1.
Topgunx Physics
#1 Classical Mechanics Mastery
「力学」マスター
第２章 ～微積分学と二次函数～
Ryosuke ISHII
1

2.
微積分超入門
瞬間速度
2

3.
微積分超入門
たとえば、ドライブする時
時速60kmで走ろう！と思っていても
実際には正確に時速60kmで
走り続けるのは難しいことです。
アクセルを踏んだり、離したりして、
速度が時々刻々、変わりゆくことが多いはずです。
つまり、等速度直線運動でない状況が
現実には多いということです。
3

4.
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
この𝑥 − 𝑡図の「意味」は、何でしょうか？
𝑥 − 𝑡図は「自然を上手に記録する」するためにある。
ということを、私達は既に学びました。
この記録は何を意味するのでしょうか？日本語で「意味」を記述してみましょう。
4
練習問題

5.
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
この𝑥 − 𝑡図の「意味」は、何でしょうか？
一番大事なことは
・時刻0[𝑠]に位置0[𝑚]から出発し、
時刻𝑡1[𝑠]に位置𝑥1 𝑚 に到着したグラフ。
・その間の行程「いつどこに居たか」を
記録したグラフです。
より詳細に、グラフの特徴を記載すると、
どういった特徴があるでしょうか？
𝑥 − 𝑡図は「自然を上手に記録する」するためにある。
ということを、私達は既に学びました。
この記録は何を意味するのでしょうか？日本語で「意味」を記述してみましょう。
5

6.
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
この𝑥 − 𝑡図の「意味」は、何でしょうか？
この図の意味を、グラフの特徴から考える。
例えばですが、フェーズを４つに区切って
左のように考えると、
どんなことに気づくことが
できそうでしょうか？
フェーズA B C D
6

7.
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
この𝑥 − 𝑡図の「意味」は、何でしょうか？
この図の意味を、グラフの特徴から考えるため
とりあえず、位置と時間を「勝手に」振ってみましょう。
フェーズA B C D
𝑡 𝐵[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠] 𝑡 𝐷[𝑠]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐷[𝑚]
わかりやすいように、
各フェーズの開始時の時間と位置を、
それぞれ𝑡, 𝑥の右下の添字にしました。
例えば、フェーズ𝐵の開始時の
時刻を𝑡 𝐵[𝑠]
位置を𝑥 𝐵[𝑚]
と(勝手に)置きました。
名前をつけただけです。
ただし、フェーズAの開始時は、
位置も時間も0なので、そのままにしました。
7

8.
この𝑥 − 𝑡図の「意味」は、何でしょうか？
ちょっと分解してみましょう。
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
フェーズA B C D
𝑡 𝐵[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠] 𝑡 𝐷[𝑠]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐷[𝑚]
0
𝑡 𝐵[𝑠]
𝑡 𝐶[𝑠]
フェーズA B C D
𝑡 𝐷[𝑠]
𝑡1[𝑠]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐷[𝑚]
𝑥1[𝑚]
ここまでは、あんまりアタマを使わずに、
場所と時刻の名付けをして、グラフを切り刻んだだけです。
8

9.
各フェーズの区切った長方形の意味を考えよう。
いま、各フェーズについて、次の図ができました。
ざっくり言って、縦長の図と横長の図がありますね。
0
𝑡 𝐵[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠]
フェーズA B C D
𝑡 𝐷[𝑠] 𝑡1[𝑠]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐷[𝑚]
𝑥1[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑡 𝐶[𝑠] 𝑡 𝐷[𝑠]
𝑥 𝐷[𝑚]
記号が色々振られていて、慣れるまでは戸惑うかもしれませんが、
上記の4つの図の「物理的な意味」を日本語で書くと、下のようになります。
フェーズ開始時の位置[𝑚]
フェーズ終了時の位置[𝑚]
フェーズ
開始時刻[𝑠]
フェーズ
終了時刻[𝑠]
かかった時間[𝑠]
移動距離[𝑚]
9

10.
長方形の「意味」は、何でしょうか？
この四角の意味について、考えてみましょう。
開始時の位置[𝑚]
終了時の位置[𝑚]
開始
時刻[𝑠]
終了
時刻[𝑠]
時間[𝑠]
移動距離[𝑚]
開始時の位置[𝑚]
終了時の位置[𝑚]
開始
時刻[𝑠]
終了
時刻[𝑠]
かかった時間[𝑠]
移動距離[𝑚]
この四角が「縦長になる」または「横長になる」ことは、何を意味するでしょう
フェーズ開始時の位置[𝑚]
フェーズ終了時の位置[𝑚]
フェーズ
開始時刻[𝑠]
フェーズ
終了時刻[𝑠]
かかった時間[𝑠]
移動距離[𝑚]
10

11.
0秒後 2秒後 3秒後1秒後
位置𝒙 [m]
時間𝒕 [秒]
𝟏𝒎
𝟐𝒎
𝟑𝒎
𝟒𝒎
𝟎𝒎
迷った時は、単純な具体例で考えてみましょう！
この𝑥 − 𝑡図は、これまで何度か扱った、
等速度直線運動のグラフで、
それぞれのフェーズの傾きが速度でした。
11

12.
上下の図は、切り出しただけで同じ図だとわかりますか？
開始時の位置0[𝑚]
終了時の位置1[𝑚]
フェーズ
開始時刻0[𝑠]
フェーズ
終了時刻1[𝑠]
時間[𝑠]
移動距離1[𝑚]
開始時の位置1[𝑚]
終了時の位置4[𝑚]
フェーズ
開始時刻1[𝑠]
フェーズ
終了時刻2[𝑠]
時間[𝑠]
移動距離3[𝑚]
0秒後 2秒後 3秒後1秒後
位置𝒙 [m]
時間𝒕 [秒]
𝟏𝒎
𝟐𝒎
𝟑𝒎
𝟒𝒎
𝟎𝒎
12

13.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
コラム：なぜ眼は二つあるのか？
つまり「ひとつの情報より、ふたつ以上のほうがよい」のです。
両目で見たとき、
同じものを見ても、
片目で見るより
深い情報が得られる。
視差から、
世界が立体的に立ち現れる。
BA
AB
Gregory Bateson; Steps to an Ecology of Mind, (Ballantine Book, 1972).
Mind and Nature: A Necessary Unity, (Wildwood House, 1979).
13

14.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
コラム：ひとつの情報より、ふたつ以上のほうがよい」
𝑎 𝑏
𝑎
𝑏 𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎2
𝑏2
(𝑎 + 𝑏)2=𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 の「説明」
分配法則で説明ができるが、幾何学的にもできる。
14

15.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
コラム：ひとつの情報より、ふたつ以上のほうがよい」
同じように、「同じ意味のこと」を複数の切り口で学ぶこと、
具体化したり抽象化して学ぶことが、理解を深めることがあります。
開始時の
位置1[𝑚]
終了時の
位置4[𝑚]
フェーズ
開始時刻1[𝑠]
フェーズ
終了時刻2[𝑠]
時間[𝑠]
移動
距離3[𝑚]
0秒後 2秒後 3秒後1秒後
位置𝒙 [m]
時間𝒕 [秒]
𝟏𝒎
𝟐𝒎
𝟑𝒎
𝟒𝒎
𝟎𝒎
同じことを言っている！！
「分かった気にならず深める」ことが、ゲシュタルトを創ります。
15

16.
この具体例からわかること
開始時の位置0[𝑚]
終了時の位置1[𝑚]
フェーズ
開始時刻0[𝑠]
フェーズ
終了時刻1[𝑠]
時間[𝑠]
移動距離1[𝑚]
開始時の位置1[𝑚]
終了時の位置4[𝑚]
フェーズ
開始時刻1[𝑠]
フェーズ
終了時刻2[𝑠]
時間[𝑠]
移動距離3[𝑚]
速度= 𝑥 − 𝑡図の傾き=
移動距離1[𝑚]
時間1[𝑠]
= 1[𝑚/𝑠]
速度= 𝑥 − 𝑡図の傾き=
移動距離3[𝑚]
時間1[𝑠]
= 3[𝑚/𝑠]
フェーズごとの速度が速いと、縦長になる。
16

17.
各フェーズに区切った長方形の
「フェーズごとの速度」を求めてみましょう。
0
𝑡 𝐵[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠]
フェーズA B C D
𝑡 𝐷[𝑠] 𝑡1[𝑠]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐷[𝑚]
𝑥1[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑡 𝐶[𝑠] 𝑡 𝐷[𝑠]
𝑥 𝐷[𝑚]
17
練習問題

18.
各フェーズに区切った長方形の
「フェーズごとの速度」を求めてみましょう。
0
𝑡 𝐵[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠]
フェーズA B C D
𝑡 𝐷[𝑠] 𝑡1[𝑠]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐷[𝑚]
𝑥1[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑡 𝐶[𝑠] 𝑡 𝐷[𝑠]
𝑥 𝐷[𝑚]
フェーズBの速度= 𝑥 − 𝑡図の傾き= [𝑚/𝑠]
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵
𝑡 𝐶 − 𝑡 𝐵
※CとBの順序はこの順番
では「フェーズBの速度」とは何でしょう？
18

19.
「フェーズBの速度」とは何でしょう？
𝑡 𝐶[𝑠]
B
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
この赤線がフェーズBの速度= [𝑚/𝑠]
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵
𝑡 𝐶 − 𝑡 𝐵
ではなく、 を求めた。
これを、フェーズBの「平均速度」
という。
19

20.
いま、この瞬間の速度は？？
𝑡 𝐶[𝑠]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
フェーズの平均速度ではなく、
時刻𝑡 𝐵[𝑠]で、位置𝑥 𝐵[𝑚]
に居る「瞬間の速度」を求めたい!!
(車に乗っていたら、
いま現在の時速が知りたいですよね)
どうしたら「いま、この瞬間」の速度が求められるでしょう？
20

21.
どんどん𝑡 𝐵からの時間を短くとってみたらどうでしょう？
どんどん𝑡 𝐵[𝑠]の「瞬間の傾き」＝「瞬間の速度」に近づけそうです。
𝑡 𝐵[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠] 𝑡 𝐶[𝑠]
21

22.
瞬間の傾き＝瞬間速度を数学的に定義してみましょう。
まず、この曲線を、位置𝑥 = 𝑓(𝑡)として、時間の函数として置きます。
すると、時刻𝑡[𝑠]の位置は𝑥[𝑚] = 𝑓(𝑡)
であり、左図の赤丸 の位置になります。
また、
その時の「瞬間の速さ」
つまり、瞬間の傾きは、
まだ求め方はわかりませんが、
赤線のようになるはずです。
この、ある点に於ける傾きを示す線を
「接線」と言います。
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
𝑡[𝑠]
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝒙 = 𝒇(𝒕)
22

23.
瞬間の傾き＝瞬間速度を数学的に定義してみましょう。
次に、時刻𝑡から∆𝑡秒経過した、
時刻(𝑡 + ∆𝑡)について考えてみましょう。
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]
0
𝑡[𝑠]
𝑓(𝑡)
𝑡 + ∆𝑡[𝑠]
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
𝑡[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡[𝑠]
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
拡大
時刻(𝑡 + ∆𝑡)の𝑥の値は、
単に𝑓(𝑡)に代入すると、
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)になるはずです。
23

24.
瞬間の傾き＝瞬間速度を数学的に定義してみましょう。
前と同じように、傾きを求めてみましょう。
𝑡[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡[𝑠]
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
傾きはどうなるでしょうか？
𝑡 𝐶[𝑠]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
フェーズBの速度= [𝑚/𝑠]
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵
𝑡 𝐶 − 𝑡 𝐵
参考：前はこうやりました
24
練習問題

25.
瞬間の傾き＝瞬間速度を数学的に定義してみましょう。
前と同じように、傾きを求めてみましょう。
𝑡[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡[𝑠]
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑡
𝑡 𝐶[𝑠]
𝑥 𝐶[𝑚]
𝑥 𝐵[𝑚]
𝑡 𝐵[𝑠]
フェーズBの速度= [𝑚/𝑠]
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵
𝑡 𝐶 − 𝑡 𝐵
参考：前はこうやりました
傾き=速度は
この時、 ∆𝑡をどんどん小さく、
限りなくゼロに近づけることで、
「瞬間の傾き」に、限りなく近づけます。
位置の変位
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
時間の変位∆𝑡
25

26.
具体的な函数でやってみましょう。
いま、位置𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2の𝑥 − 𝑡図があります。
このとき、 𝑡 = 2[𝑠]における、瞬間の速さを考えてみましょう。
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
𝑡[𝑠]
1𝑚
4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
たぶん、こんな赤線の傾きになるはず！
26
練習問題

27.
いま、位置𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2の𝑥 − 𝑡図があります。
このとき、 𝑡 = 2[𝑠]における、瞬間の速さを考えてみましょう。
早速、セオリー通り𝑡＋∆𝑡について考えてみたいと思います
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 𝑡 = 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
𝑡 + ∆𝑡
𝑡 = 2[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡
𝑓 𝑡 = 4𝑚
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
27

28.
いま、位置𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2の𝑥 − 𝑡図があります。
このとき、 𝑡 = 2[𝑠]における、瞬間の速さを考えてみましょう。
𝑡 = 2[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡
𝑓 2 = 4[𝑚]
𝑓 𝑡 + ∆𝑡
= 𝑡2
+ 2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2
この傾き=速度は＝
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
𝑡 + ∆𝑡 − 𝑡
ここで、𝑓(𝑡) = 𝑡2
また
𝑓(𝑡) = 𝑡2
の式に、 𝑡に𝑡 + ∆𝑡を代入して
𝑓 𝑡 + ∆𝑡 = (𝑡 + ∆𝑡)2= 𝑡2 + 2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2
傾きの式にそれらの結果を戻すと
傾き=速度は＝
𝑡2 + 2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2 − 𝑡2
∆𝑡
＝
2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2
∆𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑡2
※一般に∆𝑡2
は(∆𝑡)2
、つまり変化量の自乗を意味し∆(𝑡2
)つまり自乗の変化量を意味しない。
位置の変位
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
時間の変位∆𝑡
28

29.
いま、位置𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2の𝑥 − 𝑡図があります。
このとき、 𝑡 = 2[𝑠]における、瞬間の速さを考えてみましょう。
𝑡 = 2[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡
𝑓 𝑡 = 4𝑚
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
傾き=速度は＝
2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2
∆𝑡
いま、以下の式までわかった。
ここで∆𝑡は「限りなく小さな値をとる」
ことを思い出すと、
∆𝑡2は、無視できるくらい小さい。
(例えば∆𝑡 = 0.01 の時 ∆𝑡2
＝0.0001)
よって、∆𝑡2を無視すると
傾き=速度は＝
2𝑡∆𝑡
∆𝑡
= 2𝑡[𝑚/𝑠]
いま、𝑡 = 2[𝑠]より、
𝑡 = 2[𝑠]の瞬間の傾き=速度= 𝟒[𝒎/𝒔]
29

30.
いま計算したことの「意味」を考えてみましょう。
いま、以下のことを
私たちは導いてきました。
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 𝑡 = 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
𝑡 + ∆𝑡
・𝑓 𝑡 = 𝑡2という函数の、
点𝑡に於ける傾きを求めた。
・点𝑡に於ける傾きは2𝑡だった。
・ 𝑡 = 2[𝑠]の時、傾きは4[𝑚/𝑠]
ホントに！？
30

31.
まず、𝑡 = 2[𝑠]の時、傾きは4[𝑚/𝑠]ってホント？
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 𝑡 = 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
2[𝑠]1[𝑠] 3[𝑠]
4𝑚
0𝑚
8𝑚
t = 2[𝑠]の時の傾きを図形的に見ると
傾きは確かに4[𝑚/𝑠]になっているように見える
31

32.
この𝑥 − 𝑡図に対応する𝑣 − 𝑡図を描けますか？
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0𝑚
とりあえず𝑡 = 2[𝑠]の時、
𝑣 = 4[𝑚/𝑠]であることは
さっき計算したので値を入れてみよう。
32
練習問題

33.
困った時の具体例：𝑡 = 1 𝑠 , 𝑡 = 3[𝑠]の時の傾きを求めよう！
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0𝑚
この𝑡の時の
速度=傾きが
下の𝑣 − 𝑡図に
入るはずだ
33

34.
困った時の具体例：𝑡 = 1 𝑠 , 𝑡 = 3[𝑠]の時の傾きを求めよう！
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥 [m]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
𝑡 𝑡 + ∆𝑡
𝑓 𝑡
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
𝑓 𝑡 = 𝑡2
さっきは𝑡 = 2で描いたが、
𝑡の実際の値に関わらずこう書ける
34

35.
いま、位置𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2の𝑥 − 𝑡図があります。
このとき、 一般の𝑡における、瞬間の速さを考えてみましょう。
𝑡 𝑡 + ∆𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑡2
𝑓 𝑡 + ∆𝑡
= (𝑡 + ∆𝑡)2
傾き=速度は ＝
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
∆𝑡
ここで、𝑓 𝑡 = 𝑡2
なので、
ここに𝑡 + ∆𝑡を代入すると
𝑓 𝑡 + ∆𝑡 = (𝑡 + ∆𝑡)2= 𝑡2 + 2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2
傾きの式にそれらの結果を戻すと
傾き=速度は＝
2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2
∆𝑡
無視できる
くらい小さい
傾き=速度は＝
2𝑡∆𝑡
∆𝑡
= 2𝑡[𝑚/𝑠]
ていうか、
さっきも出てきたやつだ！
𝑓 𝑡 = 𝑡2
t = 1 s の時、速度2 𝑚/𝑠
t = 3[s]の時、速度6 𝑚/𝑠
35

36.
困った時の具体例：𝑡 = 1 𝑠 , 𝑡 = 3[𝑠]の時の傾きを求めよう！
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
この𝑡の時の
速度=傾きが
下の𝑣 − 𝑡図に
入るはずだ
t = 1 s の時、速度2 𝑚/𝑠
t = 3[s]の時、速度6 𝑚/𝑠
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
36

37.
傾き2𝑡 𝑚/𝑠 の意味がわかってきた！
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
傾き=速度は＝
2𝑡∆𝑡
∆𝑡
= 2𝑡[𝑚/𝑠]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
この直線は
𝑣 𝑡 = 2𝑡と書けるだろう。
なにが「かなり凄い」か分かりますか？
37

38.
傾き2𝑡 𝑚/𝑠 の意味がわかってきた！
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
傾き=速度は＝
2𝑡∆𝑡
∆𝑡
= 2𝑡[𝑚/𝑠]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
この直線は
𝑣 𝑡 = 2𝑡と書けるだろう。
𝑓 𝑡 = 𝑡2
の各点に対し、
𝑣 𝑡 = 2𝑡は、その瞬間の傾き=速度
を示している！
38
𝑓 𝑡 = 𝑡2
のグラフの時、
𝑣 𝑡 = 2𝑡は、 𝑡に時刻[s]を入れると、
その瞬間の傾き=速度を示せる「函数!!」

39.
この𝑣 − 𝑡図の意味を日本語で書くと何でしょうか？
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
この𝑣 − 𝑡図の意味は？
39
練習問題

40.
この𝑣 − 𝑡図の意味：等加速度運動
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
この𝑣 − 𝑡図の意味は、
はじめ𝑡 = 0で初速度𝑣(0) = 0
だった速度が、
𝑡 = 1[𝑠]後には𝑣 1 = 2[𝑚/𝑠]
まで上昇し、
1[𝑠]あたり2[𝑚/𝑠]の割合で
加速しているという意味である。
40

41.
第二章：力
加速度とは、
「1秒間にどのくらい、速さ[𝑚/𝑠]が増えるか」
を言います。
「加速度」とは何でしょうか
加速度は英語のaccelerationから 𝑎と呼び、
その単位は[𝑚/𝑠2]です。「メートル毎秒毎秒」と呼びます。
41

42.
第二章：力
加速度とは「𝑣 − 𝑡グラフの傾き」
時間𝒕 [秒]
速度が
∆𝒗 = 𝟔
[m/s]
変化したよ
(速くなった)
速度𝒗 [m/s]
∆𝒕 = 𝟑 [秒]かかったよ
この「傾き」が「加速度」だよ
いま傾きは「2[𝑚/𝑠2
]」だよ
1[𝑠]
2[𝑚/𝑠]
横軸に、時間𝑡
縦軸に、速度𝑣
を取った「 𝑣 − 𝑡グラフ」の
傾きが加速度です。
注意！縦軸は
位置𝑥じゃないよ
42

43.
速度𝑣と加速度𝑎の関係
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠] 3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
𝑣0[𝑚/𝑠]
この図のように、
速度𝑣が一定(定数)ではなく、
𝑣 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑣0
のように、速度𝑣が時間𝑡の
一次函数となるような運動を
「等加速度運動」と呼び。
その時の傾きを加速度を𝑎と呼ぶ
𝑣 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑣0
𝑣0とは、𝑡 = 0の時、つまり
はじめの速度𝑣 0 のことなので、
初速度を意味する。
43

44.
第二章：力
速度𝑣と加速度𝑎の関係（具体例）
時間𝒕 [秒]
速度が
∆𝒗 = 𝟔
[m/s]
変化したよ
(速くなった)
速度𝒗 [m/s]
∆𝒕 = 𝟑 [秒]かかったよ
速度𝑣 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑣0 の意味
結果𝑣 3 = 2 × 3 + 10 = 16[m/s]
𝒗 𝟎 = 𝒗 𝟎
= 𝟏𝟎[𝒎/𝒔]
𝒗(𝟑) = 𝟏𝟔[𝒎/𝒔]
初めの速度は
𝑣0 = 10[𝑚/𝑠]
だったよ
加速度は
𝑎 = 2[𝑚/𝑠2]
だったよ
𝑡 = 3[𝑠]間
加速したよ
※形としては1次函数𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏と一緒
44

45.
微積分超入門
等速度運動
と
等加速度運動のちがい
45

46.
等速度運動と等加速度運動のちがい
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
3[𝑚]
6[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑡 = 2𝑡
𝑣 = 2[𝑚/𝑠]
等速度運動 等加速度運動
この𝑣 − 𝑡図の𝑣 が変わらないから「等速度」 この𝑣 − 𝑡図の𝑣 が一定の割合で
増える＝加速するから「等加速度」
46

47.
第一章：位置と時間
なんか似てます、よ、ね？
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
3[𝑚]
6[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑡 = 2𝑡
𝑣 = 2[𝑚/𝑠]
等速度運動 等加速度運動
この「等速度運動」の𝑥 − 𝑡図 と 「等加速度運動」の𝑣 − 𝑡図が
似ている気がします。
ちょうど等速度運動で
𝑥 − 𝑡図から𝑣 − 𝑡図を描いたように、 等加速度でも𝑣 − 𝑡図から𝒂 − 𝒕図
が描けないだろうか？
47

48.
この𝑣 − 𝑡図から𝑎 − 𝑡図を描いてみよう。
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
𝑎 − 𝑡図とは、
横軸に時間
縦軸に加速度
をとったグラフのこと。
48
練習問題

49.
この𝑣 − 𝑡図から𝑎 − 𝑡図を描いてみよう
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 2[𝑚/𝑠2]
49

50.
練習問題：この𝑣 − 𝑡図から𝑎 − 𝑡図を描いてみよう
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
8[𝑚/𝑠]
50
練習問題

51.
練習問題：この𝑣 − 𝑡図から𝑎 − 𝑡図を描いてみよう
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 2[𝑚/𝑠2
]
a = 4[𝑚/𝑠2
]
8[𝑚/𝑠]
51

52.
等速度運動と等加速度運動のちがい
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 2[𝑚/𝑠2
]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
3[𝑚]
6[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 0[𝑚/𝑠2
]
𝑣 = 2[𝑚/𝑠]
等速度運動 等加速度運動
52

53.
上のグラフの各点での傾きが、下のグラフの各点の値になっている!
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠] 𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 2[𝑚/𝑠2
]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
3[𝑚]
6[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 0[𝑚/𝑠2
]
𝑣 = 2[𝑚/𝑠]
等速度運動 等加速度運動
53

54.
微積分超入門
ここまでの、復習をしましょう。
54

55.
ここまでの復習
①等速度運動は実際には難しい。だから
「いま、この瞬間の」速度が知りたい。
②速度は𝑥 − 𝑡図の傾き。ただし𝑥 − 𝑡図に
直線が無い場合、速度は接線の傾き。
③時刻𝑡での速度＝接線の傾きは、右図
のように、時刻𝑡 + ∆𝑡の傾きを求め、
∆𝑡 → 0に近づければ良い。
④接線の傾きは、函数の形で得られる。
⑤ 𝑣が一定の割合で増える時、等加速度運動という。
⑥ 𝑥 − 𝑡図の傾きが𝑣 − 𝑡図。𝑣 − 𝑡図の傾きが𝑎 − 𝑡図。
位置𝑥
𝒕
𝑥1[𝑚]
𝑡1[𝑠]0
𝑡[𝑠]
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝒙 = 𝒇(𝒕)
𝑡[𝑠] 𝑡 + ∆𝑡[𝑠]
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡 + ∆𝑡)
位置の変位
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
時間の変位∆𝑡
55

56.
微分とはなにか
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
56
このように、ある函数から、
その函数の「傾きの函数」を
得ました。
この「傾きの函数」のことを
正式には「導函数(どうかんすう)」と
呼びます。
用例：𝑣 𝑡 は𝑓 𝑡 の導函数

57.
微分とはなにか
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1𝑚
𝑓 𝑡 = 4𝑚
9𝑚
3[𝑠]
0𝑚
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
57
この導函数を得ることを
𝑓 𝑡 を「微分する」と言います。「微分する！」

58.
微分とはなにか
58
よくある誤解：
𝑓 𝑡 を「微分する」と傾きが求まる。
ほんとうのこと：
𝑓 𝑡 を「微分する」と
傾きの函数＝導函数𝑣 𝑡 が求まる。
𝑡に具体的な値、例えば𝑡 = 2を入れると
𝑓 𝑡 上の点(2, 𝑓 2 )における傾き 𝑣 2 が得られる。

59.
数学の練習
この曲線を、位置𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛のグラフを𝑥で微分してみましょう！
(こんどは数学っぽく、𝑥 − 𝑡図でなく𝑥𝑦平面にしてみました)
𝑦
𝒙
0
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛
59

60.
Back to the Basics.
ブレずに、これまで通り、四角形を取りましょう。
𝑦
𝒙
0
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛
60
𝑥 𝑥 + ∆𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
拡大

61.
数学の練習
ブレずに、これまで通り、四角形を取りましょう。
61
𝑥 𝑥 + ∆𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑥
=
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
傾きは
𝑥の変位
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑥の変位∆𝑥

62.
いま、位置𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛の函数があります。
傾きは ＝
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
ここで、𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛
なので、
ここに𝑥 + ∆𝑥を代入すると
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑎(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛
傾きの式にそれらの結果を戻すと
傾き=速度は＝
𝑎(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛 − 𝑎𝑥 𝑛
∆𝑥
𝑥 𝑥 + ∆𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
𝑥の変位
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑥の変位∆𝑥
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛
とりあえず、これが計算上手にできたら、
なんかうまくいきそう！

63.
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛を求めよう！小さい数で実験してみましょうか。
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛
とりあえず、𝑥を𝑎に、∆𝑥を𝑏に置き換えましょう。
見た目が簡単になるからです。
(𝑎 + 𝑏) 𝑛=? ? ?
𝑛 = 1の時、(𝑎 + 𝑏)1= 𝑎 + 𝑏
𝑛 = 2の時、(𝑎 + 𝑏)2=
𝑛 = 3の時、(𝑎 + 𝑏)3
=
練習問題

64.
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛を求めよう！小さい数で実験してみましょうか。
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛
とりあえず、𝑥を𝑎に、∆𝑥を𝑏に置き換えましょう。
見た目が簡単になるからです。
(𝑎 + 𝑏) 𝑛=? ? ?
𝑛 = 1の時、(𝑎 + 𝑏)1= 𝑎 + 𝑏
𝑛 = 2の時、(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑛 = 3の時、(𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

65.
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛を求めよう！。小さい数で実験してみましょうか。
𝑛 = 1の時、(𝑎 + 𝑏)1
= 𝑎 + 𝑏
𝑛 = 2の時、(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑛 = 3の時、(𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
傾き=速度は＝
𝑎(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛 − 𝑎𝑥 𝑛
∆𝑥
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛
これらを、 𝑎に𝑥、𝑏に∆𝑥を戻して、元の式に入れてみましょうか。

66.
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛を、 𝑛 = 1の時、元の式に戻してみよう！
𝑛 = 1の時、(𝑥 + ∆𝑥)1= 𝑥 + ∆𝑥
傾き=速度は ＝
𝑎(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛 − 𝑎𝑥 𝑛
∆𝑥
⇒
𝑎(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑎𝑥1
∆𝑥
=
𝑎𝑥 + 𝑎∆𝑥 − 𝑎𝑥
∆𝑥
=
𝑎∆𝑥
∆𝑥
= 𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛
のグラフは、𝑛 = 1のとき、すなはち
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥1
= 𝑎𝑥のとき、𝑥で微分すると、
導函数(傾きの函数)は𝑎である。
よって、結論。
𝑛 = 1を代入して、
(𝑥 + ∆𝑥)1
を𝑥 + ∆𝑥に置き換えている。

67.
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛を、 𝑛 = 2の時、元の式に戻してみよう！
傾き=速度は ＝
𝑎(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛 − 𝑎𝑥 𝑛
∆𝑥
⇒
𝑎(𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2) − 𝑎𝑥2
∆𝑥
=
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥∆𝑥 + 𝑎∆𝑥2 − 𝑎𝑥2
∆𝑥
=
2𝑎𝑥∆𝑥 + 𝑎∆𝑥2
∆𝑥
=
2𝑎𝑥∆𝑥
∆𝑥
= 2𝑎𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛
のグラフは、𝑛 = 2のとき、すなはち
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
のとき、𝑥で微分すると、
導函数(傾きの函数)は2𝑎𝑥である。
よって、結論。
𝑛 = 2を代入して、
(𝑥 + ∆𝑥)2を𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2に
置き換えているだけ。
𝑛 = 2の時、(𝑥 + ∆𝑥)2=
𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2
無視できる
くらい小さい

68.
(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛を、 𝑛 = 3の時、元の式に戻してみよう！
傾き=速度は ＝
𝑎(𝑥 + ∆𝑥) 𝑛
− 𝑎𝑥 𝑛
∆𝑥
⇒
𝑎(𝑥3
+ 3𝑥2
∆𝑥 + 3𝑥∆𝑥2
+ ∆𝑥3
) − 𝑎𝑥3
∆𝑥
=
𝑎𝑥3
+ 3𝑎𝑥2
∆𝑥 + 3𝑎𝑥∆𝑥2
+ 𝑎∆𝑥3
− 𝑎𝑥3
∆𝑥
=
3𝑎𝑥2
∆𝑥 + 3𝑎𝑥∆𝑥2
+ 𝑎∆𝑥3
∆𝑥
=
3𝑎𝑥2∆𝑥
∆𝑥
= 3𝑎𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛のグラフは、𝑛 = 3のとき、すなはち
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3のとき、𝑥で微分すると、
導函数(傾きの函数)は3𝑎 𝑥2
である。
よって、結論。
𝑛 = 3を代入して、
(𝑥 + ∆𝑥)3
を𝑥3
+ 3𝑥2
∆𝑥 + 3𝑥∆𝑥2
+ ∆𝑥3
に
置き換えているだけ。
∆𝑥2
も∆𝑥3
も
無視できる
くらい小さい
𝑛 = 3の時、(𝑥 + ∆𝑥)3=
𝑥3
+ 3𝑥2
∆𝑥 + 3𝑥∆𝑥2
+ ∆𝑥3

69.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛の微分
𝑛 = 3のとき、すなはち
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3のとき、𝑥で微分すると、導函数(傾きの函数)は3𝑎𝑥2である。
これまでの導出をまとめます。𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛のグラフは、
𝑛 = 2のとき、すなはち
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2のとき、𝑥で微分すると、導函数(傾きの函数)は2𝑎𝑥である。
𝑛 = 1のとき、すなはち
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥のとき、𝑥で微分すると、導函数(傾きの函数)は𝑎である。
ここで、そろそろ「 𝑥で微分すると、導函数(傾きの函数)は」と
書くのが疲れてきました。あたらしい記号を導入したいと思います。
𝑓 𝑥 を𝑥をで微分した導函数のことを、
𝑓′ 𝑥 または
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
と書くことにします。

70.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛の微分
𝑛 = 3のとき、すなはち 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3のとき、𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
＝3𝑎𝑥2
これまでの導出を新しい記法でまとめます。
まとめます。𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛のグラフは、
𝑛 = 2のとき、すなはち 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2のとき、𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑎𝑥
𝑛 = 1のとき、すなはち 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 のとき、𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑎

71.
確認しよう
𝑛 = 1のとき、すなはち 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 のとき、𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥のグラフは、
１次函数𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏の
𝑏 = 0のケースなので、
その傾きは、𝑥の値に関わらず
𝑎にきまっている。たしかに。
𝑥 → 𝑡に置き換えた、 𝑥 − 𝑡図の場合
右上図の等速度運動のケースだから
𝑎 = 2で、 𝑓 𝑡 = 𝑎𝑡 = 2𝑡のとき、
𝑓′ 𝑡 = 2とたしかになっている。
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
3[𝑚]
6[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑡 = 2𝑡
𝑣 = 2[𝑚/𝑠]
等速度運動

72.
確認しよう
𝑛 = 2のとき、すなはち 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
のとき、𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑎𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2のグラフは、
等加速度運動を考える時とりあつかった。
𝑓 𝑡 = 𝑡2は、
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2の𝑎 = 1, 𝑥 = 𝑡
のケースだから、
𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑎𝑥
にそれを入れてやると、
𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑡
より、昔やった計算と合致する。
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑣 𝑡 = 2𝑡
等加速度運動

73.
微分公式
𝑓 𝑥 𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
導函数函数
毎回、𝑥 + ∆𝑥とか𝑡 + ∆𝑡とか、置いて計算すると、大変です。
大変なので、先人たちが成果をまとめておいてくれました。
その成果を「公式」と言います。
𝑥
𝑎𝑥
𝑎𝑥2
𝑎𝑥3
𝑎𝑥 𝑛
1
𝑎
2𝑎𝑥
3𝑎𝑥2
𝑎𝑛𝑥 𝑛−1
→
→
→
→
→ ←これは「Σ」「二項定理」
を学ぶと自分で計算で
確認できるようになる

74.
微分公式（物理学風）
𝑓 𝑡 𝑓′
𝑡 =
𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡
導函数函数
まったく同じことを、物理学風に時間𝑡の函数と考えると
このように書くことができます。
𝑡
𝑎𝑡
𝑎𝑡2
𝑎𝑡3
𝑎𝑡 𝑛
1
𝑎
2𝑎𝑡
3𝑎𝑡2
𝑎𝑛𝑡 𝑛−1
→
→
→
→
→
単に、
𝑑𝑓
𝑑𝑡
と書くことや
時間微分を
のように上にドットを
つけて書くこともあります。
𝑥
(ニュートンの記法)
(ライプニッツの記法)

75.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
コラム：ニュートンとライプニッツ
微積分学の創始者は二人居ます。
(実際にはNewtonの方が先だと私は考えていますが)
ニュートンとライプニッツが、ほぼ同時期に創始しました。
だから、今でもその名残で複数の記法が残っています。
ニュートンの記法よりも、
弟子をきちんと育てたライプニッツの記法が。
それに加え、解析力学の創始者ラグランジュの記法が、
現代数学では一般的です。
75

76.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
コラム：ニュートン、ライプニッツ、ラグランジュ
76
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716) ドイツ
初期の形式言語の考案者
でもある。この𝑑は、∆を
無限小にしたという意味。
(形式言語：プログラミング言語とか)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
１回微分: 二回微分:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
Sir Isaac Newton
(1642-1727) イギリス
Joseph-Louis Lagrange
(1736 – 1813) フランス
１回微分: 二回微分: 𝑓′(𝑥)１回微分: 二回微分:𝑓′′(𝑥)𝑥 𝑥
古典力学の創始者。ケプラー、
ガリレオ、デカルト、ホイヘン
スの洞察をもとに、力学原理と
して「運動の3法則」をまとめ
た。晩年は錬金術に没頭した。
オイラー(指導教員)と並ぶ
18世紀最大の数学者。解析
力学の創始者。マリー・アン
トワネットの数学教師でもあった。
※時間𝑡での微分の時のみ用いる。

77.
上から下へ微分、下から上へ積分
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠] 𝑣 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 2[𝑚/𝑠2
]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
3[𝑚]
6[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠]
速度𝑣[𝑚/𝑠]
6[𝑚/𝑠]
2[𝑚/𝑠]
𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑡 = 2𝑡
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
4[𝑚/𝑠2
]
3[𝑠]
0[𝑚/𝑠2
]
加速度𝑎[𝑚/𝑠2
]
6[𝑚/𝑠2]
2[𝑚/𝑠2
]
a = 0[𝑚/𝑠2
]
𝑣 = 2[𝑚/𝑠]
等速度運動 等加速度運動
77
微分
積分

78.
微積分超入門
２次函数
78

79.
微積分超入門
２次函数
0
3
6
9
0 1 2 3 4
0[𝑠] 2[𝑠]1[𝑠]
位置𝑥[𝑚]
1[𝑚]
4[𝑚]
9[𝑚]
3[𝑠]
0[𝑚]
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2
物理をやっていると、等加速度運動のとき、
𝑥 − 𝑡図で二次式が出てくることが分かりました。
0秒後 2秒後 3秒後1秒後
高さ𝒙 [m]
時間𝒕 [秒]
79
𝑥 = 𝑓 𝑡 = −
𝑔
2
𝑡2
+ 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
二次式とは、𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑓 𝑡 = 𝑎𝑡2
+ 𝑏𝑡 + 𝑐
のような、変数の右肩に乗った数値のうち、最大のものが2になるような数値を言います

80.
微積分超入門
２次函数
と、いうわけでここからは
「2次函数」について、深めていきたいと思います。
(実は、微分は、二次函数をあんまり理解していなくても、記号の計算さえできれば
理解できる！という構成になっていることに、上級者は注目して下さい。
微分において、大切なのは「傾き」の話しであり、傾きの話は1次函数で十分だからです)
80

81.
微積分超入門
「函数」って何でしたっけ？
第一章で函数について取り扱いをしました。
・函数とは、そもそも何だったでしょうか
・二次函数とは、どのような特徴を持つ函数でしょうか。
81
練習問題

82.
1を入れると 1が出てきます。
２を入れると 4が出てきます。
微積分超入門
「函数」って何でしたっけ？
・函数とは、
Inputがあり、Outputがある箱(函・BlackBox)
函は、Inputを加工しOutputにする機能を持つ。
・二次函数とは、
「入れた数を、自乗(2乗)して、」という機能を持つ。
82
3を入れると 9が出てきます。
入れたものを2乗して出力するよ！つまり、 𝑓 𝑥 = 𝑥2

83.
微積分超入門
「2次函数」の一般形
2次函数は、
ちょうど全ての1次函数が𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏と表せたように
一般的に、
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
と表せます。
例えば、 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 3という式は、
𝑎, 𝑏, 𝑐がそれぞれ𝑎 = 2, 𝑏 = 0, 𝑐 = 3の式です。
83

84.
微積分超入門
「2次函数」を描いてみよう
次の2次函数を描いてみよう
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
84
𝑓 0 =
𝑓 1 =
𝑓 2 =
𝑓 3 =
𝑓 4 =
𝑓 5 =
𝑓 −1 =
𝑓 −2 =
𝑓 −3 =
𝑓 −4 =
まずは代入してみよう
𝑥
𝑦
練習問題

85.
微積分超入門
「2次函数」を描いてみよう
次の2次函数を描いてみよう
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
85
𝑥
𝑦
𝑓 0 = 02
− 4 = −4
𝑓 1 = 12 − 4 = −3
𝑓 2 = 22
− 4 = 0
𝑓 3 = 32 − 4 = 5
𝑓 4 = 42
− 4 = 12
𝑓 5 = 52 − 4 = 21
𝑓 −1 = (−1)2
−4 = −3
𝑓 −2 = (−2)2
−4 = 0
𝑓 −3 = (−3)2
−4 = 5
𝑓 −4 = (−4)2−4 = 12
計算したものをプロットしてみよう

86.
微積分超入門
「2次函数」を描いてみよう
次の2次函数を描いてみよう
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
86
𝑓 0 = 02
− 4 = −4
𝑓 1 = 12 − 4 = −3
𝑓 2 = 22
− 4 = 0
𝑓 3 = 32 − 4 = 5
𝑓 4 = 42
− 4 = 12
𝑓 5 = 52 − 4 = 21
𝑓 −1 = (−1)2
−4 = −3
𝑓 −2 = (−2)2
−4 = 0
𝑓 −3 = (−3)2
−4 = 5
𝑓 −4 = (−4)2−4 = 12
プロットするとこうなる
𝑥
𝑦

87.
微積分超入門
「2次函数」を描いてみよう
次の2次函数を描いてみよう
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
87
𝑥
𝑦
𝑓 0.5 = 0.52
− 4 =
𝑓 1.5 = 1.52 − 4 =
𝑓 2.5 = 2.52
− 4 =
𝑓 3.5 = 3.52 − 4 =
𝑓 −0.5 = (−0.5)2−4 =
𝑓 −1.5 = (−1.5)2
−4 =
𝑓 −2.5 = (−2.5)2
−4 =
𝑓 −3.5 = (−3.5)2
−4 =
ちょっと大変ですが、もう少し計算しよう
練習問題

88.
微積分超入門
「2次函数」を描いてみよう
次の2次函数を描いてみよう
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
88
𝑓 0.5 = 0.52
− 4 = −3.75
𝑓 1.5 = 1.52 − 4 = −1.75
𝑓 2.5 = 2.52
− 4 = 2.25
𝑓 3.5 = 3.52 − 4 = 8.25
𝑓 −0.5 = (−0.5)2−4 = −3.75
𝑓 −1.5 = (−1.5)2
−4 = −1.75
𝑓 −2.5 = (−2.5)2
−4 = 2.25
𝑓 −3.5 = (−3.5)2
−4 = 8.25
計算してプロットするとこうなる
𝑥
𝑦

89.
微積分超入門
「2次函数」を描いてみよう
次の2次函数を描いてみよう
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
89
もし、0.01づつ𝑥を変えながらプロットすると
𝑥と𝑦の関係は左図のようになるはず！
𝑥
𝑦

90.
微積分超入門
「2次函数」にとって、大事なこと
2次函数の特徴的な量は、次の２つです。
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
90
・𝑥軸との交点。つまり𝑦 = 0の点
・頂点。つまり接線の傾き= 0の点。
なお、頂点を含む縦の軸で
左右対称になる。
𝑥
𝑦
まずは、頂点について
考えてみましょう。

91.
第２章：二次函数の標準式
次のような二次函数の式を求めてみてください。
91
ℎ 𝑥 =
従って、𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
のグラフを右に𝑝、上に𝑞動かした、
点(𝑝, 𝑞)を頂点とする二次函数の式
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
𝑞だけ上
𝑝だけ右
点(𝑝, 𝑞)
発展問題

92.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
(復習)１次関数に限らず、あらゆる𝑦 = 𝑓(𝑥)形式で書ける
函数で、 𝑓 𝑥 − 𝐴 が、グラフを𝑥軸のプラス方向に𝐴だけ移動
させたグラフになる。
92
𝑓 𝑥 ＝ 𝑔 𝑥 + 𝐴 𝑔 𝑥 ＝𝑓 𝑥 − 𝐴
𝑥1
𝑓(𝑥1)
𝑥1 + 𝐴
𝐴だけ右
上記のことを、第一章で学びました。

93.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
従って、2次函数でも、 𝑓 𝑥 − 𝑝 が、グラフを𝑥軸のプラス方
向に𝑝だけ移動させたグラフになるはずです。
いま𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2のグラフを
𝑝だけ右に移動させてたグラフ𝑔 𝑥 を考えてみましょう。
93
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
𝑝だけ右
単に𝑥に(𝑥 − 𝑝)を代入すれば良いわけですから
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑝 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2
𝑔 𝑥
𝑝だけ右

94.
第一章：位置と時間 １次関数と傾き
次に、𝑔 𝑥 のグラフを、上に𝑞だけ移動させた
グラフℎ 𝑥 を考えてみましょう。
１次関数を例に、函数𝑓 𝑥 を上に𝐴移動させるには𝑓 𝑥 + 𝐴
とすれば良いことを学びました。
94
単にℎ 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑞とすればよいので
ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞
𝑔 𝑥
𝑞だけ上
ℎ 𝑥

95.
第２章：二次函数の標準式
二次函数の標準式
95
ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞
従って、𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
のグラフを右に𝑝、上に𝑞動かした、
点(𝑝, 𝑞)を頂点とする二次函数は、ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2
+ 𝑞で表現できる。
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
𝑞だけ上
𝑝だけ右
点(𝑝, 𝑞)

96.
第２章：二次函数の標準式
二次函数の一般式と標準式
96
標準式：ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞
一般式：𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
はじめ、二次関数は次の一般式で書ける。
として話をスタートしました。先ほどの標準式との
「対応」を観てみましょう。
標準式を展開すると、ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2
+ 𝑞 = 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑝 𝑥 +𝑎𝑝2
+𝑞
一般式と比較すると、
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐

97.
第２章：二次函数の標準式
二次函数の一般式と標準式
97
𝑏
ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞
= 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑝 𝑥 +𝑎𝑝2
+𝑞
点(𝑝, 𝑞)
𝑐
標準式：𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞の方が、
一般式：𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐よりも、頂点が明示されている分、
「見て意味の分かる」優れた式だと言える。
一般式を与えられた時、標準式の形に変換できれば
「ものを考えやすい」

98.
第２章：二次函数の標準式
二次函数の一般式と標準式
98
ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞
= 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑝 𝑥 +𝑎𝑝2
+𝑞
点(𝑝, 𝑞)
せっかくなので、微分も使ってみましょう。
ℎ′ 𝑥 =
𝑑ℎ 𝑥
𝑑𝑥
=
練習問題

99.
第２章：二次函数の標準式
二次函数の一般式と標準式
99
ℎ 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞
= 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑝 𝑥 +𝑎𝑝2
+𝑞
点(𝑝, 𝑞)
せっかくなので、微分も使ってみましょう。
ℎ′ 𝑥 =
𝑑ℎ 𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑝 = 2𝑎 𝑥 − 𝑝
この時、頂点(𝑝, 𝑞)では接線の傾きはゼロのはず。
𝑥に𝑝を代入してℎ′ 𝑝 を計算すると、2𝑎 𝑝 − 𝑝 = 2𝑎 × 0 = 0

100.
微積分超入門
「2次函数」にとって、大事なこと
2次函数の特徴的な量は、次の２つでした。
100
・𝑥軸との交点。つまり𝑦 = 0の点
・頂点。つまり接線の傾き= 0の点。
なお、頂点を含む縦の軸で
左右対称になる。
𝑥
𝑦
次に、𝑥軸との交点。
つまり𝑦 = 0の点について
考えてみましょう。

101.
微積分超入門
「2次函数」にとって、大事なこと
2次函数のグラフとの交点について
101
𝑥
𝑦 𝑦 = 0の点について
考えてみましょう。
これは、
𝑓(𝑥) = 0
となるような、𝑥の値を
求めればよいことに
なります。
ここで「２次方程式」
について見てみましょう

102.
ホントはあんまりアタマを使わずに解くため
に考えだされたのが「二次方程式」！
方程式は「形式的」に解ける！その２！
102

103.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を解くには？
【注意】
二次方程式も、同じように簡単ですが、
文字式の計算、例えば
(𝐴𝑥 + 𝐵)2= 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
等に習熟して居ないと、
文字式の計算でつまづく可能性があります。
103

104.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を解くには？
例えば、次のような、未知数(この場合は𝑥)の右肩に2が乗っている
方程式を、二次方程式と言います。
0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
これは、例えば𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑐 = −7のとき、
0 = 𝑥2 − 6𝑥 − 7
となりますが、この操作手順を守っても、それだけでは解けません。
レベルが上ったので、解くためには新しい知識が必要です。
操作手順：
• 「＝」の両側に、同じ操作をする。
• 同じ操作とは、同じ数を足したり掛けたりすること。
• 同じ操作とは、同じ数で割ったり引いたりすること。
104

105.
𝑦
𝑥𝑥その1 𝑥その2
𝑦
𝑥𝑥
その1
𝑥
その2
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を解くには？
二次方程式の「解」は、次のようなイメージ
を持つと
わかりやすいです。
一般的に、𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐このグラフは、
放物線を描くことが知られています。
この放物線を描くグラフと
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵の直線を描くグラフの交点や、
放物線同士の交点が
二次方程式の解となります。
105

106.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を解くには？
放物線と直線の交点が二次方程式の解と聴くと、
図を見ながら直感的に、放物線と直線の位置関係によって、
以下の３つが有りそうでは無いでしょうか。
その通りです。
①解が2つある時（放物線と直線が交わる時）
②解が1つある時（放物線と直線が接する時）
③解が無い時（放物線と直線が交わらない時）
𝑦
𝑥
①
②
③
106

107.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を解くには？
ちなみに、(左辺)も(右辺)も両方放物線の時も、考え方は同じです。
結局、 (左辺) = (右辺)
の場合、両辺から(右辺)を引くと、
左辺 − (右辺) = 0
となるような、二次(以下の)方程式となるはずです。
この式全体をあらためて、𝑦 = { 左辺 − (右辺)} = 0
と置いてみましょう。
107

108.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を解くには？
𝑦 = { 左辺 − (右辺)} = 0 の式で、
𝑦 = 0 が意味するのは、 𝑥軸と接する ということですから、
そのような𝑥を求めればいいということになります。
この時も、パターンは３つです。
108
𝑦
𝑥
𝑥その1 𝑥その2
𝑦
𝑥
唯一の𝑥
𝑦
𝑥
解なし

109.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
方程式の良い所は「機械的にやれば、アホでも解ける」ことでした。
二次方程式になっても、それは変わりません。
放物線とか放物線じゃないとか気にせず、
機械的に、アホでも、解くことができます。
その為にまず、目標の修正をします。
一次方程式の目標：
・ 未知数𝑥 = (𝑥を含まない数や数式)
という形を目指します。
二次方程式の目標：
・ (a𝑥 + 𝑏)2= (𝑥を含まない数や数式)
という形を目指します。
109

110.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
目標を変えました。何故なら上の形まで変われば、
(A𝑥 + 𝐵)2= 𝑥を含まない数や数式
↔ 𝐴𝑥 + 𝐵 = ± (𝑥を含まない数や数式)
のようになるからです。
ここまで来れば、「√が入ったプチ複雑なふつーの方程式」として
𝑥について解くことができます。
二次方程式の目標：
・ (𝐴𝑥 + 𝐵)2= (𝑥を含まない数や数式)
という形を目指します。
110

111.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
具体的には、こうなるはずです。
𝐴𝑥 + 𝐵 = ± (𝑥を含まない数や数式)
↔ 𝐴𝑥 = −𝐵 ± (𝑥を含まない数や数式)
↔ 𝑥 =
−𝐵 ± (𝑥を含まない数や数式)
𝐴
111

112.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
「目標」の左辺を展開してみましょう。
形は複雑ですが、本質的には(𝐴 + 𝐵)2と変わりません。
(𝐴𝑥 + 𝐵)2= 𝐴𝑥 + 𝐵 × (𝐴𝑥 + 𝐵)
= 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
この時、もともと解きたかった方程式を思い出してみましょう。
0 = 𝑥2 − 6𝑥 − 7
二次方程式の目標：
・ (𝐴𝑥 + 𝐵)2= (𝑥を含まない数や数式)
という形を目指します。
112

113.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
(𝑥を含まない数式) = 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
0 = 𝑥2 − 6𝑥 − 7
目指している姿(上の式)と、
今解きたい式(下の式)を見比べてみましょう。
𝑥2を持つ項から検討します。
(𝑥を含まない数式) = 𝐴2
𝑥2
+ 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
0 = 𝑥2 − 6𝑥 − 7
𝐴2 = 1
しかない
2𝐴𝐵 = −6
しかない
113

114.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
(𝑥を含まない数式) = 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
0 = 𝑥2
− 6𝑥 − 7
従って、 𝐴 = ±1
𝐴 = 1の時, 2𝐴𝐵 = 2𝐵 = −6より、𝐵 = −3
𝐴 = −1の時, 2𝐴𝐵 = −2𝐵 = −6より、𝐵 = −3
𝐵 = ±3の時, 𝐵2 = 9
これらを丁寧に見比べると、
𝐴2
= 1
しかない
2𝐴𝐵 = −6
しかない
114

115.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
(𝑥を含まない数式) = 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
0 = 𝑥2
− 6𝑥 − 7
従って、 𝐴 = ±1
𝐴 = 1の時, 2𝐴𝐵 = 2𝐵 = −6より、𝐵 = −3
𝐴 = −1の時, 2𝐴𝐵 = −2𝐵 = −6より、𝐵 = 3
𝐵 = ±3の時, 𝐵2 = 9
整理すると、𝐴と𝐵は 𝐴, 𝐵 = 1, −3 または(−1,3)
𝐴2
= 1
しかない
2𝐴𝐵 = −6
しかない
115

116.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
(𝑥を含まない数式) = 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
0 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 16
𝐴と𝐵は 𝐴, 𝐵 = 1, −3 または(−1,3)を用いて目標に戻ると
(𝐴𝑥 + 𝐵)2
は、(𝑥 − 3)2
𝑜𝑟(−𝑥 + 3)2
と書き直せる。
これは、計算結果は同じで
(𝑥 − 3)2= 𝑥2 − 6𝑥 + 9
(−𝑥 + 3)2
= 𝑥2
− 6𝑥 + 9
となるので、次のようにできる。
二次方程式の目標：
・ (𝐴𝑥 + 𝐵)2= 𝑥を含まない数や数式 を目指す。
116

117.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
(𝑥を含まない数式) = 𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
0 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 16
下の式より、一次方程式と同じように両辺に16を足すと
16 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
この時右辺は(𝑥 − 3)2 𝑜𝑟(−𝑥 + 3)2であったから、符号も織り込んで
(𝑥 − 3)2
= 16
となるので、次のようにできる。
𝑥 − 3 = ±4
従って、両辺に3を足して、𝑥 = −1, 7の2つ解を持つこととなる。
117

118.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
ここで、操作手順を確認します。新しく１つやりました。
これで、さらに武器が増えました。
目標も確認します。
二次方程式の目標：
・ (𝐴𝑥 + 𝐵)2
= 𝑥を含まない数や数式 を目指す。
・この目指す姿(左辺)を展開すると
𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2 = (𝑥を含まない数や数式)
操作手順：
• 「＝」の両側に、同じ操作をする。
• 同じ操作とは、同じ数を足したり掛けたりすること。
• 同じ操作とは、同じ数で割ったり引いたりすること。
• 同じ操作とは、両辺を自乗したり、ルート(平方根)をつけたりすること。[new!]
118

119.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
その②：「解の公式」
二次方程式の目標：
・ (𝐴𝑥 + 𝐵)2
= 𝐶を目指す。
・この目指す姿(左辺)を展開すると
𝐴2
𝑥2
+ 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2
= 𝐶
119
↔ 𝑥 =
−𝐵 ± 𝐶
𝐴
ところで 𝑥を含まない数や数式 を𝐶と置くと次のように書けます。
この𝑥を展開すると、
になることを先ほど確認しました。
もし、𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
という一般式を、この形にしてしまえば、どうなるでしょう？
質問を言い換えるなら、「𝐴, 𝐵, 𝐶という記号を利用せず」
「すべてa, 𝑏, 𝑐, 𝑥のみの式にする」とどうなるか？です。
発展問題

120.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
その②：「解の公式」
120
まず、
(𝐴𝑥 + 𝐵)2−𝐶 = 0 … (式①)
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 … (式②)
この2つの式を対応させれば良いことになります。
式①を展開すると、
𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2 − 𝐶 = 0
これと、式②を見比べてみます。

121.
余談②：方程式は形式的に解ける
「二次」方程式を機械的に解くには？
𝐴2 𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥 + 𝐵2 − 𝐶 = 0 … (式①)
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 … (式②)
𝐴2
= 𝑎 2𝐴𝐵 = 𝑏
121
𝐵2 − 𝐶 = 𝑐
よって、これらの式について𝐴, 𝐵, 𝐶を
𝑎, 𝑏, 𝑐を使って定めればいい
𝐴2 = 𝑎 … (③式)
2𝐴𝐵 = 𝑏... (④式)
𝐵2
− 𝐶 = 𝑐 … (⑤式)

122.
余談②：方程式は形式的に解ける
𝐴, 𝐵, 𝐶を𝑎, 𝑏, 𝑐を使って定める
122
𝐴2 = 𝑎 … (③式)
2𝐴𝐵 = 𝑏... (④式)
𝐵2 − 𝐶 = 𝑐 … (⑤式)まず、 ③式より
𝐴 = ± 𝑎
これを④式に代入すると2𝐴𝐵 = 𝑏から2 × ± 𝑎 × 𝐵 = 𝑏
よって、
𝐵 =
𝑏
2 ± 𝑎
この𝐵を⑤式に代入すると𝐵2 − 𝐶 = 𝑐 より
𝑏2
4𝑎
− 𝐶 = 𝑐から𝐶 =
𝑏2
4𝑎
− 𝑐 =
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
この𝐴, 𝐵, 𝐶を元の式
に戻すと
𝑥 =
−𝐵 ± 𝐶
𝐴
=
−
𝑏
2 ± 𝑎
±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
± 𝑎

123.
余談②：方程式は形式的に解ける
𝐴, 𝐵, 𝐶を𝑎, 𝑏, 𝑐を使って定める
123
この式を綺麗にすると
𝑥 =
−𝐵 ± 𝐶
𝐴
=
−
𝑏
2 ± 𝑎
±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
± 𝑎
= −
𝑏
2 ± 𝑎
1
± 𝑎
±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
1
± 𝑎
= −
𝑏
2𝑎
∓
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2 𝑎
1
𝑎
= −
𝑏
2𝑎
∓
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
解の公式！

124.
余談②：方程式は形式的に解ける
この「解の公式」の意味は何か？
124
この式
が、主張しているのは、次のことである。
「𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0の式があったとき、
それを満たす𝑥の値は である。
マジで？
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

125.
余談②：方程式は形式的に解ける
ほんとにそうか？知ってるグラフで検算しよう
125
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4
𝑥
𝑦 この式は、 𝑥 = 2, 𝑥 = −2の時が解
このグラフの式𝑥2 − 4は、
𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −4の式である。
代入するとどうなるでしょう？
「𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0の式があったとき、
それを満たす𝑥の値が
練習問題

126.
余談②：方程式は形式的に解ける
ほんとにそうか？知ってるグラフで検算しよう
126
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4
𝑥
𝑦 この式は、 𝑥 = 2, 𝑥 = −2の時が解
このグラフの式𝑥2 − 4は、
𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −4 の式である。
代入すると
「𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0の式があったとき、
それを満たす𝑥の値が
−0 ± 02 − 4 × 1 × (−4)
2 × 1
=
± 16
2
= ±2
ホントだった！

127.
余談②：方程式は形式的に解ける
式の意味は、図にするとどういう意味でしょう
𝑥
●𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐のグラフ、
𝑓 𝑥 = 0となるような方程式の
解𝑥が
で与えられる時、
グラフをヒントにすると、
式とグラフの対応は
どのように
考えられるでしょうか。
練習問題
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

128.
余談②：方程式は形式的に解ける
式の意味を確かめよう！
128
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
●もし、𝑏 = 0だったら、どんなグラフになりそうでしょうか。
●もし、 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0だったら、どんなグラフでしょうか。
●もし、 𝑏2 − 4𝑎𝑐の中身が、負だったら、どんなグラフでしょうか。
練習問題

129.
余談②：方程式は形式的に解ける
式の意味は、図にするとこれだ！
𝑥
𝑥1 =
−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1𝑥2 𝑥 𝑐
●𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐のグラフは、
𝑥 𝑐 =
−𝑏
2𝑎
を通る縦軸を中心軸とし
そこから左右に ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
だけ
離れた点が𝑥軸との交点となる
グラフである。

130.
余談②：方程式は形式的に解ける
従って
130
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
●もし、𝑏 = 0だったら、どんなグラフになりそうでしょうか。
→ 𝑦軸を対称軸としたグラフ
●もし、 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0だったら、どんなグラフでしょうか。
→右の交点＝左の交点なので、1点で接する場合
●もし、 𝑏2 − 4𝑎𝑐の中身が、負だったら、どんなグラフでしょうか。
→𝑥軸との交点が存在しない場合。
この式の中身で交点の有無が決まるので「判別式D」と呼ぶ

131.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を解きましょう
131
● 𝑥2 − 9 = 0
●2𝑥2 + 2𝑥 = −𝑥 + 9
練習問題

132.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を解きましょう
132
● 𝑥2 − 9 = 0
これは解の公式を使わなくてもそのまま
解いた方がはやい。ただし±に注意。
𝑥 = ±3
●2𝑥2 + 2𝑥 = −𝑥 + 9
↔ 2𝑥2 + 3𝑥 − 9 = 0
これを、解の公式で解くか
「方針」に従って解くと、
𝑥 = −3, 𝑥 = 1.5
↔ (𝑥 + 3)(2𝑥 − 3)

133.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を解きましょう
133
● 2𝑥2 − 20𝑥 + 50 = 0
● 6𝑥2 − 21𝑥 + 15 = 0
練習問題

134.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を解きましょう
134
● 2𝑥2 − 20𝑥 + 50 = 0
↔ 2 𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
↔ 2(𝑥 − 5)2 = 0
のように式変形すると、
𝑥 = 5の時しか0になれないことがわかる。
一点で交わるタイプ。
● 6𝑥2
− 21𝑥 + 15 = 0
解の公式で解くと
𝑥 =
−21 ± (21)2−4 × 6 × 15
2 × 6
=
−21 ± 441 − 360
12
=
−21 ± 81
12
=
−7 ± 3
4
より、𝑥 = −1, と −
5
2

135.
余談②：方程式は形式的に解ける
実は「解を持つ」2次方程式には、楽ちんな解き方がある！
135
この問題を思い出そう
● 2𝑥2
− 20𝑥 + 50 = 0
↔ 2 𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
↔ 2(𝑥 − 5)2 = 0
のように式変形すると、
𝑥 = 5の時しか0になれないことがわかる。
一点で交わるタイプ。
実は(𝐴𝑥 + 𝐵)2 = 0となる時、
の中身が0、つまり 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0の時しか、
ということは、𝑥 = −
𝐵
𝐶
の時しか = 0になれないこと、わかりますか？

136.
余談②：方程式は形式的に解ける
実は「解を持つ」2次方程式には、楽ちんな解き方がある！
136
同じように
𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 + 𝐶 = 0
となるような時について、考えてみましょう。
ただし、 𝐴 = 0だと、 𝑥の値に関わらず、常に0となるため
そもそも2次方程式と言えないので、 𝐴 ≠ 0とします。
すると、
このとき、 𝑥 + 𝐵 = 0, または 𝑥 + 𝐶 = 0でなければ、
この式は絶対に= 0にならないことを、確認してください。
𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 + 𝐶 = 0
練習問題

137.
余談②：方程式は形式的に解ける
実は「解を持つ」2次方程式には、楽ちんな解き方がある！
137
このとき、
𝑥 + 𝐵 = 0ならば、 𝑥 = −𝐵の時が解
𝑥 + 𝐶 = 0ならば、 𝑥 = −𝐶の時が解と言えそうです。
つまり、与えられた方程式を
𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 + 𝐶 の形に分解さえできれば、
自動的に解は、 𝑥 = −𝐵, −𝐶と定まるのです。
マイナスがちょっと面倒なので、 𝐵, 𝐶に、
それぞれマイナスで置き換えると、次のようになります。
𝐴 𝑥 − 𝐵 𝑥 − 𝐶 の形に分解すると、解は、 𝑥 = 𝐵, 𝐶

138.
余談②：方程式は形式的に解ける
実は「解を持つ」2次方程式には、楽ちんな解き方がある！
138
また、 𝐴は𝑥を含まない数値なので
もし𝐴を使わずに書くと、例えば次のようにも書けます
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 = 0
𝑎𝑥 − 𝑏 = 0ならば、 𝑥 =
𝑏
𝑎
の時が解
𝑐𝑥 − 𝑑 = 0ならば、 𝑥 =
𝑑
𝑐
の時が解
と言えそうです。
こちらの方が、より一般的なので、
こちらで考えてみましょう。

139.
余談②：方程式は形式的に解ける
実は「解を持つ」2次方程式には、楽ちんな解き方がある！
139
次の式を展開してみましょう
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 = 0
練習問題

140.
余談②：方程式は形式的に解ける
実は「解を持つ」2次方程式には、楽ちんな解き方がある！
140
次の式を展開してみましょう
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 = 0
= 𝑎𝑐𝑥2
− 𝑎𝑑𝑥 − 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑
= 𝑎𝑐𝑥2 − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑
この式と、与えられた式を突合して、
形式を合わせてあげれば
機械的に解ける、ということになります。

141.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
141
● 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0
練習問題

142.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
142
● 6𝑥2 − 21𝑥 + 15 = 0
練習問題

143.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
143
𝑎𝑥 − 𝑏
𝑎𝑐𝑥2
+ 𝑏𝑑
× 𝑐𝑥 − 𝑑

144.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
144
𝑎𝑥 − 𝑏
𝑎𝑐𝑥2
+ 𝑏𝑑 −(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥
−𝑏𝑐𝑥
−𝑎𝑑𝑥× 𝑐𝑥 − 𝑑

145.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
145
𝑎𝑥 − 𝑏
𝑎𝑐𝑥2
+ 𝑏𝑑 −(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥
−𝑏𝑐𝑥
−𝑎𝑑𝑥× 𝑐𝑥 − 𝑑
𝑥2
− 15 + 2𝑥
●𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0
𝑎 = 1, 𝑏 = −3
𝑐 = 1 𝑑 = 5 でいけそう。
すなわち、 𝑥 − 3 𝑥 + 5

146.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
146
𝑎𝑥 − 𝑏
𝑎𝑐𝑥2
+ 𝑏𝑑 −(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥
−𝑏𝑐𝑥
−𝑎𝑑𝑥× 𝑐𝑥 − 𝑑
6𝑥2
+ 15 − 21 𝑥
● 6𝑥2 − 21𝑥 + 15 = 0

147.
余談②：方程式は形式的に解ける
次の２次方程式を 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑐𝑥 − 𝑑 の形にしてみてください
147
𝑎𝑥 − 𝑏
𝑎𝑐𝑥2
+ 𝑏𝑑 −(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥
−𝑏𝑐𝑥
−𝑎𝑑𝑥× 𝑐𝑥 − 𝑑
6𝑥2
+ 15 − 21 𝑥
● 6𝑥2 − 21𝑥 + 15 = 0
𝑎 = 1, 𝑏 = 1
𝑐 = 6, 𝑑 = −15 でいけそう。
すなわち、 𝑥 + 1 6𝑥 − 15

148.
以下、メモ

149.
余談②：方程式は形式的に解ける
連立方程式を解くには？
次に、連立方程式の話をします。
連立方程式とは「式が2つ以上」「未知数が2つ以上」
のものを言います。
一番簡単な普通の方程式は
操作手順：
• 「＝」の両側に、同じ操作をする。
• 同じ操作とは、同じ数を足したり掛けたりすること。
• 同じ操作とは、同じ数で割ったり引いたりすること。
目標：
・ 未知数𝑥 = (𝑥を含まない数や数式)
という形を目指します。
149

150.
微積分超入門
𝑥軸との交点。つまり𝑦 = 0の点を考える戦略
4パターンのうち、
・上下は𝑎の ±だけの問題であること
・ 𝑥が1つしかないのは、 2つある場合の特殊な場合だから、
このパターンを扱うことにする。
𝑦
𝑥
𝑥その1 𝑥その2
𝑦
𝑥
𝑥その1 𝑥その2
・ さらに、𝑦軸に対し、左右対称なものを扱い、
他のパターンは後で平行移動すればよい、と考えることとする。

151.
微積分超入門
2次函数における、𝑥軸との交点
2次函数の一般式𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐に対し、
151
𝑥
𝑦軸を対称軸として
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 0となる点Rと点S
が存在する時について考えて
みましょう (存在しないことがある)
点Rと点Sの座標は、
点Rの𝑥座標を𝑟、
点Sの𝑥座標を − 𝑟(左右対称)
次のように置けるはずです。
点R 𝑟, 0 、点S −𝑟, 0
を元の式に戻してみましょう。
点S −𝑟, 0 点R 𝑟, 0
頂点
𝑦
※これから𝑥と𝑟だけの式で表現したいと思っている

152.
微積分超入門
2次函数における、𝑥軸との交点
2次函数の一般式𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐に対し、
※今回は、頂点が分かってないので一般式を使います。
152
𝑥
𝑦 ・点R 𝑟, 0 を代入
0 = 𝑓 𝑟 = 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐
・点S −𝑟, 0 を代入
0 = 𝑓 −𝑟 = 𝑎(−𝑟)2 + 𝑏 −𝑟 + 𝑐
= 𝑎𝑟2 − 𝑏𝑟 + 𝑐
いま、
0 = 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐
0 = 𝑎𝑟2 − 𝑏𝑟 + 𝑐
𝑟 ≠ 0
より
𝑏 = 0, 𝑐 = −𝑎𝑟2
が計算できる。
一方、この二次函数の頂点は
どう求められるだろう？
点S −𝑟, 0 点R 𝑟, 0

153.
微積分超入門
2次函数における、𝑥軸との交点
2次函数の一般式𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐に対し、
※今回は、頂点が分かってないので一般式を使います。
153
𝑥
𝑦 一方、この二次函数の頂点は、
図から確認すると、
𝑥 = 0の時の𝑦の値𝑓(0)となるはず。
𝑓 0 = 𝑐 より、
頂点 0, 𝑓(0) = 0, 𝑐 ※図だと 𝑐は負の値だ
ここで頂点(𝑝, 𝑞)を持つ二次函数は
𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2
+ 𝑞と書けるから
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑐
先ほど
𝑐 = −𝑎𝑟2
を代入して
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2−𝑎𝑟2= 𝑎 𝑥2 −𝑟2
= 𝒂(𝒙 − 𝒓)(𝒙 + 𝒓)
点S −𝑟, 0 点R 𝑟, 0
頂点 = 0, 𝑐 = 0, −𝑎𝑟2

154.
微積分超入門
2次函数における、𝑥軸との交点
整理しよう。
154
𝑥
𝑦 以上より点Rの 𝑟, 0 , 点S −𝑟, 0
を通る二次函数は、
次のように書ける。
𝑓 𝑥 = 𝒂(𝒙 − 𝒓)(𝒙 + 𝒓)
点S −𝑟, 0 点R 𝑟, 0
頂点 = 0, −𝑎𝑟2

155.
微積分超入門
2次函数における、𝑥軸との交点
整理しよう。
155
𝑥
𝑦 次に、この函数
𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑟)(𝑥 + 𝑟)
を右に𝑝、上に𝑞だけ動かす時、
動かした後の函数は
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑝 + 𝑞
これを計算すると、
頂点 = 0, −𝑎𝑟2
頂点 = (𝑝, 𝑞−𝑎𝑟2
)

156.
微積分超入門
2次函数における、𝑥軸との交点
156
𝑥
𝑦 頂点の座標を求めるために、
まず頂点の𝑥座標について
考えてみましょう。
頂点の𝑥座標は点Rと点Sの
中間の点ですから、
𝑥座標 =
𝑟 + 𝑠
2
になるはずです。
ということは、頂点座標は
(𝑥, 𝑦) = (
𝑟 + 𝑠
2
, 𝑓
𝑟 + 𝑠
2
)
点R 𝑟, 0 点S 𝑠, 0
頂点

157.
微積分超入門
「2次函数」の操作
1次函数で、次のことを学びました。
157
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑏 𝑎
1
𝑓 𝑥 の図を、1だけ右に動かすには、
𝑓 𝑥 − 1 にすればよい。
同じように、
𝑓 𝑥 の図を、𝐴だけ右に動かすには、
𝑓 𝑥 − 𝐴 にすればよい。
𝑏 − 𝑎
1
では、二次函数で𝑓 𝑥 − 𝐴 すると、どうなるのでしょうか？

158.
微積分超入門
「2次函数」の操作
二次函数で𝑓 𝑥 − 𝐴 すると、どうなるのでしょうか？
158
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓 𝑥 − 𝐴 = 𝑎 × (𝑥 − 𝐴)2 +𝑏(𝑥 − 𝐴) + 𝑐

159.
微積分超入門
𝑥軸との交点。つまり𝑦 = 0の点を考える戦略
「𝑥軸と交点を持つ」ということについて考えてみましょう。
次の6パターンのうち、4パターンしかない。
159
𝑦
𝑥
𝑥その1 𝑥その2
𝑦
𝑥
唯一の𝑥
𝑦
𝑥
交点なし
𝑦
𝑥
𝑥その1 𝑥その2
𝑦
𝑥
唯一の𝑥
𝑦 𝑥
交点なし