1. Arbre B et B+
Présenté par:
Elias Richa
Marwan El Hachem

2. • Arbre B
–
–
–
–
–
–
PLAN
Définition
Structure
Propriétés
Recherche
Insertion
Suppression
• Arbre B+
–
–
–
–
–
–
Définition
Structure
Propriétés
Recherche
Insertion
Suppression
2

3. Arbre B
3

4. Définition
• Un arbre B (ou B-Tree) est un arbre binaire de
recherche équilibré
• Chaque chemin de la racine à une feuille est
de la même longueur h (hauteur)
• Stocke les données sous une forme triée
• Permet une exécution des opérations
d'insertion et de suppression
4

5. Structure de nœud d'un arbre B
• K clés avec k1 < k2 < ... < kk
• (k+1) pointeurs
5

6. Propriétés
• La racine, si elle n’est pas une feuille, doit
avoir au minimum deux fils
• Chaque nœud contient k clés avec
– 1 ≤ k ≤ 2m (nœud racine)
– m ≤ k ≤ 2m (nœud non racine)
• Toutes les clés d’un nœud sont triées (i.e. k1<
k2 < · · · < kk pour k clés)
6

7. Exemple d’arbre B d’ordre m = 2
• Chaque nœud, sauf la racine, contient k
clés (2 ≤ k ≤ 4)
• La racine contient k clés (1 ≤ k ≤ 4)
7

8. Recherche dans arbre B
• A partir de la racine, pour chaque nœud on
examine :
– La clé est présente  succès
– K < k1  recherche dans P0
– K > k  recherche dans Pk
– ki < K < ki+1  recherche dans Pi
8

9. Recherche de 15
9

10. • Nombre de clé dans un Arbre B d’ordre m, et
de hauteur h
– Nb clés min = 2*(m+1) h - 1
– Nb clés max = (2*m+1) h+1 - 1
o Par exemple si m = 100, h = 2
– Nb clés min = 20401 et
– Nb clés max =8 120 600
10

11. Insertion dans un arbre B d’ordre m
Principe :
• Recherche de la feuille d’insertion
• Si la feuille n’est pas pleine  insérer la clé a sa
place
• Sinon (la feuille est pleine) 
– Laisser les m plus petites clés dans le nœud
– Allouer un nouveau nœud et y placer les m plus
grandes clés
– Remonter la clé médiane dans le nœud père
– Application récursive de ce principe jusqu’à la racine
11

12. Insertion d’un élément dans un arbre B
• Exemple 1 : Insertion de la clé 75 dans l’arbre B d’ordre 2
12

13. • Éclatement du nœud en 2
• Les 2 plus petites clés restent dans le nœud
(68 et 69)
• Les 2 plus grandes clés sont insérées dans un
nouveau nœud (75 et 76)
• Remontée de la clé médiane (71) dans le
nœud père
13

14. Insertion d’un élément dans un arbre B
• Exemple 2 : Insertion de la clé 9 dans l’arbre B d’ordre 2
14

15. •
•
•
•
•
Éclatement du nœud par l'arrivée de la clé 9
Remontée de la clé 8 au nœud père
Éclatement du nœud par l'arrivée de la clé 8
Création d'une nouvelle racine avec la clé 11
Augmentation d'une unité de la hauteur
15

16. Suppression d’un élément dans un arbre B
Principe
• Cas 1 : suppression dans un nœud feuille
– Le nombre de clé est m  tasser les clés dans le
nœud
– Le nombre de clé devient < m  combiner avec un
nœud adjacent ce qui entraine la descente d’une clé
du nœud père avec éventuellement une
réorganisation locale
– La réduction du nœud père avec moins de m clés
entraine la combinaison de ce nœud père avec un
nœud voisin du même niveau remontée éventuelle
jusqu’à la racine
16

17. Suppression d’un élément dans un arbre B
Principe
• Cas 2 : suppression dans un nœud non feuille
– Rechercher une clé adjacente à la clé à
supprimer
– Soit la plus petite du sous arbre droit
– Soit la plus grande du sous arbre gauche
– Remplir la clé à supprimer par la clé adjacente
trouvée
– Supprimer la clé adjacente (Équivalent à la
suppression dans une feuille)
17

18. Suppression d’un élément dans un
arbre B
• Exemple 1 : suppression de la clé 25 de la table B d’ordre 2
18

19. • Suppression dans une feuille  le nombre
d’élément devient <2
• Combinaison avec un nœud voisin
• Descente de la clé(15)
• Suppression du nœud (20,25)
19

20. Suppression d’un élément dans un
arbre B
• Exemple 2 : suppression de la clé 4 de la table B d’ordre 2
20

21. • Suppression dans une feuille  le nombre
d’élément devient <2
• Combinaison avec un nœud voisin
• Descente de la clé(3)
• Suppression du nœud (4,7)
21

22. • le nombre d’élément devient <2 (8)
• Combinaison avec un nœud voisin(16,21)
• Descente de la clé(11)
• La hauteur de l'arbre est passée de 2 à 1
22

23. Suppression dans un nœud non feuille
• Exemple 1 : suppression de la clé 5 de la table B d’ordre 2
• Recherche d’une clé adjacente de la clé  on prend la plus grande clé du
sous arbre gauche de la clé(4)
• Remplacement de la clé par la clé adjacente trouvée
• Suppression de la clé trouvée dans un nœud feuille
23

24. Suppression dans un nœud non feuille
• Exemple 2 : Suppression de la clé 5
24

25. Suppression dans un nœud non feuille
• Exemple 3 : Suppression de la clé 4
25

26. L’arbre devient
26

27. Arbre B+
27

28. Définition
• Un arbre B + est un arbre B ou les feuilles
contiennent toutes les clés
• C’est un arbre équilibré où chaque chemin de
la racine à une feuille est de même longueur H
(hauteur)
• Chaque nœud (bloc) contient n pointeurs et n1 valeurs (clés), où n est l’ordre de l’arbre
28

29. Structure de nœud d'un arbre B+
P1
C1
Valeurs < C1
P2
C2
…
P n-1 C n-1
Pn
Valeurs >=C1 et < C2
• n-1 clés avec C1 < C2 < ... < Cn-1
• n pointeurs
29

30. Propriétés
• Racine a au moins 2 fils (sauf si elle est feuille)
• Chaque nœud sauf la racine a entre *n/2 + et
[n] pointeurs (ex. pour n=4, on a entre 2 et 4
pointeurs)
• Chaque feuille contient entre [n-1/2 ] et [n-1]
clés (ex. pour n=4, on a entre 2 et 3 clés)
30

31. Exemple d’un arbre B+ pour n=4
31

32. Recherche dans arbre B+
32

33. Recherche de 43
Bloc 7
50
Bloc 2
25 40
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 6
60
45
Bloc 1
40
43
44
Bloc 8
45
48
Bloc 5
50
53
Bloc 4
60
70
33

34. Insertion dans arbre B+
• Insertion simple
• Débordement et division du bloc
• Division de la racine
• Division de feuille
• Division de feuille et racine
34

35. Insertion simple
• Insertion de 25
Bloc 2
40
Bloc 0
20
...
30
Bloc 1
40
...
...
60
...
Bloc 2
40
Bloc 0
20
25
30
Bloc 1
40
60
35

36. Débordement et division (Racine)
•
•
•
•
Insertion de 30
Débordement et la division du bloc 0
40 est promue
Nouvelle racine
Bloc 0
20
...
40
...
60
...
Bloc 2
40
Bloc 0
20
...
30
...
Bloc 1
40
...
60
...
36

37. Débordement et division (Feuille)
• Insertion de 10
• Débordement et la division du bloc 0 (Nouvelle feuille)
• 25 est promue
Bloc 2
40
Bloc 0
20
25
Bloc 1
40
60
30
Bloc 2
25
Bloc 0
10
20
40
Bloc 3
25
30
Bloc 1
40
60
37

38. Débordement et division (Feuille, Racine)
•
•
•
•
Insertion de 45
Débordement et division du bloc 1 (Nouvelle feuille)
50 est promue
Bloc 2
Division de la racine
25
40
60
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 1
40
50
53
Bloc 4
60
70
Bloc 7
50
Bloc 2
25
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 6
60
40
Bloc 1
40
45
Bloc 5
50
53
Bloc 4
60
70
38

39. Suppression dans arbre B+
• Uniquement dans une feuille
Types:
• Suppression simple
• Suppression et redistribution au niveau nœud
racine
• Suppression par violation du minimum
• Cas de fusion de feuilles et de redistribution
au niveau nœud racine
39

40. Suppression simple
• Suppression de 70
Bloc 2
25
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 2
25
Bloc 0
10
20
40
Bloc 1
40
60
70
40
Bloc 3
25
30
Bloc 1
40
60
40

41. Suppression et redistribution au niveau nœud racine
• Suppression de 50
Bloc 7
50
Bloc 2
25
40
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 6
60
45
Bloc 1
40
43
44
Bloc 8
45
48
Bloc 5
50
53
55
Bloc 4
60
70
Bloc 7
53
Bloc 2
25
40
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 6
60
45
Bloc 1
40
43
44
Bloc 8
45
48
Bloc 5
53
55
Bloc 4
60
70
41

42. Violation du minimum : redistribution si possible
• Suppression de 40
Bloc 2
40
Bloc 0
20
25
Bloc 1
40
60
30
Bloc 2
30
Bloc 0
20
25
Bloc 1
30
60
42

43. Cas de fusion de feuilles et de redistribution au niveau du parent
Bloc 7
50
• Suppression de 53
Bloc 2
25
40
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 6
60
Bloc 1
40
45
Bloc 5
50
53
Violation de la
règle du minimum
Bloc 4
60
70
Fusion des deux frères
Bloc 7
50
Bloc 2
25
40
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Redistribution
Bloc 1
40
45
Violation de la
règle du minimum
Bloc 6
60
Bloc 5
50
60
70
43

44. Cas de fusion de feuilles et de redistribution au niveau du parent (suite)
Bloc 7
50
Bloc 2
25
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Redistribution
40
Bloc 1
40
45
Violation de la
règle du minimum
Bloc 6
60
Bloc 5
50
60
70
Bloc 7
40
Bloc 2
25
Bloc 0
10
20
Bloc 3
25
30
Bloc 6
50
Bloc 1
40
45
Bloc 5
50
60
70
44

45. Références
• [1] Dr.Mounir GRARI. LA STRUCTURE D'ARBRE-B. Institut
National des Sciences Appliquées– Rouen. 40 diapos.
Accédé le 10/12/2013.
• [2] Sofian MAABOUT. Arbre-B+. Laboratoire Bordelais de
Recherche en Informatique. 21 diapos. Accédé le
10/12/2013.
www.labri.fr/perso/maabout/L3M/index.ppt
• [3] Pr. Eamonn Keogh. Chapter 9 of DBMS – B-Tree. 37
diapos. Accédé le 9/12/2013.
www.cs.ucr.edu/~eamonn/teaching/cs166materials
45

46. 46