Remember 06

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Remember 06

  1. 1. REMEMBER VI COD. 955 b) todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta 01. Qual dos valores a seguir não equivale a 0,000 000 357? escola a) 3,75 . 10 -7 b) 3 ¾ . 10 -7 c) 375 . 10 -9 c) algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta -7 –6 d) 3 / 8 . 10 e) 3 / 8 . 10 escola d) algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta 02. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio escola quando são 12h e 25 min é: e) nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola a) 132°30’ b) 137°30’ c) 150° d) 137°32’ e) 137° 12. A solução de 5x x 1  x x 1 1 2 é: 03. Se cada número em um conjunto de dez números é aumentado de 20 unidades, então a média aritmética dos dez a) { 2,1 } b) { 2/3 } c) { 2 } d) { 1 } e) { 0 } números originais: a) permanece a mesma b) é aumentada em 20 unidades c) é aumentada em 200 unidades d) é aumentada em 10 aa4 4b b4 unidades e) é aumentada em 2 unidades 13. A fração aa2 2b b2 é igual a: a6 b6 a) a 6 b b) a a2 2 b b2 c) a a2  b b2 1 1 04. A igualdade xx1 1 xx2 é satisfeita: d) a 2  b 2 d) a 2 2 b 2 a) por nenhum valor real de x b) por xx1 ou xx2 c) apenas x x 1 d) apenas x x 2 e) apenas x x 0 14. O comprimento de um retângulo R é 10% maior que o lado de um quadrado Q. A largura do retângulo é 10% 05. y varia com o inverso do quadrado de x. Quando y = 16, menor que o lado do quadrado. A razão entre as áreas de R e x = 1. Quando x = 8, y é igual a: Q é: a) 2 b) 128 c) 64 d) 1 / 4 e) 1024 a) 99 : 100 b) 101 : 100 c) 1 : 1 d) 199 : 200 e) 201 : 200 06. Um feirante compra certa quantidade de laranjas à base de 3 por 10 centavos, e igual quantidade à base de 5 por 20 15. A razão entre as áreas de dois círculos concêntricos é de centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve vender à 1: 3. Se o raio do círculo menor é r, então a diferença entre base de: os raios é aproximadamente: a) 8 por R$ 0,30 b) 3 por R$ 0,11 c) 5 por R$ 0,18 a) 0,41 r b) 0,73 c) 0,75 d) 0,73 r e) 0,75 r d) 11 por R$ 0,40 e) 13 por R$ 0,50 16. O valor de 3 / (a + b) quando a = 4 e b = -4 é: 07. Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu a) 3 b) 3 / 8 c) 0 d) qualquer número finito salário, ele só vai readquirir o salário original se tiver um e) não definida aumento de: a) 20% b) 25% c) 22,5% d) R$ 20,00 e) R$25,00 17. Se log x – 5 log 3 = -2, então x é igual a: a) 1,25 b) 0,81 c) 2,43 d) 0,8 e) 0,8 ou 1,25 08. O gráfico de x² - 4y² = 0 é: a) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos x 18. O discriminante da equação x² + 2x√3 + 3 = 0 é zero. b) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos y Portanto, suas raízes são: c) é uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos a) reais e iguais b) racionais e iguais c) racionais e d) é um par de retas distintas d) irracionais e distintas e) imaginárias e) não existe 19. Dois números cuja soma é 6 cujo valor absoluto da 09. Um círculo é inscrito em um ∆ de lados 8, 15 e 17. O diferença é 8 são as raízes da equação: raio do círculo é: a) x² - 6x + 7 = 0 b) x² - 6x - 7 = 0 c) x² + 6x – 8 = 0 a) 6 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7 d) x² - 6x + 8 = 0 e) x² + 6x – 7 = 0 10. Quantas horas demoram um trem que viaja a velocidade 20. A expressão √25 – t² +5 se anula para: média de 40 km/h, para que percorra a quilômetros se a) em nenhum valor real ou imaginário de t durante o trajeto ele faz n paradas de m minutos cada uma? b) em nenhum valor real de t, mas para alguns valores a) (3 a + 2mn) / 120 b) 3 a + 2mn c) (3 a + 2mn) / 12 imaginários c) em nenhum valor imaginário de t, mas d) (a + mn) / 40 e) (a + 40 mn) / 40 para alguns valores reais d) t = 0 e) t = ±5 11. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em 21. Seja c a hipotenusa de um ∆ retângulo e A sua área. aprender freqüenta esta escola” é: Então altura relativa à hipotenusa mede: a) todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta a) A / c b) 2A / c c) A / 2c d) A² / c e) A / c² escola 22. Para pagamento de R$ 10.000,00 um cliente pode optar entre três descontos sucessivos de 20%, 20% e 10% ou 1
  2. 2. então, três descontos sucessivos de 40%, 5% e 5% b) eles formam uma progressão geométrica Escolhendo a proposta mais vantajosa ele economiza: c) eles são distintos d) eles são números negativos a) absolutamente nada b) R$ 400,00 c) R$ 330,00 e) apenas b é negativo e a e c são positivos d) R$ 345,00 e) R$ 360,00 33. Carine inicia uma viagem quando os ponteiros do 23. Ao rever o cálculo de moedas do caixa, o atendente relógio estão sobrepostos (apontam para a mesma direção e contou q moedas de 25 centavos, d de 10 centavos, n de 5 e sentido) entre 8h e 9h da manhã. Ela chega a seu destino c moedas de 1 centavo. Mais tarde Mais tarde ele descobre entre 2h e 3h da tarde quando os ponteiros do relógio que a moedas de 5 centavos foram contadas como moedas formam um ângulo de 180°. O tempo de duração da viagem de 25 centavos e que x moedas de 10 centavos, contadas é: como sendo de 1 centavo. Para corrigir o total o atendente a) 6h b) 6h 43 7/11 min c) 5h 16 4/11 min d) 6h 30 min deve: e) nra a) deixar o total inalterado b) subtrair 11 centavos c) subtrair 11x centavos d) somar 11 x centavos 34. Uma estaca de 6 cm e outra e) somar x centavos de 18 cm de diâmetro dão colocadas lado a lado como 24. A função 4x² - 12x – 1: mostra a figura, e amarradas a) sempre cresce à medida que x cresce com um arame. O menor b) sempre decresce à medida que x decresce comprimento de arame que c) não se pode anular contorna as duas estacas em cm é: d) tem um valor máximo quando x é negativo a) 12√3 + 163 b) 12√3 + 73 c) 12√3 + 143 e) tem um valor mínimo em -10. d) 12 + 15d e) 24 25. Um dos fatores de x4 + 2x² + 9 è : 35.Três meninos concordam em dividir um saco de bolinhas a) x² + 3 b) x + 1 c) x² - 3 d) x² -2x – 3 e)n.r.a. de gude da seguinte maneira: o primeiro fica com a metade das bolinhas mais uma. O segundo fica com um terço das 26. Édio tem uma casa que vale R$ 10.000,00. Ele vende a restantes. O terceiro descobre que desta forma ele fica com o casa para Camila com 10% de lucro. Camila vende a casa de dobro das bolas do segundo. O número de bolas é: volta para Édio com 10% de prejuízo. Então: a) 8 ou 38 b) não podem ser deduzidos por esses dados a) Édio nem perde nem ganha b) Édio lucra R$ c) 20 ou 26 d) 14 ou 32 e) nra 100,00 c) Édio lucra R$ 1.000,00 d) Camila perde R$ 36. Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal, 100,00 tem um comprimento interno de 10m e um diâmetro interno e) Édio lucra R$ 1.100,00 de 6m. Se a superfície retangular do óleo dentro do tanque tem área de 40m², então a profundidade do óleo, em metros, 27. Se r e s são raízes da equação x² - px + q = 0 então r² + é: s² é igual a: a) √5 b) 2√5 c) 3 - √5 d) 3 + √5 e) 3 ± √5 a) p² + 2q b) p² - 2q c) p² + q² d) p² - q² e) p² 37. Um número de três dígitos tem, da esquerda para a 28. Em um mesmo sistema de eixos são traçados o gráfico direita, os dígitos h, t e u, sendo h > u. Quando o número de y = ax² + bx + c e o gráfico da função obtida substituindo com os dígitos em posição reversa é subtraído do número x por –x na função dada. Se b x0 e c 0 0 então esses gráficos original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois interceptam-se: dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são: a) em dois pontos, um no eixo dos x e um no eixo dos y a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) impossível calcular d) 5 e 4 b) em um ponto localizado fora dos eixos e) 4 e 5 c) somente na origem d) em um ponto no eixo dos x e) em um ponto no eixo dos y 38. São dados quatro números inteiros. Escolha três inteiros quaisquer dentre eles e calcule a média aritmética destes, 29. Na figura, PA é depois some este resultado ao quarto inteiro. Desta forma se tangente ao consegue os números 29, 23, 21 e 17. Um dos números semicírculo SAR; originais é: PB é tangente ao a) 19 b) 21 c) 23 d) 20 e) 17 semicírculo RTB; SRT é um segmento 39. Se y = x² + px + q, então se o menor valor possível de y de reta e os arcos é zero, q deve então valer: estão indicados na a) 0 b) p² / 4 c) p / 2 d) – p / 2 e) p²/4 - q figura. O ângulo APB mede: 40. Se b 4 d, então as frações ax + b e b são distintas se: a) ½ (a – b) b) ½ (a + b) c) (c - a) - (d – b) cx + d d d) a – b e) a + b a) a = c = 1 e x a 0 b) a = b = 0 c) a = c = 0 30. Cada uma das equações 3x 2 2 2 2 25;;2x x 112 2 2x x 112 e x 2 2 7 7 x x 1 têm : d) x = 0 e) ad = bc a) duas raízes inteiras b) nenhuma raíz maior que 3 c) nenhuma raíz nula d) apenas uma raíz 41. Um trem partindo da cidade A até a cidade B encontra e) uma raíz negativa e ooutra positiva um acidente depois de 1 hora. Se ele parasse por meia hora e depois prosseguisse a 4 / 5 da sua velocidade usual, chegaria 31. Um ∆ eqüilátero de lado 2 é dividido em um triângulo e à cidade B com 2 horas de atraso. Se o trem tivesse em um trapézio por uma linha paralela a um de seus lados. percorrido 80 km mais antes do acidente, teria chegado Se a área do trapézio é igual à metade da área do triângulo atrasado uma hora apenas. A velocidade usual do trem, em original, o comprimento da mediana do trapézio é: km/h, é: a) √6 / 2 b) √2 c) 2 + √2 d) (2 + √2) / 2 a) 20 b) 30 c) 40 d) 40 e) 50 e) (2√3 - √6) / 2 32. Se o discriminante de ax² + 2bx + c = 0 é zero, então 42. Se a, b e c são inteiros positivos, os radicais √(a + b/c) e outra afirmação verdadeira sobre a, b e c é: a.√(b /c) são iguais se e somente se: a) eles formam uma progressão aritmética a) a = b = c = 1 b) a = b e c = a = 1 c) c = [b(a²-1)] / a 2
  3. 3. d) a = b e c qualquer valor e) a = b e c = a – 1. a) 30 km/h b) 10 km/h c) 5 km/h d) 15 km/h 43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das 01.D 11.C 21.B 31.D 41.A equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são: 02.B 12.D 22.D 32.B 42.C a) 3 pares reais b) 4 pares reais c) 4 pares imaginários d) 2 pares reais e 2 pares imaginários 03.B 13.C 23.C 33.A 43.E e) 1 par real e 2 pares imaginários. 04.E 14.A 24.E 34.C 44.A 44. Em um círculo de centro O é traçado uma corda AB de 05.D 15.D 25.E 35.B 45.A tal forma que BC é igual ao raio do círculo. CO é traçada e 06.B 16.E 26.E 36.E 46.B estendida até D. CO é traçada e estendida até D e AO é 07.B 17.C 27.B 37.B 47.C traçada. Qual das expressões abaixo expressa a relação entre x e y? 08.D 18.A 28.E 38.B 48.B a) x = 3y 09.D 19.B 29.E 39.B 49.C b) x = 2y c) x = 60° 10.A 20.A 30.B 40.A 50.C d) não existe e) 3 km /h. nenhuma relação especial entre x e y e) x = 2y ou x = 3y, dependendo do comprimento de AB. 45.Dadas uma série geométrica com primeiro termo não GABARITO nulos e razão não nula e uma série aritmética com primeiro termo nulo. É formada a 3ª seqüência 1, 1, 2, . . . pela soma 01(D) Trata-se de uma questão que envolve números dos termos correspondentes das duas séries. A soma dos dez decimais. Temos então que: primeiros termos da terceira seqüência é: 3/8 = 0,375 e que 3/8x10-6 = 0,000 000 375 ∴ (D) é a a) 978 b) 557 c) 467 d) 1 068 e) n.r.a. alternativa correta. 46. Os gráficos de 2x + 3y – 6 = 0; 4x – 3y – 6 = 0; x = 2 e 02(B) Em 25 minutos temos os deslocamentos: y = 2 / 3 se interceptam em: O ponteiro Grande (dos minutos) desloca-se: 5 x 30° = 150°. a) 6 pontos b) 1 ponto c) 2 pontos d) nenhum ponto O ponteiro pequeno (das horas) desloca-se: 1/12 do e) em um número não limitado de pontos deslocamento do ponteiro dos minutos = 1/12 (150°) = 12,5° ∴ ângulo = 150° - 12,5° = 137,5° = 137°30’. 47. As expressões a + bc e (a + b) (a + c) são: a) sempre iguais b) nunca iguais c) iguais quando a + b +c=1 d) iguais a + b + c = 0 e) iguais somente 03(B) Seja x1, x2, . . . , xn os n números cuja média quando a = b = c = 0. aritmética é A. Então A = (x1 + x2 + . . . + xn) / n. Os n números aumentados de 20 unidades cada um terão 48. Dado um ∆ uma média aritmética M tal que: ABC com M = [(x1 + 20) + (x2 + 20) + . . . + (xn + 20) ] / n = medianas AB, BF e = (x1 + x2 + . . . + xn) / n + ( 20 + 20 + ... + 20 ) / n = CD; com FH = A + 20.n / n = A + 20. Portanto B é a alternativa certa. paralela a AF e de igual comprimento. 04(E) Multiplicando os dois membros da equação por (x – Traça-se BH e HE 1)(x – 2), temos : 2x – 2 = x – 2 ∴ x = 0. e estende-se FE até encontrar BH em G. Qual das afirmações a seguir não é 05(D) Temos: y / (1/x²) = k ∴ y = k / x². necessariamente correta? Para y = 16 e x = 1 → 16 = k / 1² → k = 16. a) AEHF é um paralelogramo b) HE = HG c) BH = DC Então para x = 8 temos: y = 16 / 8² = 1 / 4. d) FG = ¾ AB e) FG é a mediana do ∆BGF 06(B) Considerando as duas compras temos dois preços: 49. Os gráficos de y = x² - 4 e y = 2x se interceptam em: 1ª) Compra de n laranjas a 3 por R$ 0,10 →(10 / 3) e vender x–2 por x, temos: n.x = (10 / 3) n a) um ponto cuja abscissa é 2 b) um ponto cuja 2ª) Compra de n laranjas a 5 por R$ 0,20 →(20 / 5) e vender abscissa é 0 por x, temos: n.x = (20 / 5) n. c) nenhum ponto d) dois pontos distintos e) Para o cálculo da venda: 1ª + 2ª → 2n. x = 10n /3 + 20n /5 dois pontos distintos ∴ x = 11 / 3, ou seja, 3 laranjas por R$ 0,11. 50. Para 07(B) Considere Sn (novo salário) e S (salário original). poder Temos que: Sn = S – 20%S = S – 1/5 S = 4/5 S ∴ ultrapassar B S = 5/4 Sn. O aumento necessário é Sn / 4, ou seja, 25% de que corre a Sn. 40 Km/h em uma estrada 08(D) Fatorando o dado, temos: de pista x² - 4y² = (x + 2y)(x – 2y) = 0 ∴ x + 2y = 0 e x – 2y = 0. simples, A Cada uma dessas equações representa uma reta. que corre a 50 km/h deve adiantar-se a B 8m. Ao mesmo tempo 09(D) O triângulo de lados 8, 15 e 17 é retângulo. Para C, que corre em direção a A com velocidade de 50 qualquer ∆ retângulo pode-se mostrar (veja REMEMBER I – Problema 35) que: a – r + b – r = c ∴ 2r = a + b – c = 8 + km/h. Se B e C mantêm suas velocidades, para poder ultrapassar com segurança A deverá aumentar sua 15 – 17 = 6 ∴ r = 3. (Considerar no ∆: c → hipotenusa; a e velocidade de: b → catetos e r = raio do círculo inscrito). 3
  4. 4. a- b=8 a - b = - 8 cujas soluções são: a= -1 e b = 7 . Então a equação do 2º grau que admite estas raízes em que Soma = 6 e produto das raízes P = -7 é: 10(A) Iniciando com o cálculo do tempo (∆t1) do trem em x² - 6x – 7 = 0. velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no percurso de a km (∆x = a km) → V = ∆x / ∆t1 ∴ ∆t1 = ∆x / V = a / 40 20(A) A equação √ 25 - t² nunca pode ser igual a zero um horas. vez que é a soma de um número positivo com um número Cálculo do tempo das n paradas de m minutos (∆t2): não negativo.(Para √ 25 – t² estamos querendo nos referir ∆t2 = (n. m) min = (n. m) / 60 horas. somente à raiz positiva). Logo (A) é a opção correta. Nº. de horas de demora = ∆t1 + ∆t2 = a / 40 + (n.m) / 60 = 21(B)2Como A = ½ h . c ∴ h = 2 a / c. ( 3 a + 2mn)/120 . 11(C) A negação consiste em dizer que é falso que “ nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola”, o que é o mesmo de dizer: “algumas pessoas lentas em 22(D) Temos um problema de descontos. Vamos operar aprender freqüentam esta escola”. cada desconto único da forma D = 1 – (1 – i1)(1 – i2)(1 - i3) onde i1, i2 e i3 representam a taxa centesimal de cada 12(D) Trata-se de uma equação irracional. Não se pode desconto sucessivo. Vejamos o desconto de cada proposta: esquecer no final de fazer à verificação para cada raiz. 1ª Proposta: Descontos sucessivos de 20%; 20% e 10%. A princípio transfere-se √x - 1 para o segundo membro e D1 = 1 – (1 – 0,2)(1 – 0,2)(1 – 0,1) = = 1 – (0,8)(0,8)(0,9) = 1 – 0,576 = 0,424 = 42,4% quadra-se a equação, ou seja: 2ª Proposta: Descontos sucessivos de 40%; 5% e 5%. 5x x 1 1 2 2 x x 1 1quadrando) D2 = 1 – (1 – 0,4)(1 – 0,05)(1 – 0,05) = 1 – (0,6)(0,95)² = 1 – 0,5415 = 0,4585 = 45,85%. 5x x 1 1 2 2 4 x x 1  x x 1 1 4x x 4 4 44 x x 1 Verifica-se então que a 2ª proposta é mais vantajosa e temos 1 x x 1 1 1 x x 1 1quadrando-se ss x² ² 2x  1 1 x x 1 como economia em relação a 1ª de: 1 x² ² 3x  2 2 0 0 x x x 1 e x" " 2. (D2 – D1). 10.000 = (3,45%). 10.000 = R$ 345,00. Verificação: Para x x 1 1 5.1 1 1  11 1 1 4  0 0 22 (Veja também outra maneira de resolução modelo 2 2 22VV V x x 1 é raiz. REMEMBER I – problema 22). Para x x 2 2 5.2 2 1  22 1 1 9  1 1 44 4 4 22FF F x x 2 não é raiz.Logo a opção certa é a aDD. 23(C) A quantia contada em centavos = 25q + 10c + 5n + c. Valor correto = 25(q – x) + 10(c + x) + 5(n + x) + (c – x). A diferença = -25x + 10x + 5x – x = -11x ∴ 11x centavos 13(C) Usando uma das propriedades dos produtos notáveis, devem ser subtraídos. a² - b² = (a + b)(a – b) , temos: 24(E) A função y = 4x² -12x -1 possui como gráfico uma aa4 4b b4 2aa2  b b2 22aa2 2bb2 2 2 2 aa2  b b2 . parábola com concavidade voltada para cima, pois a = 4 > 0 cujo ponto vértice V (xv, yv) = (-b /2a; -∆ / 4 a) ∴ xv = 3/2 aa2 2b b2 aa2 2bb2 = 1,5 e yv = - 10 (mínimo). 14(A) As dimensões do retângulo R são: Comprimento = (Veja REMEMBER I- Problema 4) . 1,1L e Largura = 0,9L ∴ Áret. = 1,1 . 0,9 = 0,99 L². A área do quadrado de lado L = Aq. = L². Daí então: 25(E) Trata-se de uma questão sobre complementar Aret. / Aq = 0,99L² / L² = 0,99 = 99 / 100. quadrado perfeito e regra dos produtos notáveis. Fazendo: x4  2x 2  9 9 x4  2x 2  9  4x 2 2 4x 2 2 x 4  6x 2  9 9 4x 2 2 2 2 2 2 22x 2  33 2 22x x2 2 2x 2  3 3 2xxxx 2  3  2x x x Área Círc.menor r2 m1 3 3 2 R² ² 1 3 3 R R r 3. Área Círc. maior x4 4 9 99x 2 2 2x  333x 2  2x  33. Então a diferença entre os raios r . . . r R R r r r 3 3r r r 3 3 1 1 rr1,73 3 111 0,73r x2 2.x2 . 3 3 15(D) Seja R o raio do círculo maior, temos: 6x2 16(E) Quando a = 4 e b = -4 temos que: a + b = 0. Logo a 26(E) Édio vende com lucro de 10% = expressão não tem sentido para esses valores, pois não se = 10.000 + 10%.10.000= 10.000 + 1.000 = R$ 11.000,00 divide por zero. Camila vende com prejuízo de 10% sobre preço de compra= = 10.000 – 10%.11.000 = 11.000 – 1.100 = R$ 9.900,00. logx x 5 log3 3 32 2 logx x log3 5 5 52 2 A opção correta é (E), pois na transação Édio ganhou: log x5 5 52 2 243 3 10 02 2 x x 2, 43 (que satisfaz x 11.000 – 9.900 = R$ 1.100,00. 3 (Veja REMEMBER II - Problema 5) a condição do log x, que é x x 0). 17(E) Na resolução do problema usaremos a propriedade do 27(B) Da equação x² - px + q = 0 temos como coeficientes: quociente entre logarítmos (log a – log b = log a / b); a a = 1; b = - p e c = q; como soma das raízes (r e s) : r + s = - propriedade do expoente (a log b = log b a) e a definição de b / a = p e como produto: r . s = c / a = q. Para o cálculo de logarítmos (logx a = b → x b = a) Lembrar que: a > 0; b > 0 e r² + s², vamos partir de que r + s = p, quadrar a igualdade, 0 < x 0 1, sendo todos reais. fazer uso de substituições e isolar o pedido do problema. Vejamos como é fácil: 18(A) O discriminante valendo zero (∆ = 0) significa que as (r + s)² = p² ∴ r² +2rs + s² = p² ∴ r² + s² = p² - 2rs = p² - 2q. raízes são reais e iguais desde que os coeficientes da equação sejam números reais. 28(E) Para x 2 0, temos: y = ax² + bx + c ax² - bx +c. Para x = 0, temos: y = ax² + bx + c = ax² - bx + c ∴ 19(B) Denominando os números de a e b temos: existe um ponto de interseção (0, c) ∴ (E) é a alternativa a + b = 6 e !a – b ! = 8 onde a – b = 8 ou a – b = -8. correta. Formamos então os sistemas: a+b=6 e a+b=6 29(E) Trata-se de uma questão que envolve ângulos replementares, ou seja, ]APB + ]BPA = 360° ∴]APB = 4
  5. 5. 360° - ]BPA (veja sempre a figura para acompanhar ponteiro das horas entre 2 e 3 horas e (ii) seja 240° + y o cálculos). Vamos ao problema: deslocamento do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA (que são dois ângulos dos minutos possui velocidades 12 vezes maior no mesmo intervalo de tempo, então: 12y = 240° + y ∴ y = 240°/11 = excêntricos exteriores) temos: 43,6min. (i) ) RPA R ABAAR 2 2a cc x2 c cc caa 2 2ccx Daí então, a CHEGADA = 2 h 43,6 min. 2 2 2b b d dddbbxx 2d x Logo o tempo da viagem = 2h 43,6min (14h 43,6min) – 8hs 2iiii BPR B BRBBM 2 2 2 2 2 43,6 min = 6 h. Então:: BPA B 2cc x  2d2 x 2 c  d. 2 Como C APB A 360° ° BPA B 360° ° °c  dd 34(C) O menor comprimento consiste nas duas tangentes d d APB A A 180° ° cc   180° ° dd d a  b. externas T e nos dois arcos A1 e A2 ∴ m.C = 2T + A1 + A2. Nota:a)No semi-círculo SAR: a  c c 180° ° a a 180° ° c Na figura temos: 0102 = 12 cm; No ∆ABC (retângulo) b)No semi-círculo RMT: x   b b x x  d d 180° ° b b 180° ° d temos: BC // 0102 ∴ BC = 12 cm; AB = (9 – 3)cm = 6 cm ∴ 12² = 6² + T² ∴ T = 6 √3. Logo 2 T = 12 √3 cm No ∆DCO2 ≈ ∆DAO1 → DC / O2C = DA / O1A ∴ DC / 3 = DC + 6√3 / 9 ∴ DC = 3√3 cm ∴ tg α = CO2 / DC = √3 / 3 → α = 30° ∴ Arco CE = A1 = 120°/ 360°. 2 .3 = 2. ∴ A1 = 2 e o arco AGB = A2 = 240°/ 360 . 2 .9 = 12. ∴ A2 = 12 30(B) Resolvendo individualmente cada equação encontram-se os seguintes conjuntos soluções: Para : ii 3x² ² 2 2 25 5 x x x3 3 Si S SS33 ii) (2x – 1)² ² (x – 1)² ² 2x – 1 1 1x x 11² ² 2x x 1 1 1 1x x 11 onde: 2x – 1 1 x – 1 1 x x 0 ∴ m.C = 12√3 + 143 . e 2x – 1 1 - (x – 1) ) x x 2 / 3 3 Sii S {0, 2 / 3} iii) x² ² 7 7 x x 1 (quadrando a equação, temos) 35(B) Considerando que o número total de bolas = b, temos x² - 7 7 x – 1 1 x² - x – 6 6 0 0 x’ ’ -2 e x” ” 3. Como se trata de equação irracional deve-se fazer a verificação que cada menino pega: com as raízes encontradas, ou seja: b b 2 Parax P P2 2 2222² ² 7 7 72 2 1 1 13 3 33 , , FFpoisnãoexistereal 1ºmen. . 2  11 2 ; 2ºmen. . 1 bb2 2 bb2 3 2 6 e comraizquadrada negativa. Então E 2nãosatisfaz. bb2 3ºmen. . 2 6 6 bb2 .Podemos então armar a 3 Parax P 3 3 3² ² 7 7 3 3 1 1 2 2 2 , , VV V Siii S { 3 }. equação: b b b22  bb2  bb2 3 0b b 0. 6 3 Observando os três conjuntos soluções, temos que a opção correta é a (B). Portanto o valor de b é indeterminado, podendo assumir 31(D) Sejam Am; Ao e Atrap as áreas do triângulo menor; qualquer valor inteiro da forma 2  6b para b b 1, 2, ... do ∆original e do trapézio. Pelo enunciado Atrap = ½ Ao. Veja pela figura que então: Am = Atrap = ½ Ao, pois 36(E)A área da superfície retangular é dada por: Am + Atrap = Ao ∴ Am / Ao = 1 Área = comprimento x largura ∴ 40 = 10.2x ∴ x = 2. No / 2. ∆retângulo raio² = y² + x² ∴ 3² = y² + 2² ∴ y = √5 . Usando o teorema das áreas, A profundidade é : 3 - √5 ou 3 + √5 (veja as figuras). temos: Am / Ao = DE²/ 2² = 1 / 2 ∴ DE = √2. A mediana m de um trapézio é a média aritmética de seus lados paralelos (suas bases) ∴ m = ( DE + 2) / 2 = = (√2 + 2) / 2. 32(B) Se ∆= 0 temos: (2b)² - 4 a.c = 0 ∴ 4b² - 4 a.c = 0 (:4) 37(B) O número original é 100c + 10 d + u. Quando o ∴ b² - ac = 0 ∴ b² = a.c . Temos que b é média geométrica número é revestido temos 100u +10 d + c. Como c > u, para de a e c, logo (a,b,c) formam uma progressão geométrica. subtrairmos, é necessário acrescentar 10 a u (transformar 1 d = 10 ). O mesmo acontece com as centenas e dezenas, ou 33(A) Seja x o número de graus que o seja, 10 a d (transformar 1c = 10 d) ∴ ponteiro das horas se move entre 8 100(c – 1) + 10(d + 9) + u + 10 horas e o começo da viagem e por sua 100u + 10 d +c vez é 240° + x o deslocamento em graus do ponteiro dos minutos. Como o 100( c – 1 – u ) + 10( d + 9 – d) + ( u + 10 – c ) = ponteiro dos minutos é 12 vezes mais = 100(c – 1 – u) + 10 .9 + u + 10 – c. rápido que o das horas, em qualquer Pelo enunciado do problema: u + 10 – c = 4 ∴ c – u = 6. intervalo de tempo, temos: Então: 100(6 – 1) + 9.10 + 4 = 5.100 + 9.10 + 4 ∴ 12x = 240°+ x ∴ x = 240° / 11 21,82° as dezenas d = 9 e as centenas c = 5. 43,6 minutos ∴ Horário da saída 8h 43,6minutos. 38(B) Considerando os quatro números inteiros e positivos como a, b, c e d e escolhendo sempre três para executar a Para a CHEGADA, entre 2 e 3 horas média aritmética adicionada ao quarto número, formamos o da tarde, vamos considerar que: (i) seja y = deslocamento do 5
  6. 6. sistema de equações abaixo, que resolvendo por 44(A) Um modo de resolução do problema usando a escalonamento temos: propriedade do ângulo externo de um ∆.Na figura, temos: i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴ 1/33a  b  cc  d d 29 a  b  c  3d d 87 ]O = ]C = y. 1/33b  c  dd  a a 23 3a  b  c  d d 69 ii) O ∆OBC (é isóscele), pois AO = OB = r e ] OBA = 7 1/33c  d  aa  b b 21 a  3b  c  d d 63 ] OAB 1/33d  a  bb  c c 17 a  b  3c  d d 51 = 2y pois ] OBA é a  b  c  3d d 87 externo ao a  b  3c  d d 51 ∆OBC. iii) Então a  3b  c  d d 63 ] x = 3a  b  c  d d 69 ]OAC + y Escalonando o sistema, temos: ( ]x é a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 externo ∆OAC ) ∴ 2c c 2d d d36 c c d d d18 b b d d d12 ]x = 2y + y = 3y. 2 6 2b b 2d d d 24 b bdd d 12 c cdd d 18 42b b 2c c 8d d d192 2b b c c 4d d d96 8b b c c 4d d d96 Fazendo L2 L4 e finalmente L3  L4, temos: a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 d d 21 45(A) Sendo a PG (a, aq, aq², . . . ) e a PA ( 0, r, 2r, . . . ) b b d d d12 b b d d d12 cc 3 8 6 Logo B é a opção onde PA + PG (1, 1, 2, . . . ), logo: a + 0 = 1 ∴ a = 1 (i); c cdd d 18 c cd d d 18 bb 9 aq + r = 1 ∴ q + r = 1 (ii); aq² + 2r = 2 ∴ q² + 2r = 2 (iii). 8c c 5d d d108 86d d d126 a a 12 Em (ii), r = 1 – q que substituído em (iii), temos: q² + 2 – 2q = 2 ∴ q(q – 2) = 0 ∴ q = 0 (não satisfaz) e q = 2. e então r = 1 – 2 = 1. 39(B) Logo PG ( 1, 2, 4, ... ) ∴ Sn = a1 (qn – 1) / (q – 1) p² S10 = 1.(210 – 1) / (2 – 1) ∴ S10 ‘= 1 023. y min m mm a 0 0 0 0 0 0 p² ² 4. 1. q q 0 0 q q 4a 4 . . Veja REMEMBER I, problema 41) a PA (0, -1, -2, . . . ) ∴Sn = n (a1 + a n) / 2 =n(a 1+(n –1)r)/2 ∴ S10 = 10( 0 + 9.(-1)) = -45 ∴ S10 “ = - 45. 40(A) Se diferenciado as frações dadas, temos: ax b Assim: S10’ + S10” = 1 023 +(-45) = 978. cx d d b a adx  bd b bcx  bd b x x adabc a 1 b a ad a bc b 0 0 ad a bc b d c 1 1 d c 46(B) Temos que resolver o sistema abaixo, para determinar b b d ; a a c e x x 0. o ponto interseção das quatro retas. A fração terá seu valor alterado somando-se qualquer valor x não 2x  3y y 6 nulo ao seu numerador e ao denominador. Logo (A) é a opção. 41(A) Sendo x a distância do ponto do acidente ao final da 4x x 3y y 6 viagem, e v a velocidade do trem antes do acidente. O tempo x x 2 normal da viagem, em horas, é dado por: 1 x/v + 1 = (x + v) / v . yy 2 Considerando o tempo em cada viagem temos: 1 x x v 4v 2v 5x 4x 4v 8v a) 1  2  4v 5 v  22 4v v 4v v x x 6v vii Pode-se verificar que x = 2 e y = ½ é solução do sistema. 5 80 1 xx80 x v 320 2v 5xx 400 4x 4v Logo (B) é a opção correta. bb 1  v  2  4v 5 v  11 4v v 4v 5 v v80 0 0x  2v v x x 2v  80 (ii). 42(C) 47(C) Para que a + bc = a² + ab + ac + bc → a = a²+ ab + ac ∴ a + b + c = 1. Fazendo (i) ) (ii),temos: 6v v 2v  80 0 v v 20km/h. Devemos considerar nas operações abaixo a, b e c sempre 48(A) Analisado cada opção, verifica-se: números inteiros e positivos. (A) é verdadeira porque FH é paralela a AE. (C) é verdadeira porque, quando se estende HE, que é b b b paralela a CA, esta encontra AB em D. DC e BH são lados Temos: a  c c a c cquad rand oo o a  c c a² b c c correspondentes dos ∆s congruentes ACD e HDB. ac b a²b bba²² 11 (D) é verdadeira c c c c ac a a²b b b b c c a FG = FE + EG = AD + ½ DB = ¾ AB. 43(E) Armando um sistema com as duas equações, temos (E) é verdadeira porque G é o ponto médio de HB. (B) não pode ser provada a partir da informação dada. Um desafio: que informação é necessária para provar (B)? 49(C) Sendo y = (x²- 4) / (x – 2) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2) = x + 2 ( para x x 2, ou então y 4; que é a condição de domínio da função) , é uma reta excluindo no ponto (2, 4). A reta y = 2x cruza a reta anterior no ponto que não faz parte do gráfico. Logo (C) é a opção correta. Para melhor entendimento faça os gráficos das funções no mesmo plano. 50(C) : 6

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