2. Departamento de Matemáticas

3. MATRIZ INVERSA

4. MATRIZ INVERSA El cálculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales. De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco con el que nos encontramos al no poder realizar la división de matrices. Para su obtención se realizan una serie de pasos que vamos a analizar a continuación. Como ejemplo vamos a obtener la matriz inversa de una matriz de orden 3.

5. MATRIZ INVERSA Vamos a calcular la matriz inversa A -1 de la matriz A. 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A =

6. Paso nº 0: Condiciones Para que una matriz tenga matriz inversa debe reunir dos condiciones:  Debe ser una MATRIZ CUADRADA .  Su determinante debe ser diferente de cero . A = 0

7. Paso nº 0: Condiciones Después de comprobar que la matriz es cuadrada calculamos su determinante. Necesitamos conocer su valor concreto para uno de los próximos pasos. En el caso de que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa. Matriz regular o invertible Matriz irregular, singular o no invertible A = 0 Si se dice que la matriz tiene inversa o que la matriz es una ... A = 0 Si se dice que la matriz no tiene inversa o que la matriz es una ...

8. Paso nº 0: Condiciones Nuestra matriz es cuadrada y su determinante no es nulo. Orden 3 = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = A = 0

9. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios Este paso es el más largo de todos. Tenemos que encontrar la matriz formada con los menores complementarios de cada elemento, α ij . 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) =

10. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 11 , α 11 : 5 2 3 – 1 1 = 2 + 3 = 5 α 11 =

11. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 12 , α 12 : – 3 5 0 3 1 1 = 0 – 3 = – 3 α 12 =

12. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 13 , α 13 : – 3 5 – 2 0 2 1 – 1 = 0 – 2 = – 2 α 13 =

13. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 21 , α 21 : – 3 5 – 2 – 1 0 – 1 – 1 1 = 0 – 1 = – 1 α 21 =

14. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 22 , α 22 : – 3 5 – 2 – 1 2 1 – 1 1 1 = 1 + 1 = 2 α 22 =

15. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 23 , α 23 : – 3 5 – 2 – 1 2 – 1 1 0 1 – 1 = –1 + 0 = –1 α 23 =

16. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 31 , α 31 : – 3 5 – 2 – 1 2 – 1 2 0 – 1 2 3 = 0 + 2 = 2 α 31 =

17. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 32 , α 32 : – 3 5 – 2 – 1 2 – 1 2 3 1 – 1 0 3 = 3 + 0 = 3 α 32 =

18. Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) = Cálculo del menor complementario de a 33 , α 33 : – 3 5 – 2 – 1 2 – 1 2 3 2 1 0 0 2 = 2 + 0 = 2 α 33 =

19. Paso nº 2: Matriz de los adjuntos La obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado que A ij = α ij  (–1) i+j tan sólo habrá que cambiar los signos de los elementos que se encuentran en las posiciones negativas . ( α ij ) = – 3 5 – 2 – 1 2 – 1 2 3 2 ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 Posiciones positivas: (–1) i+j = + 1 Posiciones negativas: (–1) i+j = – 1

20. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 3 5 – 2 3 5 – 2 ( A ij ) t =

21. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 ( A ij ) t = El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. 2 1 1 3 5 – 2 2 1 1

22. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 ( A ij ) t = El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. – 3 2 2 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2

23. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 ( A ij ) t = El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2

24. Paso nº 4: Producto por inverso de det(A) A –1 = El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso anterior por el inverso del determinante de A. ( A ij ) t = 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2 1 7 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2 = - 3 / 7 - 2 / 7 3 / 7 5 / 7 2 / 7 2 / 7 1 / 7 1 / 7 2 / 7 1 / 7 A –1 = 1 A ( A ij ) t

25. Puedes comprobar como se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa. A –1 = 1 7 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2 = - 3 / 7 - 2 / 7 3 / 7 5 / 7 2 / 7 2 / 7 1 / 7 1 / 7 2 / 7 1 / 7 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = A –1 A = A A –1 = I