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  1. 1. Resistência dosMateriaisMauro Noriaki TakedaAparecido Edilson Morcelli
  2. 2. APRESENTAÇÃOÉ com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Resistência dos Mate-riais, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autô-nomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as)uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br,a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso,bem como acesso a redes de informação e documentação.Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo parauma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!Unisa Digital
  3. 3. SUMÁRIOINTRODUÇÃO................................................................................................................................................ 51 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO..................................... 71.1 Distribuição da Tensão Normal Média......................................................................................................................91.2 Exercícios Resolvidos.......................................................................................................................................................91.3 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................121.4 Atividades Propostas....................................................................................................................................................132 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG..................................................................................152.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica........................................................................................152.2 Módulo de Resiliência (µr)..........................................................................................................................................172.3 Módulo de Tenacidade (µt)........................................................................................................................................182.4 Exercício Resolvidos......................................................................................................................................................182.5 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................232.6 Atividades Propostas....................................................................................................................................................233 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES........................................................................253.1 Tensão-Deformação......................................................................................................................................................253.2 Módulo de Cisalhamento...........................................................................................................................................263.3 Exercícios Resolvidos....................................................................................................................................................273.4 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................293.5 Atividades Propostas....................................................................................................................................................294 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................................31RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS......................................33REFERÊNCIAS..............................................................................................................................................45
  4. 4. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br5INTRODUÇÃOCaro(a) aluno(a),Esta apostila destina-se a estudantes de graduação, para os cursos de Engenharia Ambiental, En-genharia de Produção ou afins, para o acompanhamento do conteúdo de Resistência dos Materiais, noscursos a distância.Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes ao conceito de tensão, compressão e cisalhamen-to, deformação, lei de Hooke, módulo deYoung, módulo da elasticidade volumétrica, módulo de cisalha-mento e análise das tensões e deformações.Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma lin-guagem simples, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são apresentadasquestões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolução das ativi-dades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, são propos-tas, ao final de cada capítulo, várias atividades, com grau de dificuldade gradativo.Além desta apostila, você terá como material de estudo as aulas web, o material de apoio e as aulasao vivo. Serão utilizadas como avaliação as atividades, podendo ser atribuída uma nota ou não, e a provapresencial.Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realiza-ção das atividades propostas.Finalmente, desejamos que você tenha um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seuconhecimento, consultando as referências indicadas no final da apostila.Mauro Noriaki TakedaAparecido Edilson Morcelli
  5. 5. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br7Caro(a) aluno(a),Você já ouviu falar em acidentes causadospela ruptura de alguma estrutura? Você deve terse perguntado: por quê? A resposta está no con-ceito físico aplicado na engenharia, cuja denomi-nação é resistência dos materiais. Alguns mate-riais resistem mais do que outros, em função dasua estrutura e concepção de produção.A resistência dos materiais é um ramo damecânica que estuda as relações entre as cargasexternas aplicadas a um corpo deformável e a in-tensidade das forças que agem no seu interior.Você deve observar que o assunto tambémenvolve o cálculo das deformações do corpo, pro-porcionando o estudo de sua estabilidade quan-do sujeito a forças externas.A intensidade da força, ou força por unidadede área, que age perpendicularmente à variaçãoda área, é definida como tensão normal, σ (sig-ma), uma vez que zF∆ é normal à área, ou seja:AFzAz∆∆=→∆ 0limσAgora, devemos observar o seguinte:ƒƒ se a força normal ou tensão existir paratracionar o elemento de área A∆ , elaserá denominada tensão de tração;ƒƒ se a força normal ou tensão existir paracomprimir o elemento de área A∆ , elaserá denominada tensão de compres-são.CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO ECISALHAMENTO1Professor Aparecido, e a tensão de cisalha-mento? Já ouvi falar muito dela. Bom! É importan-te analisar a seguinte situação: a tensão de cisa-lhamento é a intensidade da força, ou força porunidade de área, que age tangente a A∆ . Aqui,vamos designá-la pela letra grega ‘tau’, ou seja,a tensão de cisalhamento τ . Vamos analisar oscomponentes da tensão de cisalhamento:AFxAzx∆∆=→∆ 0limτAFyAzy∆∆=→∆ 0limτAtençãoAtençãoA notação do índice z emATENÇÃOVocê deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema InteUnidades (SI) para os valores da tensão normal e da tensão de cisalespecificadas nas unidades básicas:é usada para in-dicar a direção da reta normal dirigida para fora,que especifica a orientação da áreaATENÇÃOVocê deve lembrar que as unidadesUnidades (SI) para os valores da tensão normespecificadas nas unidades básicas:Agora, vamos analisar as reações de aNa tensão de cisalhamento, são usados dois ín-dices para os componentesATENÇÃOVocê deve lembrar que as unidades utilizadas no SistUnidades (SI) para os valores da tensão normal e da tensãoespecificadas nas unidades básicas:Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que adesenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos.. Observeque o eixo z especifica a orientação da área e x ey referem-se às retas que indicam a direção dastensões de cisalhamento.
  6. 6. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br8Você deve lembrar que as unidades utili-zadas no Sistema Internacional de Unidades (SI)para os valores da tensão normal e da tensão decisalhamento são especificadas nas unidades bá-sicas:PamN=2Agora, vamos analisar as reações de apoio.Note que as forças de superfície desenvolvem-senos apoios ou pontos de contato entre os corpos.Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto.Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto.Em muitas situações, analisamos o corpo na condição de equilíbrio, exigindo umequilíbrio de forças, para impedir a translação ou o movimento acelerado do corpo aolongo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que ocorpo gire. Essas condições podem ser expressas pelas equações:ePara um sistema de coordenadas x, y e z, com origem no ponto o, os vetores força emomento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, sendoas equações escritas da seguinte forma:, eEm muitas situações, analisamos o corpo nacondição de equilíbrio, exigindo um equilíbrio deforças, para impedir a translação ou o movimen-to acelerado do corpo ao longo de uma trajetóriareta ou curva, e um equilíbrio de momentos, paraimpedir que o corpo gire. Essas condições podemser expressas pelas equações:∑ = 0Fe∑ = 0oMPara um sistema de coordenadas x, y e z,com origem no ponto o, os vetores força e mo-mento podem ser resolvidos em componentes aolongo dos eixos coordenados, sendo as equaçõesescritas da seguinte forma:∑ = 0xF , ∑ = 0yF e ∑ = 0zFe∑ = 0xM , ∑ = 0yM e ∑ = 0zMNa prática da engenharia, muitas vezes,a carga sobre um corpo pode ser representadaatravés de um sistema de forças coplanares.
  7. 7. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br91.1 Distribuição da Tensão Normal Média Vamos, agora, analisar uma barra que es-teja submetida a uma deformação uniforme econstante. Essa deformação é o resultado de umatensão normal constante σ .Você deve observarque cada área A∆ da seção transversal está sub-metida a uma força dada por:AF ∆⋅=∆ σObserve que a soma dessas forças queagem em toda a área da seção transversal deveser equivalente à força resultante internaP.ática da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode seratravés de um sistema de forças coplanares.ção da Tensão Normal Médias, agora, analisar uma barra que esteja submetida a uma deformaçãoonstante. Essa deformação é o resultado de uma tensão normal constanteve observar que cada área da seção transversal está submetida a umaor:ve que a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversalvalente à força resultante interna .ouão normal média, em qualquer ponto da área da seção transversal, será dadaA tensão normal média, em qualquer pontoda área da seção transversal, será dada por:AP=σ1.2 Exercícios Resolvidos1. Uma tábua uniforme de 50 N suporta duas crianças, que pesam 500 N e 400 N, respectivamen-te, conforme a figura. Estando o suporte da gangorra sob o centro de gravidade da tábua e acriança de 500 N a 1,2 m do centro, determine:a) a força para cima, em N, exercida pelo suporte sobre a tábua;b) onde a criança de 400 N deve sentar-se, a fim de equilibrar osistema.1.2 Exercícios Resolvidos1. Uma tábua uniforme de 50respectivamente, conforme a figgravidade da tábua e a criança dea) a força para cima, em N, exercidb) onde a criança de 400 N deve seFigura 2 – Gangorra.Fonte: Serway (1996).Resolução:Figura 2 – Gangorra.Fonte: Serway (1996).
  8. 8. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br10Resolução:a) A somatória das forças na direção y deverá ser igual a zero, ou seja, ΣFy= 0; portanto, temos:( ) ( ) ( ) 0PPPN 40050500 =−−−040050500N =−−−0900N =−N900N =b) Para que o sistema fique em equilíbrio, a somatória dos momentos deverá ser igual a zero, ouseja, ∑Mo= 0. Considerando o polo no ponto em que o suporte da gangorra está apoiado (cen-tro de gravidade da tábua), os momentos das duas crianças serão:dFM ⋅=( ) 2,1500M 500 ⋅=( ) mN600M 500 ⋅=e( ) x400M 400 ⋅−=Portanto:0x400600 =⋅−600x400 =⋅400600x =m5,1x =2. Imagine uma caixa de 200 kg de massa, suspensa utilizando cordas entre o ponto de apoio, acaixa e a tração na horizontal. Cada corda pode suportar uma força máxima de 10 kN antes dese romper. Qual é o menor ângulo θ em que a caixa pode ser suspensa, sem que uma das cor-das rompa-se? Adote g = 9,81 m/s2.Resolução:Antes de iniciarmos a resolução, vamos analisar o esquema a seguir. Você sempre deve realizar umesquema do problema, para verificar as forças que estão atuando.Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem
  9. 9. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br11 Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem três forças atuando nele. Aintensidade de DFé igual ao peso da caixa, ou seja: Agora, vamos analisar as equações de equilíbrio. Analisando as equações de equilíbrio ao longodos eixos x e y temos:ƒƒ para o eixo x:∑ = 0xF0cos =+− BC FF θθcosBCFF =ƒƒ para o eixo y:∑ = 0yF01962 =− NsenFC θA corda em AC atingirá a força de tração máxima de 10 kN antes da corda AB. Portanto, FC= 10 kN= 10 x 103N.Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem três forçasatuando nele. A intensidade de é igual ao peso da caixa, ou seja:Agora, vamos analisar as equações de equilíbrio. Analisando as equações deequilíbrio ao longo dos eixos x e y temos:para o eixo x:para o eixo y:A corda em AC atingirá a força de tração máxima de 10 kN antes da corda AB.Portanto, FC = 10 kN = 10 x 103N.Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação paraobter o valor de FB.A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC,dada a equação:
  10. 10. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br12Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para obter o valor deFB.A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC, dada a equação:θcosBCFF =θθcoscosCBBC FFFF =⇒=θθcoscosCBBC FFFF =⇒=Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a forçamáxima para romper a corda de 10 kN.1.3 Resumo do CapítuloCaro(a) aluno(a),Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo damecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpodeformável e a intensidade das forças que agem no seu interior. Se a força normal outensão existir para tracionar o elemento de área , ela será denominada tensão detração, mas, se existir para comprimir o elemento de área , será denominada tensão decompressão.1.4 Atividades Propostas1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, com o antebraço fazendo ângulo de 90° com obraço, como indica a figura. O bíceps exerce a força , aplicada a 3 cm da articulação Odo cotovelo. O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine:a) o módulo da força ;b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo.Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força máxima pararomper a corda de 10 kN.1.3 Resumo do CapítuloCaro(a) aluno(a),Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estudaas relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças queagem no seu interior. Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área A∆ , ela serádenominada tensão de tração, mas, se existir para comprimir o elemento de área A∆ , será denominadatensão de compressão.
  11. 11. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br131.4 Atividades Propostas1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, com o antebraço fazendo ângulo de 90° com o braço,como indica a figura. O bíceps exerce a força bF, aplicada a 3 cm da articulação O do cotovelo.O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine:a) o módulo da força bF;b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo.2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e massa M = 3 kg está apoiada, nas extremidades, nasplataformas de duas balanças, como indica a figura. Uma carga de massa m = 6 kg está sobre aprancha, a uma distância x1= 3 m da extremidade esquerda e x2= 1 m da extremidade direita.Determine as leituras das balanças.Figura 3 – Antebraço.Fonte: Serway (1996).2. Uma prancha de comprimentonas plataformas de duas balançassobre a prancha, a uma distâncextremidade direita. Determine aFigura 4 – Prancha.Fonte: Tipler (2000).Figura 3 – Antebraço.Fonte: Serway (1996).Figura 3 – Antebraço.Fonte: Serway (1996).2. Uma prancha de comprimento L = 4 m enas plataformas de duas balanças, como isobre a prancha, a uma distância x1 =extremidade direita. Determine as leiturasFigura 4 – Prancha.Fonte: Tipler (2000).Figura 3 – Prancha.Fonte: Tipler (2000).
  12. 12. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br15Caro(a) aluno(a),Você já estudou a lei de Hooke. Nesse caso,vamos aplicá-la em resistência dos materiais.A lei de Hooke define a relação linear entrea tensão e a deformação dentro da região elásti-ca, sendo dada pela equação:εσ E=LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG2Saiba maisSaiba maisO módulo de Young somente pode ser utilizado seo material apresentar uma relação linear elástica.Em que:ƒƒσ representa a tensão aplicada;ƒƒ E representa o módulo de Young;ƒƒ ε representa a deformação sofridapelo corpo.2.1 Energia de Deformação e Elasticidade VolumétricaQuando um material é deformado por umacarga externa, tende a armazenar energia interna-mente, em todo o seu volume. Como essa energiaestá relacionada com as deformações no material,ela é denominada energia de deformação.Agora, vamos representar um corpo sofren-do uma deformação em função da carga aplicadaao corpo.A tensão desenvolve uma força dada por:( )yxAF ∆∆⋅=∆⋅=∆ σσ Essa variação de força ocorre nas faces su-perior e inferior do elemento, após ele ter sofridoum deslocamento z∆ε .A tensão desenvolve uma força dada por:
  13. 13. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br16Agora, vamos relembrar o que é trabalhoem física. E o que vamos analisar, professor?Você pode definir o trabalho pelo produ-to entre a força e o deslocamento na direção daforça. A deformação aumenta uniformemente dezero até seu valor final Fδ , quando é obtido odeslocamento z∆ε ; nesse caso, o trabalho rea-lizado pela força sobre o elemento é igual ao va-lor médio da força ∆2F vezes o deslocamentoz∆ε .Note que esse trabalho externo é equiva-lente ao trabalho interno ou energia de deforma-ção armazenada no elemento ou corpo de prova,quando do ensaio real.Agora, vamos considerar que nenhumaenergia foi perdida na forma de calor. Nesse caso,a energia de deformação é:zFU ∆⋅⋅∆=∆ ε21ouzyxU ∆⋅⋅∆∆=∆ εσ21Lembre-se de que o volume do elemento édado por:zyxV ∆∆∆=∆Portanto, a energia será dada por:VU ∆⋅⋅=∆ εσ21 Vamos definir a densidade de energia dedeformação, que é dada pela equação:εσµ ⋅=∆∆=21VUSe o comportamento do material for linearelástico, a lei de Hooke aplica-se e a equação édada por:εσ ⋅= E Veja que podemos expressar a densidadede energia de deformação em termos de tensãouniaxial, como:εσµ ⋅=21ouEσσµ ⋅=21Portanto, temos:EE22121 σσσµ =⋅=Quando um material homogêneo e isotró-pico é submetido a um estado de tensão triaxial,a deformação em uma das direções da tensão éinfluenciada pelas deformações produzidas portodas as tensões.Saiba maisSaiba maisQuando uma barra é confeccionada em materialhomogêneo e isotrópico e submetida a uma forçaaxial que age no centroide da área de seção trans-versal, o material no interior da barra é submetidosomente à tensão normal, admitindo-se que essatensão é uniforme ou média na área da seção trans-versal.
  14. 14. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br17Você sabe o que é módulo de resiliência?Em particular, quando a tensão σ atingeo limite de proporcionalidade, a densidade de2.2 Módulo de Resiliência (µr)Você sabe o que é módulo de resiliência?Em particular, quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, adensidade de energia de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo deresiliência é dado por:ouFigura 5 – Curva de tensão-deformação.Atençãoenergia de deformação é denominada módulode resiliência. O módulo de resiliência é dado por:Figura 5 – Curva de tensão-deformação.AtençãoAtençãoA resiliência de um material representa a sua ca-pacidade de absorver energia, sem sofrer qual-quer dano permanente.ê sabe o que é módulo de resiliência?particular, quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, ade energia de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo dedado por:ouFigura 5 – Curva de tensão-deformação.Atençãotensãodeformação
  15. 15. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br18O módulo de tenacidade é representadopela área inteira no diagrama de tensão-deforma-ção; portanto, indica a densidade de deformaçãodo material um pouco antes da ruptura. Essa pro-priedade é importante no projeto de elementosde estruturas que possam ser sobrecarregadasacidentalmente.Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tena-cidade.lo de Tenacidademódulo de tenacidade é representado pela área inteira no diagrama de tensão-ão; portanto, indica a densidade de deformação do material um pouco antes dassa propriedade é importante no projeto de elementos de estruturas que possamarregadas acidentalmente.Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade.teriais com alto módulo de tenacidade sofrem grande distorção devido àa, porém podem ser preferíveis aos que possuem baixo valor de módulo dee; já os que possuem módulo de tenacidade baixo podem sofrer rupturasem nenhum sinal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar suaa e tenacidade.cios Resolvidosde cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2e apresenta uma estricçãoalcule:o verdadeira de ruptura;mação verdadeira na ruptura.2.3 Módulo de Tenacidade (µt) Materiais com alto módulo de tenacida-de sofrem grande distorção devido à sobrecarga,porém podem ser preferíveis aos que possuembaixo valor de módulo de tenacidade; já os quepossuem módulo de tenacidade baixo podemsofrer ruptura repentina, sem nenhum sinal dessaruptura iminente. Ligas de metais podem mudarsua resiliência e tenacidade.2.4 Exercício Resolvidos1. Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2e apresenta uma estricção de77%. Calcule:a) a tensão verdadeira de ruptura;b) a deformação verdadeira Vε na ruptura.
  16. 16. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br19Resolução:a)Resolução:a)Isolando a carga P e sendo , temos:Substituindo os valores, obtemos a expressão dada por:A área final após a estricção de 77% é dada pela relação:A tensão verdadeira de ruptura é expressa por:
  17. 17. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br20b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira Vε na ruptura. Lembre-se de que a deforma-ção instantânea é dada pela derivada εd ; portanto, temos:Portanto, temos:eb) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira na ruptura. Lembre-se de que adeformação instantânea é dada pela derivada ; portanto, temos:A elongação verdadeira é dada pela integral:Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos osmembros. A solução é:Portanto, temos:eb) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira na ruptura. Lembre-se de que adeformação instantânea é dada pela derivada ; portanto, temos:A elongação verdadeira é dada pela integral:Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos osmembros. A solução é:Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os membros.A solução é:Mas temos:e
  18. 18. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br21Mas temos:ff lAlA ⋅=⋅ 00e00llAA ff=Portanto, temos:=fverdadeiraAA0lnεA área final será dada por:Mas temos:ePortanto, temos:A área final será dada por:Agora, vamos substituir o valor final obtido na deformação verdadeira:Portanto:Em porcentagem, corresponde a:2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste étensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule adeformação sofrida pela haste de latão.%147=verdadeiraεEm porcentagem, corresponde a:
  19. 19. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br222. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é ten-sionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a deformaçãosofrida pela haste de latão.Resolução: Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica o sentido e adireção da tração aplicada à haste.Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra. A variação do comprimento é dada por:inicialfinal lll −=∆ A deformação é dada pela equação:ll∆=ε Agora, vamos substituir os valores dados:tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule adeformação sofrida pela haste de latão.Resolução:Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indicao sentido e a direção da tração aplicada à haste.Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra.A variação do comprimento é dada por:A deformação é dada pela equação:50 mmAgora, vamos substituir os valores dados:A deformação, em porcentagem, é:2.5 Resumo do CapítuloCaro(a) aluno(a),Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a umacarga externa é secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada emantém cada segmento do corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em umponto do corpo é denominada tensão. A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão
  20. 20. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br23Caro(a) aluno(a),Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma carga externa ésecionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e mantém cada segmento docorpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um ponto do corpo é denominada tensão. Alei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica.2.5 Resumo do Capítulo2.6 Atividades Propostas1. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elatão= 100 GPa. Con-siderando a haste com 3 m de comprimento e sendo submetida a uma carga axial de 2 kN,determine:a) seu alongamento para o diâmetro de 8 mm;b) o alongamento, se o diâmetro for de 6 mm.2. Um corpo de prova de aço, com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de50 mm, foi submetido a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados na tabela, cons-trua uma nova tabela descrevendo a tensão e a deformação em cada ponto dado.Carga (kN) Alongamento (mm)0 011,1 0,017531,9 0,060037,8 0,102040,9 0,165043,6 0,249053,4 1,016062,3 3,048064,5 6,350062,3 8,890058,8 11,9380
  21. 21. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br25Caro(a) aluno(a),A resistência de um material depende desua capacidade de suportar uma carga, sem de-formação excessiva ou ruptura. Essa propriedadeé inerente ao próprio material e deve ser determi-nada por métodos experimentais, como o ensaiode tração ou compressão.Uma máquina de teste é projetada para lera carga exigida, para manter o alongamento uni-forme.ANÁLISE DAS TENSÕES EDEFORMAÇÕES3Figura 8 – Esquema de máquina de tração ou com-pressão.3.1 Tensão-DeformaçãoA tensão nominal σ , ou tensão de enge-nharia, é determinada pela divisão da carga apli-cada P pela área original da seção transversal docorpo de prova A0.A tensão é dada pela equação:0AP=σA deformação nominal ε , ou deforma-ção de engenharia, é determinada pela razão davariação δ , no comprimento de referência docorpo de prova, pelo comprimento de referênciaoriginal do corpo de prova L0. A equação é dadapor:0Lδε = Para um comportamento elástico, temosque:ƒƒ a tensão é proporcional à deformação;ƒƒ o material é linearmente elástico.O escoamento ocorre quando um pequenoaumento na tensão, acima do limite de elasticida-de, resulta no colapso do material, fazendo comque ele se deforme permanentemente.Você deve observar que pode ocorrer umendurecimento por deformação, quando o es-coamento tiver terminado. Aplicando uma cargaadicional ao corpo de prova, obtém-se uma cur-
  22. 22. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br26va que cresce continuamente, mas se torna maisachatada, até atingir a tensão máxima, denomi-nada limite de resistência.Você vai constatar que, no limite de resis-tência, a área da seção transversal começa a dimi-nuir em uma região localizada do corpo de prova,causando o que denominamos estricção.Figura 9 – Máquina de ensaio de tração da marcaPanambra.Nesse caso, o corpo de prova quebra-sequando atinge a tensão de ruptura.Devemos notar que os valores da tensãoe da deformação calculados por essas mediçõessão denominados tensão real e deformação real.O comportamento da tensão-deformaçãode materiais dúcteis e frágeis... Mas, professor, oque é um material dúctil? Calma!Um material dúctil é aquele que pode sersubmetido a grandes deformações antes de so-frer ruptura. Já um material frágil exibe pouco ounenhum escoamento antes da falha.Colocação docorpo de prova3.2 Módulo de CisalhamentoOlá, aluno(a)! Vamos, agora, pensar em fixarum parafuso na parede, utilizando uma chave defenda. Elementos de fixação, como pregos e para-fusos, frequentemente estão sujeitos a cargas decisalhamento. Note que a intensidade de uma for-ça de cisalhamento sobre o elemento de fixação émaior ao longo de um plano que passa pelas su-perfícies interconectadas.A tensão de cisalhamento média distribuídasobre cada área secionada é definida por:AVmédia =τEm que:ƒƒ médiaτ : tensão de cisalhamento mé-dia na seção, que consideramos a mes-ma em cada ponto localizado na seção;ƒƒ V : força de cisalhamento interna re-sultante na seção, determinada pelasequações de equilíbrio;ƒƒ A : área na seção.O comportamento de um material submeti-do a cisalhamento puro pode ser estudado em la-boratório, por meio de corpos de prova na formade tubos finos submetidos à carga de torção. Se otorque aplicado e os ângulos de torção resultan-tes forem medidos, os dados podem ser utiliza-
  23. 23. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br27dos para determinar a tensão de cisalhamento e adeformação por cisalhamento.Vamos admitir que a maioria dos materiaisde engenharia apresente um comportamento li-near elástico; portanto, a lei de Hooke para cisa-lhamento pode ser expressa por:γτ G=Em que:ƒƒ G: módulo de elasticidade ao cisalha-mento ou módulo de rigidez.Uma tensão de cisalhamento aplicada aum material homogêneo e isotrópico somenteproduz deformação por cisalhamento no mesmoplano.3.3 Exercícios Resolvidos1. Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15 cm2euma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície superior,esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de cisalhamento?Resolução:Dados fornecidos pelo problema:ƒƒ V = 0,50 N;ƒƒ A = 15 cm2= 15 x 10-4m2.A tensão de cisalhamento τ é dada por:1. Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15cm2e uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfíciesuperior, esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão decisalhamento?Resolução:Dados fornecidos pelo problema:V = 0,50 N;A = 15 cm2= 15 x 10-4m2.A tensão de cisalhamento é dada por:2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2de seção transversal é esticada 1mm quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior.Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o módulo de Young para a barra.Resolução:Os dados fornecidos pelo problema são:L = 4 m;A = 0,5 cm2;
  24. 24. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br282. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2de seção transversal é esticada 1 mmquando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8m/s2, calcule o módulo de Young para a barra.Resolução:Os dados fornecidos pelo problema são:ƒƒ L = 4 m;ƒƒ A = 0,5 cm2;ƒƒ mm1L =∆ ;ƒƒ m = 225 kg.Efetuando as conversões de unidades para o SI, temos:A = 0,5 cm2= 0,5.10 4m2= 5.10 5m2A deformação é dada por:A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja:A tensão aplicada é dada por:O módulo de Young é dado por:A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja:gmP ⋅=8,9225P ⋅=N2205P =A tensão aplicada σ é dada por:A = 0,5 cm2= 0,5.10 4m2= 5.10 5m2A deformação é dada por:A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja:A tensão aplicada é dada por:O módulo de Young é dado por:
  25. 25. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br29O módulo de Young é dado por:O módulo de Young é dado por:3.4 Resumo do Capítulo3.5 Atividades PropostasCaro(a) aluno(a),Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibem comportamento iniciallinear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e definida pela lei de Hooke. Quando o mate-rial sofre tensão além do ponto de escoamento, ocorre deformação permanente. O comportamento deum material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos deprova na forma de tubos finos submetidos à carga de torção.1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15 kN. Ad-mitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor dessas tensões, emqualquer uma das seções transversais mn ou pq?3.4 Resumo do CapítuloCaro(a) aluno(a),Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibemcomportamento inicial linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação edefinida pela lei de Hooke. Quando o material sofre tensão além do ponto de escoamento,ocorre deformação permanente. O comportamento de um material submetido acisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos de prova naforma de tubos finos submetidos à carga de torção.3.5 Atividades Propostas1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor dessastensões, em qualquer uma das seções transversais mn ou pq?2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura.Considerando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine atensão normal média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2.
  26. 26. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br302. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura. Conside-rando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a tensão normalmédia em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2.
  27. 27. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br31CONSIDERAÇÕES FINAIS4Caro(a) aluno(a),Espera-se que, com esta apostila, você consiga se envolver na disciplina, entenda como definir osconceitos básicos da resistência dos materiais, saiba as grandezas envolvidas no estudo da resistênciados materiais, bem como desenvolva o raciocínio lógico e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentesaos vários assuntos abordados e estudados na presente apostila, no âmbito profissional e, consequente-mente, na sociedade em que se encontra inserido(a).
  28. 28. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br33Capítulo 1RESPOSTAS COMENTADAS DASATIVIDADES PROPOSTASAtençãoAtençãoOlá, aluno(a)!Para a resolução das atividades, não se esqueça de realizar uma revisão da teoria. Existem exercícios resolvidosque irão auxiliar você, passo a passo, na resolução das atividades. Você poderá utilizar a sua calculadora cientí-fica para facilitar os cálculos.RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTASAtençãoCapítulo 11. O esquema de forças é:Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo =0.Considerando o polo em O, temos:Portanto:2. O esquema das forças que atuam no sistema é:
  29. 29. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br342. O esquema das forças que atuam no sistema é:Em que:e são as forças normais sobre a prancha;é o peso da prancha;é o peso do corpo.A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0; portanto,temos:Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo =0.Considerando o polo em N2, temos:
  30. 30. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br35Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos:Capítulo 21. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro.Lembre-se de que a área transversal é dada por:Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por:Então:Capítulo 21. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro. Lembre-sede que a área transversal é dada por:214dA ⋅=πPara o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por:Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos:Capítulo 21. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro.Lembre-se de que a área transversal é dada por:Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por:Então:
  31. 31. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br36Portanto, a área em metros é:A tensão é dada por:O valor da carga P = 2.000 N; portanto:Ou seja:Lembre que:A deformação é dada pela equação:Então, temos:
  32. 32. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br37Então, temos:Ou, ainda:Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por:Portanto, temos:b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm:Então:b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm:22)6(4mmA ⋅=πEntão:Portanto, a área em metros é:
  33. 33. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br38Portanto, a área em metros é:A tensão é dada por:O valor da carga P = 2.000 N; portanto:Ou seja:Lembre que:A deformação é dada pela equação:Então, temos:
  34. 34. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br39Então, temos:Ou, ainda:Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por:Portanto, temos:2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpode prova. Os dados são:2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpo deprova. Os dados são:ƒƒ diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm;ƒƒ comprimento do corpo de prova: l = 50 mm.A área da seção transversal é dada por:diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm;comprimento do corpo de prova: l = 50 mm.A área da seção transversal é dada por:Portanto, a área é dada por:Em metros, temos:
  35. 35. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br40Em metros, temos:Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação:Tensão: Deformação:0,0000 0,00000090,4509 0,000350259,9446 0,001200308,0221 0,002040333,2832 0,003300355,2848 0,004980435,1435 0,020320507,6661 0,060960525,5933 0,127000507,6661 0,177800479,1455 0,238760Capítulo 31. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq.Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação:Tensão:AP=σ Deformação:lδε =0,0000 0,00000090,4509 0,000350259,9446 0,001200308,0221 0,002040333,2832 0,003300355,2848 0,004980435,1435 0,020320507,6661 0,060960525,5933 0,127000507,6661 0,177800479,1455 0,238760Capítulo 31. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq.
  36. 36. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br41Portanto, a força de cisalhamento corresponde a:Portanto, a força de cisalhamento corresponde a:A área do parafuso é:A tensão de cisalhamento é:2. As forças que agem no sistema são:2. As forças que agem no sistema são:A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx= 0.A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx = 0.Os componentes na direção x são e , e valem:Assim:A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0.Os componentes na direção y são e , e valem:
  37. 37. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson MorcelliUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br42Assim:A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0.Os componentes na direção y são e , e valem:Assim:A partir das equações das direções x e y, podemos montar o sistema linear:Multiplicando a primeira equação por , temos:Somando as duas equações, membro a membro, temos:Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos:
  38. 38. Resistência dos MateriaisUnisa | Educação a Distância | www.unisa.br43Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos:Portanto, a tensão em cada haste é:ouou
  39. 39. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br45REFERÊNCIASALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. v. 2.AMALDI, U. Imagens da física – as idéias e as experiências do pêndulo aos quarks. São Paulo: Scipione,1995.BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1995.BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental – 2º grau, volume único. São Paulo: FTD, 1993.BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008.HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São Paulo: PearsonEducation, 2011.SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996.SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 2008. v. 1.TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2.TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1.YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.

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