1. Procesos Industriales Área Manufactura
Ejemplos de: Bernoulli, Distribución Binomial,
Poisson, Distribución Normal, Distribución Gamma Y
T Student
Oscar Rolando de Santiago Gaytán 2 “A”

2. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD NORMAL
1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar
de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
μ
Probabilidad
acumulada.
0.7611
z =
0.3594
z =
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de
75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
0.3594
z
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0

3. p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
0.2389
z = 55 70 80
0.0367 μ
z =
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
z =
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ

4. b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
z =
0.4013
z =
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000) 65000 70000
μ
Probabilidad
acumulada.
0.4013
z =
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de
Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que
la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York
tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación
estándar es de 7.5 minutos.

5. µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
acumulada.
0.1335
z =
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
30 35 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
0.3300
z =
0.1335
z =
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada.
0.5910
0.1335

6. z =
z =
30 38.3
µ = 1,200 μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = σ = 225 0.5910 –
0.1335 = 0.4575 z = 45.75%
Probabilidad
acumulada.
5% = .0500
4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,
Virginia, tiene una distribución
normal, con una media de $1,200 y una
desviación estándar de $225. Al
fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que
solo haya 5% de probabilidad de que
se agoten las existencias. ¿Dónde se
deben establecer los niveles de
inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
5% ó 0.0500
z 1.65
X=
1,571.25
x = 1,571.25

7. 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la
distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de
probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El
95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de
¿Qué cantidad?
95% ó 0.9500
z 1.64
x = 27,462. X=
27,46275
µ = 20,082 z
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =

8. EJEMPLOS DE POISSON
-Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el
3% de los alumnos de contabilidad son muy
inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que
si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos
sean muy inteligentes
- n= 100
- P=0.03
- =100*0.03=3
- x=5
-Ejemplo2.- La producción de televisores en
Samsung trae asociada una probabilidad de

9. defecto del 2%, si se toma un lote o muestra
de 85 televisores, obtener la probabilidad que
existan 4 televisores con defectos.
- n=85
- P=0.02
- P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
- X=4
- =1.7
-Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de
ellos hablan ruso calcular la probabilidad de
que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan
ruso
- n=20
- P=0.15 P (x=3)=(e^8)(3^3)/3!=0.2240418
- X=3
- =3
- Ejemplo4.- El 8% de los registros contables
de una empresa presentan algún problema,
si un auditor toma una muestra de 40
registros ¿Calcular probabilidad de que
existan 5 registros con problemas?

10. - n=40
- P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!
=0.1139793
- =3.2
- X=5
-Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el
20% de las personas tienen defecto de la
vista si tomamos una muestra de 50
personas al azar ¿Calcular Probabilidad
que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10

11. EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
EJEMPLO 1.-

15. En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se
responde declarando
“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el
75% de los casos la
respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen
tirando dos monedas, pone
“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al
menos hay una cruz. Se
desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14
aciertos.
Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la
distribución y el punto k a partir
del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el
punto k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20
p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa
en 0,61.

16. T-STUDENT
Ejemplo1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará un
promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio
esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae
entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta
afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25
focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 s=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el
grafico sig.

17. Ejemplo 2.- El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de
cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en
los que pone el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar
su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida
poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el
enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a
tiempo a dar su primera clase?
Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento
aleatorio que estamos realizando. Este consiste en tomar un dia al
azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a los
siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo
de sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad
de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el
enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de
T , por tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es
un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la
probabilidad total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

18. En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha
proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos
directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión
anterior se puede escribir como: P(T¯) = + =0.69
Ejemplo 3.- La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica
tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la
probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud
media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1
grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos
sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%
Ejemplo4.- Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada
uno de los siguientes casos:

19. 1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que
verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-
Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad,
en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en
nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las
posiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados
de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos
horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al
valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente
hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95
(probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-
Student para colas probabilísticas que van desde 0=75
hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos
que realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

20. Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar
al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla.
Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
Ejemplo.-5 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99
hemos de tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil
buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

21. EJEMPLOS DE BERNOULLI
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la
probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder
darles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos
cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero
16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al
momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que
pueda salir premiado el boleto número 342?

22. ° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 =
0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342) 0 * (341/342)1 = 341/342 =
0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el
éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que
saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna
cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple
todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5