Vectores en el plano

Vectores en el plano y en el espacio
Roc´ıo Meza Moreno
Universidad Aut´onoma Metropolitana, Iztapalapa
Roc´ıo Meza Moreno Vectores

Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
El plano cartesiano, o R2, consta de dos rectas num´ericas
perpendiculares, una horizontal y una vertical.

Vectores
Puntos en el plano
Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada
por (x, y).

Vectores
Puntos en el plano
Un punto del plano es una pareja de números reales denotada
por (x, y). Todo punto puede representarse gráficamente en el
plano cartesiano.

Vectores
Puntos en el plano
El espacio tridimensional, o R3, consta de tres rectas
num´ericas perpendiculares entre s´ı.

Vectores
Puntos en el plano
Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales
denotada por (x, y, z).

Vectores
Puntos en el plano
Un punto del en el espacio es una terna de números reales
denotada por (x, y, z). Y puede representarse gráficamente
usando las coordenadas cartesianas espaciales.

Vectores
Puntos en el plano
Observe que R2 est´a contenido en R3, pues
R2
= {(x, y, 0) | x, y ∈ R}

Vectores
Puntos en el plano
En el plano

Vectores
Puntos en el plano
Distancia entre dos puntos en el plano
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), del
plano cartesiano est´a dada por:
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Vectores
Puntos en el plano
En el espacio

Vectores
Puntos en el plano
Distancia entre dos puntos en el espacio
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1, z1) y
Q = (x2, y2, z2) en el espacio est´a dada por:
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Vectores
Vectores de posición
Magnitud y dirección
Operaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección.

Vectores
Vectores
Geométricamente un vector v puede especificarse por medio de
su punto inicial y su punto final.

Vectores
Vectores
Geométricamente un vector v puede especificarse por medio de
su punto inicial y su punto final.
En el plano

Vectores
En el espacio

Vectores
Las caracter´ısticas importantes de un vector son su
magnitud y su dirección.
As´ı pues, vamos a considerar dos segmentos que tienen la
misma magnitud y dirección como representaciones del mismo
vector, independientemente de la posición en que se encuentre
su punto inicial.

Vectores
Por ejemplo, los siguientes segmentos representan todos al
mismo vector v.

Vectores
Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra
representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la
misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el
origen. Un vector tal se llama vector de posici´on.

Vectores
Para determinar un vector de posición, basta conocer su
punto final. Para denotar un vector de posición v usaremos el
s´ımbolo:
v = a, b

Vectores
Para determinar un vector de posición, basta conocer su
punto final. Para denotar un vector de posición v usaremos el
s´ımbolo:
v = a, b
donde a y b son las coordenadas del punto final del vector v.

Vectores
¡Atención!
(a, b) a, b
⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posición
a y b con punto final (a, b)

Vectores
¡Atención!
(a, b) a, b
⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posición
a y b con punto final (a, b)
Nota: En muchos libros se usa la notación (a, b) para punto y
vector. En esos casos, se debe entender a cuál de los dos se
está haciendo referencia por el contexto.

Vectores
Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
ﬁnal Q = (x2, y2).

Vectores
Si consideramos su correspondiente vector de posici´on:

Vectores
las coordenadas de su punto ﬁnal son

Vectores
las coordenadas de su punto ﬁnal son (x2 − x1, y2 − y1)

Vectores
Dado un vector en el plano v =
−−→
PQ con punto inicial
P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Su representación como
vector de posición está dada por
v = x2 − x1, y2 − y1

Vectores
En el espacio ocurre lo mismo

Vectores
Dado un vector en el espacio v =
−−→
PQ con punto inicial
P = (x1, y1, z1) y punto final Q = (x2, y2, z2). Su representación
como vector de posición está dada por
v = x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1

Vectores
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector
−−→
PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto ﬁnal Q.

Vectores
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector
−−→
PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto ﬁnal Q.
Se denota por el s´ımbolo
−−→
PQ

Vectores
En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2),

Vectores
En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Vectores
En el plano:
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y es la distancia del origen al punto ﬁnal (x, y), esto es,

Vectores
En el plano:
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y es la distancia del origen al punto ﬁnal (x, y), esto es,
v = x2 + y2

Vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2),

Vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Vectores
En el espacio:
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y, z es la distancia del origen al punto ﬁnal (x, y, z),
esto es,

Vectores
En el espacio:
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y, z es la distancia del origen al punto ﬁnal (x, y, z),
esto es,
v = x2 + y2 + z2

Vectores
Dirección de un vector
La dirección de un vector en el plano es el ángulo 0 ≤ θ < 2π
medido en radianes que forma dicho vector con el lado positivo
del eje x.

Vectores
Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de
vectores:

Vectores
Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de
vectores:
Velocidad:

Vectores
Fuerza:

Vectores
Desplazamiento:

Vectores
Suma de vectores
Para sumar geom´etricamente dos vectores v1 y v2

Vectores
se traza una copia del primer vector de manera que su punto
inicial coincida con el punto ﬁnal del segundo vector

Vectores
La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto
inicial de v1 y cuyo punto ﬁnal es el punto ﬁnal de v2.

Vectores
Obs´ervese que si se traza una copia del segundo vector con su
punto inicial en el punto ﬁnal del primero, se obtiene el mismo
resultado. Es decir, la suma de vectores es conmutativa.

Vectores
En el espacio la suma de vectores se obtiene de igual manera.

Vectores
Desigualdad del tri´angulo
Para cualesquiera dos vectores v1 y v2 se cumple que
v1 + v2 ≤ v1 + v2

Vectores
Algebraicamente la suma de vectores se deﬁne como sigue.

Vectores
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2

Vectores
En el plano:
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
En el espacio:
Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2

Vectores
En el plano:
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
En el espacio:
Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumando
componente a componente.

Vectores
Ejercicio.
Explique por qu´e cuando se suman geom´etricamente dos
vectores en el plano v = v1, v2 y w = w1, w2 , el vector
resultante en efecto tiene componentes
v + w = v1 + w1, v2 + w2

Vectores
Multiplicación por un escalar
El producto de un vector por un número es un vector que se
define en la siguiente forma.

Vectores
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy

Vectores
En el plano:
λv = λx, λy
En el espacio:
Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es
λv = λx, λy, λz

Vectores
En el plano:
λv = λx, λy
En el espacio:
Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es
λv = λx, λy, λz
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar se
multiplica cada componente por dicho escalar.

Vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
dirección, solo modifica su magnitud.

Vectores
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es

Vectores
λv = |λ| · v = λ · v

Vectores
λv = |λ| · v = λ · v
Por ejemplo,

Vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
λv = |λ| · v = −λ · v

Vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
λv = |λ| · v = −λ · v
En este caso, además de modificarse la magnitud del vector v
por un factor |λ| el vector λv tiene dirección opuesta a v.

Vectores
Por ejemplo,

Vectores
Ejercicio.
¿Qu´e ocurre cuando se multiplica un vector por un escalar
con |λ| < 1?

Vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.

Vectores
Vectores paralelos
Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede
escribir
v = λw
para alg´un n´umero real λ.

Vectores
Vectores paralelos
Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede
escribir
v = λw
para algún número real λ.
Si λ es positivo v y w tienen la misma dirección, pero si λ es
negativo tienen direcciones opuestas.

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