SETOR A                                                       ÍNDICE-CONTROLE DE ESTUDO                                   ...
55                          LOGARITMOS: EXERCÍCIOS  Há inúmeras situações problemáticas em que a                  c)	N(t) ...
1Potências de i com                                                  b)	(1 + i)10 = [(1 + i)2]5expoente natural           ...
57                             Números complexos (Divisão – Igualdade)1Números complexos                                  ...
58                                   Números complexos (MÓDULO)    Plano de Argand-gauss                                  ...
16                   Im                                              b)	Obtenha |z|, sabendo que – =                      ...
Exemplo:                                                     b)	z = –1 + i  Consideremos o número z = 1 + 3 i.  Temos:   ...
Caderno de exercícios – unidade III  TAREFA MÍNIMA                                                        TAREFA COMPLEMEN...
z = 2 (cos 30° + i sen 30°)  z3 = 23 cos 3 ⋅      ( π ) + i sen (3 ⋅ π )                         6                6       ...
2o modo    Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1    (x + yi)2 = 4i    x2 – y2 + 2xyi = 4i      x2 – y2 = 0    14243       ...
Assim, por exemplo, com P(x) = x2 – x – 2, temos              2.	 Sabe-se que existem constantes a e b, tais queP(1) = –2,...
63                          Polinômios: divisão (método da chave)   Dados os polinômios P(x) e D(x), nos quais D(x)       ...
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Números complexos

  1. 1. SETOR A ÍNDICE-CONTROLE DE ESTUDO Aula 55 (pág. 44) AD TM TC Aula 56 (pág. 44) AD TM TC Aula 57 (pág. 46) AD TM TC Aula 58 (pág. 47) AD TM TC Aula 59 (pág. 48) AD TM TC Aula 60 (pág. 50) AD TM TC Aula 61 (pág. 50) AD TM TC Aula 62 (pág. 52) AD TM TC Aula 63 (pág. 54) AD TM TC Terceirão – Caderno 6 – Código 830371610 Professor:TERCEIRÃO 43 SISTEMA ANGLO DE ENSINO
  2. 2. 55 LOGARITMOS: EXERCÍCIOS Há inúmeras situações problemáticas em que a c) N(t) = 141 (Dado: 2 ≈ 1,41)variável ou a incógnita ocorre no expoente de uma 50 ⋅ 2t = 141potência. Nesses casos, a teoria dos logaritmos for-nece recursos adequados para a busca de soluções. 50 ⋅ 2t = 100 ⋅ 1,41 50 ⋅ 2t = 100 ⋅ 2 2t = 2 ⋅ 2 1 2t = 21 ⋅ 2 2 1 t=1+ 2Em análises de crescimento populacional é comumindicar o número N de elementos de uma população Resposta: 1,5no instante t pela notação N(t). Dado que, numa dadapopulação, N(t) = 50 ⋅ 2t, obtenha t, tal que: d) N(t) = 150 (Dado: log 3 ≈ 1,58 ⋅ log 2) a) N(t) = 50 50 ⋅ 2t = 150 2t 50 ⋅ = 50 log 3 2t = 3 ∴ t = log2 3 = = 1,58 2t = 1 ∴ t = 0 log 2 Resposta: 0 Resposta: 1,58 b) N(t) = 100 50 ⋅ 2t = 100 2t = 2 ∴ t = 1 Caderno de exercícios – unidade II Resposta: 1 TAREFA MÍNIMA Faça o exercício 23 – série 8. TAREFA COMPLEMENTAR Faça os exercícios 22 e 26 – série 8. 56 NÚMEROS COMPLEXOS (FORMA ALGÉBRICA) Número complexo é todo aquele da forma a + bi Observaçõescom a ∈  e b ∈ , sendo i a unidade imaginária de- 1. O conjunto dos números reais é um subconjunto dofinida de tal forma que i2 = –1. conjunto dos números complexos, isto é,  ⊂ C. O número a chama-se parte real do complexo e é 2. Dado o número complexo z = a + bi, temos:indicada por Re(z); o número b chama-se parte ima- a) z é um número real se e somente se b = 0.ginária do complexo e é indicada por Im(z). b) z é um número imaginário puro, se e somente se, a = 0 e b ≠ 0.SISTEMA ANGLO DE ENSINO 44 TERCEIRÃO
  3. 3. 1Potências de i com b) (1 + i)10 = [(1 + i)2]5expoente natural = (2i)5 = 25 ⋅ i5 Quanto às potências de i, temos: = 32i i0 = 1 i1 = i i2 = – 1 3. Dados os números z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – i, i3 = i2 ⋅ i = – i obtenha: i4 = i2 ⋅ i2 = 1 a) z1 + z2 = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i Sendo i a unidade imaginária, n um número in-teiro maior que 4 e r o resto da divisão de n por 4,temos: b) z1 – z2 = 2 + 3i – (1 – i) = 2 + 3i – 1 + i n 4 ⇒ n=4⋅q+r = 1 + 4i r q Daí: c) z1 ⋅ z2 = (2 + 3i)(1 – i) in = i4q + r = i4 ⋅ q ⋅ ir = (i4)q ⋅ ir = 1q ⋅ ir = ir = 2 – 2i + 3i – 3i2ou seja: in = ir = 2 – 2i + 3i + 3 =5+i2Operações comnúmeros complexos 4. Sendo z1 = 1 – i e z2 = 2 + xi, x ∈ , obtenha x para que z1 ⋅ z2 seja real. As operações de adição, subtração e multipli- z1 ⋅ z2 = (1 – i)(2 + xi)cação seguem as regras da álgebra, lembrando quei2 = –1. = 2 + xi – 2i – xi2 = 2 + xi – 2i + x = (2 + x) + (x – 2)i z1 ⋅ z2 real → x – 2 = 0 ∴ x=2 1. Complete: 5. Resolva em  a equação x2 + 9 = 0 a) i0 = 1 x2 = –9 ∴ x2 = 9i2 ∴ x =  3i b) i1 = i S = {3i, –3i} c) i2 = –1 d) i3 = i2 ⋅ i = –i e) i4 = i2 ⋅ i2 = 1 f) i19 = i3 = –i Caderno de exercícios – unidade III 19 4 3 4 TAREFA MÍNIMA Faça os exercícios 1 e 2 (até d) – série 11. 2. Calcule: TAREFA COMPLEMENTAR a) (1 + i)2 = 12 + 2 ⋅ i + i2 = 2i Faça os exercícios 4 e 5 – série 11.TERCEIRÃO 45 SISTEMA ANGLO DE ENSINO
  4. 4. 57 Números complexos (Divisão – Igualdade)1Números complexos b) i =conjugados 2–i i(2 + i) 2 Chama-se conjugado do número complexo = = 2i + i 2 = 2–i (2 – i)(2 + i) 2z = x + yi, {x, y} ⊂ R, o número indicado por –, tal que z – = x – yi –1 + 2i 1 2 z = =– + i 5 5 52 divisão de Números complexos Dados os números complexos z1 = a + bi ez2 = c + di, z2 ≠ 0, o número z quociente de z1 por z2 2. Determine os reais x e y tais que:é indicado por 2x + (y – 1)i = 8 + 3i z 2x = 8 ∴ x = 4 123 z= 1 (I) z2 y–1=3 ∴ y=4 Obtém-se a forma algébrica de z do seguinte modo: Resposta: x = 4 e y = 4a) Toma-se o conjugado de z2, isto é, –2 = c – di. zb) Multiplicam-se o numerador e o denominador de (I) por –2. z 3. Obtenha z tal que 2z + – = 3i. z3Igualdade entrenúmeros complexos Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1 Então: a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d 2 ⋅ (x + yi) + x – yi = 3i {a, b, c, d} ⊂  2x + 2yi + x – yi = 3i 3x = 0 ∴ x = 0 123 3x + yi = 0 + 3i ⇒ y=3 Logo, z = 3i 1. Calcule: 2 + 3i a) = 1+i (2 + 3i)(1 – i) 2 = = 2 – 2i2+ 3i – 3i = 2 (1 + i)(1 – i) 1 –i 5+i 5 i = = + 2 2 2 Caderno de exercícios – unidade III TAREFA MÍNIMA Faça os exercícios 6 e 7 – série 11. TAREFA COMPLEMENTAR Faça os exercícios 3 e 8 – série 11.SISTEMA ANGLO DE ENSINO 46 TERCEIRÃO
  5. 5. 58 Números complexos (MÓDULO) Plano de Argand-gauss || z z c) z1 = | 1 |1 (z2 ≠ 0) 2 | z2 | Vamos associar a cada número complexo z = x + yi,{a, b} ⊂ , o par ordenado (x, y). Assim, no plano de d) | zn | = | z |n (n ∈ )Argand-Gauss ou plano complexo, no qual o eixo e) | z1 + z2 | < | z1 | + | z2 |das abscissas é o eixo real e o das ordenadas é o eixoimaginário, o número z = x + yi será identificado peloponto P(x, y), chamado afixo de z. Im (eixo imaginário) y P (afixo de z) 1. Calcule: a) |3 + 4i| = = 32 + 42 =  25 = 5 b) |2 – i| = 0 x Re (eixo real) = 22 + (–1)2 =  52Módulo de um c) |i| =número complexo = |0 + i| = 02 + 12 = 1 Chama-se módulo de um número complexoz = x + yi, {x, y} ⊂ , o número real não negativo, indi- 2. Sendo z = 4 + yi, y ∈ , obtenha y tal que |z| = 5.cado por |z|, tal que | z | =  x2 + y2 , ou seja, a distân- |z| = 5cia do afixo P de z até a origem zero. O módulo também será indicado pela letra grega ρ. 42 + y2 = 5 Im 16 + y2 = 25 y=3 123 y2 = 9 ou P y = –3 y Resposta: y = –3 ou y = 3 3. Sendo x e y variáveis reais, esboce no plano com- plexo o lugar geométrico dos afixos dos números 0 x Re z = x + yi tais que |z – 2| = |z|. |x + yi – 2| = |x + yi|3 Propriedades do módulo |(x – 2) + yi| = |x + yi| Sendo z, z1 e z2 números complexos, tem-se: (x – 2)2 + y2 = x2 + y2a) z ⋅ – = | z | 2 z x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 –4x + 4 = 0 ∴ x = 1b) | z1 ⋅ z2 | = | z1 | ⋅ | z2 |TERCEIRÃO 47 SISTEMA ANGLO DE ENSINO
  6. 6. 16 Im b) Obtenha |z|, sabendo que – = z . z – = 16 ∴ – ⋅ z = 16 z z z |z|2 = 16 Ou seja: |z| = 4 0 1 Re 4. Seja z um número complexo. a) Mostre que z ⋅ – = |z|2. z Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1 Temos: Caderno de exercícios – unidade III z ⋅ – = (x + yi)(x – yi) z = x2 – (yi)2 TAREFA MÍNIMA Faça os exercícios 9 e 10 – série 11. = x2 – y2i2 = x2 + y2 TAREFA COMPLEMENTAR = |z|2 Faça os exercícios de 14 a 16 – série 11. 59 Números complexos (Forma trigonométrica)1 Argumento 2 Forma trigonométrica ou forma polar Seja P o afixo do número z = x + yi, z ≠ 0. Ao ângulo ϕ, 0  ϕ  2π, que o sentido positivo do Dado o número complexo z = x + yi, z ≠ 0, de mó-eixo real forma com a semirreta de origem zero e que dulo ρ e argumento ϕ, temos:contém P, denomina-se argumento de z. ρ = x + y 2 2 Im x cos ϕ = ⇒ x = ρ ⋅ cos ϕ ρ P y y sen ϕ = ⇒ y = ρ ⋅ sen ϕ ρ Daí:  z = x + yi z = ρ ⋅ cos ϕ + ρ ⋅ sen ϕ ⋅ i  Ou seja: z = ρ(cos ϕ + i ⋅ sen ϕ) , 0 x Re denominada forma trigonométrica ou polar do número complexo z.SISTEMA ANGLO DE ENSINO 48 TERCEIRÃO
  7. 7. Exemplo: b) z = –1 + i Consideremos o número z = 1 + 3 i. Temos: 3 1    1 0  ρ =  (–1)2 + 12 = 2 0 1 ϕ = 135° ρ = 12 + (3 )2 = 2 Então: z = 2 (cos 135° + i sen 135°) 14243 1 cos ϕ = 2 π ϕ= 3 3 cos ϕ = c) z = i 2 Portanto a forma trigonométrica de z = 1 + 3 i é: π π ( z = 2 cos + i sen 3 3 ) 1   0 Escreva na forma trigonométrica cada número abaixo: ρ = 1 e ϕ = 90° a) z = 3 + i z = 1 ⋅ (cos 90° + i sen 90°) d) z = –3 1   0 3 ρ =  (3 )2 + 12 = 2  14243 1  sen ϕ = 3 0 2 ϕ = 30° 3 ρ = 3 e ϕ = 180° cos ϕ = 2 z = 3 ⋅ (cos 180° + i sen 180°) Então: z = 2 ⋅ (cos 30° + i sen 30°)TERCEIRÃO 49 SISTEMA ANGLO DE ENSINO
  8. 8. Caderno de exercícios – unidade III TAREFA MÍNIMA TAREFA COMPLEMENTAR Faça o exercício 11 (a até e) – série 11. Faça o exercício 11 (f até j) – série 11. Faça o exercício a seguir. 4i Dê a forma trigonométrica do número z = . 1+i Resposta: z = 2 2 (cos 45° + i sen 45°) 60 e 61 Números complexos (Operações na forma trigonométrica)Produto de dois números temos:na forma trigonométrica z1z2 = 10 ⋅ 2 ⋅ cos ( π + π ) + i sen ( π + π ) 3 6 3 6 Dados os números complexos não nulos: π π z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) e z1z2 = 20 ⋅ cos + i sen 2 2 z2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2),temos que: z1z2 = 20 ⋅ [0 + i] z1z2 = 20 i z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ [cos (ϕ1 + ϕ2) + i ⋅ sen (ϕ1 + ϕ2)] z1 10 Demonstração: π π ( ) π π z2 = 2 ⋅ cos 3 – 6 + i sen 3 – 6 ( ) z1z2 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2) z1 π π z2 = 5 ⋅ cos 6 + i sen 6 z1z2 = ρ1ρ2 [cos ϕ1 cos ϕ2 + i sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 + + i sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2] z1 3 1 z1 53 5 z2 = 5 ⋅ 2 + i ⋅ 2 , ou seja: z2 = 2 + 2 i z1z2 = ρ1ρ2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2) + + i (sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 + sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1)] Dados um número inteiro n e um número complexo z1z2 = ρ1ρ2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)] c.q.d. não nulo, Para a divisão temos: z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ), z1 ρ1 temos que: z2 = ρ2 [cos (ϕ1 – ϕ2) + i sen (ϕ1 – ϕ2)] zn = ρn ⋅ [cos (nϕ) + i sen (nϕ)] Exemplo: π π Dados: z1 = 10 ⋅ cos ( 3 + i sen 3 ) e Exemplo: π π ( π z2 = 2 ⋅ cos + i sen π ) ( Dado: z = 2 ⋅ cos 6 + i sen , 6 ) 6 6 temos:SISTEMA ANGLO DE ENSINO 50 TERCEIRÃO
  9. 9. z = 2 (cos 30° + i sen 30°) z3 = 23 cos 3 ⋅ ( π ) + i sen (3 ⋅ π ) 6 6 z10 = 210 ⋅ [cos 300° + i sen 300°] π π z3 = 8 ⋅ cos 2 + i sen 2 z10 = 1.024 ⋅ 1 2 +i⋅ – 3 2 ( ) z3 = 8 ⋅ [0 + i] z10 = 512 – 512 3 i z3 = 8i 3. Diz-se que um número complexo z é uma das raí- zes quadradas de um complexo w se, e somente se, z2 = w. Mostre que 2 + i e –2 – i são raízes quadradas de 3 + 4i. Devemos mostrar que (2 + i)2 e (–2 –i)2 são iguais a 1. Dados os números na forma trigonométrica: 3 + 4i. z1 = 8 (cos 90° + i sen 90°) Assim, e (2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i z2 = 4 (cos 30° + i sen 30°) e escreva na forma algébrica: (–2 –i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i a) z1 ⋅ z2 z1 ⋅ z2 = 8 ⋅ 4 [cos 120° + i sen 120°] 4. Calcule as raízes quadradas de 4i. 1  = 32 – + i 3 1o modo 2 2 Passando para a forma trigonométrica temos: = –16 + 16 3 i π π z ( 4i = 4 cos + i sen 2 2 ) b) z1 2 Seja uma raiz: z = x (cos α + i sen α). z1 8 π π z2 = 4 [cos 60° + i sen 60°] z2 = 4 cos( 2 + i sen 2 ) 1 3 π π =2 2 +i 2 = 1 + 3 i x2 (cos 2α + i sen 2α) = 4 cos ( 2 + i sen 2 ) x2 = 4 ∴ x = 2 (pois x  0) 2. Escreva na forma algébrica o número (3 + i)10. e π Seja z = 3 + i 2α = + h 2π, h ∈  2 π ∴ α= + h π, h ∈  4 1 π 5π Como 0  a  2π, α = ou α = 4 4  Assim, π π 0  3 ( z = 2 cos 4 + i sen 4 = ) ρ =  (3 )2 + 12 = 2 =2 ( 2 2 +i 2 2 ) = 2 + i 2 14243 cos ϕ = 3 2 ϕ = 30° ( z = 2 cos 5π 4 + i sen 5π 4 = ) 1 sen ϕ = 2 =2 – ( 2 2 –i 2 2 ) = – 2 – i 2TERCEIRÃO 51 SISTEMA ANGLO DE ENSINO
  10. 10. 2o modo Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1 (x + yi)2 = 4i x2 – y2 + 2xyi = 4i x2 – y2 = 0 14243 Caderno de exercícios – unidade III 2 2xy = 4 ∴ y = TAREFA MÍNIMA x c Aula 60 4 x2 – = 0 ∴ x4 = 4 ∴ x = 6 2 Faça o exercício 12 – série 11. x2 c Aula 61 2 2 Faça os exercícios 15 e 17 – série 11. Se x = 2 , então y = ⋅ = 2 2 2 TAREFA COMPLEMENTAR 2 2 c Aula 60 Se x = – 2 , então y = – ⋅ = – 2 2 2 Faça o exercício 16 – série 11. Assim, c Aula 61 z = 2 + i 2 ou z = – 2 – i 2 Faça os exercícios 19 e 20 – série 11. 62 Polinômios: Introdução Chamamos polinômio de grau n na variável x a Dados os polinômios:toda expressão da forma A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 +anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x1 + a0 , a1x1 + a0em que os expoentes n, n – 1, n – 2, … sejam todos enúmeros naturais e os coeficientes an, an – 1, an – 2, …, B(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … + b2x2 +a2, a1 e a0 sejam números complexos, com an ≠ 0 e x b1x1 + b0,sendo uma variável complexa. Se, na expressão acima, os coeficientes forem to- dizemos que A(x) e B(x) são polinômios idênticos edos nulos, teremos o polinômio nulo e, nesse caso, escrevemos A(x)  B(x) se, e somente se, eles tiveremnão se define o grau. os mesmos coeficientes, isto é, an = bn, an – 1 = bn – 1 etc. São exemplos de polinômios: Assim, por exemplo, sendo a, b e c constantes,P(x) = 2x3 + x2 – 7x + 0,8 (o grau de P(x) é 3) teremos:P(x) = (3 + 4i)x2 – πx (o grau de P(x) é 2) ax2 + bx + c  3x + 5 se, e somente se,P(x) = 7x (o grau de P(x) é 1) a = 0, b = 3 e c = 5.P(x) = –3 (o grau de P(x) é 0) Se, num polinômio P(x), substituirmos a variávelP(x) = 0x2 + 0x + 0, isto é, P(x) = 0 e não existe o grau x por um número r dado e efetuarmos as operaçõesde P(x). indicadas, obteremos um número P(r) que é chama- 3 1 do de valor numérico de P(x) para x = r. Expressões como x–1 + x–2 + x–3 e 3 + 5x 2 não Dizemos que r é uma raiz (ou que r é um zero) desão polinômios. P(x) se, e somente se, P(r) = 0.SISTEMA ANGLO DE ENSINO 52 TERCEIRÃO
  11. 11. Assim, por exemplo, com P(x) = x2 – x – 2, temos 2. Sabe-se que existem constantes a e b, tais queP(1) = –2, P(0) = –2 e P(–1) = 0. Portanto, –1 é um zero a(x – 1) + b(x + 1)  5x – 1.de P(x). Obtenha essas constantes. Dado o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, temosP(0) = d e P(1) = a + b + c + d. 1o modo Note que, em todo polinômio P(x), P(0) é o termo in- Efetuamos as multiplicações indicadas no primeirodependente de x, e P(1) é a soma de seus coeficientes. membro e agrupamos os termos semelhantes. ax – a + bx + b  5x – 1 (a + b)x – a + b  5x – 1 Resolvendo o sistema a + b = 5 e –a + b = –1, obtemos a = 3 e b = 2. 2o modo Pela identidade, podemos afirmar que a igualdade 1. Considere em  o polinômio a(x – 1) + b(x + 1) = 5x – 1 é verificada para qualquer P(x) = x3 (3x2 + 5)2 – 8. valor de x. a) Qual é grau de P(x)? x = 1 ⇒ a(1 – 1) + b(1 + 1) = 5 – 1 3x2 + 5 é um polinômio de grau 2 2b = 4 ∴ b = 2 (3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 4 x = –1 ⇒ a(–1 – 1) + b(–1 + 1) = –5 – 1 x3 (3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 7 –2a = –6 ∴ a = 3 x3 (3x2 + 5)2 – 8 é um polinômio de grau 7 Resposta: a = 3, b = 2 Resposta: 7 3. Determine as constantes a e b, tais que a b 5x – 1 b) Obtenha o termo independente de x. + = x + 1 x – 1 x2 – 1 P(0) = 03 (3 ⋅ 02 + 5)2 – 8 = –8 para todo x, x ≠ –1 e x ≠ 1. Resposta: –8 a(x – 1) + b(x + 1) = 5x – 1 (x + 1)(x – 1) x2 – 1 Como os denominadores são idênticos, basta impor que os numeradores também sejam iguais. Assim, devemos ter: a(x – 1) + b(x + 1)  5x – 1 c) Obtenha a soma dos coeficientes de P(x). Do exercício anterior, temos a resposta. P(1) = 13 (3 ⋅ 12 + 5)2 – 8 = 56 Resposta: a = 3 e b = 2 Resposta: 56 d) Calcule P(i). P(i) = i3 (3 ⋅ i2 + 5)2 – 8 P(i) = –i(–3 + 5)2 – 8 Caderno de exercícios – unidade III P(i) = –8 –4i TAREFA MÍNIMA Resposta: –8 – 4i Faça os exercícios 1, 3, 4 e 6 – série 5. TAREFA COMPLEMENTAR Faça os exercícios de 8 a 12 – série 5.TERCEIRÃO 53 SISTEMA ANGLO DE ENSINO
  12. 12. 63 Polinômios: divisão (método da chave) Dados os polinômios P(x) e D(x), nos quais D(x) 2. Obtenha a constante real m de modo quenão é um polinômio nulo, existe um único par de po- 2x3 + 3x2 + mx + m + 1 seja divisível por x2 + 1.linômios Q(x) e R(x), tais que 1o modo P(x)  D(x) ⋅ Q(x) + R(x) e R(x)  0 ou o grau de 2x3 + 3x2 + mx + m + 1 x2 + 1R(x) é menor que o grau de D(x). 2x + 3 Dizemos que Q(x) e R(x) são, nessa ordem, o quo- –2x3 –2xciente e o resto da divisão de P(x) por D(x). P(x) é odividendo, e D(x) é o divisor. 3x2 + (m – 2)x + m + 1 Assim, sendo P(x) = x5 + x3 + x + 7 e D(x) = x3, te- –3x2 –3mos, na divisão de P(x) por D(x), o quociente (m – 2)x + m – 2Q(x) = x2 + 1 e o resto R(x) = x + 7, pois: Devemos ter m – 2 = 0, isto é, m = 2 x5 + x3 + x + 7  x3 ⋅ (x2 + 1) + (x + 7). Resposta: 2 Note que o grau de R(x) é menor que o grau deD(x). 2o modo Dizemos que P(x) é divisível por D(x) se, e so- Sendo Q(x) o quociente dessa divisão, temosmente se, o resto da divisão de P(x) por D(x) for 2x3 + 3x2 + mx + m + 1  (x2 + 1) ⋅ Q(x)nulo, isto é, P(x)  D(x) ⋅ Q(x). Com x = i, temos 2i3 + 3i2 + m ⋅ i + m + 1  (i2 + 1) ⋅ Q(i) –2i – 3 + m ⋅ i + m + 1 = 0 m – 2 + (m – 2)i = 0 + 0i Como m ∈ , devemos ter m = 2 1. Obtenha o quociente e o resto da divisão de 5x3 + x + 7 por x2 – x. 5x3 + 0x2 + x + 7 x2 – x –5x3 + 5x2 + 0x + 0 5x + 5 0x3 + 5x2 + x + 7 –5x2 + 5x + 0 6x + 7 Resposta: O quociente é 5x + 5 O resto é 6x + 7 Caderno de exercícios – unidade III TAREFA MÍNIMA TAREFA COMPLEMENTAR Faça o exercício 15 – série 5. Faça os exercícios 16 e 17 – série 5.SISTEMA ANGLO DE ENSINO 54 TERCEIRÃO

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