit˘ cel putin pe intervalul [t0 − h − δ1 , t0 + h + δ2 ].
a a ¸
Rationamentul se poate continua pˆn˘ ce se obtine o solutie a c˘rei grafic nu mai poate
¸ a a ¸ ¸ a
fi prelungit, fie din cauz˘ c˘ se ajunge la frontiera domeniului D, fie din cauz˘ c˘ graficul
a a a a
respectiv are asimptot˘ vertical˘. O astfel de solutie se nume¸te solutie saturat˘ a ecuatiei
a a ¸ s ¸ a ¸
(2.1). Graficele a dou˘ solutii saturate distincte nu au nici un punct comun, c˘ci ˆ caz
a ¸ a in
contrar ˆ acel punct s-ar contrazice rezultatul local de unicitate.
in
Observatia 2.3 Dac˘ se renunta la conditia Lipschitz, admitˆnd numai c˘ f este continu˘
¸ a ¸˘ ¸ ¸a a a
ˆ D, teorema lui Peano afirm˘ c˘ prin orice punct (t0 , x0 ) ∈ D trece cel putin un grafic al
in a a ¸
unei solutii a ecuatiei (2.1). Cu alte cuvinte, acum avem garantat˘ numai existenta local˘
¸ ¸ a ¸ a
a solutiei pentru care x(t0 ) = x0 , nu ¸i unicitatea ei. De asemenea, nu putem garanta c˘ de
¸ s a
data aceasta ¸irul aproximatiilor succesive este uniform convergent la solutia respectiv˘; ˆ
s ¸ ¸ a in
demonstratia Teoremei 2.1 se folosea in
¸ ˆ mod esential faptul c˘ f este local lipschitzian˘ ˆ
¸ a a in
raport cu x.
Exemplul 2.1 Consider˘m problema Cauchy,
a

6. 28 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸
x (t) = x2/3 (t)
y(x0 ) = 0
cu membrul al doilea functie continu˘ f (t, x) = x2/3 . Observ˘m c˘ x(t) ≡ 0 este solutie a
¸ a a a ¸
problemei puse, dar ¸i x(t) = (1/27)(t − t0 )3 este tot o solutie a problemei. ˆ acest caz,
s ¸ In
prin punctul (t0 , 0) trec graficele a dou˘ solutii distincte ale ecuatiei date; aceasta se explic˘
a ¸ ¸ a
prin aceea c˘ functia f (t, x) = x2/3 nu este lipschitzian˘ ˆ raport cu variabila x, ˆ nici o
a ¸ a in in
vecin˘tate a punctului (t0 , 0).
a
Notiunea de sistem diferential este o generalizare a notiunii de ecuatie diferential˘ ¸i,
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ as
de obicei, ˆ
ıntr-un sistem diferential, num˘rul ecuatiilor este egal cu num˘rul functiilor
¸ a ¸ a ¸
necunoscute.
Definitia 2.3 Forma normal˘ a unui sistem diferential de ordin ˆ ai cu n functii
¸ a ¸ ıntˆ ¸
necunoscute y1 , y2 , . . . , yn este:

 y1 (t) = g1 (t, y1 (t), . . . , yn (t))


y2 (t) = g2 (t, y1 (t), . . . , yn (t))
(2.7)
 ···


yn (t) = gn (t, y1 (t), . . . , yn (t))
unde functiile gi = gi (t, y1 , . . . , yn ) , i = 1, n sunt definite ¸i continue pe D = I × U ⊆ Rn+1 ,
¸ s
I ⊆ R cu valori reale.
Dac˘ g :D⊆ Rn+1 → Rn ¸i not˘m y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) ,
a s a
g (t, y) = (g1 (t, y1 , . . . , yn ) , . . . , g1 (t, y1 , . . . , yn )) obtinem scrierea vectorial˘ a sistemului
¸ a
diferential de ordin ˆ ai cu n functii necunoscute (2.7) (care poate fi privit˘ ca o ecuatie
¸ ıntˆ ¸ a ¸
diferential˘ vectorial˘ de ordin ˆ ai) de forma:
¸ a a ıntˆ
y (t) = g (t, y(t)) . (2.8)
Definitia 2.4 O solutie a sistemului de ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai (2.8) este o
¸ ¸ ¸ ¸ ıntˆ
n−upl˘ de functii (y1 , . . . , yn ) : I → Rn de clas˘ C 1 pe intervalul cu interior nevid I, care
a ¸ a
satisface (t, y1 (t), . . . , yn (t)) ∈ Dom(g) ¸i verific˘ (2.8) pentru orice t ∈ I.
s a
Definitia 2.5 Solutia general˘ a sistemului de ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai (2.7)
¸ ¸ a ¸ ¸ ıntˆ
este o familie de functii {y(·, c) : I → R; c = (c1 , . . . , cn ) ∈ Rn } definit˘ implicit de n relatii
¸ a ¸
de forma
G(t, y, c) = 0 (2.9)
ˆn care G :Dom(G) ⊆R2n+1 → Rn este o functie de clas˘ C 1 ˘n raport cu primele n + 1
ı ¸ a a
variabile, cu proprietatea c˘ prin eliminarea celor n constante c1 , . . . , cn din sistemul
a
d
G(t, y(t), c) = 0
dt
¸i ˆ
s ınlocuirea lor ˆ (2.9) se obtine tocmai (2.8).
ın ¸

7. 2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸ 29
Problema Cauchy pentru sistemul diferential (2.8) const˘ ˆ determinarea unei solutii
¸ a ın ¸
y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) care verific˘ conditiile yi (t0 ) = yi0 ∈ R, i = 1, n, t0 ∈ I. Numerele
a ¸
t0 , yi0 , i = 1, n, se numesc conditii initiale.
¸ ¸
Definitia 2.6 O solutie a sistemului diferential (2.8) care satisface conditiile initiale date,
¸ ¸ ¸ ¸ ¸
se nume¸te solutie particular˘.
s ¸ a
Definitia 2.7 Functia g :D⊆ Rn+1 → Rn satisface conditia Lipschitz local˘ ˆ raport
¸ ¸ ¸ a ın
cu variabila vectorial˘ y = (y1 , . . . , yn ) , dac˘ pentru orice punct (t0 , y0 ) ∈ D, unde y0 =
a a
(y10 , . . . , yn0 ) , exist˘ o vecin˘tate V(t0 , y0 ) ⊂ D, astfel ˆ at oricare ar fi (t, y) ¸i (t, y) din
a a ıncˆ s
V(t0 , y0 ), are loc inegalitatea
g(t, y) − g(t, y) ≤ L y − y (2.10)
constanta L > 0 depinzˆnd, ˆ general, de punctul (t0 , y0 ).
a ın
Teorema 2.2 (Teorema de existent˘ ¸i unicitate a solutiei problemei Cauchy
¸a s ¸
pentru sisteme diferentiale de ordin ˆ ai)
¸ ıntˆ
Dac˘ functia vectorial˘ g = (g1 , . . . , gn ) este continu˘ ˆ D ¸i local lipschitzian˘ ˆ
a ¸ a a ın s a ın
raport cu variabila vectorial˘ y = (y1 , . . . , yn ), atunci pentru orice punct (t0 , y0 ) ∈ D exist˘
a a
o solutie unic˘ y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) a sistemului (2.8), definit˘ ˆ
¸ a a ıntr-o vecin˘tate suficient
a
a s ındeplinind conditiile yi (t0 ) = yi0 ∈ R, i = 1, n.
de mic˘ a lui t0 ¸i ˆ ¸
Reamintim forma normal˘ a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin n, ecuatia
a ¸ ¸ ¸
x(n) = f (t, x, x , . . . , x(n−1) ), (2.11)
unde f definit˘ pe o submultime D = I × U ⊆ Rn+1 cu valori ˆ R,
a ¸ ın
Problema Cauchy pentru ecuatia diferential˘ de ordin n :
¸ ¸ a
S˘ se determine functia x ∈ C n (I, R), I un interval nevid deschis ˆ R astfel ˆ at
a ¸ ın ıncˆ
x(n) = f (t, x, x , . . . , x(n−1) )
, (2.12)
x(t0 ) = x00 , x (t0 ) = x10 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn0
unde f : D → R, t0 ∈ I, xi0 ∈ R,i = 0, n.
Prin intermediul transform˘rilor
a
(y1 , y2 , . . . , yn ) = x, x , . . . , x(n−1)
, (2.13)
g (t,y1 , . . . , yn ) = (y2 , . . . , yn , f (t, y1 , y2 , . . . , yn ))
ecuatia (2.11) poate fi rescris˘ echivalent ca un sistem de n ecuatii diferentiale de ordin
¸ a ¸ ¸
ˆ ai cu n functii necunoscute:
ıntˆ ¸


 y1 = y2

 y = y3
 2

.
. . (2.14)
 .
 y
 n−1 = yn


 y = f (t, y , y , . . . , y )
n 1 2 n

8. 30 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
¸ ¸ ¸
ˆ acest fel studiul ecuatiei (2.11) se reduce la studiul sistemului (2.14).
In ¸
Teorema 2.3 (Teorema de existent˘ ¸i unicitate a solutiei problemei Cauchy
¸a s ¸
pentru ecuatia diferential˘ de ordin n)
¸ ¸ a
Dac˘ functia f este continu˘ ˆ D ¸i local lipschitzian˘ ˆ raport cu variabila vectorial˘
a ¸ a ın s a ın a
y = (y1 , . . . , yn ), atunci pentru orice punct (t0 , y0 ) ∈ D exist˘ o solutie unic˘ x(t) a ecuatei
a ¸ a ¸
(2.11), definit˘ ˆ a ıntr-o vecin˘tate suficient de mic˘ a lui t0 ¸i ˆ
a a s ındeplinind conditiile x(t0 ) =
¸
x00 , x (t0 ) = x10 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn0 , t0 ∈ I, xi0 ∈ R,i = 0, n.
2.2 Metoda aproximatiilor succesive
¸
ˆ multe situatii este foarte important s˘ cunoa¸tem nu numai c˘ o problem˘ Cauchy are
In ¸ a s a a
solutie unic˘ pe un anumit interval, dar ¸i cum putem g˘si aceast˘ solutie. Din p˘cate
¸ a s a a ¸ a
clasa functiilor f pentru care putem obtine o reprezentare explicit˘ a solutiei este foarte
¸ ¸ a ¸
restrˆns˘.
a a
Dac˘ f = f (t, x) este continu˘ ˆ D ¸i local lipschitzian˘ ˆ raport cu variabila x,
a a in s a in
t
consider˘m aproximatiilor succesive, cu x0 (t) = x0 , xn (t) = x0 +
a f (s, xn−1 (s)) ds, n =
t0
1, 2, . . . . Fie D = {(t, y) | t0 − a ≤ t ≤ t0 + a, y − y0 ≤ b}. Putem obtine, dac˘¸ a
ˆ plus |f (t, x)| ≤ M, ∀(t, x) ∈ D, urm˘toarea formul˘ de evaluare a erorii: xn − x ≤
in a a
Ln hn+1
M , ∀n ∈ N, |t − t0 | ≤ h. Pentru a demonstra aceast˘ formul˘ observ˘m c˘
a a a a
(n + 1)!
t
|x(t) − x0 | = f (s, x(s)) ds ≤ M |t − t0 | ⇒ x − x0 ≤ M |t − t0 | .
t0
Utilizˆnd aceast˘ inegalitate obtinem:
a a ¸
t
x1 − x = sup (f (s, x0 ) − f (s, x(s))) ds ≤
t∈[t0 −h,t0 +h]
t0
t t
≤ sup |(f (s, x0 ) − f (s, x(s)))| ds ≤ L sup |x0 − x(s)| ds ≤
t∈[t0 −h,t0 +h] t∈[t0 −h,t0 +h]
t0 t0
t
L |t − t0 |2
≤L x − x0 ds ≤ M .
2!
t0
Aceast˘ inegalitate sugereaz˘ c˘, pentru orice k ∈ N ¸i |t − t0 | ≤ h, ar trebui s˘ avem:
a a a s a
Lk |t − t0 |k+1
xk − x ≤ M . (2.15)
(k + 1)!
Pentru k = 0 ¸i k = 1 aceast˘ inegalitate este evident satisf˘cut˘. Presupunem c˘ (2.15)
s a a a a
are loc pentru un k ∈ N ¸i |t − t0 | ≤ h. Atunci
s

9. 2.2. METODA APROXIMATIILOR SUCCESIVE
¸ 31
t
xk+1 − x = sup (f (s, xk (s)) − f (s, x(s))) ds ≤
t∈[t0 −h,t0 +h]
t0
t t
≤ sup |(f (s, xk (s)) − f (s, x(s)))| ds ≤ L sup |xk (s) − x(s)| ds ≤
t∈[t0 −h,t0 +h] t∈[t0 −h,t0 +h]
t0 t0
t t
Lk Lk+1 |t − t0 |k+2 Lk+1 hk+2
≤L xk − x dt ≤ M L |s − t0 |k ds ≤ M ≤M .
(k + 1)! (k + 2)! (k + 2)!
t0 t0