AS FUNÇÕES
PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
Apostila 3
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
Para iniciar nossos estudos vamos responder algumas questões relacionadas
ao estudo das f...
Escolha dois gráficos anteriores e identifique quando possível:
a) As grandezas variáveis envolvidas.
b) A grandeza depend...
Vamos falar um pouco das funções e suas representações
Uma função pode ser representada em diferentes sistemas de represen...
As funções podem representar modelos ou padrões
(Prova Brasil 2007) As figuras mostradas abaixo estão organizadas dentro d...
Mas talvez a notação mais importante de todas seja a notação para a função
de Finalizando, nossas notações atuais são fund...
Mas nem sempre uma relação entre duas grandezas representa uma função e
também o campo de definição de uma função pode ou ...
e) f)
g) h)
O ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Mas o campo de definição de uma função, pode ser analisado apenas
algebricam...
d) y =
4
2
2
−x
e) 3
15 += xy f) y =
2
1
+
+
x
x
x
g) f(x) = 5x – 3 h) g(x) = x2
- 3x + 1
Exemplos.:
1) Dados os conjuntos...
Vamos pensar na seguinte situação o perímetro do quadrado em função
do lado p = 4 l observando seu campo de definição.
Vej...
Uma função será inversa se ela for bijetora. Se f : A→B é considerada
bijetora então ela admite inversa f : B→A. Por exemp...
b) A inversa de xy 2log= definida de RRf →+
*
: realizando o
processo de troca de x por y temos o seguinte:
yx 2log= aplic...
FUNÇÃO COMPOSTA
Vamos analisar a seguinte situação problema:
Uma festa de aniversário geralmente são consumidos 10 salgadi...
Exemplos:
1) Dado a função f(x) = x² - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1 determine:
a) f(g(x)) b) g(f(2)) c) f(f(19))
2) Se f e g são...
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Os Babilônios, foram os primeiros a utilizar potências, quando calculavam juros
compostos, utilizavam u...
c) y =
x






3
4
d) g(x) = - x
3
Conforme já estudamos o logaritmo pode ser representado como uma
equação exponenc...
Outros exemplos:
1) Construa o gráfico das funções abaixo, determine o domínio e a imagem e verifique
se são crescentes ou...
1) construa o gráfico das funções modulares abaixo:
a) f(x) = | x – 2 | b) f(x) = |x -1 | - 2 c) f(x ) = | x +1 | + | x – ...
Seguindo nossos estudos sobre as funções elementares, vamos conhecer agora a
função do segundo grau, ou seja, as funções q...
Outro problema
1) Um foguete carregando um satélite, depois de lançado, caiu, devido a um
pane do sistema. Ao estudar sua ...
ZEROS OU RAÍZES DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU
Representam os valores que anulam a função. graficamente são os
p...
ESTUDO DO DELTA
O delta determina a existência ou não das raízes da função.
1º caso ∆ > 0 ( existem duas raízes reais e di...
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA
Quem determina a concavidade da parábola é o “a” , assim :
a > 0 = concavidade para cima;
a < 0 = ...
a) 022
=−− xx b) 0252 2
=+− xx c) 092
=−x
ESTUDO DO VÉRTICE
Observe o problema:
O lucro, em reais, de uma empresa na venda...
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Estudar o sinal de uma função é determinar os valores de x para os
quais a...
a) A concavidade voltada para cima pois a = 1 ou seja a > 0;
b) as raízes: representam os pontos que passam pelo eixo x, n...
2) Observe o gráfico e responda:
a) Qual o domínio e a imagem da função representada no gráfico?
3) O custo para produzir ...
5) Dado a função y = - x² + 2x + 8 determine:
a) o valor máximo
b) a imagem
c) a concavidade
d) a função é crescente entre...
Seguimos nossos estudos nas funções agora destacando a função do
primeiro grau.
ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
É u...
Exemplos:
1) Obtenha, em cada caso, a função f( x) = ax + b, cuja reta, que é seu gráfico passa
pelos pontos:
a) (-1,1) e ...
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Situação problema:
Uma indústria implantou em programa de prevenção de aciden...
Situação problema:
Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresa
calcula o faturamento que ...
tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência,
a temperatura da barra atingiu 0 ºC....
Exemplo:
1) Uma papelaria cobra R$ 0,10 por página xerocada, caso o número de
páginas seja inferior ou igual a 50.se o núm...
Agora que finalizamos o estudo das funções vamos finalizar nosso
semestre estudando as inequações. Assim como as funções a...
c)
0
1
2
>
−
−
x
x
d)
0
3
)4( 2
≤
−
−
x
xx
e)
82 >x
f)
8)
2
1
( >x
g) 3log2 <x h) 3log
2
1 <x
i)
)4(4)4( +−>+ xxx j)


...
Apostila3funes 111212025004-phpapp01
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Apostila3funes 111212025004-phpapp01

245 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
245
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Apostila3funes 111212025004-phpapp01

  1. 1. AS FUNÇÕES PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO Apostila 3
  2. 2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES Para iniciar nossos estudos vamos responder algumas questões relacionadas ao estudo das funções. O que é uma função? Quais as características que identificam uma função? Quais as aplicações das funções? Quais os matemáticos contribuíram com o estudo das funções? Vamos iniciar nossos estudos a partir da observação e análise de alguns gráficos encontrados em nosso contexto.
  3. 3. Escolha dois gráficos anteriores e identifique quando possível: a) As grandezas variáveis envolvidas. b) A grandeza dependente e a independente c) O valor mínimo e o valor máximo d) Os gráficos representam funções? Justifique sua resposta. e) Identifique o domínio e a imagem de cada caso que representa função.
  4. 4. Vamos falar um pouco das funções e suas representações Uma função pode ser representada em diferentes sistemas de representação, tais como: Gráficos Tabelas Tempo ( min) Volume(em L) 5 300 10 200 20 100 35 0 Língua natural: Em um reservatório havia 50 litros de água quando foi aberta uma torneira que despeja dentro desse tanque mais 20 litros de água por minuto. A quantidade de água no tanque é dada em função do número x de minutos em que a torneira fica aberta. Determine a lei que representa a quantidade de água no reservatório em função do número de minutos que a torneira fica ligada. Representação algébrica f(x) = 50 + 20x No entanto nem sempre é possível representar uma mesma função em todos os sistemas de representação.
  5. 5. As funções podem representar modelos ou padrões (Prova Brasil 2007) As figuras mostradas abaixo estão organizadas dentro de um padrão que se repete. Mantendo-se essa disposição, a expressão algébrica que representa o número de pontos da figura de ordem n (n=1,2,3,...) Outro exemplo: Se um tijolo de 8 furos para construção custa R$ 0,60, represente algebricamente e graficamente o valor gasto para qualquer número de tijolos. No entanto nem sempre é possível representar uma mesma função em todos os sistemas de representação. Mas é importante discutir em sala de aula as possibilidades que se dispõe para explicar um mesmo objeto matemático. O estudo das funções constitui-se em uma das mais importantes ferramentas matemáticas. Hoje as funções apresentam aplicações na medicina, na geografia, na economia, na química, botânica, zoologia, na engenharia e de um modo geral é utilizada para compreender os fenômenos físicos, biológicos e sociais. Entre os matemáticos que contribuíram significativamente com o estudo das funções destaca-se Leonhard Euler.
  6. 6. Mas talvez a notação mais importante de todas seja a notação para a função de Finalizando, nossas notações atuais são fundamentadas, principalmente, em Euler. Outro matemático que apresentou SUS contribuições no estudo das funções foi Gottfried Wilhelm von Leibniz A palavra função foi introduzida por Leibniz em 1673, para designar qualquer das variáveis geométricas associadas com uma dada curva, aos poucos passou a significar a dependência de uma variável em termos de outra ou outras variáveis. Na atualidade função é definida como: Uma função f é uma correspondência que atribui segundo uma lei qualquer, um valor y a cada valor x da variável independentemente. Escreve-se: BfAouBAf → →: Assim uma função f: A→→→→B conta de 3 partes. 1) Um conjunto A chama – se domínio (onde a função está definida). 2) Um conjunto B chama –se contradomínio da função (onde f toma os valores) 3) Uma regra que permite associar cada elemento de x ∈ A a um único elemento f( x ) ∈ B. O conjunto A é o domínio de f e o conjunto B é o contradomínio de f. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f( x) ∈B quando é dado x ∈ A é inteiramente arbitrária sendo sujeito a apenas duas condições: 1) Não deve haver exceções a fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) para todo x ∈∈∈∈ A. 2) Não deve haver ambiguidades, a cada x ∈∈∈∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f( x ) ∈∈∈∈ B. Leibniz não tinha só uma notável habilidade para construir notações, mas também criou os termos abscissa, ordenada, coordenada, eixo de coordenadas e função. De acordo com Boyer (1996), de 1727 a 1783, Euler escreveu sobre matemática pura e aplicada, praticamente na notação que utilizamos hoje, pois, nenhum matemático foi tão responsável pela forma da matemática de nível universitário quanto ele, considerado o elaborador de notações mais bem sucedido de todos os tempos.
  7. 7. Mas nem sempre uma relação entre duas grandezas representa uma função e também o campo de definição de uma função pode ou não apresentar restrições em seu domínio. O estudo do domínio de uma função é um dos objetos matemáticos discutidos na educação básica, vamos retomar o campo de definição de uma função em especial o seu estudo do domínio. DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO Dados dois conjuntos não vazios A e B, e uma lei f que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B, teremos uma função f de A em B para o qual empregamos a seguinte linguagem: Domínio da função - D(f) = A . Imagem da função – Im(f) , sendo que Im está contida em B. Contradomínio da função – CD(f) =B Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto imagem ou simplesmente imagem da função. O desenvolvimento da capacidade da análise gráfica auxilia os processos resolutivos de muitas situações problemas encontrados em nosso contexto. Vamos analisar alguns gráficos e determinar o seu domínio e imagem quando possível. a) b) c) d)
  8. 8. e) f) g) h) O ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Mas o campo de definição de uma função, pode ser analisado apenas algebricamente. Quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar para este domínio todos os valores reais de x que tornam possíveis, em R as operações indicadas na fórmula matemática que defina a função. Ex.: Determine o domínio das funções abaixo: a) f(x) = 5−x x b) g(x) = )1( −x c) f(x) = )3( −x x
  9. 9. d) y = 4 2 2 −x e) 3 15 += xy f) y = 2 1 + + x x x g) f(x) = 5x – 3 h) g(x) = x2 - 3x + 1 Exemplos.: 1) Dados os conjuntos A = {-2,-1, 0,1,2} e B = {-1,0,1,2,3,4,5,6}, e a função de A em B expressa pela equação y = - x + 1, determinar: a) Domínio da função; b) CD(f) c) Imagem da função d) Representação gráfica 2) Dado A = {-1,0,1,2,3}, e a função f: A em R, definida por f(x) = x2 +2x, determine: a) Domínio da função; b) CD(f) c) Imagem da função 3) Dado A = {-2,-1,0,1,2}, e B = { -2,-1,0,1,2,3} e a função de A em B expressa pela equação y = x + 1 determine: a) Domínio da função; b) CD(f) c) Imagem da função d) represente graficamente.
  10. 10. Vamos pensar na seguinte situação o perímetro do quadrado em função do lado p = 4 l observando seu campo de definição. Veja na tabela de valores como isso ocorre l p = 4 l p l = p/4 1 4 4 1 2 8 8 2 3 12 12 3 4 16 16 4 Veja no Gráfico como isso ocorre: Assim em algumas situações podemos realizar a inversão das grandezas variáveis, esse processo é denominado de função inversa. Mas se desejamos escrever o perímetro em função do lado temos que 4 p l =
  11. 11. Uma função será inversa se ela for bijetora. Se f : A→B é considerada bijetora então ela admite inversa f : B→A. Por exemplo, a função y = 3x - 5 possui inversa y = 3 51 + =− x y , observe o diagrama desta situação Neste caso pode-se estabelecer a seguinte diagramação: Note que a função possui relação de A→B e de B→A, então podemos dizer que ela é inversa. Pode-se também observar que entre a função e sua inversa há uma troca entre o domínio e a imagem das mesmas. Isto possibilita que algebricamente a inversa seja determinada pela troca de x por y conforme segue: No caso anterior temos o seguinte: y = 3x – 5 efetuando-se a troca de x por y temos: x = 3y – 5 agora realizando o processo de isolar o y temos x + 5 = 3y 3y = x + 5 3 51 + =− x y ou seja a função inversa de y = 3x – 5 Vejamos outros exemplos:
  12. 12. b) A inversa de xy 2log= definida de RRf →+ * : realizando o processo de troca de x por y temos o seguinte: yx 2log= aplicando-se a definição de log temos o seguinte: x y 21 =− ou seja, a inversa da função log é a função exponencial e vice-versa respeitando-se o campo de definição para que isso ocorra. A situação acima pode ser visualizada no gráfico. Podemos traça uma assíntota que passa pela origem em relação ao primeiro e terceiro quadrantes. Atividades: 1) determine as inversas de cada função abaixo considerando que todas são bijetoras respeitando seus campos de definição a) y = 2x – 1 RRf →: b) xy 3log= RRf →+ * :
  13. 13. FUNÇÃO COMPOSTA Vamos analisar a seguinte situação problema: Uma festa de aniversário geralmente são consumidos 10 salgadinhos por pessoa, cada salgadinho custa R$ 0,32. Qual a representação algébrica do valor gasto na festa em função do número de pessoas e do valor do salgadinho (considere y = nº de salgadinho, p (nº de pessoas) e v (valor gasto) ou V(y(p)). De o domínio da composta. Definição: Dados as funções BAf →: e g CB →: , denominamos a função composta de g e f a função CAfog →: que é definida por g(f(x)) = f(g(x)) e x. Veja a imagem:
  14. 14. Exemplos: 1) Dado a função f(x) = x² - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1 determine: a) f(g(x)) b) g(f(2)) c) f(f(19)) 2) Se f e g são funções tal que f(x) = 3x – 1 e f(g(x)) = x determine g(x) Atividades 1) Dado f(x) = 2x -3 e g(x) = x² - 1, obtenha: a) f(g(2)) b) g(g(3)) c) f(f(x)) d) f(f(x)) = 3 e) f(g(x)) f) f(g(x)) Conforme destacado anteriormente vamos ressaltar neste estudo as principais características de cada função. Vamos iniciar nossos estudos pela função exponencial e logarítmica. O que caracteriza uma função exponencial? Qual a relação com a função logarítmica? O que caracteriza cada uma das funções?
  15. 15. FUNÇÃO EXPONENCIAL Os Babilônios, foram os primeiros a utilizar potências, quando calculavam juros compostos, utilizavam uma expressão que corresponde hoje a função exponencial n iPM )1.( += , sendo M o montante, P o valor inicial i a taxa e n o período. A função exponencial pode ser aplicada a resolução de outros problemas, como prever crescimento populacional, analisar epidemias, prever produções em empresas, determinar a idade dos fósseis, decomposição de sustâncias, árvore genealógica, etc. A função f: R em R dada por f(x) = ax ( com a ≠ 1 e a > 0) é denominada função exponencial de base “a” e definida para todo x real. Ex.: Represente graficamente as funções abaixo e determine o domínio e a imagem e verifique se as funções são crescentes ou decrescentes: a) f(x) = 2x b) f(x) = (1/2)x a >1 ( crescente) 0< a < 1 ( decrescente) Característica da função exponencial no gráfico Outros exemplos: 1) Dado as funções abaixo represente-as graficamente, verifique se são crescentes ou decrescentes, determine o domínio e a imagem, o ponto onde f(x) corta o eixo y. a) f(x) = 5x b) f(x) = (1/5)x 2) Represente no plano cartesiano as funções considerando que são definidas em R determine a imagem. a) f(x) = 1 2 +x b) g(x) = x       4 3
  16. 16. c) y = x       3 4 d) g(x) = - x 3 Conforme já estudamos o logaritmo pode ser representado como uma equação exponencial, também a função logarítmica é a inversa da função exponencial FUNÇÃO LOGARITMICA Definição: Seja um número real a ∈ R tal que a > 0 e a ≠ 1 . Denomina-se função logarítmica a função f: ,* RR →+ dada por: f(x) = loga x Ex.: Construa o gráfico das funções abaixo e determine o domínio e a imagem. a) f(x) = x3log b) f(x) = x 3 1log c) g(x) = )1(log3 −x Observando os gráficos construídos anteriormente identifique qual função é crescente e qual função é decrescente. O que diferencia uma função da outra? O que se pode concluir em relação ao crescimento das funções logarítmicas? Características da função logarítmica a > 1 ( crescente) 0 < a <1 ( decrescente)
  17. 17. Outros exemplos: 1) Construa o gráfico das funções abaixo, determine o domínio e a imagem e verifique se são crescentes ou decrescentes. a) y = x2log b) y = ln x c) y = x 2 1 log FUNÇÃO MODULAR DEFINIÇÃO: Denomina-se função modular a função f(x) = | x | de R em R, definida por: f(x) =    <− ≥ 0, 0, xsex sex Ex.: Se f: R em R é dada por f(x) = | -x + 5 |, calcule: a) f(-1) b) f(1/2) c) f(-3) CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DA FUNÇÃO MODULAR Ex.: Características da função modular f(x) = | x2 –x –2| f(x) = | x – 2 | f(x) = | x | - 2
  18. 18. 1) construa o gráfico das funções modulares abaixo: a) f(x) = | x – 2 | b) f(x) = |x -1 | - 2 c) f(x ) = | x +1 | + | x – 2| d) f(x) = | x2 – 9| e) f(x) = | x | + | x – 1 | f ) f(x) = | x2 - 2 x – 8 | 2) Represente no mesmo gráfico as funções abaixo: a) f(x) = | x | b) f(x) = | x | + 1 c) f(x) = | x | - 1
  19. 19. Seguindo nossos estudos sobre as funções elementares, vamos conhecer agora a função do segundo grau, ou seja, as funções que caracterizam-se pela representação de uma parábola. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Veja o problema a seguir: Agora vamos aprofundar os estudos na função do segundo grau e seus elementos
  20. 20. Outro problema 1) Um foguete carregando um satélite, depois de lançado, caiu, devido a um pane do sistema. Ao estudar sua trajetória e as causas do acidente, a equipe da base construiu o seguinte gráfico, que mostra a altura (y) alcançada pelo foguete em função do tempo (t) decorrido após o lançamento. Determine: a)A altura máxima aproximada que o foguete atingiu; b) O tempo que o foguete levou para atingir o ponto mais alto; c) o tempo que o foguete levou para atingir a altura inicial; d) a altura inicial; 1) A trajetória da bola , num chute a gol, descreve aproximadamente uma parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, dada por h = - t² + 6t, determine: a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual a altura máxima da bola? c) Qual o intervalo crescente? d) Qual o intervalo decrescente? e) Em que instante a bola retorna ao solo? f) Determine o valor de: f(1) f(3) f(9) DEFINIÇÃO: Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática a função f: R em R onde f(x) = ax2 + bx + c e os números a, b, c pertencem aos reais e a ≠ 0. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Graficamente a função do 2º grau representa uma parábola. Ex.: Construa o gráfico das funções abaixo: a) f(x) = x2 – 2x - 3 b) f(x) = - x2 – 4x
  21. 21. ZEROS OU RAÍZES DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU Representam os valores que anulam a função. graficamente são os pontos de intersecção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas) . No entanto, dentro do conjunto R existem funções do segundo grau que não apresentam raízes reais. Quem determina a existência ou não de raízes reais é o delta. Identifique as raízes das funções abaixo. a) b) c) d) e) f)
  22. 22. ESTUDO DO DELTA O delta determina a existência ou não das raízes da função. 1º caso ∆ > 0 ( existem duas raízes reais e diferentes) ( intercepta o eixo das abscissas em dois pontos 2º caso : ∆ < 0 (não existe raízes reais) não intercepta o eixo das abscissas 3º caso: ∆ = 0 ( uma raiz real ou zero duplo) tangencia o eixo das abscissas Exemplos: 1) Determine as raízes reais (se existir) das funções abaixo e faça o esboço do gráfico. a) f(x) = x2 – x +4 b) f(x) = - x2 + 4x - 6 c) f(x) = x2 + 2x + 1 d) f(x) = x2 + 2x – 8 e)Determine m para que a função dada por f(x) = mxx +− 32 tenha duas raízes reais.
  23. 23. CONCAVIDADE DA PARÁBOLA Quem determina a concavidade da parábola é o “a” , assim : a > 0 = concavidade para cima; a < 0 = concavidade para baixo; Exemplos: Em cada caso determine a concavidade da parábola: a) f(x) = x2 – x +2 b) f(x) = - x2 + 4x - 6 c) f(x) = -2 x2 + 2x + 1 d) f(x) = x2 + 2x – 8 FORMA FATORADA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU )").('(02 xxxxacbxax −−⇒=++ =0 Exemplos .: Escreva da forma fatorada as equações abaixo:
  24. 24. a) 022 =−− xx b) 0252 2 =+− xx c) 092 =−x ESTUDO DO VÉRTICE Observe o problema: O lucro, em reais, de uma empresa na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = – 2x 2 + 300x – 16, onde L(x) é o lucro e x representa a quantidade de produtos vendidos. Determine o lucro máximo obtido pela empresa na venda desse produto O vértice representa o ponto máximo quando ( a < 0) ou o ponto mínimo ( a > 0) de uma função do segundo grau. O vértice pode ser calculado com a fórmula :       ∆−− = aa b V 4 , 2 O yv é o ponto de referência para determinar a imagem. . Ex.: Encontre as coordenadas do vértice das funções abaixo: a) f(x) = x2 + 2x +1 b) g(x) = - x2 + 4x –6 c) h(x) = x2 + 2x – 3 Atividades: 1)Determine o vértice das funções abaixo e o identifique como máximo ou mínimo: a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = - 3x2 – 5x c) f(x) = -x2
  25. 25. ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Estudar o sinal de uma função é determinar os valores de x para os quais a função é positiva, negativa ou igual a zero. Tudo o que está acima do eixo x é positiva e abaixo do eixo x é negativa. Ex.: Faça o estudo do sinal das funções abaixo: a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = - x2 – 5x c) g(x) = - x2 + 4x – Exercício resolvido: 1) Observe o gráfico da função f(x) = x² -2x -3 ou pode ser representada na forma fatorada f(x) = (x+1)(x-3) agora vamos observar seus pontos notáveis: f(x)=x^2-2x-3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y
  26. 26. a) A concavidade voltada para cima pois a = 1 ou seja a > 0; b) as raízes: representam os pontos que passam pelo eixo x, no caso x’ = - 1 e x” = 3 c) O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas corresponde ao valor de c, ou seja no caso -3. d) O domínio corresponde os valores que podem ser substituídos no x, no caso é todos os reais, as parábolas em geral quando não representam situações problemas são R, ou então quando determinamos a inversa precisamos fazer a restrição no domínio. e) Para determinar a imagem, deve-se levar em consideração o ponto mais baixo uma vez que a concavidade é voltada para cima, então a imagem é }4/{Im −≥∈= yRy Considera-se que a referencia para o conjunto imagem corresponde ao valor do vértice y, ou seja, } 4 /{Im a yRy ∆− ≥∈= se a > 0 } 4 /{Im a yRy ∆− ≤∈= se a < 0 f) O ponto de vértice corresponde ao ponto mínimo ou ponto máximo conforme o caso: ) 4 , 2 ( aa b V ∆−− = é o ponto máximo se a < o e mínimo se a > o. No caso o vértice será )4,1( −=V como a = 1 , b= -2 e 16=∆ então 1 2 2 2 = − = − = a b xv e 4 4 16 4 −= − = ∆− = a yv
  27. 27. 2) Observe o gráfico e responda: a) Qual o domínio e a imagem da função representada no gráfico? 3) O custo para produzir x unidades de certo produto é dado por C (x) = 2x² - 100x + 5000, encontre: a) O valor do custo mínimo b) O valor de x para o qual o custo é mínimo. 4)Dado o gráfico abaixo responda as questões que se pede f(x)=x^2 -2x-3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y a) O domínio da função b) O conjunto imagem c) Intervalos crescentes e decrescentes. d) As coordenadas do vértice e) f(4) f(-2) f(1)
  28. 28. 5) Dado a função y = - x² + 2x + 8 determine: a) o valor máximo b) a imagem c) a concavidade d) a função é crescente entre x = 1 e x = 3 e) o domínio f) as raízes g) o valor de y quando x = 5 resposta da questão 5: a) O valor máximo é obtido com o Yv, para isso precisamos do valor do acb 42 −=∆ Então Yv = 9 4 36 4 = − − = ∆− a este é o valor máximo. b) Im = ] ]9,∞− imagem da função do segunda grau é sempre o Yv quando definida em Reais c) Como a < 0 então concavidade voltada para baixo d) Quando x = 1 trem se y = 9 e quando x = 3 tem-se y = 5 então é decrescente diminuiu o valor. e) Domínio é todos os reais f) as raízes são x’ = 4 e x” = -2 pontos onde a parábola corta o eixo x g) quando x = 5 tem-se y = -(5)² + 2.5 + 8 então y = -25 + 10 + 8 então y = - 7 Visualize todos os cálculos que você realizou no gráfico f(x)=- x^2 + 2x + 8 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y
  29. 29. Seguimos nossos estudos nas funções agora destacando a função do primeiro grau. ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU É uma função polinomial do primeiro grau quando a sua representação matemática é um polinômio de grau 1 do tipo y = ax +b Modelando funções a partir de situações problemas. 1) Na produção de peças, uma indústria tem custo fixo de R$ 5,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas. Represente algebricamente o custo em função do número de peças e graficamente o custo referente a 6 peças Representações intermediárias Variáveis unidades Representação adotada no problema DEFINIÇÃO: Uma função f: R em R chama-se função afim ou função do 1º grau quando existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, sendo a e b números reais, para todo x ∈ R e x é a variável independente. Ex.: f(x) = 2x – 1 g(x) = x – 4 h(x) = x Graficamente a função do 1º grau é representada por uma reta. Ex.: Represente graficamente as funções abaixo: a) f(x) = x – 3 b) g(x) = - x + 4 c) f(x) = 2. OBS.: O a é também chamado de coeficiente angular da reta, representa o ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas (x). O b é também chamado de coeficiente linear, representa o ponto que a reta passa pelo eixo das ordenadas (y). Determinação de uma função polinomial do primeiro grau a partir do gráfico. Uma função do primeiro grau f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus pontos. Ex.:
  30. 30. Exemplos: 1) Obtenha, em cada caso, a função f( x) = ax + b, cuja reta, que é seu gráfico passa pelos pontos: a) (-1,1) e ( 2, 0) b) ( -2, 4) e ( 4 , 2 ) 2) Sabendo que a função f(x) = ax + b é tal que f(1) = 5 e f(-2) = - 4, determine: a) os valores de a e b e escreva a função; b) o gráfico de f; 4) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função linear de x, com x ≥ 0, cujo gráfica está representado abaixo. Nessas condições o custo de R$ 700,00 corresponde `a produção de quantos litros?
  31. 31. ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Situação problema: Uma indústria implantou em programa de prevenção de acidentes de trabalho. Essa programa prevê que o número y de acidentes varie em função do tempo t ( em anos) de acordo com a lei y = 28,8 – 3,6 t. nessas condições, quantos anos levará para essa indústria erradicar os acidentes de trabalho? Definição: Zero ou raiz de uma função é o valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se anula, ou seja, o valor para o qual f(x)= 0. Graficamente o zero ou raiz representa o ponto que a reta passa pelo eixo x ( abscissas). Para determinar o zero ou raiz basta resolver a equação ax + b = 0. Exemplos: determine o zero ou raiz das funções abaixo: a) f(x) = x + 2 b) f(x) = 3x –1 c) f(x) = -2x + 5 CRESCIMENTO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU O que determina se a função f(x) = ax +b, com a ≠ 0, e crescente ou decrescente é o sinal de a . Assim: Se a > 0 é uma função crescente Se a < 0 é uma função decrescente. Ex.: determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes. a) f(x) = x – 4 b) f(x) = -x/3 +1 c) f(x) = 2x d) f(x) = -x +2 Estudo do sinal da função polinomial do 1º grau Estudar o sinal da função significa determinar os valores de x para os quais a função f(x) é positiva, negativa ou igual a zero.
  32. 32. Situação problema: Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresa calcula o faturamento que terá com o mesmo usando a lei f(x) = 8x – 640, onde f(x) é o faturamento líquido e x unidades vendidas. Qual a quantidade mínima que essa empresa terá de vender para obter lucro? Outros exemplos: Faça o estudo do sinal das funções abaixo definidas em R. a) f(x) = 3x + 1 b) f(x) = 2 – 6x c) f(x) = x -5 EXERCÍCIOS 1)Dada a função afim f(x) = 5x - 1, determine: a) f(1) b) f(0) c) f(1/5) 2)Na produção de peças uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida . Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; b) calcule o custo de 100 peças. 3)Construa, num sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = 2x +3 b) f(x) = -2x +5 4) Sem construir gráficos , descubra os pontos em que as retas, cortam os eixos x e y: a) f(x) = x – 5 b) f(x) = -2x c) f(x) = 2 – ¾ x d) f(x) = 1 + 4x 5) ( Unificado – RJ) Uma barra de ferro com temperatura inicial de –10 ºC foi aquecida até 30 ºC. o gráfico abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do
  33. 33. tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0 ºC. Finalizando o estudo das funções e suas representações vamos estudar a função definida por várias sentenças. FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS As funções definidas por várias sentenças aparecem em diferentes situações em nosso contexto, por exemplo na conta de energia de nossa casa, na conta de água, no ingresso do cinema entre outras situações. ENEM 2010
  34. 34. Exemplo: 1) Uma papelaria cobra R$ 0,10 por página xerocada, caso o número de páginas seja inferior ou igual a 50.se o número de páginas for superior a 50, o custo por página adicional passa a ser R$ 0,08. escreva a lei que representa o valor gasto em função do número de páginas xerocadas. 2) Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e determine o conjunto imagem. a) f(x) =    < ≥ 0, 0,2 2 xsex sex b) f(x) =    ≤− >+ 1,3 1,12 xsex sex c) f (x) =    <− ≥ 2,1 2,3 xsex se
  35. 35. Agora que finalizamos o estudo das funções vamos finalizar nosso semestre estudando as inequações. Assim como as funções as inequações podem ser de diferentes tipos. Vamos estudar cada tipo. O ESTUDO DAS INEQUAÇÕES E SEUS ALGOTIMOS DE RESOLUÇÃO As inequações aparecem em diferentes situações em nosso contexto. Por exemplo: 1)A receita mensal em reais de uma empresa é r = 20 000p – 2000p² onde p é o preço de venda de cada unidade. Para que valores de p a receita é inferior a R$ 37 500,00? 2)Determine o conjunto solução das inequações abaixo a) x ² - 2x >0 b) 3(x+1) – 6 < o
  36. 36. c) 0 1 2 > − − x x d) 0 3 )4( 2 ≤ − − x xx e) 82 >x f) 8) 2 1 ( >x g) 3log2 <x h) 3log 2 1 <x i) )4(4)4( +−>+ xxx j)     <− >+− 02 034 2 2 xx xx l) |2x-3| <5 m) |2-x | > 1

×