EDERPAD
Licmat 20.10
FUNCIÓN CUADRÁTICA
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN
1. Si en un cuadrado aumentamos
en 6 unidades dos lados
paralelos obtenemos un
rectángulo. Calcula el área del
rectángulo en función del lado x
del cuadrado.
2. Una mujer tiene una piscina rectangular de 5x3 metros.
Quiere hacer un camino alrededor de la piscina como muestra
el siguiente dibujo:
La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
a. Llama x a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el
área A del camino?
b. Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe
los valores en una tabla y luego grafica en el plano.
c. Si el área del camino ha de ser de 30 m2
, utiliza la gráfica y
averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor de x es
A = 100?
CONCEPTO Y ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN
CUADRÁTICA
 Concepto
Se llama función cuadrática a toda función f definida por una
expresión de la forma:
  2
f x ax bx c   ,
donde a, b y c son números reales y a  0.
La representación gráfica de cualquier función cuadrática es
una parábola y la ecuación
2
y ax bx c   , recibe el
nombre de ecuación explícita de la parábola.
Si a > 0 entonces la parábola abre hacia arriba (cóncava hacia
arriba) y si a < 0 entonces la parábola abre hacia abajo
(cóncava hacia abajo).
CURIOMATH
La gráfica de cualquier función es cóncava hacia arriba si se
flexiona hacia arriba al avanzar de izquierda a derecha; es
cóncava hacia abajo si se flexiona hacia abajo en la misma
forma (Figura 1). Una recta no es cóncava hacia arriba ni
cóncava hacia abajo.
Figura 1
Las parábolas son simétricas con respecto a una recta vertical,
denominada eje de simetría de la parábola, es decir, si se
doblara la página sobre una de estas rectas, coincidirían las dos
mitades de la parábola.
 Vértice
Es el punto en donde el eje de simetría corta a la parábola.
Si a > 0, el vértice es el punto “más bajo” (mínimo).
Si a < 0, el vértice es el punto “más alto” (máximo).
Obtención general del vértice
Sea la parábola y = ax2
+ bx + c
Localizado el corte con el eje y, (0, c) hallamos su simétrico
resolviendo el sistema
2
y ax bx c
y c
   


.
Figura 2
Igualando:
ax2
+ bx + c = c  ax2
+ bx = 0  x(ax + b) = 0; es decir,
x = 0 ó ax + b = 0, que nos lleva a la solución
b
x
a
  .
La primera coordenada del vértice coincide con el punto medio
del segmento de extremos 0 y b/a, es decir,
2
x
b
V
a
  .
El valor de la abscisa del vértice de la parábola Vx da lugar al
eje de simetría (paralelo al eje y), cuya ecuación es x = Vx.
La ordenada Vy se calcula sustituyendo el valor de Vx en la
ecuación de la función.
En conclusión, para determinar el vértice se recurre al siguiente
planteamiento:
Vértice = 










 
a
b
f
a
b
2
,
2
O dicho de otro modo:
2
4
, ,
2 2 2 4
b b b ac b
V f
a a a a
       
     
    
Ejemplo 1
Si f(x) = x2
 4x + 3, entonces
 4 4
2
2 2 1 2
x
b
V
a
 
    

y
   2
2 2 4 2 3 1yV f       .
Por tanto, el vértice de la parábola será V = (2, 1).
 Dominio
El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los
números reales.
Dom f (x) = 
 Rango
* Si a > 0, el vértice es el punto “más bajo” (mínimo).
Por lo tanto, el rango corresponde a los valores de y, que están
por encima de la ordenada Vy del vértice, incluido este.
Es decir, el rango de la función es el intervalo semiabierto a la
derecha:
Ran f (x) = ,
2
b
f
a
   
  
  
.
* Si a < 0, el vértice es el punto “más alto” (máximo).
Por lo tanto, el rango corresponde a los valores de y, que están
por encima de la ordenada Vy del vértice, incluido este.

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Es decir, el rango de la función es el intervalo semiabierto a la
izquierda:
Ran f (x) = ,
2
b
f
a
   
   
  
.
 Intersección de la parábola con los ejes
* Intercepto con el eje Y: Como todos los puntos de este eje
tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el
eje Y tendrá de coordenadas (0, c). Es decir, la ordenada en el
origen (intercepto con el eje y) es el valor de c en la función
cuadrática
* Raíces o interceptos con el eje X: Como todos los puntos
del eje X tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de
corte se resuelve la ecuación de 2º grado ax2
+ bx + c = 0.
 Discriminante
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación,
se pueden presentar tres situaciones distintas:
* Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y
la parábola cortará al eje X en dos puntos (Figura 3).
Figura 3
* Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la
parábola cortará al eje X en un punto (que será el vértice).
Figura 4
* Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola
no cortará al eje X. Por lo que la parábola puede abrir hacia
arriba o hacia abajo, pero sobre el eje “x” o por abajo del eje
“x”, según sea el caso (Figura 5).
Figura 5
Graficar una función de segundo grado
Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo
menos tres puntos, "las raíces" y el vértice.
Ejemplo 2
Grafiquemos la función
2
( ) 5 6f x x x   .
La ordenada al origen es  6, por lo tanto sabemos que el punto
(0,  6) pertenece a la función.
Hallemos el vértice de la parábola:
2
5
2 2
4 49
4 4
x x
y y
b
V V
a
ac b
V V
a
    

   
Vértice:
5 49
,
2 4
V
 
  
 
Ahora las raíces:
   
 
22 5 5 4 1 64
2 2 1
b b ac
x x
a
       
  

 
 
1
1
5 7 2
1 1,0
5 49 2 2
5 7 122
6 6,0
2 2
x
x
x
 
     
  
       

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:
Cálculo de puntos de la parábola
Si quieres más puntos para graficar una función cuadrática,
podemos hallar los puntos de la parábola que necesitemos sin
más que sustituir, en la ecuación de la función cuadrática, la
variable x por aquellos valores que deseemos.
Resumen
Toda función cuadrática f(x) = ax2
+ bx + c, representa una
parábola tal que:
 Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2
.
 Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda,
derecha, arriba o abajo.
 Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
 Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada
es la parábola.
 Existe un único punto de corte con el eje OY, cuyas
coordenadas son (0, c).
 Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la
ecuación ax2
+ bx + c = 0, pudiendo ocurrir que lo corte en
dos puntos, en uno o en ninguno.
 La primera coordenada del vértice es
2
x
b
V
a
  .
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Área bajo de una curva
Podemos estimar el área encerrada por una curva.
Ejemplo 3.
Esta gráfica corresponde a la parábola
y = 4x - x2
con x tomando valores desde 0 hasta 4.
A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al
eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos, cuya
suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.
Sólo necesitas recordar:
2
triángulo
b h
A

 y
 
2
trapecio
B b h
A
 


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En nuestro caso,
1 3
2
AA

 ,
 4 3 1
2
BA
 
 ,
 4 3 1
2
CA
 
 y
1 3
2
DA


cuya suma total proporciona un área aproximada de 10
unidades de superficie. Por supuesto, en este caso, podrías sólo
calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el
área total.
Ejemplo 4: El techo de un hangar para aviones está diseñado
de tal forma que se corresponde con la curva
2
2000 2
100
x
y


con x tomando valores desde -20 hasta 20.
Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:
que nos proporciona la gráfica adjunta.
La suma de estas áreas es de 690 m 2
.
El volumen del hangar se
obtiene multiplicando el
área del frontal (base) por
la profundidad (altura).
Intersección recta – parábola.
Ejemplo 5.
Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los
kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación
y = -2x2
+ 4x.
A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña
cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación
y = 6x - 6.
Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema
2
4 8
6 6
y x x
y x
   

 
,
que tiene dos soluciones: x1 = 6/4 = 1.5 (y1 = 3) y x2 = 1, que
no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el
impacto se producirá en el punto (1.5, 3).
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1. De excursión. Un excursionista lanza al aire una bengala en
línea vertical desde el suelo, en el instante t = 0, con una
velocidad de 20 m/seg. Su altura en el tiempo t está dada por:
y(t) = -2t2
+ 20t + 22
Halla:
a. El tiempo que tarda la bengala en regresar al suelo.
b. El instante en que llega a su punto más alto.
c. La altura máxima que alcanza la bengala.
2. ¡Pilas con la contaminación! La densidad D de agua
contaminada en un río varía con la temperatura T mediante la
ecuación:
D(T) =  T2
+ 15T + 100
¿A qué temperatura el río presenta su mayor densidad?
3. Lanzamiento de un proyectil. La altura alcanzada y (en
Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la
ecuación
y = - 4x2
+ 8x
Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
4. Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100m de
malla, para encerrar algunos pollos, ¿cuál deben ser las
dimensiones del corral para cubrir el área máxima?
Ayuda: Suponga que x es el largo y y representa el ancho del
corral.
5. Un veterinario utiliza 180 m de cerca para encerrar una
región rectangular con una división paralela a uno de los lados,
como en la figura:
a. El ancho de la región en función del largo.
b. El área total de la región en función del largo.
c. Determinar el valor de l para el cual la región adquiere su
mayor área.
6. La ecuación
h(t) = -16t2
+ 96t + 5
describe la relación entre la altura (en m) y el tiempo (en seg.)
de una bola de golf cuando es lanzada.
a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la Pelota de golf?
b. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar esa altura máxima?
c. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el césped?
7. El perímetro de un rectángulo de base b es 20cm. Calcula la
dimensión de la base que hace que el área sea máxima. ¿Cuál
es esa área máxima?
8. La función que determina el área de un triángulo en función
de su altura está dada por:
A(h) = -h2
+10h + 40
¿Cuál es la altura que hace el área máxima? ¿Cuál es esa área?
9. Un hortelano posee 50 m de
valla para cercar una parcela
rectangular de terreno adosada a
un muro. ¿Qué área máxima
puede cercar de esta manera?
10. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del
túnel está dada por la ecuación
 6
2
x x
y
 

con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que
hay que excavar para construir el túnel.

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