Un poco de teoría de funciones booleanas.

1. Universidad Nacional del Nordeste
Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura
Profesor: Roberto Rodriguez

2.  En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada
Álgebra de Boole.
 Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta álgebra es posible
modelar los llamados Sistemas Digitales.

3.  Sea 퐵 ≠ ∅, (퐵, +,∙) es un álgebra de Boole si se verifica:
 ∀푥, 푦 ∈ 퐵:
푥 + 푦 ∈ 퐵 푥 ∙ 푦 ∈ 퐵
 ∀푥, 푦 ∈ 퐵:
푥 + 푦 = 푦 + 푥 푥. 푦 = 푦. 푥
 ∀푥, 푦, 푧 ∈ 퐵:
푥 + 푦 + 푧 = 푥 + 푦 + 푧 푥. 푦. 푧 = 푥. 푦 . 푧
 ∀푥, 푦, 푧 ∈ 퐵:
푥 + 푦. 푧 = 푥 + 푦 . 푥 + 푧 푥. 푦 + 푧 = 푥. 푦 + 푥. 푧
 ∃0 ∈ 퐵 ∀ 푥 ∈ 퐵: ∃1 ∈ 퐵, 1 ≠ 0 ∀ 푥 ∈ 퐵:
푥 + 0 = 푥 푥. 1 = 푥
 ∀푥 ∈ 퐵, ∃푥′ ∈ 퐵:
푥 + 푥′ = 1 푥. 푥’ = 0

4.  Idempotencia 푥 + 푥 = 푥
푥. 푥 = 푥
 Propiedades de acotación. 푥 + 1 = 1
푥. 0 = 0
 Propiedades de absorción. 푥 + 푥. 푦 = 푥
푥. 푥 + 푦 = 푥
 Propiedades de los complementos:
0′ = 1 1′ = 0
 Involución:
(푥´)´ = 푥
 Leyes de Morgan
푥 + 푦 ′ = 푥´. 푦′ 푥. 푦 ′ = 푥′ + 푦′
 푥 + 푥′푦 = 푥 + 푦 푥. 푥′ + 푦 = 푥푦

5.  Una expresión booleana es una suma de productos (llamados
minitérminos) o un producto de sumas (llamadas maxitérminos).
 Ejemplo:
 퐹 = 푥푦′푧 + 푥′푦
 푆 = (퐴 + 퐶). (퐵 + 퐶’)

6.  Dada una expresión booleana P, se llama dual de P, a la expresión
booleana que resulta de intercambiar sumas y productos por productos y
sumas, 0 por 1 y viceversa.
 Ejemplo en B:
Si P es 푥. 푦’ + 푥’. ( 푥 + 푦)+0
su dual es: 푥 + 푦’ . 푥’ + 푥. 푦 . 1
 Principio de Dualidad:
 Si una proposición es derivable a partir de los axiomas del álgebra de Boole, su
dual también lo es.

7.  Sea (퐵, +, . ) un álgebra de Boole.
 푓 es una función booleana de grado n si:
푓 es una función
푛 ∈ ℕ
푓: 퐵푛 → 퐵
 Ejemplo:
 B={0,1}
푓: 퐵3 → 퐵 푓 푥, 푦, 푧 = 푥푦′ + 푥푦푧

8.  Cuando se plantea un problema, no siempre, la expresión dada u obtenida
de una función booleana es la óptima. Por ello, generalmente, dicha
expresión puede ser simplificada, mediante:
 Tablas de verdad.
 Propiedades del álgebra de Boole.
 Mapas de Karnaugh.

9.  Toda función booleana puede ser escrita en una forma estándar, llamada
forma normal o canónica.
 Forma Normal Disyuntiva (FND): suma de minitérminos.
 Forma Normal Conjuntiva (FNC): producto de maxitérminos.

10. Situación Minitérmino
퐹 퐴, 퐵, 퐶, 퐷
= 퐴´퐵퐶´ + 퐴´퐵퐶 + 퐴퐵´퐶 + 퐴퐵퐶

11. Situación Maxitérmino
퐹(퐴, 퐵, 퐶, 퐷) =
(퐴 + 퐵 + 퐶). (퐴 + 퐵 + 퐶’). (퐴´ + 퐵 + 퐶). (퐴’ + 퐵’ + 퐶)

12.  Utilizando los axiomas y las propiedades vistas del álgebra de Boole
podemos simplificar una función booleana.

13.  Si f es una función booleana de grado n (n variables), el mapa de
Karnaugh correspondiente consiste en una tabla de 2푛 celdas.
 Dicha tabla puede ser utilizada para simplificar funciones booleanas.
 Cada celda representa un minitérmino y se coloca un 1 si dicho
minitérmino aparece en la expresión de la función.
 Para simplificar la función booleana se agrupan los 1 que se encuentran
en celdas adyacentes formando bloques cuadrados o rectangulares,
llamados subcubos, de 1,2,4, … , 2푛 celdas.
 En los subcubos se descartan las variables cuyo valor cambia de una celda
a otra.

14.  Para dos variables.
Región A Región B Región A’.B’ Región A’.B
Región A’ Región B’ Región A.B’ Región A.B’

15.  Para tres variables.
4 minitérminos

16.  Para tres variables.
2 minitérminos

17.  Para tres variables.
2 minitérminos

18.  Para tres variables.
En las extremidades

19.  Ejemplo para 4 variables.
 S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD+
+AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD

20.  Ejemplo para 4 variables.
 S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD+
+AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD
S = D+AC’+A´B´C

21.  Se utilizan para representar gráficamente funciones booleanas. Estos
gráficos son utilizados en distintas áreas: mecánica, electricidad,
electrónica e informática, entre otros.

28.  BOGART, K. (1998): “Matemáticas discretas”. Editorial Noriega. México.
 GRIMALDI, R. (1998): “Matemáticas discreta y combinatoria. Una introducción con
aplicaciones”. 3ra Edición. Editorial Prentice Hall. México.
 JIMENEZ MURILLO, J. (2009): “Matemáticas para la computación”. Alfa Omega Grupo Editor
S.A. México.
 KOLMAN, B.; BUSBY, R. y ROSS, S.(1997): “Estructuras de Matemáticas Discretas para la
Computación”. Tercera Edición. Pearson- Prentice Hall-México.
 ROSEN, K.(2004): “Matemática discreta y sus aplicaciones”. Quinta Edición. Editorial Mc
Graw Hill. España.