JOI夏セミナーで発表したスライドです。Alloyで数独を解くアプローチについて。

1. Alloy で パズル
明石工業高等専門学校 電気情報工学科 2年
仔竜 レアン
(@favdragon_rean)

2. Alloyであそぼう！
 「抽象によるソフトウェア設計」って本の題名だけど、正直ソフトウェア設
計をやる機会ってそんなにないってゆ～か～ 、ちょっと堅苦しくない？って
かんじぃ～？
 もっとゲーム感覚で遊べないんです？？？

5. あった！！！
 パズル解けば楽しいんじゃね？？

6. 数独
Sudoku

7. 数独ってどんなのだっけ？
5 3 4 6 7 8 9 1 2
 ペンシルパズルの一種
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

8. 数独ってどんなのだっけ？
5 3 4 6 7 8 9 1 2
 ペンシルパズルの一種
6 7 2 1 9 5 3 4 8
 1～9の数字を埋めていく
1 9 8 3 4 2 5 6 7
8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

9. 数独ってどんなのだっけ？
5 3 4 6 7 8 9 1 2
 ペンシルパズルの一種
6 7 2 1 9 5 3 4 8
 1～9の数字を埋めていく
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 太枠で囲まれている3x3のブ
ロック内に同じ数字が複数 8 5 9 7 6 1 4 3 3
入ってはいけない
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

10. 数独ってどんなのだっけ？
5 3 4 6 7 8 9 1 2
 ペンシルパズルの一種
6 7 2 1 9 5 3 4 8
 1～9の数字を埋めていく
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 太枠で囲まれている3x3のブ
ロック内に同じ数字が複数 8 5 9 7 6 1 4 3 3
入ってはいけない
4 2 6 8 5 3 7 9 1
 横の列で同じ数字が複数入っ
てはいけない 7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

11. 数独ってどんなのだっけ？
5 3 4 6 7 8 9 1 2
 ペンシルパズルの一種
6 7 2 1 9 5 3 4 8
 1～9の数字を埋めていく
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 太枠で囲まれている3x3のブ
ロック内に同じ数字が複数 8 5 9 7 6 1 4 3 3
入ってはいけない
4 2 6 8 5 3 7 9 1
 横の列で同じ数字が複数入っ
てはいけない 7 1 3 9 2 4 8 5 6
 縦の列で同じ数字が複数入っ 9 6 1 5 3 7 2 8 4
てはいけない
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

12. で、Alloyでどうやって解くの？

13. 手続き型言語では
 パズルの解き方をガリゴリ書いていく
 既に入っている数字から消去法的に数字を入れていくとか

14. Alloyでは
 パズルの正答がどんな条件を満たすべきかを書き下していく
 すると、勝手にSAT Solverがパズルを解いてくれる！
 それってやばくね？

15. 盤面を表現する
5 3 4 6 7 8 9 1 2
 普通に考えたら、数値型の9x9
の2次元配列で表現できる 6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 えっ、配列って何ですか？ 8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
 ちょっと何言ってるかよくわか
んないですね・・・
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

16. Alloyは数字が苦手
 数値をある値と直接比較することはあっても、数値演算を
することは多くない
 配列っぽいもの(Int -> Hoge , アトムのシークエンス)は一
応あるが、結構使いにくい
 本の付録にちょっと書いてある程度にしか触れられていない

17. ところで
 使う数字って1～9ですよね？
 それくらいだったらシグネチャだと思ったら余裕じゃね？

18. こうなる
abstract sig Number{data: Number -> Number}
abstract sig Region1, Region2, Region3 extends Number{}
one sig N1, N2, N3 extends Region1 {}
one sig N4, N5, N6 extends Region2 {}
one sig N7, N8, N9 extends Region3 {}
 Java的に言うと、仮想クラスNumberを作って、それを継承す
るクラスN1～N9を定義した感じ
 頭おかしい
 でも扱いやすい

19. Number
Region1 Region2 Region3
N1 N4 N7
N2 N5 N8
N3 N6 N9
※Abstractなので正確にはちょっと違う

20. 盤面の表現
 「1行目,2列目に3という数字が入る」ことを、 N1->N2->N3 とい
う3項関係で表す
 実体は、(N1,N2,N3)というTuple
 3項関係のイメージはとてもむずかしい
 とりあえず、N1.data[N2]とするとN3が取れる
 data[N1,N2]でもいいし
 N2.(N1.data)でもいい
 気分で書き分けるとたのしい
 ？

21. 正答の条件
1. 全てのマスが埋まっている
2. どの縦列を見ても、重複する数字はない
3. どの横列を見ても、重複する数字はない
4. どのブロックを見ても、重複する数字はない

22. 正答の条件
①全てのマスが埋まっている
all n1,n2: Number | one n1.data[n2]
 『どのような組み合わせのNumber n1,n2であっても、一つ
のn1.data[n2]が存在する』
 (2つ以上は存在しない)
 n1,n2が取りうる値はN1～N9で、n1.data[n2]は、n1行目,
n2列目に書かれている数値を表す
 要するに、「どんな(x,y)にも1つ数値が書かれている」とい
うこと

23. 正答の条件
①全てのマスが埋まっている
all n1,n2: Number | one n1.data[n2]
どのような組み合わせのNumber n1,n2であっても、
一つのn1.data[n2]が存在する

24. 正答の条件
①全てのマスが埋まっている
all n1,n2: Number | one n1.data[n2]
どのような組み合わせのNumber n1,n2であっても、
一つのn1.data[n2]が存在する

25. 正答の条件
①全てのマスが埋まっている
all n1,n2: Number | one n1.data[n2]
どのような組み合わせのNumber n1,n2であっても、
一つのn1.data[n2]が存在する

26. 正答の条件
②どの縦列を見ても、重複する数字はない
 「重複する数字はない」を「1,2,3,4,5,6,7,8,9全てを含
む集合と等しい」と言い換えることができる
 9つのマスに9つの数字を入れるので、重複があると全て
を含むことができないため

27. ところで
 na.(nb.data) というものは、実は『集合na,nbからそれぞれ選んだNumber A,B
の全ての組み合わせにおいて、A行目B列目に入る数値の集合』を表しています。
(N1とかN2は、要素1の集合と扱われる)

28. N1 data[N1]
data[N1] data[N1] N6
N4 N5
(例)
Region2 = N4 + N5 + N6 とするときの、Region2.data[N1]は、
Region2が3つの要素の集合なので、その全てを当てはめた、
N4.data[N1] + N5.data[N1] + N6.data[N1] になる

29. ところで
 na.(nb.data) というものは、実は『集合na,nbからそれぞれ選んだNumber A,B
の全ての組み合わせにおいて、A行目B列目に入る数値の集合』を表しています。
(N1とかN2は、要素1の集合と扱われる)
 ところで、Number = N1 + N2 + /* … */ + N9 なので、
 Number.(nb.data) は「全ての行のnb列目に入る数字の集合」だ！！！

30. na.data(nb)にN1～N9が含まれているか
を調べる関数(のようなもの)をつくる
pred complete(na: set Number, nb: set Number){
Number = na.(nb.data)
}
 set Number を2つ引数にとる述語complete
 Number集合と、na.(nb.data)が一致すれば真

31. 正答の条件
②どの縦列を見ても、重複する数字はない
all col: Number | complete[Number, col]
 こう書けるよね！

32. 正答の条件
③どの横列を見ても、重複する数字はない
all row: Number | complete[row, Number]
 同様にこう書けるよね！

33. 正答の条件
④どのブロックを見ても、重複する数字はない
 左上のブロックだけを考える
 左上のブロックの集合は、{1,2,3}行目{1,2,3}列目で表せ 5 3 4 6 7 8 9 1 2
られる
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 Region1 = N1,N2,N3 と宣言されている(！)
8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

34. 正答の条件
④どのブロックを見ても、重複する数字はない
「ブロック1内で重複する数字がない」条件
complete[Region1,Region1]
 更に、全てのRegionについて言えるので、単に列挙すればいい
complete[Region1, Region1]
complete[Region1, Region2]
complete[Region1, Region3]
complete[Region2, Region1]
complete[Region2, Region2]
complete[Region2, Region3]
complete[Region3, Region1]
complete[Region3, Region2]
complete[Region3, Region3]

35. 初期条件
 「最初から盤面に入ってい pred puzzle() {
る数字」の集合は、全ての N1->N1->N5 + N1->N2->N3 + N1->N5->N7
盤面上の数字の部分集合だ + N2->N1->N6 + N2->N4->N1 + N2->N5->N9 + N2->N6->N5
よ！といっています + N3->N2->N9 + N3->N3->N8 + N3->N8->N6
+ N4->N1->N8 + N4->N5->N6 + N4->N9->N3
 要するに、ここに書いた番 + N5->N1->N4 + N5->N4->N8 + N5->N6->N3 + N5->N9->N1
号は盤面内にあることがこ + N6->N1->N7 + N6->N5->N2 + N6->N9->N6
れで保証されます + N7->N2->N6 + N7->N7->N2 + N7->N8->N8
+ N8->N4->N4 + N8->N5->N1 + N8->N6->N9 + N8->N9->N5
+ N9->N5->N8 + N9->N8->N7 + N9->N9->N9 in data
}

36. 正答の条件
pred complete(na: set Number, nb: set Number){
Number in na.(nb.data)
}
 まとめるとこうなるよ！
pred rules(){
all n1,n2: Number | one n1.data[n2]
all row: Number | complete[row, Number]
all col: Number | complete[Number, col]
complete[Region1, Region1]
complete[Region1, Region2]
complete[Region1, Region3]
complete[Region2, Region1]
complete[Region2, Region2]
complete[Region2, Region3]
complete[Region3, Region1]
complete[Region3, Region2]
complete[Region3, Region3]
}

37. 完成したソースコード
abstract sig Number{data: Number -> Number}
abstract sig Region1, Region2, Region3 extends Number{}
one sig N1, N2, N3 extends Region1 {}
one sig N4, N5, N6 extends Region2 {}
one sig N7, N8, N9 extends Region3 {}
pred complete(na: set Number, nb: set Number){
Number = na.(nb.data)
}
pred rules(){ pred puzzle() {
all n1,n2: Number | one n1.data[n2] N1->N1->N5 + N1->N2->N3 + N1->N5->N7
all row: Number | complete[row, Number] + N2->N1->N6 + N2->N4->N1 + N2->N5->N9 + N2->N6->N5
all col: Number | complete[Number, col] + N3->N2->N9 + N3->N3->N8 + N3->N8->N6
complete[Region1, Region1] + N4->N1->N8 + N4->N5->N6 + N4->N9->N3
complete[Region1, Region2] + N5->N1->N4 + N5->N4->N8 + N5->N6->N3 + N5->N9->N1
complete[Region1, Region3] + N6->N1->N7 + N6->N5->N2 + N6->N9->N6
complete[Region2, Region1] + N7->N2->N6 + N7->N7->N2 + N7->N8->N8
complete[Region2, Region2] + N8->N4->N4 + N8->N5->N1 + N8->N6->N9 + N8->N9->N5
complete[Region2, Region3] + N9->N5->N8 + N9->N8->N7 + N9->N9->N9 in data
complete[Region3, Region1] }
complete[Region3, Region2] pred solve{ rules[] puzzle[] }
complete[Region3, Region3] run solve
}

38. これだけなんです！
 あとは実行するだけで、数独を解いてくれるらしいですよ！
 Alloyまじかっけー
 と、言うわけでやってみますね！

39. ・・・

40. やばすぎなのでは
 Alloyさんちょっと何言ってるかわかんないですね・・・
 Numberの3項関係として解答されるので、人間が見てもわけがわからな
い！！！
 と、言うわけでビジュアライザーつくりました

41. ちゃんと動いた！
 解き方は全く与えていないのに、正答の条件を定義するだけでちゃんと解が求
まる！
 ちょっと書き換えるだけで、与えた盤面が正しいかどうかを調べるようにもで
きそう

42. まとめ
 Alloyでパズルを解くには、“解き方を書く”のはなく、“解いた結果の条件”を
与えてやるとうまくいく
 @qnighyさんはもっと短く(10行程度+問題の入力)解いてました、ぱない
 https://gist.github.com/3478314
 「解くことができる数独の問題」を作ることもできる(らしい)
 他にも、色々なパズルが解ける(らしい)ので、是非挑戦してみるといいかも？

43. 参考にしたページ
 「Alloy4.0で数独パズル」
http://toshi.way-nifty.com/log/2008/05/alloy40_3b9e.html

44. ご清聴
ありがとうございました