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Clase1 teoria conjuntos

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Clase1 teoria conjuntos

  1. 1. ur-logoIntroducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıade ConjuntosErik Papa Quirozerikpapa@gmail.comUniversidad Tecnol´ogica del Per´u (UTP)Facultad de Ingenier´ıa Industrial y de SistemasAbril del 2012Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  2. 2. ur-logoContenido1 Introducci´on2 Objetivo General3 Motivaci´on4 Teor´ıa de Conjuntos5 Operaciones con Conjuntos6 AplicacionesErik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  3. 3. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesIntroducci´onLa teor´ıa de conjuntos es la base de toda estructuramatem´atica.Es importante en computaci´on para poder implementaralgoritmos y operaciones con algoritmos: uni´on dealgoritmos, exclusi´on, etc.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  4. 4. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesObjetivo GeneralAl final de esta unidad el alumno ser´a cap´az de resolverproblemas de sondeos, muestras en hospitales, audiencia,estad´ısticas, etc usando la teor´ıa de conjuntos.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  5. 5. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 1Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de laUTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendocomo resultados lo siguiente: 300 estudiantes tomanexlusivamente la gaseosa P y 50 toman s´olo la gaseosa Q.¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  6. 6. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 2Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de100 estudiantes de la UTP:a) 12 estudiantes cursan An´alisis Matem´atico II, F´ısica II ySistemas Operativosb) 22 cursan s´olo An´alisis Matem´atico II y F´ısica IIc) 3 cursan ´unicamente An´alisis Matem´atico II y SistemasOperativosd) 7 s´olo F´ısica II y Sistemas Operativose) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  7. 7. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 3En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 deellos presentan s´ıntomas de artritis, 17 de fibromialgia y 25 deosteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tress´ıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el n´umerode pacientes que presentan s´ıntomas de s´olo dos de lasenfermedades.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  8. 8. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesDefiniciones y NotacionesUn conjunto es una colecci´on de objetos con agunapropiedad en com´un. Usualmente lo denotaremos conletras may´usculas. Por ejemplo A, B, etcDado un conjunto A, escribimos x ∈ A si x es un elementode A. Caso contrario escribimos x /∈ A.Por ejemplo, seaA = {1, 3, 5, 8}entonces 3 ∈ A pero 9 /∈ A.∀ significa para todo∃ significa existeErik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  9. 9. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesDefiniciones y NotacionesDados dos conjuntos A y B se dice que A est´a incluido enB o que A es una parte de B o que B contiene a A,denotado por A ⊂ B, si todo elemento de A est´a en B.Por ejemplo, seanA = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},entonces podemos afrimar que A ⊂ B.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  10. 10. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesDefiniciones y NotacionesDados los conjuntos A y B, escribimos A ⊂ B si existe porlo menos un elemento de A que no est´a en B.Por ejemplo, seaA = {1, 3, 5, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},entonces afirmamos que A ⊂ B.Dado el conjunto A, denotamos por |A| al n´umero deelementos distintos del conjunto A.Por ejemplo, seanA = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1},entonces |A| = ... y |B| = ...Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  11. 11. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesDefiniciones y NotacionesDado un conjunto A, denotamos por P(A) el conjunto departes de A, esto es, el conjunto formado por todos sussubconjuntos.Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} entoncesP(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}y |P(A)| = 8Teorema: Si A = ∅ entonces |P(A)| = 2|A|.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  12. 12. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesDefinicionesSea U el conjunto universal y A, B ⊂ U, definimos:A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}Ac = {x ∈ U : x /∈ A}A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A)Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  13. 13. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesEjemploSea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Hallar:a) A ∪ Bb) A ∩ Bc) Ac y Bcd) A − Be) A ⊕ BErik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  14. 14. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesEjemploSea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Probar quese cumplen las leyes de Morgan:(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc(A ∩ B)c = Ac ∪ BcErik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  15. 15. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesResultado Te´oricoTeoremaSean A1, ..., An conjuntos finitos disjuntos dos a dos, esto es,Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j, entonces:|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An|Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  16. 16. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesEjemploSean los conjuntosA = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5}, C = {9, 11, 13}.Usando el Teorema, hallar |A ∪ B ∪ C|Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  17. 17. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesEjemploSean los conjuntosA = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}.Usando el Teorema, hallar |A ∪ B|.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  18. 18. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesCorolarioCorolario1 Sean dos conjuntos A y B, entonces|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ C|2 Sean los conjuntos A, B, C entonces|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  19. 19. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesSoluci´on del Problema 1Problema 1Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de laUTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendocomo resultados lo siguiente: 300 estudiantes tomanexlusivamente la gaseosa P y 50 toman s´olo la gaseosa Q.¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  20. 20. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesSoluci´on del Problema 1Soluci´onSean los conjuntos:A1 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca P}A2 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca Q}.A3 = { estudiantes que beben las dos marcas de gaseosa }Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, entonces porTeorema:|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3|.Como |A1 ∪ A2 ∪ A3| = 1200, |A1| = 300, |A2| = 50, entonces|A3| = 1200 − 300 − 50Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  21. 21. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 2Problema 2Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de100 estudiantes de la UTP:a) 12 estudiantes cursan An´alisis Matem´atico II, F´ısica II ySistemas Operativosb) 22 cursan s´olo An´alisis Matem´atico II y F´ısica IIc) 3 cursan ´unicamente An´alisis Matem´atico II y SistemasOperativosd) 7 s´olo F´ısica II y Sistemas Operativose) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  22. 22. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 2Soluci´on del Problema 2Sean los conjuntos:A1 = { alumnos que cursan las tres disciplinas } ⇒ |A1| = 12A2 = { alumnos que cursan s´olo AM II y Fisica II } ⇒ |A2| = 22A3 = { alumnos que cursan s´olo AM II y SO } ⇒ |A3| = 3A4 = { alumnos que cursan s´olo F´ısica II y SO } ⇒ |A4| = 7A5 = { alumnos que cursan s´olo AM II }A6 = { alumnos que cursan s´olo F´ısica II }A7 = { alumnos que cursan s´olo SO }Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  23. 23. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 2Soluci´on del Problema 2Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.Entonces:|A5| + |A6| + |A7| = 100 − (12 + 22 + 3 + 7) = 56.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  24. 24. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 3Problema 3En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 deellos presentan s´ıntomas de artritis, 17 de asma y 25 deosteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tress´ıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el n´umerode pacientes que presentan s´ıntomas de s´olo dos de lasenfermedades.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  25. 25. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 3Soluci´on del Problema 3Sean los conjuntos:A1 = { s´olo s´ıntoma de artritis }A2 = { s´olo s´ıntoma de asma }A3 = { s´olo s´ıntoma de osteoporosis }A4 = { s´olo s´ıntoma de artritis y asma }A5 = { s´olo s´ıntoma de artritis y osteoporosis }A6 = { s´olo s´ıntoma de asma y osteoporosis }A7 = { s´ıntomas de las tres enfermedades }Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  26. 26. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesProblema 3Soluci´on del Problema 3Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.Pero|A1| = 74 − |A4| − |A5| − |A7||A2| = 17 − |A4| − |A6| − |A7||A3| = 25 − |A5| − |A6| − |A7|Entonces:100 = 116 − |A4| − |A5| − |A6| − 2|A7|⇒ |A4| + |A5| + |A6| = 116 − 100 − 2(4) = 8.Erik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos
  27. 27. ur-logoIntroducci´onObjetivo GeneralMotivaci´onTeor´ıa de ConjuntosOperaciones con ConjuntosAplicacionesReferenciasErik Papa Quiroz erikpapa@gmail.com Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa de Conjuntos

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