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Cuisenaire

  Rita Brito
    2012
Cuisenaire
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 Georges Cuisenaire.

 Nasceu em Thuin (Bélgica), tocava violino, ensinava aritmética e música.

 O material Cuisenaire foi divulgado internacionalmente por Caleb Cattegno de modo a dar
 resposta à necessidade de ensinar matemática de uma forma lúdica.

 A primeira tentativa para a atualização do ensino da matemática em Portugal data de
 1961, quando o material CUISENAIRE foi experimentado, pela primeira vez, no Colégio
 Vasco da Gama (Meleças – Sintra), sob a orientação do Dr. João Nabais, tendo os
 resultados ultrapassado todas as expectativas.


 Em Abril de 1962, o Dr. Caleb
 Gattegno dirigiu, nesse Colégio, um
 Curso em que participaram muitos
 professores de todo o País.
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 Para além do desenvolvimento da lógica matemática, o material Cuisenaire possui um
 considerável valor na educação sensorial. As peças são feitas de um material de fácil
 manipulação e diferentes cores, de forma a estimular a criatividade e a experimentação.

 Este material é aconselhado desde a Infantil até ao ensino básico.
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  As barras de cor são um material manipulativo especialmente adequado para aquisição
  progressiva das competências numéricas. São um suporte para a imaginação dos
  números e das suas leis, tão necessário para poder passar ao cálculo mental, para
  introduzir e praticar as operações aritméticas.

  O interesse pedagógico deste material situa-se em termos matemáticos, em aspetos de:
  – Iniciação à matemática;
  – Desenvolvimento da criatividade;
  – Compreensão da noção de número;
  – Decomposição de números;
  – Relações de grandeza;
  – Noção de par e ímpar;
  – Manipulação das operações numéricas;
  – Resolução de situações problemáticas;
  – Múltiplos e divisores de um número inteiro;
  – Simetrias;
  – Frações e números decimais;
  – Perímetros;
  – Áreas;
  – Volumes.
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     Citando Serrazina (1990:1) “investigações têm constatado que os estudantes
     que utilizam materiais manipulativos na construção de conceitos têm melhores
     resultados, que os que não o fizeram, pois os alunos são indivíduos ativos que
     constroem, modificam e integram ideias a interacionar com o mundo físico, os
     materiais e os seus colegas”.
Cuisenaire
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 Este material estruturado, considerando uma caixa completa, é formado por 241 reguinhas,
 barras, ou peças coloridas. São prismas quadrangulares com 10 cores e dez comprimentos
 diferentes. As peças são geralmente de madeira (presentemente há imitações de plástico),
 que vão desde 1cm a 10cm. A peça branca é a peça padrão e serve de medida a todas as
 outras peças. A peça branca vale uma unidade. Esta peça tem face quadrada com 1cm2 de
 área.
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   As crianças precisam de ter o sentido do número, para o poder utilizar de forma
   diferente no mundo que as rodeia.

   O sentido do número envolve:

     Compreensão dos significados (inclui o carácter ordinal e cardinal dos números);
     Explorar relações entre os números (composição e decomposição de conjuntos);
     Compreensão da grandeza relativa dos números;
     Desenvolver intuições acerca dos efeitos das operações com números;
     Desenvolver padrões de objetos comuns.

    O material Cuisenaire constitui um recurso que ajuda a desenvolver os aspetos atrás
   citados.
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 Exploração do Cuisenaire:

 1ª Atividade - Jogo livre
 Este exercício serve para as crianças se familiarizarem com o material fazendo assim
 espontaneamente as primeiras descobertas. Elas fazem composições planas ou em
 posição vertical, representando casas com portas e janelas, muros de jardim, arcos, linhas-
 férreas, animais, meninos, enfim, uma infinidade coisas… e o que a sua imaginação lhes
 proporcione. No decorrer deste jogo livre, e ao estimularmos a respetiva aprendizagem, a
 criança desenvolve muitas capacidades e destrezas, sobre as quais edificará mais tarde, o
 seu conhecimento matemático.
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  Jogando, conseguirá fazer as seguintes descobertas:

    - as peças da mesma cor são do mesmo comprimento;
    - as peças do mesmo comprimento têm a mesma cor;
    - as peças de cores diferentes têm diferentes comprimentos;
    - só é possível conseguir comprimentos iguais unindo pelas extremidades
  determinadas peças;
    - as peças estão feitas de tal maneira que tudo o que se construa com elas é igual a
  um número total de peças brancas (esta vale uma unidade e qualquer número natural é
  decomponível em unidades).
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  É importante que as crianças se apercebam das noções descritas anteriormente para
  passarem à fase seguinte da exploração do jogo. Para isso podemos questioná-las:
  Qual é a peça maior?
  Qual é a menor?
  Podemos dificultar, dar 2 peças e perguntar “qual é a maior?”
  Quantas cores diferentes temos na caixa?

  Temos de ter a certeza de que os meninos sabem as cores. Se não souberem, devemos
  fazer montinhos.
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 2ª Atividade

 As crianças devem aprender de memória a correspondência entre o número e a cor. Esta
 aprendizagem faz-se gradualmente, medindo as peças maiores com a peça branca que é
 a peça padrão.

 Ex: a peça amarela mede 5 peças brancas;
 a peça verde clara mede 3 peças brancas;
 a peça rosa mede 4 peças brancas;
 a peça encarnada mede 2 brancas, etc.




  Nas atividades onde as crianças identificam tamanhos e a ordem das peças, estão a
  “trabalhar” a memória, a ordenação, o conceito da cor e do número.
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 Imagem afixada na parede
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 Atividades que podemos fazer para a criança relacionar cor e tamanho:

 A peça branca vale 1. Agora vão ao monte e tirem uma peça encarnada. Vamos ver
 quantas peças brancas cabem em cima da peça encarnada.
 Não somos nós que dizemos, a crianças é que vai verificar que 2 peças brancas cabem na
 encarnada.
 1 peça encarnada vale 2 peças brancas.
 Durante 1 ou 2 aulas só trabalhamos assim.

 Posteriormente mostramos a peça verde clara e dizemos “quantas peças brancas cabem
 na peça verde clara?
 Nas próximas 1 ou 2 aulas só se colocam as peças verde claras, brancas e encarnadas, e
 assim sucessivamente até relacionarem perfeitamente a cor e o tamanho.
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  3ª Atividade - Jogos de reconhecimento das dimensões

  Esta atividade leva a criança a reconhecer através do tato (sem ver) as peças que tem na
  mão, atrás das costas ou dentro de um saquinho. A criança mostrará a peça que a
  professora lhe pede, ou que ela identificou. Numa primeira fase até à peça amarela (5) e
  mais tarde até à laranja (10).
  Este jogo de reconhecimento de dimensões das peças permitem desenvolver a
  classificação e a seriação (outras atividades poderão igualmente resultar: ordenar peças
  por tamanhos e repeti-las; completar sequências por tamanhos, jogos de identificação
  do valor das peças – mostrar uma peça e adivinhar o valor).
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  4ª Atividade - Jogos de memória

  As crianças devem “memorizar o valor de cada barra, já que é importante que se
  habituem a nomear as barras não pela cor, mas sim pelo seu valor”. Se ordenarmos as
  peças, unindo-as lateralmente segundo os seus comprimentos, formamos uma “escada”.
  A partir dela fazem-se uma série de jogos de extrema importância:
  - Pede-se à criança que “suba” a “escada” (sempre da esquerda para a direita) dizendo
  as cores das peças, começando pela mais pequena (branca) até à maior (laranja). Depois
  pode fechar os olhos e enunciá-las por cores.
  - A criança deve depois “ descer “ a “escada”, começando na maior (laranja) até à mais
  pequena (branca). Se fechar os olhos pode tentar reproduzir as cores das peças.
  -A criança vai subindo a escada, dizendo as cores, e a certa altura a professora manda
  parar num “degrau” e pergunta o seu valor.

  Exemplos:

  Uma peça branca, uma peça encarnada, uma peça verde-claro, uma peça rosa...
  “Qual o valor da peça rosa?”.
  R: “4” (a criança continua a contagem, podendo ser mais vezes interrompida para
  dizer o valor do degrau onde está).
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  Pede-se que a criança enumere as peças por ordem, dizendo as cores, mas saltando um
  degrau. Ex: branca, verde clara, amarela, preta, azul. Quando começar na laranja
  (saltando um degrau) dirá: castanha, verde escura, rosa e encarnada.

  Diz-se à criança a cor de uma determinada peça e pede-se que ela diga a cor da peça
  seguinte, primeiro no sentido ascendente da escada e depois no sentido descendente.
  Este exercício, como o anterior, pode ser efetuado com os olhos fechados.

  Ex.: “...uma peça castanha...”
  -“Qual a peça que vem antes da...?”
  - “Quais as peças que estão ao lado de...?”
  - “Que cor tem a peça que vem depois da...?”
  -“Qual a cor da peça que está entre a amarela e a preta?”

  As crianças ao ordenarem as peças por tamanhos e ao enumerarem as cores e valores
  numa escala ascendente ou descendente, podem consolidar as propriedades do número
  e até introduzir diversos conceitos.
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 5ª Atividade - Jogos numéricos

 A criança vai agora aprender que a cada cor corresponde um valor. A partir da
 observação da “escada”, pode visualizar a sequência numérica de 1 a 10. Vamos chamar
 um à branca, dois à encarnada, três à verde-clara e assim até à laranja, que é a dez.

 Como primeiro exercício temos o de subir e descer a “escada” dizendo agora os valores
 das peças:
 Ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.


 Deve-se depois repetir todos os exercícios anteriores
 como seja o de subir ou descer a “escada” saltando
 degraus, ou dar o valor de uma peça e pedir que ela diga
 o que vem antes e o que vem depois, para que a
 correspondência entre a cor e o valor se consolidem.
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                                              Empregando os termos primeiro, segundo,
                                              terceiro... pode pedir-se à criança que com a
                                              mão direita, aponte a terceira peça quando
                                              se sobe a escada (deverá apontar a verde
                                              clara). Se lhe pedirmos para apontar a
                                              terceira peça quando desce a escada, ela
                                              deverá apontar a peça castanha. Pode-se
                                              perguntar também:
                                              - Que ordem tem a peça que está entre a
                                              quarta e a sexta?


 Mostrar uma barra e questionar as crianças sobre o número que está antes e o que vem
 depois.

 Apresentar várias barras e perguntar qual delas representa o número maior (ou menor).

 Mostrar uma série de barras consecutivas, em que falta uma intermédia, e questionar qual
 o número que falta.

 Experimentarem o facto de que 10 unidades se podem trocar por uma dezena e vice-versa.
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 Observa a escala do Cuisenaire
                                  Quantos degraus está o
                                  menino acima da menina?

                                  Quantos degraus deve a
                                  menina subir para se juntar
                                  ao menino?

                                  Quantos degraus teve a
                                  menina que subir para ficar
                                  no verde escuro?
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   6º Atividade - O jogo do banqueiro

   Ex.: A criança retira da caixa a peça verde escura. Perguntamos que valor tem.
   Seguidamente a criança vai trocar esta peça por outras de valor correspondente às que
   tirou. Ex.: duas peças verde-claro; uma peça rosa e uma encarnada; seis peças brancas;
   uma amarela e uma branca.
   A criança pode também transpor para o papel quadriculado (com os quadrados de 1cm
   de lado) o desenho das peças e utilizar a linguagem matemática, fazendo assim a
   ligação ao simbólico.
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   6º Decomposição de números (Jogo dos comboios)

   Pedimos à criança para colocar à sua frente na posição horizontal, uma determinada
   peça. Depois solicitamos que procure as diferentes possibilidades de formar
   comprimentos iguais ao da primeira peça, colocando outras em linha reta, unidas pelas
   extremidades.
   Podemos contar uma história, em que as crianças escolhem o nome de uma
   personagem que quando viaja utiliza sempre o comboio (passando os comboios pelas
   estações) em que a primeira peça é a estação. As outras são os comboios que passam
   nessa estação, com carruagens pintadas de diferentes cores. Quando não houver mais
   comboios para essa estação fechamo-la, colocando outra peça igual, à primeira. Estão
   limitadas as possibilidades de decomposição do número pretendido.

   Este jogo tem regras. Vejamos quais:
   − Não pode haver comboios maiores que a estação.
   − Não pode haver comboios menores que a estação.
   − Não pode haver comboios repetidos (iguais).
   − Quando não se conseguir fazer mais comboios para a estação pretendida,
   fecha-se a estação com uma peça igual.
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   As crianças devem ser estimulados a fazerem comboios com várias carruagens.
   Consoante as capacidades e destrezas que se pretendam desenvolver; pode ser pedido à
   criança que faça comboios apenas com 2 ou 3 carruagens (utilizando peças de cores
   diferentes), ou deixar que descubram várias carruagens.
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   Digo às crianças para tirarem uma peça do monte que será a estação:
   A estação vai ser encarnada!
   Todos tiram uma peça encarnada do monte e começam a descobrir as carruagens
   possíveis para essa estação.
   Dizemos:
   Quais são os comboios que passam na estação encarnada? Não podemos por a peça
   verde clara, a branca é pequena demais. Vamos juntar, pomos 2 peças brancas e já pode
   passar. E lê-se da seguinte maneira: uma carruagem branca ligada a outra carruagem
   branca faz um comboio para a estação encarnada. Quando não cabe mais nenhuma
   carruagem, dizemos que fechou.



                                          2

                                    1         1

                                          2
Cuisenaire

   Depois de feitos os comboios, estes podem ser lidos de quatro maneiras diferentes:
   − em comboios;
   − em peças brancas;
   − por cores;
   − por valores.




   Ex:

   - Leitura por comboios:
   Uma carruagem cor-de-rosa ligada a uma carruagem encarnada, fazem um comboio
   para a estação verde escura.
   - Leitura por cores:
   Uma peça cor-de-rosa e uma peça encarnada é igual a uma peça verde escura.
   - Leitura em peças brancas:
   Quatro peças brancas mais duas peças brancas são 6 peças brancas.
   - Leitura por valores:
   Quatro mais dois, igual a seis. (4 + 2 = 6).
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  Outro exemplo: Se estivermos a aprender a peça rosa: vamos jogar ao jogo das estações!
  Colocamos a peça rosa e dizemos “é a nossa estação. Não pode haver comboios maiores
  que a estação, nem mais pequenos, nem repetidos. Quais são os comboios que passam
  nesta estação?”


                                                                                  4
 - Leitura por comboios: uma carruagem branca
 ligada a uma carruagem verde clara faz um                  1      1               2
 comboio para a estação rosa.
                                                                   2       1       1
 - Leitura por cores: uma peça branca e uma peça
 verde clara é igual a uma peça rosa.                       1       1      1       1

 - Leitura em peças brancas: uma peça branca mais 3                        3       1
 peças brancas são 4 peças brancas
                                                            1                     3
 - Leitura por valores : 1+3=4
                                                                                   4
Cuisenaire




   Operações aritméticas:

   Adição

   Quando queremos introduzir a operação soma com o Cuisenaire procedemos da
   seguinte maneira:

   Pede-se à criança para ir ao monte de peças buscar uma peça (por exemplo a amarela)
   colocando-a à sua frente na posição horizontal. Depois pede-se para ir buscar uma peça
   de cor verde-claro, por exemplo, unindo-as, pelas extremidades.
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   Seguidamente pede-se à criança que diga o valor de cada peça:
   Qual é o valor da peça amarela?
   Qual é o valor da peça verde-claro?
   Vai à caixa buscar uma só peça que faça o tamanho dessas duas.
   Qual foi a peça que descobriste?
   R: A castanha.
   Então, 5 + 3 = 8




    Damos à criança as parcelas e ela vai descobrir o total.
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   Também podemos representar o mesmo cálculo da seguinte forma:




    As crianças não só podem fazer a representação numérica no quadro, como também
    podem usar algarismos móveis.
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   Coloque as peças:




    Qual o valor da peça rosa?
    Qual o valor da peça encarnada?
    Qual o valor da peça verde clara?
    Vai buscar uma peça que tenha o tamanho das 3 peças juntas.
    Qual foi a peça que descobriram?
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   Representar somas com transporte, escritas na disposição vertical.
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   Propriedades da adição

   a) propriedade comutativa
   As propriedades da adição de números inteiros decorrem das propriedades das
   respetivas operações sobre conjuntos.
   A propriedade comutativa da reunião A U B = B U A, mostra que a + b = b + a, quaisquer
   que sejam os inteiros a e b.
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   Propriedades da adição

   b) propriedade associativa
   Do mesmo modo, a propriedade associativa da reunião, (A U B) U C = A U (B U C), diz-
   nos que (a + b) + c = a + (b + c), quaisquer que sejam os inteiros a, b e c.
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   Subtração

   Podemos realizar o Jogo “Dez de Ouro” para fazer a introdução ao raciocínio da
   subtração.
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   Instruções do Jogo:
   Colocar a peça laranja na horizontal. Pedir para que coloquem por baixo tantas peças
   brancas quantas for possível (até completar o tamanho da peça laranja, ou seja, dez
   peças brancas).




   De seguida, diz-se ao aluno que retire duas ou três peças brancas.
   Depois substitui-se a peça laranja pela que tiver o tamanho das peças brancas que
   restarem. E assim sucessivamente. O objetivo do jogo é fazer com que reste apenas
   uma peça branca, para que quem vai jogar a seguir não tenha duas nem três peças
   brancas para retirar.
Cuisenaire

  Exemplo:


             Escolher a peça com que se quer
             iniciar o jogo




             Colocar por baixo peças brancas




             Retirar 2 peças brancas




             Colocar a peça correspondente às
             peças brancas que restaram.
Cuisenaire

  Exemplo:

             Retirar 3 peças brancas


             Colocar, agora, a peça amarela por cima
             das peças brancas que restaram.



             Retirar 2 peças brancas


             Colocar a peça verde clara por cima das
             brancas que restaram.


             Retirar 2 peças brancas.
             O jogo acaba porque já não existem duas
             nem três peças brancas para retirar.
Cuisenaire

  Vamos agora exemplificar alguns exercícios que se podem aplicar.
  Pedimos à criança para ir buscar a peça preta. Dizemos que a coloque à sua frente, na
  posição horizontal.




   Depois solicitamos para ir buscar uma peça rosa e que a coloque por baixo da preta.
   Pergunta-se qual o valor das peças (preta e rosa).
   Podemos fazer as seguintes perguntas: então 4 para 7, qual é a diferença? ou qual é o
   valor da peça que falta?
   A criança vai procurar uma peça que complete o tamanho da rosa ou seja, que faça o
   tamanho da preta.
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  Qual a peça que falta para completar o tamanho da preta?




                                      7–4=3
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  Multiplicação

  Para dar a noção de multiplicação com as peças de Cuisenaire devemos proceder da
  seguinte maneira:
  Pedir à criança que coloque à sua frente, por exemplo, 3 peças encarnadas, juntas e na
  posição horizontal.


                                           Qual é o valor da peça encarnada?
                                           Quantas peças encarnadas tem?
                                           Quantas vezes está repetida a peça encarnada?
                                           Então, 3 vezes dois, quantos são?




                                           Vai buscar uma só peça que faça o tamanho
                                           dessas 3 encarnadas.
                                           Assim, 2 + 2 + 2 = 6 ou 3 x 2 = 6
Cuisenaire

  Outros exemplos:


                     Qual o valor da peça verde?
                     Então 3 + 3 = 6
                     Quantas vezes está repetida a peça verde?
                     Então: 2 x 3 = 6


                                    Qual o valor da peça branca?
                                    1+1+1+1+1+1+1+1+1=9
                                    Quantas vezes está repetida a peça
                                    branca?
                                    Então: 9 x 1 = 9



                     Quantas vezes está repetida a peça cor-de-rosa?
                     Uma vez.
                     Então: 1 x 4 = 4
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  Vem sempre primeiro a quantidade de vezes que a peça se repete e só depois o valor da
  peça repetida.

  8 x 4 = 32 ( lê-se: oito vezes o quatro ou oito vezes a peça rosa)

  9 x 4 = 36

  10 x 4 = 40

  Podemos complementar esta aula, com os algarismos móveis e os símbolos
  matemáticos.
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  Propriedades da multiplicação

  As propriedades da multiplicação de números inteiros têm paralelismo com as
  propriedades da adição.

  a) Propriedade comutativa
  Se a e b são inteiros, então, a x b = b x a.




  b) Propriedade associativa
  Se a, b e c são inteiros, então, (a x b) x c = a x (b x c).
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  c) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
  Se a, b e c são inteiros, então, a x (b + c) = (a x b) + (a x c).




    4 x (3 + 2) = (4 x 3) + (4 x 2)
    4 x 5 = 12 + 8
    = 20
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  Divisão

  Para dar a noção de divisão com o Material de Cuisenaire podemos proceder da
  seguinte maneira:

  Exemplo: Pedimos à criança que coloque à sua frente, na posição horizontal, uma peça
  verde escura. Depois perguntamos:
  − Qual o valor que a peça tem?
  − Agora vamos à caixa buscar peças iguais que juntas façam o tamanho da verde escura.
  Neste caso, poderão fazer 3 diferentes combinações:
Cuisenaire



  Resposta 1

  − Qual o valor de cada peça encarnada?
  Cada peça vale 2.
  − Quantas vezes cabe a peça encarnada na verde escura?
  Cabe três vezes.
  Neste exemplo podemos dizer que a peça verde escura foi dividida pela peça encarnada.
  A peça encarnada coube três vezes. Assim diremos: 6 : 2 = 3
Cuisenaire



  Resposta 2

  − Qual o valor de cada peça verde clara?
  Cada peça vale 3.
  − Quantas vezes cabe a peça verde clara na peça verde escura?
  Cabe duas vezes.
  Aqui a peça verde escura foi dividida pela peça verde clara.
  Assim diremos: 6 : 3 = 2
Cuisenaire



  Resposta 3

  − Qual o valor de cada peça branca?
  Cada peça vale 1.
  − Quantas vezes cabe a peça branca na peça verde escura?
  Cabe seis vezes.
  Agora a peça verde escura foi dividida pela peça branca.
  Então podemos dizer: 6 : 1 = 6
Cuisenaire




        Na divisão damos à criança o dividendo (número que se divide) e ela vai
        descobrir em simultâneo o divisor (número pelo qual se divide o
        dividendo) e o quociente (número inteiro cujo produto pelo divisor é
        igual ao dividendo – na divisão exata).
Cuisenaire




     A Divisão por partição

     Para darmos a noção da divisão podemos usar ainda outra estratégia.
     Pedimos à criança que tire do montão 4 peças cor-de-rosa. De seguida pedimos
     para distribuir igualmente essas peças por dois colegas.
     Perguntamos:
     − Quantas peças couberam a cada colega?
     − Então, 4 peças distribuídas por 2 meninos, permite que cada menino fique com
     duas peças.
     − Representamos assim: 4 : 2 = 2
Cuisenaire

   As situações problemáticas

   Usando o Material Cuisenaire e para treino das operações aritméticas já aprendidas
   pela criança, podem-se elaborar situações problemáticas que levem a criança a
   concretizar o seu raciocínio lógico-matemático manipulando os próprios dados do
   problema.

   O Pedro tem 7 canetas (vamos à caixa buscar a peça que representa a quantidade de
   canetas que tem o Pedro) e o João tem 3 canetas (vamos buscar à caixa a peça que
   representa a quantidade de canetas que tem o João). Quantas canetas têm os dois
   meninos? (vamos buscar uma só peça que faça o tamanho dessas duas juntas).




   Então: 7 + 3 = 10
Cuisenaire


   Num aquário estão 5 peixinhos (vamos buscar a peça que representa a quantidade
   de peixinhos), mudaram de aquário 2 peixes (vamos colocar por baixo a peça que
   representa a quantidade de peixinhos que mudaram de aquário). Quantos peixes
   ficaram no aquário inicial?

   Perante estes dados, a criança pode fazer dois tipos de raciocínio:
   a) Vai descobrir a diferença entre os peixes que estavam e os que ficaram.
   b) Vai calcular o que sobrou (o resto) depois de ter tirado os peixes para o outro
   aquário.
Cuisenaire




   Se o Pedro, a Teresa e o João tiverem 2 canetas cada um, (vamos buscar à caixa a peça
   que representa a quantidade de canetas que tem cada um), quantas canetas têm os
   três amigos? (vamos buscar uma só peça que faça o tamanho dessas 3 encarnadas.
Cuisenaire




   A leitura de números

   A criança para compreender o conceito de número e o valor de posição no sistema
   indo-árabe de numeração, pode representar à sua frente com as peças Cuisenaire,
   números superiores a 10 unidades. Vejamos alguns exemplos que ajudam a criança a
   compreender o conceito de número. Ao manipular e ordenar as peças, a lateralização
   é trabalhada e a noção de ordem e de classe vai sendo construída. É importante saber
   de que lado ficam as unidades, dezenas, etc.
Cuisenaire


  Vamos representar diversos
  números:

  (Nota: A dezena fica do lado
  esquerdo, pois a leitura do
  número faz-se de esquerda
  para a direita.)
Cuisenaire



  Quando a peça laranja se repete, podemos representar a mesma quantidade cruzando
  peças.

  Quantas vezes se repete a peça laranja?
  Cruzamos a peça encarnada por cima.
  2 x 10 = 20
Cuisenaire




  Quantas vezes se repete a peça laranja?
  Três vezes… cruzamos a peça verde clara
  3 x 10 = 30
Cuisenaire
Cuisenaire



   Os perímetros

   Ao trabalharmos o conceito de perímetro (medida do comprimento de fronteira de
   um polígono) podemos trabalhar com o Cuisenaire. Se pedirmos para utilizarem
   diferentes peças e desenharem na folha quadriculada, com 1cm de lado, a linha
   fronteira, as crianças podem medir com a peça padrão (1cm de aresta) e calcular o
   perímetro de diferentes figuras geométricas.

   Nota: o Perímetro é a soma de todos os lados.
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire


  Depois da criança ter feito a sua própria construção podemos fazer
  algumas perguntas do tipo:
  − Que peças utilizámos para construir o telhado?
  − Qual o valor (em unidades) das peças utilizadas no telhado?
  Considerando como unidade de comprimento a aresta do cubo:
  − Qual o perímetro do telhado? 1cm
  − Qual o perímetro das janelas? (as peças encarnadas).
  − Qual o perímetro da porta? (as duas peças verdes claras).
  − Qual o perímetro (fronteira) total da casa?

  Para os alunos do 1º ciclo este pode ser um exercício feito em
  folha de papel. Para os alunos da Infantil o exercício pode ser feito
  com o próprio material, no tampo da mesa e as perguntas a
  colocar poderão trabalhar as competências relacionadas com a
  orientação espacial, a contagem, o valor das peças, e até a
  transformação, ou seja pedir que com o mesmo valor total de
  peças eles criem outra casa.
Cuisenaire


  As áreas

  Ao medirmos a porção de plano que uma dada figura plana ocupa, estamos a calcular a
  área dessa figura.
  A área é a extensão de uma porção limitada de superfície. A medida da área de uma
  superfície depende da unidade escolhida. Duas superfícies planas dizem-se equivalentes
  quando têm a mesma área independentemente da forma.
  Definimos o quadrado como sendo o quadrilátero cujos (quatro) ângulos são retos e
  cujos (quatro) lados têm todos o mesmo comprimento e consideramos um quadrado
  com um lado a medir uma unidade de comprimento. Observamos que o quadrado diz-se
  unitário e tem de área 1 (= 1 unidade de comprimento x 1 unidade de comprimento)
  “unidade de área”.
  A área do quadrado calcula-se multiplicando lado por lado (A = l x l).
  As peças de Cuisenaire permitem trabalhar as suas faces. Se observarmos a peça
  branca, veremos que a sua face representa um quadrado cujos lados medem 1cm.
  Inicialmente devemos contar com as peças brancas as faces das diferentes figuras.
Cuisenaire

  Ex: Dando como unidade de área a face da peça branca, calcule quantas unidades de
  área, existem nesta figura:


                                           Verificamos que tem duas unidades de área.


  Por exemplo, o quadrado amarelo tem 5 peças desta cor, unidas lateralmente e cada
  uma delas exigiria 5 brancas para tapar todo o seu comprimento. Por conseguinte, para
  tapar as 5 amarelas precisaríamos de 5 brancas x 5 brancas, isto é, 25 brancas.



                                                           Neste caso temos 5 cm x 5cm =
                                                           25 cm2.
                                                           Segundo este exemplo
                                                           rapidamente se descobre a
                                                           área de um quadrado.
Cuisenaire




             Atividades:

             Observa a figura seguinte e responda às
             questões:

             Utilize como unidade de área, a peça
             branca. Descubra a área da figura ponteada.
             R: Tem quinze unidades de área .

             Calcule a área em centímetros quadrados.
             R: Tem 15cm2.
Cuisenaire

  Dadas as figuras A e B e tomando como unidade de área a peça branca, calcule a medida
  de área que está a tracejado.




   Considerando as figuras A e B podemos dizer que têm áreas equivalentes?
   Justifique.
Cuisenaire

  Tomando como unidade de área a face da peça branca:
  Calcule as áreas ponteadas das figuras C e D.




   A figura C tem 8cm2.
   C = (8cm x 1cm) = 8cm2
   A figura D tem 8cm2.
   A Fig. D = 4cm x 2cm = 8cm2
Cuisenaire




  A E =2cm2+2cm2+2cm2+2cm2+1cm2+1cm2   AR =
  =10cm2                               8cm2+8cm2+4cm2+4cm2+2cm2+2cm2
                                       = 28cm2
Cuisenaire


  Os caminhos

  As situações problemáticas que envolvem a escolha de caminhos são suscetíveis de
  serem trabalhadas com as crianças mais pequenas, desde que devidamente inseridas
  em contextos quotidianos e com níveis de complexidade adotados a estas idades.
  Quando a criança realiza tarefas (encontrar caminhos), está a treinar a sua capacidade
  de visualização espacial. O sentido espacial é um conhecimento intuitivo do meio que
  nos cerca e dos objetos que nele existem. A compreensão espacial é necessária para
  interpretar, compreender e apreciar o nosso mundo, que é intrinsecamente geométrico.
  Para aprender geometria, as crianças precisam de investigar, experimentar e explorar,
  usando tanto os objetos do quotidiano como outros materiais físicos específicos. Os
  exercícios, que solicitam das crianças a visualização, o desenho e a comparação de
  formas em diferentes posições, desenvolvem o sentido espacial. A descoberta de
  caminhos, integrados na formação matemática e nas várias áreas de aprendizagem,
  desenvolve a compreensão.
  A educadora pode sugerir tarefas com diferentes graus de dificuldade, com as peças do
  Cuisenaire: numas podemos propor e dar pistas, noutras a criança terá que descobrir
  diversos caminhos.
Cuisenaire


  Perante uma questão deste tipo:
  Quantos caminhos diferentes consegues descobrir para o coelhinho chegar aos ovos de
  chocolate?
  A criança, com as peças do Cuisenaire, pode encontrar várias opções. Podemos observar
  esses percursos, podendo explorar as diferentes opções e descobertas que tiverem
  realizado. Por fim, podemos observar, dialogar, que há partes do percurso que são
  comuns a algumas crianças e outras partes que têm diferentes opções. A contagem das
  várias possibilidades também é importante. Para realizar algumas atividades com as
  peças do Cuisenaire, pode-se utilizar a folha quadriculada com as quadriculas de 1cm de
  lado.
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire




 Os Padrões

 Os padrões e as regularidades desempenham um papel importante no ensino da
 matemática. Quando falamos em padrões visuais, pensamos nos que se vêem nos tecidos,
 papel de parede, peças de arte. Genericamente padrão é quando temos a disposição ou
 arranjo de números, formas, cores ou sons, onde se detetam regularidades.
 Quando reconhecemos um padrão num acontecimento ou coisa podemos fazer previsões
 baseados nesse padrão. Observando as características num item aquelas podem ser
 repetidas de modo semelhante ou idêntico noutros itens.
 Padrão é uma característica observada num item, que se pode repetir de modo idêntico
 ou semelhante noutro item.
Cuisenaire




 As Orientações Curriculares para a Educação Pré-Escolar referem a importância dos
 padrões, para desenvolver o raciocínio lógico, para a resolução de problemas e como base
 para a aprendizagem futura da Álgebra.

 O tipo de padrões a desenvolver no pré-escolar tem por base a articulação das diferenças
 e semelhanças, havendo uma componente de repetição, que pode ser única (ex: peça
 amarela, peça encarnada, peça amarela, peça encarnada, peça amarela, peça encarnada,
 que podemos representar por ABABAB…), mas podendo também existir uma componente
 de progressão aritmética (ABAABAAAB…) ou uma componente de simetria (ABABBABA),
 ou ainda acrescentar uma segunda dimensão:
 ABABAB
 BABABA
Cuisenaire




 Neste processo podem colocar-se várias questões que ajudem as crianças a descrever o
 que estão a fazer:
 Qual é o próximo? E a seguir ao encarnado? Pode-se também sugerir que as crianças, em
 grupos de 2, produzam os seus padrões.
Cuisenaire


 Diversidade de padrões: as características associadas ao padrão podem ser variadas, com
 a cor (exemplo atrás efetuado), a posição, a forma, o som, etc.
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire
Cuisenaire




   Arrumar o conteúdo da caixa, poderá ser uma atividade a sugerir. As crianças podem
   ordenar e atender a aspetos como a propriedade cor, tamanho. Podem assim fazer a
   correspondência cor/número, gradualmente.

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Cuisenaire - Material manipulativo para ensino da matemática

  • 1. Cuisenaire Rita Brito 2012
  • 3. Cuisenaire Georges Cuisenaire. Nasceu em Thuin (Bélgica), tocava violino, ensinava aritmética e música. O material Cuisenaire foi divulgado internacionalmente por Caleb Cattegno de modo a dar resposta à necessidade de ensinar matemática de uma forma lúdica. A primeira tentativa para a atualização do ensino da matemática em Portugal data de 1961, quando o material CUISENAIRE foi experimentado, pela primeira vez, no Colégio Vasco da Gama (Meleças – Sintra), sob a orientação do Dr. João Nabais, tendo os resultados ultrapassado todas as expectativas. Em Abril de 1962, o Dr. Caleb Gattegno dirigiu, nesse Colégio, um Curso em que participaram muitos professores de todo o País.
  • 4. Cuisenaire Para além do desenvolvimento da lógica matemática, o material Cuisenaire possui um considerável valor na educação sensorial. As peças são feitas de um material de fácil manipulação e diferentes cores, de forma a estimular a criatividade e a experimentação. Este material é aconselhado desde a Infantil até ao ensino básico.
  • 5. Cuisenaire As barras de cor são um material manipulativo especialmente adequado para aquisição progressiva das competências numéricas. São um suporte para a imaginação dos números e das suas leis, tão necessário para poder passar ao cálculo mental, para introduzir e praticar as operações aritméticas. O interesse pedagógico deste material situa-se em termos matemáticos, em aspetos de: – Iniciação à matemática; – Desenvolvimento da criatividade; – Compreensão da noção de número; – Decomposição de números; – Relações de grandeza; – Noção de par e ímpar; – Manipulação das operações numéricas; – Resolução de situações problemáticas; – Múltiplos e divisores de um número inteiro; – Simetrias; – Frações e números decimais; – Perímetros; – Áreas; – Volumes.
  • 6. Cuisenaire Citando Serrazina (1990:1) “investigações têm constatado que os estudantes que utilizam materiais manipulativos na construção de conceitos têm melhores resultados, que os que não o fizeram, pois os alunos são indivíduos ativos que constroem, modificam e integram ideias a interacionar com o mundo físico, os materiais e os seus colegas”.
  • 8. Cuisenaire Este material estruturado, considerando uma caixa completa, é formado por 241 reguinhas, barras, ou peças coloridas. São prismas quadrangulares com 10 cores e dez comprimentos diferentes. As peças são geralmente de madeira (presentemente há imitações de plástico), que vão desde 1cm a 10cm. A peça branca é a peça padrão e serve de medida a todas as outras peças. A peça branca vale uma unidade. Esta peça tem face quadrada com 1cm2 de área.
  • 9. Cuisenaire As crianças precisam de ter o sentido do número, para o poder utilizar de forma diferente no mundo que as rodeia. O sentido do número envolve: Compreensão dos significados (inclui o carácter ordinal e cardinal dos números); Explorar relações entre os números (composição e decomposição de conjuntos); Compreensão da grandeza relativa dos números; Desenvolver intuições acerca dos efeitos das operações com números; Desenvolver padrões de objetos comuns. O material Cuisenaire constitui um recurso que ajuda a desenvolver os aspetos atrás citados.
  • 10. Cuisenaire Exploração do Cuisenaire: 1ª Atividade - Jogo livre Este exercício serve para as crianças se familiarizarem com o material fazendo assim espontaneamente as primeiras descobertas. Elas fazem composições planas ou em posição vertical, representando casas com portas e janelas, muros de jardim, arcos, linhas- férreas, animais, meninos, enfim, uma infinidade coisas… e o que a sua imaginação lhes proporcione. No decorrer deste jogo livre, e ao estimularmos a respetiva aprendizagem, a criança desenvolve muitas capacidades e destrezas, sobre as quais edificará mais tarde, o seu conhecimento matemático.
  • 11. Cuisenaire Jogando, conseguirá fazer as seguintes descobertas: - as peças da mesma cor são do mesmo comprimento; - as peças do mesmo comprimento têm a mesma cor; - as peças de cores diferentes têm diferentes comprimentos; - só é possível conseguir comprimentos iguais unindo pelas extremidades determinadas peças; - as peças estão feitas de tal maneira que tudo o que se construa com elas é igual a um número total de peças brancas (esta vale uma unidade e qualquer número natural é decomponível em unidades).
  • 12. Cuisenaire É importante que as crianças se apercebam das noções descritas anteriormente para passarem à fase seguinte da exploração do jogo. Para isso podemos questioná-las: Qual é a peça maior? Qual é a menor? Podemos dificultar, dar 2 peças e perguntar “qual é a maior?” Quantas cores diferentes temos na caixa? Temos de ter a certeza de que os meninos sabem as cores. Se não souberem, devemos fazer montinhos.
  • 13. Cuisenaire 2ª Atividade As crianças devem aprender de memória a correspondência entre o número e a cor. Esta aprendizagem faz-se gradualmente, medindo as peças maiores com a peça branca que é a peça padrão. Ex: a peça amarela mede 5 peças brancas; a peça verde clara mede 3 peças brancas; a peça rosa mede 4 peças brancas; a peça encarnada mede 2 brancas, etc. Nas atividades onde as crianças identificam tamanhos e a ordem das peças, estão a “trabalhar” a memória, a ordenação, o conceito da cor e do número.
  • 16. Cuisenaire Atividades que podemos fazer para a criança relacionar cor e tamanho: A peça branca vale 1. Agora vão ao monte e tirem uma peça encarnada. Vamos ver quantas peças brancas cabem em cima da peça encarnada. Não somos nós que dizemos, a crianças é que vai verificar que 2 peças brancas cabem na encarnada. 1 peça encarnada vale 2 peças brancas. Durante 1 ou 2 aulas só trabalhamos assim. Posteriormente mostramos a peça verde clara e dizemos “quantas peças brancas cabem na peça verde clara? Nas próximas 1 ou 2 aulas só se colocam as peças verde claras, brancas e encarnadas, e assim sucessivamente até relacionarem perfeitamente a cor e o tamanho.
  • 17. Cuisenaire 3ª Atividade - Jogos de reconhecimento das dimensões Esta atividade leva a criança a reconhecer através do tato (sem ver) as peças que tem na mão, atrás das costas ou dentro de um saquinho. A criança mostrará a peça que a professora lhe pede, ou que ela identificou. Numa primeira fase até à peça amarela (5) e mais tarde até à laranja (10). Este jogo de reconhecimento de dimensões das peças permitem desenvolver a classificação e a seriação (outras atividades poderão igualmente resultar: ordenar peças por tamanhos e repeti-las; completar sequências por tamanhos, jogos de identificação do valor das peças – mostrar uma peça e adivinhar o valor).
  • 18. Cuisenaire 4ª Atividade - Jogos de memória As crianças devem “memorizar o valor de cada barra, já que é importante que se habituem a nomear as barras não pela cor, mas sim pelo seu valor”. Se ordenarmos as peças, unindo-as lateralmente segundo os seus comprimentos, formamos uma “escada”. A partir dela fazem-se uma série de jogos de extrema importância: - Pede-se à criança que “suba” a “escada” (sempre da esquerda para a direita) dizendo as cores das peças, começando pela mais pequena (branca) até à maior (laranja). Depois pode fechar os olhos e enunciá-las por cores. - A criança deve depois “ descer “ a “escada”, começando na maior (laranja) até à mais pequena (branca). Se fechar os olhos pode tentar reproduzir as cores das peças. -A criança vai subindo a escada, dizendo as cores, e a certa altura a professora manda parar num “degrau” e pergunta o seu valor. Exemplos: Uma peça branca, uma peça encarnada, uma peça verde-claro, uma peça rosa... “Qual o valor da peça rosa?”. R: “4” (a criança continua a contagem, podendo ser mais vezes interrompida para dizer o valor do degrau onde está).
  • 19. Cuisenaire Pede-se que a criança enumere as peças por ordem, dizendo as cores, mas saltando um degrau. Ex: branca, verde clara, amarela, preta, azul. Quando começar na laranja (saltando um degrau) dirá: castanha, verde escura, rosa e encarnada. Diz-se à criança a cor de uma determinada peça e pede-se que ela diga a cor da peça seguinte, primeiro no sentido ascendente da escada e depois no sentido descendente. Este exercício, como o anterior, pode ser efetuado com os olhos fechados. Ex.: “...uma peça castanha...” -“Qual a peça que vem antes da...?” - “Quais as peças que estão ao lado de...?” - “Que cor tem a peça que vem depois da...?” -“Qual a cor da peça que está entre a amarela e a preta?” As crianças ao ordenarem as peças por tamanhos e ao enumerarem as cores e valores numa escala ascendente ou descendente, podem consolidar as propriedades do número e até introduzir diversos conceitos.
  • 20. Cuisenaire 5ª Atividade - Jogos numéricos A criança vai agora aprender que a cada cor corresponde um valor. A partir da observação da “escada”, pode visualizar a sequência numérica de 1 a 10. Vamos chamar um à branca, dois à encarnada, três à verde-clara e assim até à laranja, que é a dez. Como primeiro exercício temos o de subir e descer a “escada” dizendo agora os valores das peças: Ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Deve-se depois repetir todos os exercícios anteriores como seja o de subir ou descer a “escada” saltando degraus, ou dar o valor de uma peça e pedir que ela diga o que vem antes e o que vem depois, para que a correspondência entre a cor e o valor se consolidem.
  • 21. Cuisenaire Empregando os termos primeiro, segundo, terceiro... pode pedir-se à criança que com a mão direita, aponte a terceira peça quando se sobe a escada (deverá apontar a verde clara). Se lhe pedirmos para apontar a terceira peça quando desce a escada, ela deverá apontar a peça castanha. Pode-se perguntar também: - Que ordem tem a peça que está entre a quarta e a sexta? Mostrar uma barra e questionar as crianças sobre o número que está antes e o que vem depois. Apresentar várias barras e perguntar qual delas representa o número maior (ou menor). Mostrar uma série de barras consecutivas, em que falta uma intermédia, e questionar qual o número que falta. Experimentarem o facto de que 10 unidades se podem trocar por uma dezena e vice-versa.
  • 22. Cuisenaire Observa a escala do Cuisenaire Quantos degraus está o menino acima da menina? Quantos degraus deve a menina subir para se juntar ao menino? Quantos degraus teve a menina que subir para ficar no verde escuro?
  • 25. Cuisenaire 6º Atividade - O jogo do banqueiro Ex.: A criança retira da caixa a peça verde escura. Perguntamos que valor tem. Seguidamente a criança vai trocar esta peça por outras de valor correspondente às que tirou. Ex.: duas peças verde-claro; uma peça rosa e uma encarnada; seis peças brancas; uma amarela e uma branca. A criança pode também transpor para o papel quadriculado (com os quadrados de 1cm de lado) o desenho das peças e utilizar a linguagem matemática, fazendo assim a ligação ao simbólico.
  • 27. Cuisenaire 6º Decomposição de números (Jogo dos comboios) Pedimos à criança para colocar à sua frente na posição horizontal, uma determinada peça. Depois solicitamos que procure as diferentes possibilidades de formar comprimentos iguais ao da primeira peça, colocando outras em linha reta, unidas pelas extremidades. Podemos contar uma história, em que as crianças escolhem o nome de uma personagem que quando viaja utiliza sempre o comboio (passando os comboios pelas estações) em que a primeira peça é a estação. As outras são os comboios que passam nessa estação, com carruagens pintadas de diferentes cores. Quando não houver mais comboios para essa estação fechamo-la, colocando outra peça igual, à primeira. Estão limitadas as possibilidades de decomposição do número pretendido. Este jogo tem regras. Vejamos quais: − Não pode haver comboios maiores que a estação. − Não pode haver comboios menores que a estação. − Não pode haver comboios repetidos (iguais). − Quando não se conseguir fazer mais comboios para a estação pretendida, fecha-se a estação com uma peça igual.
  • 28. Cuisenaire As crianças devem ser estimulados a fazerem comboios com várias carruagens. Consoante as capacidades e destrezas que se pretendam desenvolver; pode ser pedido à criança que faça comboios apenas com 2 ou 3 carruagens (utilizando peças de cores diferentes), ou deixar que descubram várias carruagens.
  • 30. Cuisenaire Digo às crianças para tirarem uma peça do monte que será a estação: A estação vai ser encarnada! Todos tiram uma peça encarnada do monte e começam a descobrir as carruagens possíveis para essa estação. Dizemos: Quais são os comboios que passam na estação encarnada? Não podemos por a peça verde clara, a branca é pequena demais. Vamos juntar, pomos 2 peças brancas e já pode passar. E lê-se da seguinte maneira: uma carruagem branca ligada a outra carruagem branca faz um comboio para a estação encarnada. Quando não cabe mais nenhuma carruagem, dizemos que fechou. 2 1 1 2
  • 31. Cuisenaire Depois de feitos os comboios, estes podem ser lidos de quatro maneiras diferentes: − em comboios; − em peças brancas; − por cores; − por valores. Ex: - Leitura por comboios: Uma carruagem cor-de-rosa ligada a uma carruagem encarnada, fazem um comboio para a estação verde escura. - Leitura por cores: Uma peça cor-de-rosa e uma peça encarnada é igual a uma peça verde escura. - Leitura em peças brancas: Quatro peças brancas mais duas peças brancas são 6 peças brancas. - Leitura por valores: Quatro mais dois, igual a seis. (4 + 2 = 6).
  • 32. Cuisenaire Outro exemplo: Se estivermos a aprender a peça rosa: vamos jogar ao jogo das estações! Colocamos a peça rosa e dizemos “é a nossa estação. Não pode haver comboios maiores que a estação, nem mais pequenos, nem repetidos. Quais são os comboios que passam nesta estação?” 4 - Leitura por comboios: uma carruagem branca ligada a uma carruagem verde clara faz um 1 1 2 comboio para a estação rosa. 2 1 1 - Leitura por cores: uma peça branca e uma peça verde clara é igual a uma peça rosa. 1 1 1 1 - Leitura em peças brancas: uma peça branca mais 3 3 1 peças brancas são 4 peças brancas 1 3 - Leitura por valores : 1+3=4 4
  • 33. Cuisenaire Operações aritméticas: Adição Quando queremos introduzir a operação soma com o Cuisenaire procedemos da seguinte maneira: Pede-se à criança para ir ao monte de peças buscar uma peça (por exemplo a amarela) colocando-a à sua frente na posição horizontal. Depois pede-se para ir buscar uma peça de cor verde-claro, por exemplo, unindo-as, pelas extremidades.
  • 34. Cuisenaire Seguidamente pede-se à criança que diga o valor de cada peça: Qual é o valor da peça amarela? Qual é o valor da peça verde-claro? Vai à caixa buscar uma só peça que faça o tamanho dessas duas. Qual foi a peça que descobriste? R: A castanha. Então, 5 + 3 = 8 Damos à criança as parcelas e ela vai descobrir o total.
  • 35. Cuisenaire Também podemos representar o mesmo cálculo da seguinte forma: As crianças não só podem fazer a representação numérica no quadro, como também podem usar algarismos móveis.
  • 36. Cuisenaire Coloque as peças: Qual o valor da peça rosa? Qual o valor da peça encarnada? Qual o valor da peça verde clara? Vai buscar uma peça que tenha o tamanho das 3 peças juntas. Qual foi a peça que descobriram?
  • 37. Cuisenaire Representar somas com transporte, escritas na disposição vertical.
  • 38. Cuisenaire Propriedades da adição a) propriedade comutativa As propriedades da adição de números inteiros decorrem das propriedades das respetivas operações sobre conjuntos. A propriedade comutativa da reunião A U B = B U A, mostra que a + b = b + a, quaisquer que sejam os inteiros a e b.
  • 39. Cuisenaire Propriedades da adição b) propriedade associativa Do mesmo modo, a propriedade associativa da reunião, (A U B) U C = A U (B U C), diz- nos que (a + b) + c = a + (b + c), quaisquer que sejam os inteiros a, b e c.
  • 40. Cuisenaire Subtração Podemos realizar o Jogo “Dez de Ouro” para fazer a introdução ao raciocínio da subtração.
  • 41. Cuisenaire Instruções do Jogo: Colocar a peça laranja na horizontal. Pedir para que coloquem por baixo tantas peças brancas quantas for possível (até completar o tamanho da peça laranja, ou seja, dez peças brancas). De seguida, diz-se ao aluno que retire duas ou três peças brancas. Depois substitui-se a peça laranja pela que tiver o tamanho das peças brancas que restarem. E assim sucessivamente. O objetivo do jogo é fazer com que reste apenas uma peça branca, para que quem vai jogar a seguir não tenha duas nem três peças brancas para retirar.
  • 42. Cuisenaire Exemplo: Escolher a peça com que se quer iniciar o jogo Colocar por baixo peças brancas Retirar 2 peças brancas Colocar a peça correspondente às peças brancas que restaram.
  • 43. Cuisenaire Exemplo: Retirar 3 peças brancas Colocar, agora, a peça amarela por cima das peças brancas que restaram. Retirar 2 peças brancas Colocar a peça verde clara por cima das brancas que restaram. Retirar 2 peças brancas. O jogo acaba porque já não existem duas nem três peças brancas para retirar.
  • 44. Cuisenaire Vamos agora exemplificar alguns exercícios que se podem aplicar. Pedimos à criança para ir buscar a peça preta. Dizemos que a coloque à sua frente, na posição horizontal. Depois solicitamos para ir buscar uma peça rosa e que a coloque por baixo da preta. Pergunta-se qual o valor das peças (preta e rosa). Podemos fazer as seguintes perguntas: então 4 para 7, qual é a diferença? ou qual é o valor da peça que falta? A criança vai procurar uma peça que complete o tamanho da rosa ou seja, que faça o tamanho da preta.
  • 45. Cuisenaire Qual a peça que falta para completar o tamanho da preta? 7–4=3
  • 46. Cuisenaire Multiplicação Para dar a noção de multiplicação com as peças de Cuisenaire devemos proceder da seguinte maneira: Pedir à criança que coloque à sua frente, por exemplo, 3 peças encarnadas, juntas e na posição horizontal. Qual é o valor da peça encarnada? Quantas peças encarnadas tem? Quantas vezes está repetida a peça encarnada? Então, 3 vezes dois, quantos são? Vai buscar uma só peça que faça o tamanho dessas 3 encarnadas. Assim, 2 + 2 + 2 = 6 ou 3 x 2 = 6
  • 47. Cuisenaire Outros exemplos: Qual o valor da peça verde? Então 3 + 3 = 6 Quantas vezes está repetida a peça verde? Então: 2 x 3 = 6 Qual o valor da peça branca? 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 Quantas vezes está repetida a peça branca? Então: 9 x 1 = 9 Quantas vezes está repetida a peça cor-de-rosa? Uma vez. Então: 1 x 4 = 4
  • 48.
  • 49. Cuisenaire Vem sempre primeiro a quantidade de vezes que a peça se repete e só depois o valor da peça repetida. 8 x 4 = 32 ( lê-se: oito vezes o quatro ou oito vezes a peça rosa) 9 x 4 = 36 10 x 4 = 40 Podemos complementar esta aula, com os algarismos móveis e os símbolos matemáticos.
  • 50. Cuisenaire Propriedades da multiplicação As propriedades da multiplicação de números inteiros têm paralelismo com as propriedades da adição. a) Propriedade comutativa Se a e b são inteiros, então, a x b = b x a. b) Propriedade associativa Se a, b e c são inteiros, então, (a x b) x c = a x (b x c).
  • 51. Cuisenaire c) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição Se a, b e c são inteiros, então, a x (b + c) = (a x b) + (a x c). 4 x (3 + 2) = (4 x 3) + (4 x 2) 4 x 5 = 12 + 8 = 20
  • 52. Cuisenaire Divisão Para dar a noção de divisão com o Material de Cuisenaire podemos proceder da seguinte maneira: Exemplo: Pedimos à criança que coloque à sua frente, na posição horizontal, uma peça verde escura. Depois perguntamos: − Qual o valor que a peça tem? − Agora vamos à caixa buscar peças iguais que juntas façam o tamanho da verde escura. Neste caso, poderão fazer 3 diferentes combinações:
  • 53. Cuisenaire Resposta 1 − Qual o valor de cada peça encarnada? Cada peça vale 2. − Quantas vezes cabe a peça encarnada na verde escura? Cabe três vezes. Neste exemplo podemos dizer que a peça verde escura foi dividida pela peça encarnada. A peça encarnada coube três vezes. Assim diremos: 6 : 2 = 3
  • 54. Cuisenaire Resposta 2 − Qual o valor de cada peça verde clara? Cada peça vale 3. − Quantas vezes cabe a peça verde clara na peça verde escura? Cabe duas vezes. Aqui a peça verde escura foi dividida pela peça verde clara. Assim diremos: 6 : 3 = 2
  • 55. Cuisenaire Resposta 3 − Qual o valor de cada peça branca? Cada peça vale 1. − Quantas vezes cabe a peça branca na peça verde escura? Cabe seis vezes. Agora a peça verde escura foi dividida pela peça branca. Então podemos dizer: 6 : 1 = 6
  • 56. Cuisenaire Na divisão damos à criança o dividendo (número que se divide) e ela vai descobrir em simultâneo o divisor (número pelo qual se divide o dividendo) e o quociente (número inteiro cujo produto pelo divisor é igual ao dividendo – na divisão exata).
  • 57. Cuisenaire A Divisão por partição Para darmos a noção da divisão podemos usar ainda outra estratégia. Pedimos à criança que tire do montão 4 peças cor-de-rosa. De seguida pedimos para distribuir igualmente essas peças por dois colegas. Perguntamos: − Quantas peças couberam a cada colega? − Então, 4 peças distribuídas por 2 meninos, permite que cada menino fique com duas peças. − Representamos assim: 4 : 2 = 2
  • 58. Cuisenaire As situações problemáticas Usando o Material Cuisenaire e para treino das operações aritméticas já aprendidas pela criança, podem-se elaborar situações problemáticas que levem a criança a concretizar o seu raciocínio lógico-matemático manipulando os próprios dados do problema. O Pedro tem 7 canetas (vamos à caixa buscar a peça que representa a quantidade de canetas que tem o Pedro) e o João tem 3 canetas (vamos buscar à caixa a peça que representa a quantidade de canetas que tem o João). Quantas canetas têm os dois meninos? (vamos buscar uma só peça que faça o tamanho dessas duas juntas). Então: 7 + 3 = 10
  • 59. Cuisenaire Num aquário estão 5 peixinhos (vamos buscar a peça que representa a quantidade de peixinhos), mudaram de aquário 2 peixes (vamos colocar por baixo a peça que representa a quantidade de peixinhos que mudaram de aquário). Quantos peixes ficaram no aquário inicial? Perante estes dados, a criança pode fazer dois tipos de raciocínio: a) Vai descobrir a diferença entre os peixes que estavam e os que ficaram. b) Vai calcular o que sobrou (o resto) depois de ter tirado os peixes para o outro aquário.
  • 60. Cuisenaire Se o Pedro, a Teresa e o João tiverem 2 canetas cada um, (vamos buscar à caixa a peça que representa a quantidade de canetas que tem cada um), quantas canetas têm os três amigos? (vamos buscar uma só peça que faça o tamanho dessas 3 encarnadas.
  • 61. Cuisenaire A leitura de números A criança para compreender o conceito de número e o valor de posição no sistema indo-árabe de numeração, pode representar à sua frente com as peças Cuisenaire, números superiores a 10 unidades. Vejamos alguns exemplos que ajudam a criança a compreender o conceito de número. Ao manipular e ordenar as peças, a lateralização é trabalhada e a noção de ordem e de classe vai sendo construída. É importante saber de que lado ficam as unidades, dezenas, etc.
  • 62. Cuisenaire Vamos representar diversos números: (Nota: A dezena fica do lado esquerdo, pois a leitura do número faz-se de esquerda para a direita.)
  • 63. Cuisenaire Quando a peça laranja se repete, podemos representar a mesma quantidade cruzando peças. Quantas vezes se repete a peça laranja? Cruzamos a peça encarnada por cima. 2 x 10 = 20
  • 64. Cuisenaire Quantas vezes se repete a peça laranja? Três vezes… cruzamos a peça verde clara 3 x 10 = 30
  • 66. Cuisenaire Os perímetros Ao trabalharmos o conceito de perímetro (medida do comprimento de fronteira de um polígono) podemos trabalhar com o Cuisenaire. Se pedirmos para utilizarem diferentes peças e desenharem na folha quadriculada, com 1cm de lado, a linha fronteira, as crianças podem medir com a peça padrão (1cm de aresta) e calcular o perímetro de diferentes figuras geométricas. Nota: o Perímetro é a soma de todos os lados.
  • 70. Cuisenaire Depois da criança ter feito a sua própria construção podemos fazer algumas perguntas do tipo: − Que peças utilizámos para construir o telhado? − Qual o valor (em unidades) das peças utilizadas no telhado? Considerando como unidade de comprimento a aresta do cubo: − Qual o perímetro do telhado? 1cm − Qual o perímetro das janelas? (as peças encarnadas). − Qual o perímetro da porta? (as duas peças verdes claras). − Qual o perímetro (fronteira) total da casa? Para os alunos do 1º ciclo este pode ser um exercício feito em folha de papel. Para os alunos da Infantil o exercício pode ser feito com o próprio material, no tampo da mesa e as perguntas a colocar poderão trabalhar as competências relacionadas com a orientação espacial, a contagem, o valor das peças, e até a transformação, ou seja pedir que com o mesmo valor total de peças eles criem outra casa.
  • 71. Cuisenaire As áreas Ao medirmos a porção de plano que uma dada figura plana ocupa, estamos a calcular a área dessa figura. A área é a extensão de uma porção limitada de superfície. A medida da área de uma superfície depende da unidade escolhida. Duas superfícies planas dizem-se equivalentes quando têm a mesma área independentemente da forma. Definimos o quadrado como sendo o quadrilátero cujos (quatro) ângulos são retos e cujos (quatro) lados têm todos o mesmo comprimento e consideramos um quadrado com um lado a medir uma unidade de comprimento. Observamos que o quadrado diz-se unitário e tem de área 1 (= 1 unidade de comprimento x 1 unidade de comprimento) “unidade de área”. A área do quadrado calcula-se multiplicando lado por lado (A = l x l). As peças de Cuisenaire permitem trabalhar as suas faces. Se observarmos a peça branca, veremos que a sua face representa um quadrado cujos lados medem 1cm. Inicialmente devemos contar com as peças brancas as faces das diferentes figuras.
  • 72. Cuisenaire Ex: Dando como unidade de área a face da peça branca, calcule quantas unidades de área, existem nesta figura: Verificamos que tem duas unidades de área. Por exemplo, o quadrado amarelo tem 5 peças desta cor, unidas lateralmente e cada uma delas exigiria 5 brancas para tapar todo o seu comprimento. Por conseguinte, para tapar as 5 amarelas precisaríamos de 5 brancas x 5 brancas, isto é, 25 brancas. Neste caso temos 5 cm x 5cm = 25 cm2. Segundo este exemplo rapidamente se descobre a área de um quadrado.
  • 73. Cuisenaire Atividades: Observa a figura seguinte e responda às questões: Utilize como unidade de área, a peça branca. Descubra a área da figura ponteada. R: Tem quinze unidades de área . Calcule a área em centímetros quadrados. R: Tem 15cm2.
  • 74. Cuisenaire Dadas as figuras A e B e tomando como unidade de área a peça branca, calcule a medida de área que está a tracejado. Considerando as figuras A e B podemos dizer que têm áreas equivalentes? Justifique.
  • 75. Cuisenaire Tomando como unidade de área a face da peça branca: Calcule as áreas ponteadas das figuras C e D. A figura C tem 8cm2. C = (8cm x 1cm) = 8cm2 A figura D tem 8cm2. A Fig. D = 4cm x 2cm = 8cm2
  • 76. Cuisenaire A E =2cm2+2cm2+2cm2+2cm2+1cm2+1cm2 AR = =10cm2 8cm2+8cm2+4cm2+4cm2+2cm2+2cm2 = 28cm2
  • 77. Cuisenaire Os caminhos As situações problemáticas que envolvem a escolha de caminhos são suscetíveis de serem trabalhadas com as crianças mais pequenas, desde que devidamente inseridas em contextos quotidianos e com níveis de complexidade adotados a estas idades. Quando a criança realiza tarefas (encontrar caminhos), está a treinar a sua capacidade de visualização espacial. O sentido espacial é um conhecimento intuitivo do meio que nos cerca e dos objetos que nele existem. A compreensão espacial é necessária para interpretar, compreender e apreciar o nosso mundo, que é intrinsecamente geométrico. Para aprender geometria, as crianças precisam de investigar, experimentar e explorar, usando tanto os objetos do quotidiano como outros materiais físicos específicos. Os exercícios, que solicitam das crianças a visualização, o desenho e a comparação de formas em diferentes posições, desenvolvem o sentido espacial. A descoberta de caminhos, integrados na formação matemática e nas várias áreas de aprendizagem, desenvolve a compreensão. A educadora pode sugerir tarefas com diferentes graus de dificuldade, com as peças do Cuisenaire: numas podemos propor e dar pistas, noutras a criança terá que descobrir diversos caminhos.
  • 78. Cuisenaire Perante uma questão deste tipo: Quantos caminhos diferentes consegues descobrir para o coelhinho chegar aos ovos de chocolate? A criança, com as peças do Cuisenaire, pode encontrar várias opções. Podemos observar esses percursos, podendo explorar as diferentes opções e descobertas que tiverem realizado. Por fim, podemos observar, dialogar, que há partes do percurso que são comuns a algumas crianças e outras partes que têm diferentes opções. A contagem das várias possibilidades também é importante. Para realizar algumas atividades com as peças do Cuisenaire, pode-se utilizar a folha quadriculada com as quadriculas de 1cm de lado.
  • 82. Cuisenaire Os Padrões Os padrões e as regularidades desempenham um papel importante no ensino da matemática. Quando falamos em padrões visuais, pensamos nos que se vêem nos tecidos, papel de parede, peças de arte. Genericamente padrão é quando temos a disposição ou arranjo de números, formas, cores ou sons, onde se detetam regularidades. Quando reconhecemos um padrão num acontecimento ou coisa podemos fazer previsões baseados nesse padrão. Observando as características num item aquelas podem ser repetidas de modo semelhante ou idêntico noutros itens. Padrão é uma característica observada num item, que se pode repetir de modo idêntico ou semelhante noutro item.
  • 83. Cuisenaire As Orientações Curriculares para a Educação Pré-Escolar referem a importância dos padrões, para desenvolver o raciocínio lógico, para a resolução de problemas e como base para a aprendizagem futura da Álgebra. O tipo de padrões a desenvolver no pré-escolar tem por base a articulação das diferenças e semelhanças, havendo uma componente de repetição, que pode ser única (ex: peça amarela, peça encarnada, peça amarela, peça encarnada, peça amarela, peça encarnada, que podemos representar por ABABAB…), mas podendo também existir uma componente de progressão aritmética (ABAABAAAB…) ou uma componente de simetria (ABABBABA), ou ainda acrescentar uma segunda dimensão: ABABAB BABABA
  • 84. Cuisenaire Neste processo podem colocar-se várias questões que ajudem as crianças a descrever o que estão a fazer: Qual é o próximo? E a seguir ao encarnado? Pode-se também sugerir que as crianças, em grupos de 2, produzam os seus padrões.
  • 85. Cuisenaire Diversidade de padrões: as características associadas ao padrão podem ser variadas, com a cor (exemplo atrás efetuado), a posição, a forma, o som, etc.
  • 90. Cuisenaire Arrumar o conteúdo da caixa, poderá ser uma atividade a sugerir. As crianças podem ordenar e atender a aspetos como a propriedade cor, tamanho. Podem assim fazer a correspondência cor/número, gradualmente.