1.
CALCULO VECTORIAL
DIVERGENCIA Y RACIONAL

2.
OBJETIVO
Funciones vectoriales
 El alumno utilizará e interpretará las variaciones de una
función vectorial de variable vectorial y las aplicará para
resolver problemas físicos y geométricos en el sistema de
referencia más conveniente.
 El alumno comprenderá la relación entre los resultados de
la divergencia y rotación de un campo vectorial y sus
interpretaciones físicas.

3.
ROTACIONAL
 Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra
la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un
punto. También se define como la circulación del vector
sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección
normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
 Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C ,
que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es
el rotacional completo sino solo su componente según la
dirección normal a Δ S y orientada según la regla de la
mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán
calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en
planos perpendiculares.

4.
ROTACIONAL (PROPIEDADES)
 El rotacional de un campo se puede calcular siempre y
cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus
puntos.
 Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales
continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0
 Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo
entonces rot (F) = 0
 Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre
𝑅3cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas
y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial
conservativo.

5.
ROTACIONAL (EJEMPLOS)

6.
ROTACIONAL (EJEMPLOS)

7.
ROTACIONAL (INTERPRETACIÓN FÍSICA)

8.
DIVERGENCIA
 La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia
entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie
que encierra un fluido.
 Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o
sumideros su divergencia es siempre distinta de cero.
 La divergencia de un campo vectorial en un punto es un
campo escalar, que se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen
alrededor del punto tiende a cero.

9.
DIVERGENCIA
 Para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por
la ecuación.
 Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en
el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra
dicha superficie S y es el operador nabla.
 La divergencia de un campo es un valor escalar con signo.
 Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia
el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente.
 Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del
interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero.
 Si la divergencia fuese cero el campo neto sería nulo.

10.
DIVERGENCIA
 En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado
la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus
propiedades sea que su divergencia es nula.
 Los campos cuya divergencia es cero se denominan
campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas
de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen
extremos donde nacen o mueren.
 De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de
ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una
fuente o sumidero del campo.

11.
DIVERGENCIA

12.
DIVERGENCIA

13.
DIVERGENCIA (INTERPRETACIÓN FÍSICA)

14.
DIVERGENCIA (INTERPRETACIÓN FÍSICA)
 Si imaginamos que F es el campo de velocidades de un gas (o de
un fluido), entonces
 div F representa la razón de expansión por unidad de volumen
bajo el flujo del gas (o del fluido).
 Si div F < 0, el gas (o fluido) se está comprimiendo.
 Para un campo vectorial en el plano, la divergencia mide la razón
de expansión del área.

15.
CONCLUSIÓN
 El rotacional de un campo vectorial tiene su
principal interpretación física como la circulación
que presenta el fluido alrededor de un punto dado.
 Para un campo vectorial en el plano, la divergencia
mide la razón de expansión del área, si la div F( ) =
0 se dice que el fluido es incompresible.

16.
BIBLIOGRAFÍA
 Victor L. Streeter. Mecánica de Fluidos. McGraw Hill,
Novena edición.
 Marsden, Jerrold E. Calculo vectorial. Pearson
Educación, 1998.
 Colley, Susan Jane, Análisis vectorial. Pearson
Educación. 2013
 Rotacional
https://www.youtube.com/watch?v=vkYEIjDa3i4
 Divergencia
 https://www.youtube.com/watch?v=SvqQ34kCKnU