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Resumo:Um ensaio célebre em economia dos recursos naturais– The Tragedy of the Commons – analisa asconsequências do livre ...
O ponto de partida: a mão             invisível“… he intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases,...
Um problema: às vezes a mão     invisível avaria...
Um exemplo:Na ilha de Pago-Pago há dois lagos e 20pescadores.
No lago X, o número total de peixes pescados(Px) é dado por:Px = 10.Lx – 0,5.Lx2Em que Lx é o nº de pescadores no lago X.N...
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Como podemos exprimir a resposta do nº de  peixes pescados ao número de pescadores num  lago?  Duas opções: Produtividade ...
Pescado total no lago x (Px)                        50                        40                                          ...
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Produção total da ilha (Px+Py)                              120                                                d(Px+Py)/dL...
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À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL - Bom para cada um, mau para todos...

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Palestra “Bom para cada um, mau para todos…” apresentada no Instituto Superior de Agronomia, em 29 de fevereiro de 2012 no âmbito da 5ª edição da atividade da UTL “À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL”.

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À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL - Bom para cada um, mau para todos...

  1. 1. Bom para cada um, mau para todos… O problema do livre acesso José Lima SantosRotas matemáticas da UTLRota 3ISA, 29 de fevereiro de 2012
  2. 2. Resumo:Um ensaio célebre em economia dos recursos naturais– The Tragedy of the Commons – analisa asconsequências do livre acesso aos recursos naturais: asua degradação e esgotamento.O colapso dos recursos pesqueiros, a desflorestação, eas emissões de gases com efeito de estufa são todosexemplos de uma mesma história, em que cada um,agindo no seu interesse pessoal, nos leva à desgraça detodos.Como procurar, na matemática, a expressão dointeresse pessoal, do bem comum e das soluções parao livre acesso?
  3. 3. O ponto de partida: a mão invisível“… he intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention….By pursuing his own interest he frequently promotes that of society more effectually than when he really intends to promote it.” Adam Smith, “The Wealth of Nations”, 1776, p. 572.
  4. 4. Um problema: às vezes a mão invisível avaria...
  5. 5. Um exemplo:Na ilha de Pago-Pago há dois lagos e 20pescadores.
  6. 6. No lago X, o número total de peixes pescados(Px) é dado por:Px = 10.Lx – 0,5.Lx2Em que Lx é o nº de pescadores no lago X.No lago Y, pescam-se Py peixes:Py = 5.LyEm que Ly = 20 – Lx é o nº de pescadores nolago Y.
  7. 7. Pescado total no lago x (Px) 50 40Nº de peixes pescados 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº pescadores no lago x (Lx)
  8. 8. Pescado total no lago Y (Py) 100 90 80Nº de peixes pescados 70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Nº pescadores no lago Y (Ly)
  9. 9. Como podemos exprimir a resposta do nº de peixes pescados ao número de pescadores num lago? Duas opções: Produtividade marginal (PMg) e Produtividade média (PMed)Por exemplo no lago X:PMgx = dPx/dLx = ∆Px/∆Lx = tg(α)PMedx = Px/Lx = tg (β)Como interpretar a PMg e a PMed?
  10. 10. Pescado total no lago x (Px) 50 40 ∆PxNº de peixes pescados 30 α 20 ∆Lx Px 10 β Lx 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº pescadores no lago x (Lx)
  11. 11. Produtividades média e marginal no lago X 10 9 8Nº peixes por pescador 7 6 PMgx 5 PMedx 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 Nº pescadores no lago X
  12. 12. Produtividades média e marginal no lago Y 10,0 9,0 8,0Nº peixes por pescador 7,0 6,0 5,0 PMedy, PMgy 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0 5 10 15 20 Nº pescadores no lago Y
  13. 13. a) Quantos pescadores devem pescar no lago X de modo a maximizar a produção total da ilha? Quantos peixes se pescam nesse máximo?max Px + Pys.a.: Lx + Ly = 20Ou seja, escolher Lx que maximiza:Px + Py = 10.Lx – 0,5.Lx2 + 5.(20 – Lx) =10.Lx – 0,5.Lx2 + 100 – 5.Lx =5.Lx – 0,5.Lx2 + 100
  14. 14. Produção total da ilha (Px+Py) 120 d(Px+Py)/dLx=0 100Nº total de peixes pescados 80 60 Px+Py 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Nº pescadores no lago X (Lx)
  15. 15. Derivando a função a maximizar e igualando a zero, dá: d(Px + Py)/dLx = 5 – Lx = 0, Ou seja:Lx = 5Ly = 20 – 5 = 15Px + Py = 5x5 – 0,5x52 + 100 = 112,5 peixesIsto dá o óptimo da ilha (o melhor para todos).
  16. 16. Outro modo de resolver o problema édeterminar a produtividade marginal no lago X: PMgx = dPx/dLx = 10 – Lx, que é o acréscimo de peixe que resulta de pôr mais um pescador a pescar no lago Lx.
  17. 17. Vale a pena pôr mais pescadores a pescar no lago X até que esta produtividade marginal seja ainda superior ao custo marginal (CMgx), isto é: PMgx > CMgx Quanto custa pôr mais um pescador no lago X? Custa os 5 peixes que esse pescador deixa de pescar no lago Y. Ou seja: CMgx = 5 peixes Assim o óptimo atinge-se quando:PMgx = 10 – Lx = 5 => Lx = 5
  18. 18. Produtividade marginal e custo marginal 11 10 9Nº de peixes por pescador 8 7 6 PMgx PMedx 5 PMedy 4 3 2 óptimo 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº pescadores no lago x (Lx)
  19. 19. b) E agora quantos pescadores vão pescar no lago X se houver livre acesso a este lago? Quantos peixes se pescam nesse equilíbrio de livre acesso? Vejamos qual a produtividade média do pescador no lago X: PMedx = Px/Lx = 10 – 0,5.Lx Mais pescadores entram no lago X até que a sua produtividade média seja superior aos 5 peixes que poderiam pescar em Y, ou seja até que: Px/Lx = 10 – 0,5.Lx > 5 peixes
  20. 20. Assim, só quando:Px/Lx = 10 – 0,5.Lx = 5 peixes/pescador é que cessa a entrada de mais pescadores no lago X (equilíbrio de livre acesso). Isto vai acontecer com:Lx = 10 pescadores, o que implica:Px + Py = 10x5 – 0,5x102 + 100 = 100 peixes, o que fica bem abaixo do nível óptimo de produção da ilha
  21. 21. Produtividades média e marginal 11 10 9Nº de peixes por pescador 8 7 6 PMgx PMedx 5 PMedy 4 3 Livre acesso 2 1 óptimo 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº pescadores no lago x (Lx)
  22. 22. Assim, neste caso, a mão invisível nãoestá a conduzir cada um, prosseguindo oseu interesse individual, no sentido do queé melhor para o colectivo.Porquê?
  23. 23. Lx PMg PMed PMed-PMg 0 10 10,0 0,0 1 9 9,5 0,5 2 8 9,0 1,0 3 7 8,5 1,5 4 6 8,0 2,0 5 5 7,5 2,5 6 4 7,0 3,0 7 3 6,5 3,5 8 2 6,0 4,0 9 1 5,5 4,510 0 5,0 5,011 -1 4,5 5,512 -2 4,0 6,013 -3 3,5 6,5

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