1. Chapitre 3: Pièces soumises à la
flexion simple
Module Béton Armé - 2AGC - ENIT
1

2. Plan du Cours
I. Introduction
II. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELUR
II.1. Sections rectangulaires sans aciers comprimés
II.2. Sections rectangulaires avec aciers comprimés
II.3. Sections en T
III. Dimensionnement à l’ELS
III.1. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELS.
III.2. Limitation des contraintes normales
III.3 Limitation de la flèche
2

3. I. Introduction
Sollicitations de la flexion simple
M
V
On se limitera dans ce chapitre à l’étude de l’effet du moment
fléchissant sur une section en B.A. Le chapitre suivant sera consacré
à l’étude de l’effort tranchant.
3

4. Poutre isostatique sur deux appuis simples uniformément
chargée
x
M(x)
Mmax(L/2)=ql2/8
4

5. A?
En pratique, les aciers longitudinaux se terminent par de crochets pour
améliorer leur l’adhérence au béton
5

6. Dimensionnement
calcul de la
section A d’aciers longitudinaux
• Il
faut justifier qu’aucun état-limite ultime ou de
service n’est atteint.
• Dans de nombreux cas, il est possible de connaître à
l’avance l’état-limite qui sera déterminant, ce qui rend
inutile toute vérification ultérieure vis-à-vis d’autres
états-limites.
• Dans le cas de la flexion simple, l’état-limite
déterminant est :
— l’ELUR, si la fissuration est peu préjudiciable ;
— l’ELS (d’ouverture des fissures), si la fissuration est
très préjudiciable.
6

7. II. Calcul de la section d’acier
longitudinal à l’ELUR
Schéma d’équilibre limite d’une section de poutre sollicitée à la flexion simple
7

8. II.1. Calcul à l’ELUR d’une section rectangulaire
Mu : moment sollicitant calculé à l’ELUR
y
y
y
eb
f bu
Yu
A.N.
e
z
h d
Mu
Au
es
f
 0,85 c28
θ γb
0,8 Yu
y
y
Fb
fbu
s
s
Mu
F
Zu
ss
ss
Fs=Au ss
b
On
pose:
Yu   u d  Fb  f bu 0,8 Yu b  f bu 0,8 u d b
Zu  d - 0,4Yu  d(1- 0,4u )
En général, on suppose que: d=0,9h
8

9. Fb  Fs  A us s
Equations d' équilibre ultime de la section 
M u  Fb Zu
Mu
Au 
Z us s
Zu  d(1 - 0,4 u )
Mu  (f bu 0,8 u d b)[d(1- 0,4u )]
M u  (f bu bd )[0,8 u (1 - 0,4 u )]
2
Mu
u 
 0,8 u (1 - 0,4 u ) ; u : Moment ultime réduit
2
f bu bd
 u  1,25 (1 - 1  2u )
ss ?
Zu
9

10. Dimensionnement
• Règlement BAEL limite la hauteur du béton
comprimé en flexion simple (pour limiter la
compression du béton)
• En général, Ylim  0,4h=> lim  0,44 => ulim
 0,3 (Fe 400) et ulim 0,27 (Fe 500)
-Si   lim=>u  ulim et Mu Mulim =
 bd f => Pas besoin d’armatures comprimées
ulim
2
bu
(A’=0)
- Si  > lim => u > ulim et M > Mulim
=> Besoin d’armatures comprimées (A’  0)
10

11. ss
Choix du Pivot de calcul
y
y
0ebu=2‰ B
YAB
h
3/7h
C
Mu  MAB
d
2
1
MAB Mu  MBC
A
A
ebu=3,5‰
Diagrammes des
déformations
limites de la section
esu=10‰
0
Calcul autour du Pivot A (Région 1):
Mu  MAB
:
Calcul autour du Pivot B (Région 2):MAB
Mu  MBC
11

12. Moments Frontières
Moment frontière MAB
0
YAB  0,259d   AB  0,259
B3,5‰
YAB=0,259d
 AB  0,186
C 2‰
Moment frontière MBC
YBC  h  1,1d   BC  1,1
d
Mu < MAB
1
h
2
MAB Mu  MBC
  BC  0,493
A 10‰
0
12

13. Dimensionnement
Mu
fe
u 
 0,186  Pivot A  e s  e su  10‰  s s  f su 
2
f bu bd
s
Mu
1-u
0,186  u 
 Pivot B  e s  3,5‰
2
f bu bd
u
s
si e s  e e  s s  E a e s
f
 
ee  e
f
Ea γs
si e s  e e  s s  f su
f su  e
s
Comparer u à 0.186 est équivalent à comparer
 AB à 0,259
Ea = 200 GPa
ee
e
-10‰
 AB  0,259
 AB  0,259
pivot
10‰
A
pivot B
 f su  
fe
s
13

14. Ferraillage minimal: condition de
non fragilité
• Pour les sections rectangulaires:
A min
f t28
 0,23 bd
fe
14

15. Récapitulatif: Calcul d’une section rectangulaire sans aciers comprimés
u 
Mu
 u lim NON Redimensionnement de la section du
2
bd f bu
béton ou ajout d’armatures
OUI
Pivot A
e s  10‰
s s  f su
OUI
u  0,186
comprimées
NON
Pivot B
 u  1,251  1  2u 
e s  3,5‰
yu   u .d
Zu  d  0,4. yu
ss  
Mu
Au 
Z u .s s


f
 Au , A min  0,23 t28 bd 
Aucalcul  max 

fe


1- u
u
fe
γs E
f
si ε s  e
γs E
Eε s si ε s 
f su
15

16. Exemple 1
1-1
60 cm
54 cm
1
35 cm
1
8m
16

17. Exemple 1
• Poutre uniformément chargée
– Charges permanentes y compris poids propre
poutre: g=12,5 kN/m
– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/m
– Durée d’application des charges > 24h
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: HA FeE 400
• ulim = 0,3
Calculer la section d’acier nécessaire à l’ELUR
au niveau de la section médiane de la poutre.
17

18. Exemple 1
• Mg = gl2/8 =100 kN.m
• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m
• Mu = 1,35 Mg + 1,5Mq = 341,4 kN.m
= 0,3414 MN.m
• fbu = 0,85 (25)/1,5 = 14,17 MPa
• ft28=0,6+0,06*25=2,1 MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
18

19. Exemple 1
• Moment ultime réduit u = Mu/(bd2fbu) = 0,235
< ulim => Pas besoin d’armatures comprimées
(A’=0)
• u > 0,186 => Pivot B
• u = 0,34 => es = 3,5‰ (1- u)/ u = 6,8‰
• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =
348 MPa
• Zu = d (1-0,4 u) = 0,54*(1-0,4*0,34)=0,466m
• Au = Mu / (Zu ss) = 0,002102 m2 = 21,02 cm2
• Amin=0,23bdft28/fe =2,28 cm2 < Au
19
=> Aucalcul = 21,02 cm2

20. Sections rectangulaires avec armatures
comprimées
A’u
d’
Yulim
ulimd
eb=3,5‰
esc
fbu
ssc
0,8 ulimd
A.N.
d
Mu
Au
ss
es
Mu
b
Fsc=A’ussc
Fb=0,8 ulimdbfbu
Mu1
=
Fs1=Au1 ss
Mu2=Mu-Mu1
+
Zu1=d(1-0,4ulim)
d-d’
Fs2=Au2 ss
A u  A u1  A u2
20

21. • M u  M u1  M u2 et A u  A u1  A u2
Fb  A u1s s
Equations d' équilibre ultime 
M u1  Fb Z u1 Et

Zu1  d(1 - 0.4 ulim )
• Mu1 = ulim b fbu
• Mu2 = Mu – Mu1
d2
M u1
A u1 
d(1 - 0.4 ulim ) Fed
Fsc  A'u s sc  A u2s s

M u2  Fsc (d - d' )
 ulim  1,25(1 - 1  2ulim )
A 'u  A u2
M u2
A u2 
(d - d ' ) Fed
21

22. Dimensionnement
• Économie => Mu2 ≤ 0,4 Mu
• Flambement des armatures comprimées
=> maintenir les armatures comprimées
par des armatures transversales dont
l’espacement st ≤ 15 Fc
22

23. Exemple 2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
b = 70cm
h = 110cm
d = 101cm
d’ = 9cm
Béton: fc28 = 27 MPa
Acier: FeE 400 HA
Mu = 3,8 MN.m
ulim = 0,3
Calculer la section d’acier à l’ELU
23

24. Exemple 2
• fbu = 0,85 (27)/1,5 = 15,3 MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
• Moment réduit : u = Mu/(bd2fbu) = 0,347 > ulim
=> armatures comprimées nécessaires
• ulim = 0,4594 > 0,259=> calcul autour du pivot
B=> es = 3,5‰ (1-ulim)/ulim = 4,12‰
• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =348
MPa
• esc = 3,5‰ (ulimd-d’)/(ulimd) = 2,82‰ > ee =
1,74‰ => ssc = 348 MPa
• Mu1 = ulim b d2 fbu = 3,277MN.m
• Mu2 = Mu – Mu1 = 0,522 MN.m< 0,4Mu=1,52MN.m
24

25. Exemple 2
M u1
2
2
A u1 
 0,01142 m  114 ,2 cm
d(1 - 0.4 ulim )s s
M u2
2
2
A u2 
 0,001632 m  16,3 cm
'
(d - d )s s
Au  Au1  Au2  114,2  16,3  130,5cm 2  Amin  9,02cm 2
A'u  A u2  16,3cm 2
25

26. Section en T
• Planchers nervurés en béton armé (à corps creux):
succession des nervures portant dans un seul sens
Table de compression et dalle de répartition
1m
nervure
33 cm
hourdis
33cm
Table de
compression
5cm
Ame
16 cm
(ou 19+6cm)
26
7cm

27. • Modélisation des poutres supports des dalles pleines: Section
en T (en travée uniquement)
Dalle
pleine
L
1
1
Largeur b de la table de compression en travée:
L
10
b  b0

 Min
2
 lt
2

b
b0
lt
Coupe 1-1
27

28. Dimensionnement
• Détermination du moment résistant MTu équilibré
par la table de compression: on suppose que Yu=h0/0,8
b
fbu
h0
Fbc  f bu bh 0
h0/0,8
A.N.
MTu
Au
Zu = d-h0/2
Fs=Au ss
b0
M Tu
h0
 (f bu bh 0 )[d - ]
2
28

29. Dimensionnement
Comparer Mu à MTu
- Mu ≤ MTu => Yu  h0/0,8 => Dimensionnement en Section
rectangulaire (b, d)
- Mu > MTu => Yu > h0/0,8 => Dimensionnement Section en T
b
A.N.
h0
b
Yu h0
Yu
A.N.
d
Mu<MTu
Mu>MTu
Au
Au
b0
b0
29

30. Dimensionnement en section en T
• Mu > MT,u
b-b0
b0
b
h0
Yu
Zu1
=
Au
Au1
Zu2 = d-h0/2
+
Mu1
Mu2
Au2
b0
Mu = Mu1 + Mu2
Au = Au1 + Au2
30

31. Dimensionnement en section en T
h0
M u2  f bu (b - b 0 )h 0  [d - ]
2
M u1  M u - M u2
M u1
A u1 
d(1 - 0.4 u1) Fed
M u2
A u2 
h0
(d - ) Fed
2
Au = Au1 + Au2
M u1
 u1  1,25(1  1  2u1 ; u1 
b0 d 2 f bu
31

32. Ferraillage minimal: condition de
non fragilité
• Section en T:
3
A min
I Gz f t28

h0
fe
(d - )v
3
3
h0
h
'2
I Gz  b 0
 (b  b 0 )  b 0 h  (b  b 0 )h 0 v
3
3
2
2
b 0 h  (b  b 0 )h 0
'
v 
2b 0 h  (b  b 0 )h 0 
v  h-v
'
32

33. Exemple 3
33cm
Données:
•
•
•
•
Mu=0.0062 MN.m
Béton: fc28 = 25 MPa
Acier: FeE 400 HA
ulim = 0,3
5cm
18.9cm
16cm
Au
7cm
Déterminer Au
33

34. Exemple 3
h0
M Tu  (f bu bh 0 )[d - ]  0.0383MN.m
2
• Mu = 0,0062 MN.m < MTu => Section
rectangulaire (b=0,33m;d= 0.189m)
• Moment réduit: u = Mu/(bd2fbu) = 0,037 < ulim
= 0,3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0
• u < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss =fsu=
348 MPa
• u = 0,047 => Zu = d (1-0,4 u) = 0,185m
• Au = Mu / (Zu ss) = 0,96 cm2 => 1HA12
(Aréel=1,13cm2)
34

35. Exemple 3
• Schéma de ferraillage:
Armatures constructives 1HA10
Armatures d’âme 1 Étrier RL 6
Armatures tendues 1HA12
35

36. Exemple 4
1
0,7m
0,21m
1,2m
1,65
m
1
4,8m
0,4m
Coupe 1-1
• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml
• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml
• Charge concentrée
– Permanente: G=79T
– Exploitation: Q=23T
• Béton: fc28 = 20 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Calculer Au à l’ELU au niveau de la section où s’applique la charge 36
concentrée

37. Exemple 4
P
p
b
a
L
P
=
b
a
p
+
x
L
L
+
M(a) = Pab/L
M(x) = pLx/2 – px2/2
37

38. Exemple 4
• fbu = 0,85 (20)/1,5 = 11,33MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
•
•
•
•
•
Mg= 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,79625T.m
MG= 79x1,65x3,15/4,8 = 85,54218 T.m
Mq= 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m
MQ= 23x1,65x3,15/4,8 = 24,90468 T.m
Mu = 1,35x(7,79625 + 85,54218) +1,5x(2,079 +
24,90468) = 166,48T.m = 1,6648MN.m
38

39. Exemple 4
M Tu
h0
 (f bu bh 0 )[d - ]  1,653MN.m
2
• Mu > MTu => calcul en section en T
• Mu2= 0,71MN.m => Mu1=Mu- Mu2= 0,954MN.m
• Moment réduit: u1 = Mu1/(b0d2fbu) = 0,174 < ulim
=0.3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0
• u1 < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss = 348MPa
• u1 = 0,24 => Zu1 = d (1-0,4 u1) = 0,994 m
• Au1 = Mu1 / (Zu1 ss) = 0,002758 m2 = 27,58 cm2
• Au2 = Mu2 / ( d-h0/2)ss= 0,002050 m2 = 20,5 cm2
39
Au = 48,08 cm2

40. Exemple 4
Schéma de ferraillage proposé:
Aciers constructifs
Aciers de peau
5 HA16 + 5 HA14
=> A=48,9cm2
10 HA20
Vérification: dréel=(114,2*31,42+ 108,9*10,05+107,4*7,70)/48,9
dréel=112,051 > dcalcul=1,1 => A réel > A calcul =>OK
Armatures de peau: pour les poutres de grande hauteur, il faut prévoir des armatures
40
de peau (non fragilité) de section au moins égale à 3cm2 par mètre linéaire de
parement en cas de FP ou FPP, et 5cm2 en FTP

41. États Limites de Service
• Sollicitations de calcul => Combinaisons Rares
Gmax  Gmin  Q1    0i Qi
i 1
• Béton et acier: Comportement élastique linéaire
• Es/Ebv = 15 ; Ebv: module de déformation longitudinale
vrai du béton (différé)
• ELS de compression du béton: s bc  s bc  0,6 f c 28
• ELS d’ouverture de fissures: s s  s s
s s : Contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS
41

42. Contraintes limites de traction de l’acier à
l’ELS
• Fissurations peu préjudiciables (FPP)
ss  f e
• Fissurations préjudiciables (FP)
– Pièces exposées aux intempéries ou à des
condensations
2
 3 fe
s s    Min
Max (0,5f e ; 110 f tj (MPa))

Coefficient de fissuration
f tj  0.6  0.06 f cj (MPa)
1 pour ronds lisse

  1,3 pour fils HA   6mm
1,6 pour barres HA et fils HA  6mm

42

43. Contraintes limites de traction de l’acier à
l’ELS
• Fissurations très préjudiciables (FTP)
– Pièces placées en milieu agressif
s s  0,8 ( MPa )
 : contrainte limite dans le cas de la F.P.
43

44. Dimensionnement
Moment résistant du béton Mrb: moment de service
pour lequel l’état limite de compression du béton et
l’état limite d’ouverture des fissures sont atteints
simultanément
e bc
y
A.N.
h d
Mrb
Aser
es
b
σ bc
ε bc 
Eb
σs
σs
εs  
E s 15E b
εs
ε bc

 ε s y  ε bc (d - y)
d-y y
y

d
ε bc

ε s  ε bc
44

45. Dimensionnement
ε bc


ε s  ε bc ss
s bc
15E b
Eb
s bc

Eb
e bc
15 s bc

ss  15 s bc
s bc
Fbc
y
A.N.
h d
Aser
b
es
Mrb
ss
Mrb
Z
Mrb
Fs  Aser ss
45

46. Dimensionnement
Fbc  Fs  A ser s s

Equations d' équilibre élastique 
M rb  Fbc Z

Fbc  1 / 2 sbc y b  1 / 2 sbc  d b
y
d

Z  d -  d -  d(1 - )
3
3
3


2
M rb  (1 - )s bc bd
2
3
46

47. Dimensionnement
Si Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées


M ser  (1 - )sbc bd 2
2
3
M ser
A ser 
Zss
s bc
e bc
y  d
h d
Aser
b
es
Mser
Mser
ss
ss
15
Fbc
Z Mser
Fs  Aser ss
47

48. Dimensionnement
ss 
s bc 
15 1  

 ss 
2
M ser  (1 - )
bd
2
3 15 1  
ss  2

2
M ser 
(1 - ) bd
30 1  
3

Z

Z
Z  d(1 - )   1 -    3(1  )
3
d
3
d
Z 2
(1  )
M ser
3 Z
d


2
ssbd 10 d 1  3(1  Z )
d
48

49. 0.94
Z
d
0.9
0.86
0.82
0.78
0
0.005
0.01
0.015
M ser

2
ss bd
0.02
0.025
49

50. Dimensionnement
Si Mser > Mrb => sbc  sbc
Armatures comprimées nécessaires
Mser = Mrb + M2
A’ser
h d
Ase
r
d’
e bc
y  d
es
Mser
s bc Fsc  A serssc
ssc
Fbc
'
Mser
ss
Z
d-d’
Fs  Aser ss
b
50
Mser

51. Dimensionnement
  '
d'
'
s sc  15s bc
avec  
d

M ser  M rb
A 
ssc (d  d' )
'
ser
M rb
' ssc
A ser 
 A ser

ss
d(1 - )ss
3
51

52. Exemple 5
1-1
60 cm
54 cm
1
35 cm
1
8m
52

53. Exemple5
• Poutre uniformément chargée
– Charges permanentes y compris poids propre:
g=12,5 kN/ml
– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/ml
•
•
•
•
Béton: fc28 = 25 MPa
Acier: FeE 400 HA
Fissuration préjudiciable
Calculer la section d’acier à l’ELS au niveau
de la section médiane de la poutre
53

54. Exemple 5
• Mg = gl2/8 =100 kN.m
• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m
• Mser = Mg + Mq = 237,6 kN.m
sbc  15MPa
  0,527
ss  201,6MPa
M rb  330kN.m
Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées
M ser
Z

 0,0115   0,845 => Z=0,456m
2
ss bd
d
54

55. Exemple 5
Ou prendre

Z  d(1 - )
3
M ser
A ser 
Zss
A ELU  21,4cm 2
Aser  25,8cm 2
(voir exemple 1)
As  sup(Aser , A ELU )  25,8cm 2
55

56. Vérification des contraintes à l’ELS
• Les conditions d’utilisation d’un ouvrage peuvent changer au cours de son
exploitation (variation de la charge d’exploitation, la nuisibilité des fissures, etc.)
=> il faut vérifier les contraintes aux ELS.
s bc
y
y1
A’s
y
d’
Béton comprimé :
z
G
d
As
b
Mser
ss
s ( y) 
M ser
y
h
I Gz
ssc
Mser
ss
15
Section homogène en béton (de module Ebv) :
Bh= B + 15 (As + A’s )
s sc
15
M ser
s bc  h y1  s bc
I Gz
15M ser
s s  h (d - y1 )  s s
I Gz
15M ser
fe
s sc  h (y1 - d') 
I Gz

56

57. Vérification des contraintes à
l’ELS
y
d’
h d
A’s
15A’s
y1
y1 / 2
z
G
b
15As
As
b
yG Bh 
y1 - d'
y
Gi S i
d - y1
0
i
by1 y1 / 2  15 A' s ( y1  d ' )  15As (d - y1 )  0
by12 / 2  15( As  A's ) y1  15(As d  A's d ' )  0
I
h
Gz
y1
 by / 3  15As (d - y1 )  15 A's ( y1  d ' )
3
1
2
2
57

58. Exemple 6
1-1
60 cm
54 cm
1
35 cm
1
A ELU  21,4cm 2
Mser = 237,6 kN.m
8m
• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration préjudiciable
58

59. Exemple 6
by12 / 2  15A y1  15Ad  0  35y12 / 2  15  21,4  y1  15  21,4  54  0
=>
y1  23,6cm
I Gz  by13 / 3  15A(d - y1 ) 2  0,0045m 4
M ser y1 237,6  0,236
s bc 

 12,5MPa  s bc  15MPa  OK
I Gz
0,0045
M ser (d - y1 )
s s  15
 240,8MPa  s s  201,6MPa  A s  AELU
I Gz
59

60. Exemple 7
•
•
•
•
•
•
•
b = 70cm
h = 110cm
d = 101cm
d’ = 9cm
Béton: fc28 = 27 MPa
Acier: FeE 400 HA
Mser = 2,5 MN.m
• A’=16 cm2 ; A= 128,7cm2
• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration
60
préjudiciable

61. Exemple 7
by12 / 2  (nA  nA ' ) y1  n(Ad  A 'd ' )  0; n  15
I Gz  by13 / 3  nA(d - y1 ) 2  nA ' (y1  d ' ) 2
s bc  0,6f c28  16,2MPa
y1  50,2cm
I Gz  8341118cm 4  0,0834m 4
ss  207,3MPa
s sc  347,8MPa
M ser y1 2,5  0,502
s bc 

 15MPa  s bc
I Gz
0,0834
M ser (y1  d ' )
2,5(0,502  0,09)
s sc  15
 15
 185,3MPa  s sc
I Gz
0,0834
M ser (d - y1 )
2,5(1,01- 0,502)
s s  15
 15
 228,4MPa  s s
I Gz
0,0834
 A  128.7cm insuffisante
2
61

62. Calcul à l’ELS: Section en T
• Calcul de MTser:
M Tser
h0
d
ss
3 bh 2

0
30 d  h 0
• Si Mser ≤ MTser => Section rectangulaire (b,d)
• Si Mser > MTser => Section en T
– Bâtiments: Z=d-0,5ho
– Ponts: Z=0,93d
M ser
A ser 
Zss
62

63. Vérification des contraintes à
l’ELS: Section en T
• Axe neutre dans la table de compression:
y1h0 Calcul des contraintes d’une section rectangulaire
(b, d)
Axe neutre dans la nervure: y1>h0
2
y12
h0
b0  y1[(b - b 0 )h 0  n(A  A')] - [(b - b 0 )  n( Ad  A' d ' )]  0
2
2
y13
( y1  h0 )3
I h Gz  b  (b  b0 )
 nA(d  y1) 2  nA' ( y1  d ' ) 2
3
3
(n=15)
M ser y
s h
I Gz
63

64. Exemple 8
1
0,7m
0,21
m
1,2m
1,65
m
1
4,8m
0,4m
Coupe 1-1
• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml
• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml
• Charge concentrée
– Permanente: G=79T
– Exploitation: Q=23T
• Béton: fc28 = 20 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Au = 48,9cm2
• Fissurations préjudiciables
64

65. Exemple 8
•
•
•
•
•
Mg: 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,796T.m
MG: 79x1,65x3,15/4,8 = 85,542 T.m
Mq: 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m
MQ: 23x1,65x3,15/4,8 = 24,905 T.m
Mser = (7,796 + 85,542) +(2,079 + 24,905) =
120,32 = 1,203MN.m
s bc  0,6f c28  12MPa
s s  200MPa
• MTser =0,239MN.m
• Mser > MTser => Section en T=> y1>h0
65

66. Exemple 8
• Axe neutre dans la nervure
h0
(y1 - h 0 ) 2
bh 0 (y1 - )  b 0
 nA(d - y1 )  0  y1  39,76cm
2
2
I Gz
h 0 2  b 0 ( y1  h 0 ) 3
1 3
  bh 0  bh 0 ( y1  )  
 nA(d - y1 ) 2  0,048m 4
2 
3
12
M ser y1
s bc 
 9,93MPa  s bc  12MPa
I Gz
M ser (d - y1 )
s s  15
 255,67MPa  s s  200 MPa
I Gz
Au  48.9cm insuffisante
2
66

67. ELS de déformation: Limitation de la flèche
• Les déformations des éléments fléchis doivent rester suffisamment faibles
pour :
- ne pas nuire à l´aspect et à l´utilisation de la construction
- ne pas occasionner des désordres dans les éléments porteurs.
- ne pas endommager les revêtements, les faux plafonds ou les autres
ouvrages supportés.
=> Il faut limiter la flèche
• Pour les éléments supports reposant sur deux appuis, la valeur de la
flèche admissible dans le cas où les ouvrages supportés (cloisons et
revêtements), sont fragiles est limitée à:
f adm 
l
500
si
l £ 5m
(avec l en cm)
l
si
l > 5m (avec l en cm)
1000
• Pour les éléments en console, la valeur de la flèche admissible de l´extrémité
de la console, dans le cas où les ouvrages supportés sont fragiles, est limitée
à: f adm  l (cm ) si la portée l est au plus égale à 2m.
250
• Quand les ouvrages supportés ne sont pas fragiles, la flèche admissible67
est
égale au double de celle obtenue dans le cas d’ouvrages supportés fragiles.
f adm  0.5 

68. • Pour tenir compte de l´existence éventuelle de fissures dans les zones
tendues, on substitue dans les calculs, au moment d´inertie I0 de la section
totale rendue homogène, un moment d´inertie fictif If évalué empiriquement.
• Dans le cas des poutres simplement appuyées isostatiques ou continues et
des bandes de dalles isostatiques ou continues, dirigées dans le sens de la
petite portée, soumises à des charges uniformément réparties, les flèches
sont déterminées selon le BAEL comme suit :
Ml 2
- la flèche fi correspond aux déformations instantanées: f i 
10 Ei I fi
- la flèche fv correspond aux déformations différées:
Ml 2
fv 
10 Ev I fv
2i
0,05 f t 28
1,75 f t 28
I0
I0
; v 
; i 
I fi  1,1
et I fv  1,1
avec   1 
b0
5
4 s s  f t 28
1  i 
1  v 
(2  3 ) 
b
M : le moment fléchissant maximal à l’ELS produit dans la travée considérée par le cas de charge envisagé;
L: portée de la travée considérée comptée entre nus d’appuis.
Ei : module d’élasticité instantané du béton et Ev : module différé du béton ; Ev=Ei/3;
Ifi : Moment d’inertie fictif instantané et Ifv : Moment d’inertie fictif différé;
I0: désigne le moment d´inertie de la section totale en béton armé rendue homogène (n = 15) ;
ss: la contrainte de l’acier à l’ELS;
b0 : la largeur de la nervure et b celle de la table de compression
A

:
b d rapport de l´aire A de la section de l´armature tendue à l´aire de la section utile de la nervure
68

69. • Pour les consoles soumises à des charges uniformément réparties, on peut
admettre que les flèches fi et fv de l´extrémité de la console correspondant aux
déformations instantanées et de longue durée, ont respectivement pour
valeurs:
2
2
Ml
Ml
fi 
et f v 
4 Ei I fi
4 Ev I fv
69

70. Exemple 9
1-1
60 cm
54 cm
1
35 cm
1
A ELU  21,4cm 2
g= 20,7KN/m
q= 9 KN/m
8m
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Plancher à usage de salle de réunion
• Ouvrages supportés (revêtement) supposés non fragiles
• Fissuration peu préjudiciable
• Vérifier l’ELS de déformation
70

71. Exemple 9
• Vérification de la flèche instantanée fi
Mser-rare= Mg + Mq= 237,6 KN.m
I 0  0,0045 m 4 et s s  240,8MPa (voir exemple 6)
E i  110003 25  32130MPa
21,4 *10 4

 0,0113
0,35 * 0,54
0,05 * 2,1
i 
 1,858
(2  3 *1) * 0,0113
  1
1,75 * 2,1
 0,717
4 * 0,0113 * 240,8  2,1
I fi  1,1
0,0045
 0,00212m 4
1  1,858 * 0,717
0,2376 * 82
800
fi 
 0,022m  2,2cm  f adm  2 * (0,5 
)  2,6cm71
OK
10 * 32130 * 0,00212
1000

72. Exemple 9
• Vérification de la flèche différée fv
Mser-quasi-permanent= Mg + 2Mq =Mg + 0,4Mq= 194,4 KN.m;
0,4Mq est la part des charges d’exploitation d’une salle de réunion considérée comme
permanente à prendre en compte dans l’évaluation des déformations différées dues au
fluage du béton
32130
Ev 
 10710MPa
3
2
5
v  *1,858  0,743
  0,717
I fv
0,0045
 1,1
 0,00323m 4
1  0,743 * 0,717
0,1944 * 82
800
fv 
 0,035 m  3,5cm  f adm  2 * (0,5 
)  2,6cm
10 *10710 * 0,00323
1000
72
=> ELS de déformation non vérifié !