Multiplicação no ensino fundamental 
Professoras Coordenadoras: 
Liliane Jung Berg 
Rosemeire Fernanda Frazon 
Silvana Amo...
HEC - 27/10/2014 SME 
MATEMÁTICA PARA PENSAR
Uso social das 
operações 
Adição 
Subtração 
Multiplicação 
divisão 
Calculadora; 
Cálculo aproximado; 
Cálculo mental.
 Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (1997, p.55), apontam que o trabalho com as operações no ensino fundam...
 A escola continua a desconsiderar essas formas de cálculo e o trabalho pedagógico ainda é voltado para o ensino do algor...
 Para a compreensão verdadeira e significativa dos processos envolvidos nas operações básicas da matemática é necessário ...
 “É muito fácil cairmos na armadilha de considerar que os alunos aprendem o que pensamos que ensinamos quando, muitas vez...
Ruptura indesejável: 
•Queixas frequentes dos professores: 
-“As crianças não são boas resolvedoras de problemas” 
-“São p...
Duas questões se colocam: 
•Se nascemos e vivemos “resolvendo problemas”, por que, aparentemente, isto para de acontecer j...
1- Propusemos às 3 turmas de 1º ano que contassem quantas carteiras havia na sala de aula. Total de alunos: 75 
Cada sala ...
Resultado das estratégias usadas pelos alunos 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
Contagem 
parcial 
Contagem 
uma a uma 
Se 
p...
Análise: 
Transformar o contexto em situações para explorar conceitos de multiplicação 
Perceberam que o número se repeti...
Antes de ter contato com os algoritmos de multiplicação , eles descobriram várias maneiras de chegar ao resultado. 
• Ist...
A inversão dos fatores SISTEMATIZAÇÃO DE UM PROCEDIMENTO DE RESOLUÇÃO e COMPREENSÃO é NECESSÁRIA, pois faz a criança perc...
Questão aplicada para 1º, 2º e 3º ano ( 45 alunos de cada ano) 
Em cada casinha dessa rua moram 3 pessoas. As pessoas vão ...
Estratégias utilizadas pelos alunos para resolução da 2ª questão
Problema aplicado para 4º e 5º ano (45 alunos de cada ano) 
1- Carlos vai fazer aniversário. Ele convidou 36 amigos e ao f...
Estratégias utilizadas pelos alunos de 4º e 5º ano para resolução do problema
Pesquisa com alunos de 4º e 5º ano (90) 
•O que significa multiplicar? 
45 - Conta de vezes 
19 - Diminuir o espaço da con...
- Observe as contas: 
108 
x12 
216 
+108 
324 
108 
x12 
216 
+1080 
1296
1) Qual delas está correta? 
Dos 45 alunos de 5º ano, 9 responderam a 1ª 
36 responderam a 2ª. 
2) O que acontece na prime...
O que os resultados indicam: 
•Toledo, 1997, afirma que crianças acostumadas a confiar apenas em resultados encontrados co...
•Os que fizeram divisão justificaram sua escolha pelo fato dos balões serem “distribuídos”. Revelando a não compreensão do...
•Há poucas diferenças nas estratégias para resolver problemas de divisão e de multiplicação: 
- Correspondência um para mu...
1- Carlos vai fazer aniversário. Ele convidou 36 amigos e ao final da festa dará 3 balões para cada amigo. Quantos balões ...
-A comutatividade não é uma operação simples para as crianças, pois elas ainda não consolidaram a conservação de quantidad...
- Nos 2º e 3º anos a multiplicação é vista apenas sob seu aspecto de “adição de parcelas iguais”, e esse conceito não ampl...
•Nunes & Bryant (1997) afirmam que há uma prática estabelecida nas escolas em que o ensino da adição precede ao da multipl...
Quando o aluno entende multiplicação como sinônimo de adição, tende a realizar problemas de raciocínio multiplicativo com...
•Pedro ganhou 30 reais de seu pai e 20 reais de sua mãe. Quanto Pedro tem? 
ADIÇÃO- PARTE x TODO 
•Pedro tem 4 tios, irá g...
“Amarrando as ideias” 
- A partir de todas as constatações o que podemos fazer para que o ensino da Matemática e especific...
Multiplicação - Conceitos 
-Adição de parcelas iguais. (anos iniciais) 
-Ferramenta para resolver problemas de contagem of...
Passos para o ensino da Multiplicação: – Formando capacidades e conceitos nos anos iniciais 
1º Passo 
CONTAGEM 
As crianç...
Utilização de jogos
2º Passo sequências 
- A criança deve acostumar-se a encontrar padrões, isso é indispensável para compreender a matemática...
O raciocínio lógico-matemático envolvido na compreensão das sequências fundamenta muitos conceitos matemáticos. A própria ...
Receita de miçangas para jogos de sequências. 
Ingredientes: 
-2 Xícaras de farinha de trigo; 
-1 Xícara de Sal; 
-1 a ½ x...
Agora é só brincar formando sequências diferentes, utilize para formar conjuntos e situações problema envolvendo as miçang...
3º passo - Agrupamento 
As primeiras noções de agrupamento devem ser trabalhadas através da noção de pertença. Assim, a cr...
Desenvolver conceitos aditivos 
- A criança deve ser capaz de criar conjuntos com base nas semelhanças entre os objetos. T...
Com números móveis em EVA e material dourado. Os círculos são tampas de achocolatado e afins. Eles limitam os conjuntos.
Brincadeiras com jogos de trilhas que levem a criança a resolverem situações de adições e subtrações são importantes nesta...
4° passo - Apresentando o conceito de multiplicação 
Tão logo a criança seja capaz de realizar com segurança operações de ...
A aprendizagem sempre se dá do concreto para o abstrato. Portanto, nessa fase, abuse de elementos concretos para demonstra...
Maneira de levar a manipulação concreta para o caderno (registro):
5° passo - Tabelas de multiplicação 
Elas não só ajudam a criança a entender a tabuada como também a ajudam a procurar, ch...
TABELA II - É também chamada de "tabuada reduzida". Ela apresenta apenas os produtos a serem memorizados, 55 ao todo. É o ...
TABELA III - Tábua de Pitágoras A coluna vertical vermelha representa o multiplicando, e a linha vertical azul representa ...
Tabela Pitagórica
6° passo - Memorização da Tabuada 
Depois que entendeu como funciona a tabuada é hora de memorizar os produtos. Esse é um ...
Multiplicando com as mãos
Formando habilidades mais complexas para a multiplicação Proporcionalidade 
[...] constitui um dos temas de maior importân...
Proporcionalidade: 
Uma maçã custa R$ 1,10 
Variáveis 
Quantidade relação constante Preço 
de maçã 
1,10 por maça 
Se vari...
Raciocínio combinatório 
Trata-se de PROBLEMAS DE CONTAGEM 
“Quantas vezes posso combinar três cores diferentes de camisas...
Estratégias: 
- Inicial: materiais concretos e representações com desenhos. Anotar as combinações uma a uma; 
-Representar...
As propriedades da multiplicação 
1- Propriedade comutativa: 
3 x 2 = 6 2 x 3= 6 Pode trocar a ordem dos fatores que o val...
Comutatividade: Material Cuisenare 
EX. 3x2 = 3 
1ª Forma: A maneira a mais fácil é empilhar três do tamanho 2 ou de barra...
Associativa: 
Fazendo 3 x 4 x 5. Utilizaremos 3 barras de tamanho 4, barras roxas, para fazer um retângulo. 
Em seguida fa...
Múltiplos: 
Usando o Material Cuisenaire para investigar a relação de múltiplo de dois fatores, vamos criar e observar um ...
Escrita, representação e algoritmo da multiplicação 
- A dificuldade do ensino das operações básicas está justamente na di...
“Por que não deixar então que as crianças tentem chegar ao resultado de diversas maneiras? Por que não lhes permitir que e...
Repetição 
Escrever várias 
vezes a mesma 
tabuada 
Não garante o 
Aprendizado 
daquilo 
que se deseja 
Leva os alunos a 
...
A tabuada deve ser construída pelo aluno 
“[...] é conveniente que em primeiro lugar os alunos possam construir os resulta...
Ex. A professora propõe que os alunos resolvam a seu modo a multiplicação 14 x 12 e em seguida demonstrem ao restante da t...
353 X 25 = 300 e 50 e 3 x 20 e 5 
5 x 3= 15 5 x 50= 250 5 x 300= 1500 
20x3= 20 x50= 20 x300= 
3 50 300 
x20 x20 x20 
+ 0 ...
Importante: 
- A sala de aula deve ser um ambiente propício ao debate. Os alunos precisam ter certeza de que suas hipótese...
- As crianças estão atentas ao comportamento do professor e procuram dar respostas de acordo com suas expectativas; 
- Não...
Discussão necessária 
As crianças aprendem a resolver problemas observando, escrevendo e PRODUZINDO escritas numérica e re...
Correção coletiva: análise de uma situação didática: 
Sala da professora Ana, aula de matemática 
Prof.:- Joãozinho venha ...
Como podemos analisar esta situação? 
- O que avalia o professor? 
- Como o professor pode conduzir o processo de correção...
Situações conduzidas como a da professora Ana podem: 
- Desestimular as crianças a resolverem problemas, já que apenas uma...
É das hipóteses mais simples que mais devemos desconfiar, porque são aquelas que têm mais possibilidades de passar desperc...
Jogo da Conquista 
- Materiais: 2 dados; um tabuleiro quadriculado; quadrados coloridos. 
- Objetivo: trabalhar as proprie...
Regras: 
Objetivo: conquistar a maior área possível do retângulo. 
Possibilidades: multiplicação de dois fatores: comutati...
Proponha a seus alunos as atividades a partir da obra de Kandinsky 
"Quadrados com círculos concêntricos“, 1937 óleo sobre...
Sugestões de abordagem 
Observe o título desse quadro? Em sua opinião, por que o pintor deu esse nome à ele? 
Que outro ...
Bibliografia: 
Revista educação – Especial didática ed. Segmento, agosto/2011 
SOARES, EDUARDO SARQUIS. Ensinar Matemática...
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  1. 1. Multiplicação no ensino fundamental Professoras Coordenadoras: Liliane Jung Berg Rosemeire Fernanda Frazon Silvana Amorim De Lima SME – Marília SP
  2. 2. HEC - 27/10/2014 SME MATEMÁTICA PARA PENSAR
  3. 3. Uso social das operações Adição Subtração Multiplicação divisão Calculadora; Cálculo aproximado; Cálculo mental.
  4. 4.  Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (1997, p.55), apontam que o trabalho com as operações no ensino fundamental deveria se concentrar “[...] na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos – exato, aproximado, mental e escrito.
  5. 5.  A escola continua a desconsiderar essas formas de cálculo e o trabalho pedagógico ainda é voltado para o ensino do algoritmo, ou seja, da conta armada. As operações são apresentadas como técnicas, procedimentos e ações que, quando aplicadas em sequência e repetidamente, conduzem à resposta. Na maioria das vezes os alunos memorizam essas técnicas sem atribuir significado algum ao que estão fazendo quando resolvem uma conta.
  6. 6.  Para a compreensão verdadeira e significativa dos processos envolvidos nas operações básicas da matemática é necessário que o professor não só permita que seus alunos conheçam e tenham acesso às diversas formas de cálculo, como também, os incentive a criar suas próprias estratégias, e que os ensinem a usá-las em situações diferentes dependendo da necessidade que se tem.
  7. 7.  “É muito fácil cairmos na armadilha de considerar que os alunos aprendem o que pensamos que ensinamos quando, muitas vezes, o que aprendem é a fornecer as respostas que avaliam ser o que esperamos para considerá-los bons alunos” ( Soares, 2010)
  8. 8. Ruptura indesejável: •Queixas frequentes dos professores: -“As crianças não são boas resolvedoras de problemas” -“São preguiçosas” -“Não sabem pensar”
  9. 9. Duas questões se colocam: •Se nascemos e vivemos “resolvendo problemas”, por que, aparentemente, isto para de acontecer justamente no período escolar? •Por que as crianças deixam de pensar ou expressar seu pensamento e suas hipóteses a partir da entrada na escola, ou mais especificamente, a partir do Ensino Fundamental I e II?
  10. 10. 1- Propusemos às 3 turmas de 1º ano que contassem quantas carteiras havia na sala de aula. Total de alunos: 75 Cada sala de aula possui 5 fileiras com 5 carteiras. DIAGNÓSTICO
  11. 11. Resultado das estratégias usadas pelos alunos 0 5 10 15 20 25 30 35 Contagem parcial Contagem uma a uma Se perderam Observou a regularidade
  12. 12. Análise: Transformar o contexto em situações para explorar conceitos de multiplicação Perceberam que o número se repetia em cada fileira e, a partir da terceira ou da quarta, já anotavam diretamente o número das carteiras; Utilizaram as estratégias que conheciam e se aproximaram do raciocínio da multiplicação;  Alguns alunos já verbalizam a expressão vezes para explicar o raciocínio “multiplicativo”.
  13. 13. Antes de ter contato com os algoritmos de multiplicação , eles descobriram várias maneiras de chegar ao resultado. • Isto significa que a compreensão da resolução de um problema vem antes da sistematização de um procedimento para solucioná-lo.
  14. 14. A inversão dos fatores SISTEMATIZAÇÃO DE UM PROCEDIMENTO DE RESOLUÇÃO e COMPREENSÃO é NECESSÁRIA, pois faz a criança perceber com maior clareza as propriedades das operações. O desconhecimento do algoritmo frente a problemas de campo multiplicativo faz com que a garotada recorra aos conceitos que já domina para encarar o desafio.
  15. 15. Questão aplicada para 1º, 2º e 3º ano ( 45 alunos de cada ano) Em cada casinha dessa rua moram 3 pessoas. As pessoas vão todas almoçar no restaurante da esquina. Pegue dentro de uma caixa uma bolinha de comida para cada pessoa e coloque no restaurante. Mas lembre-se: temos de ter o número certo de bolinhas para cada pessoa ganhar uma bolinha e não sobrar nada.
  16. 16. Estratégias utilizadas pelos alunos para resolução da 2ª questão
  17. 17. Problema aplicado para 4º e 5º ano (45 alunos de cada ano) 1- Carlos vai fazer aniversário. Ele convidou 36 amigos e ao final da festa dará 3 balões para cada amigo. Quantos balões ele terá que comprar?
  18. 18. Estratégias utilizadas pelos alunos de 4º e 5º ano para resolução do problema
  19. 19. Pesquisa com alunos de 4º e 5º ano (90) •O que significa multiplicar? 45 - Conta de vezes 19 - Diminuir o espaço da conta de mais 26 - Aumentar um número •O que acontece quando multiplicamos algo? Aumenta? Diminui? Depende da situação? 100% (90) aumenta •Observe as contas. Qual dá resposta maior? 5 X 2 ou 5 : 2 2 X 0,5 ou 2 : 0,5 100% assinalou a multiplicação.
  20. 20. - Observe as contas: 108 x12 216 +108 324 108 x12 216 +1080 1296
  21. 21. 1) Qual delas está correta? Dos 45 alunos de 5º ano, 9 responderam a 1ª 36 responderam a 2ª. 2) O que acontece na primeira conta que não aconteceu na segunda? 16 - Não coloca o zero. 20 - Não coloca o 0 que poderia ser substituído pelo + 9 - Na 2ª conta baixou um 0 que não existe. 3) Porque na segunda conta aparece o número 1080 e na primeira 108? 15 - Colocou um 0 a mais; 9 - Baixou um 0 que não existe; 21 - Não deixou o espaço em branco
  22. 22. O que os resultados indicam: •Toledo, 1997, afirma que crianças acostumadas a confiar apenas em resultados encontrados com a utilização dos cálculos “aprendidos” nas aulas passam a não confiar mais na própria capacidade de raciocinar; •Os alunos demonstraram dificuldade de refletir sobre o que fizeram ou pensaram; •Revelam conhecimento técnico apenas de contas e não de conceitos. •A pequena porcentagem de procedimentos baseados na adição repetida sugere que esta não está sendo tomada como modo de representação intuitiva na multiplicação, o que revela algo intrigante, considerando que professores tem se baseado nessa ideia desde os 1º anos.
  23. 23. •Os que fizeram divisão justificaram sua escolha pelo fato dos balões serem “distribuídos”. Revelando a não compreensão do uso da correspondência um a muitos, estratégia tanto da divisão como da multiplicação. •O que nos leva também a reflexão de que o ensino da divisão se restringe a ação de “Distribuir”. Implicitamente ou explicitamente o uso dessas palavras , ou desses conceitos conduz os alunos o ao erro.
  24. 24. •Há poucas diferenças nas estratégias para resolver problemas de divisão e de multiplicação: - Correspondência um para muitos; - Noção de distribuir; - Contagem; - Subtração ou adição repetida. •Os alunos não fizeram estimativas, pois se quantidade dos balões fosse estimada observariam que o número de elementos seria aumentado;
  25. 25. 1- Carlos vai fazer aniversário. Ele convidou 36 amigos e ao final da festa dará 3 balões para cada amigo. Quantos balões ele terá que comprar? Estratégias de resolução: Adição repetida ( a criança soma o 3 trinta e seis vezes (3+3+3+3+3+3+3... ou faz a multiplicação 3x36) Ele representa 36x3 na adição repetida, porém na multiplicação resolve 3x 36, argumentando que o número menor “fica embaixo”, porém não PERCEBE A COMUTATIVIDADE da representação 3x36 = 36 x3, possibilitando resolver 36+36+36. Nenhum aluno somou 36+36+36.
  26. 26. -A comutatividade não é uma operação simples para as crianças, pois elas ainda não consolidaram a conservação de quantidade. - Os professores devem proporcionar atividades variadas que auxiliem neste processo.
  27. 27. - Nos 2º e 3º anos a multiplicação é vista apenas sob seu aspecto de “adição de parcelas iguais”, e esse conceito não amplia nos 4º e 5º anos. O professor precisa ter em mente que a multiplicação também é uma ferramenta para resolver problemas de contagem e dá as primeiras noções de proporcionalidade. - A criança relaciona a multiplicação a uma quantidade que sempre aumenta e a divisão a uma que sempre diminui. Explicitando a dificuldade de entender a ideia de medir da divisão. - As crianças fazem as contas, pela regra, sem compreender o porquê de cada procedimento, por isso cometem erros. - Entendem que na multiplicação de dois números maiores que 10 deve se deixar um “espaço vazio” por meio de artifícios como “é o lugar do + ou do 0”.
  28. 28. •Nunes & Bryant (1997) afirmam que há uma prática estabelecida nas escolas em que o ensino da adição precede ao da multiplicação, pelas seguintes razões: 1. Crença de que a multiplicação é mais difícil do que a adição; 2. A adição conduz à multiplicação porque a base da multiplicação é formada por alguns aspectos da adição. • A conexão entre estas duas operações não é de natureza conceitual, uma vez que existe diferença significativa entre o raciocínio aditivo e o raciocínio multiplicativo. • Raciocínio aditivo refere-se a situações nas quais objetos ou conjuntos de objetos são reunidos ou separados (Nunes & Bryant 1997) Relação parte-todo. A MULTIPLICAÇÃO envolve duas variáveis numa relação constante.
  29. 29. Quando o aluno entende multiplicação como sinônimo de adição, tende a realizar problemas de raciocínio multiplicativo com cálculo da adição, no entanto, sem se atentar para a relação constante que há entre as variáveis.
  30. 30. •Pedro ganhou 30 reais de seu pai e 20 reais de sua mãe. Quanto Pedro tem? ADIÇÃO- PARTE x TODO •Pedro tem 4 tios, irá ganhar de cada um 5 reais. Quanto Pedro terá? Relação um a muitos. As duas variáveis são: número de tios e reais. A relação constante é: 5 reais por tio.
  31. 31. “Amarrando as ideias” - A partir de todas as constatações o que podemos fazer para que o ensino da Matemática e especificamente a multiplicação seja eficaz em nossas escolas?
  32. 32. Multiplicação - Conceitos -Adição de parcelas iguais. (anos iniciais) -Ferramenta para resolver problemas de contagem oferecendo noções de PROPORCIONALIDADE, uma das mais poderosas ideias matemáticas. -Em contraste, o invariante conceitual do raciocínio multiplicativo é a existência de uma relação fixa entre duas variáveis (ou duas grandezas ou quantidades) Educação e Matemática – Números e operações numéricas.
  33. 33. Passos para o ensino da Multiplicação: – Formando capacidades e conceitos nos anos iniciais 1º Passo CONTAGEM As crianças devem demonstrar que fazem relação números quantidades e não somente contam decorado a sequência numérica. Práticas com material concreto manipulativo. -Contar enquanto transfere objetos de um lugar para o outro; -associar a quantidade aos numerais, colocar os objetos correspondentes ao que o numeral indica; Sugestões conforme blog: http://estimulandomeusfilhos.blogspot.com.br/
  34. 34. Utilização de jogos
  35. 35. 2º Passo sequências - A criança deve acostumar-se a encontrar padrões, isso é indispensável para compreender a matemática. O trabalho com sequências desenvolve a habilidade de reconhecer esses padrões que vão aparecer em diferentes graus de dificuldade à medida que avançamos nos conhecimentos da matéria.
  36. 36. O raciocínio lógico-matemático envolvido na compreensão das sequências fundamenta muitos conceitos matemáticos. A própria numeração, ordinal, cardinal, é uma sequência. As operações matemáticas passam pela noção de sequências.
  37. 37. Receita de miçangas para jogos de sequências. Ingredientes: -2 Xícaras de farinha de trigo; -1 Xícara de Sal; -1 a ½ xícara de água; -2 colheres (sopa) de óleo. Modo de fazer Misture a farinha o sal em uma vasilha. Acrescente água e o óleo. Amasse a mistura até formar uma bola grande, Divida a massa em pequenos pedaços para fazer formas de bolas e cubos. Use um palito para fazer um furo em cada uma delas. Coloque as contas em uma assadeira forrada com papel alumínio. Peça a ajuda de um adulto para usar o forno. Asse a 300 ◦C durante uma hora. Quando estiverem assadas e frias, use tinta de cores diferentes para decorar.
  38. 38. Agora é só brincar formando sequências diferentes, utilize para formar conjuntos e situações problema envolvendo as miçangas em confeccionando pulseiras e colares.
  39. 39. 3º passo - Agrupamento As primeiras noções de agrupamento devem ser trabalhadas através da noção de pertença. Assim, a criança deve identificar que objetos pertencem a um determinado grupo: fazer a classificação.
  40. 40. Desenvolver conceitos aditivos - A criança deve ser capaz de criar conjuntos com base nas semelhanças entre os objetos. Tanto quanto possível incentivá-la a nomear os conjuntos. -Posteriormente, a criança deve ser levada a contar os elementos dos conjuntos, primeiramente através de correspondência um-a-um, e depois nomeando e escrevendo os numerais. Enquanto a criança realiza a correspondência, estimule-a a contar em voz alta. Obs: Essa é a base para começar a ensinar adição e subtração através de conjuntos. Quando a criança estiver segura da adição com elementos concretos manipulativos, introduzir os símbolos das operações (+ e -) e situações-problema partindo do simples para mais complexos.
  41. 41. Com números móveis em EVA e material dourado. Os círculos são tampas de achocolatado e afins. Eles limitam os conjuntos.
  42. 42. Brincadeiras com jogos de trilhas que levem a criança a resolverem situações de adições e subtrações são importantes nesta fase.
  43. 43. 4° passo - Apresentando o conceito de multiplicação Tão logo a criança seja capaz de realizar com segurança operações de adição e subtração, ela deve ser incentivada a contar de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro, e assim por diante. Continue trabalhando com elementos concretos, como material dourado ou pequenos brinquedos, borrachas, bolinhas, pedrinhas, etc. Procure atividades no cotidiano onde possa inserir esse tipo de contagem, como contar as pessoas de uma fila, os carros de um estacionamento, os feijões que vai preparar para o almoço, os carrinhos de brinquedo, etc. Mas incentive-a a contar mentalmente também. Se ela já souber escrever, peça que conte e escreva os algarismos
  44. 44. A aprendizagem sempre se dá do concreto para o abstrato. Portanto, nessa fase, abuse de elementos concretos para demonstrar as operações matemáticas, e vá introduzindo gradativamente os símbolos e nomes desta operação (não tenha medo de falar sobre fatores, produtos, usar os termos corretos).
  45. 45. Maneira de levar a manipulação concreta para o caderno (registro):
  46. 46. 5° passo - Tabelas de multiplicação Elas não só ajudam a criança a entender a tabuada como também a ajudam a procurar, checar, compreender e usar padrões matemáticos para chegar aos resultados. Temos abaixo a sequência de tabelas de multiplicação utilizadas pelo método Montessori aqui no Brasil. TABELA I - Clássica
  47. 47. TABELA II - É também chamada de "tabuada reduzida". Ela apresenta apenas os produtos a serem memorizados, 55 ao todo. É o que sobra quando você tira as multiplicações de ordem comutativa (a ordem dos fatores não altera o produto), ou seja, aquelas que se repetem (1 x 2 = 2 x 1)
  48. 48. TABELA III - Tábua de Pitágoras A coluna vertical vermelha representa o multiplicando, e a linha vertical azul representa o multiplicador. O produto se obtém no cruzamento da linha com a coluna.
  49. 49. Tabela Pitagórica
  50. 50. 6° passo - Memorização da Tabuada Depois que entendeu como funciona a tabuada é hora de memorizar os produtos. Esse é um ponto muito importante. No dia-a-dia precisamos de cálculos rápidos para resolver problemas práticos, e se a tabuada estiver memorizada vai ser muito mais fácil resolvê-los. Partindo do pressuposto de que a multiplicação tenha sido explicada e entendida em seus fundamentos; este é um caso em que decorar vale a pena. Quando a criança conseguir resolver os cálculos mais rapidamente, essa agilidade vai lhe proporcionar mais prazer em resolvê-los.
  51. 51. Multiplicando com as mãos
  52. 52. Formando habilidades mais complexas para a multiplicação Proporcionalidade [...] constitui um dos temas de maior importância no ensino de matemática, pois é a partir dela que se formam as noções de razão, proporção, número racional, medida, regra de três, porcentagem, probabilidade, semelhança de figuras, escalas, entre outras. (TOLEDO, 1997, p. 137). A adição repetida não mostra o sentido de proporção que existe na multiplicação.
  53. 53. Proporcionalidade: Uma maçã custa R$ 1,10 Variáveis Quantidade relação constante Preço de maçã 1,10 por maça Se variar a quantidade de maçãs, o preço total varia proporcionalmente.
  54. 54. Raciocínio combinatório Trata-se de PROBLEMAS DE CONTAGEM “Quantas vezes posso combinar três cores diferentes de camisas com três cores diferentes de calças” Envolvem grandezas de diversas natureza e a solução é de uma terceira natureza. Grandezas: 1ª calças 2ª camisas Solução= combinação calça com camisa= 3ª grandeza.
  55. 55. Estratégias: - Inicial: materiais concretos e representações com desenhos. Anotar as combinações uma a uma; -Representar as soluções encontradas em tabelas de dupla entrada e diagrama de árvores. - Multiplicação das quantidades de variações de cada grandeza.
  56. 56. As propriedades da multiplicação 1- Propriedade comutativa: 3 x 2 = 6 2 x 3= 6 Pode trocar a ordem dos fatores que o valor do produto não se altera. 2- Propriedade associativa: (4 × 5) × 7 = 4 × (5 × 7) Pode trocar a ordem de dois ou mais fatores que o valor do produto não se altera. 3- Propriedade da existência do elemento neutro: 4 × 1 = 1 × 4 = 4 Quando um dos fatores é um (1), o produto é igual ao outro fator. A unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação. 4- Propriedade da existência do elemento absorvente: 4 × 0 = 0 × 4 = 0 Quando um dos fatores é zero, o produto é igual a zero. Zero é o elemento absorvente da multiplicação. 5- Propriedade distributiva: Exemplos: 4 × (5 + 3) = 4 × 5 + 4 × 3 = 20 + 12 = 32
  57. 57. Comutatividade: Material Cuisenare EX. 3x2 = 3 1ª Forma: A maneira a mais fácil é empilhar três do tamanho 2 ou de barras vermelhas: 2ª Forma: • Outro método para multiplicar 3 x 2 é sobrepor um tamanho 3, barra verde, com um tamanho 2, barra vermelha. Completar então os espaços vazios para terminar o retângulo como mostrado abaixo:
  58. 58. Associativa: Fazendo 3 x 4 x 5. Utilizaremos 3 barras de tamanho 4, barras roxas, para fazer um retângulo. Em seguida faça um “trem” usando 5 destes retângulos e adicione todos acima. Propriedade associativa - Você pode mostrar a propriedade associativa com as equações: 5x 4 x 3 = 4 x 3 x 5)
  59. 59. Múltiplos: Usando o Material Cuisenaire para investigar a relação de múltiplo de dois fatores, vamos criar e observar um retângulo perfeito. Por exemplo, usaremos as barras para construir retângulos perfeitos para encontrar todos os fatores para os múltiplos de 12.
  60. 60. Escrita, representação e algoritmo da multiplicação - A dificuldade do ensino das operações básicas está justamente na dificuldade de compreensão daquilo que representa. - Os alunos exercitam a técnica operatória , mas não compreendem as ações envolvidas nesse processo.
  61. 61. “Por que não deixar então que as crianças tentem chegar ao resultado de diversas maneiras? Por que não lhes permitir que escrevam as contas que efetivamente fizeram e que quase nunca coincidem com o procedimento convencional? Elas poderiam descobrir progressivamente quais são as maneiras mais econômicas de realizar as operações, sobretudo se este é um tema de discussão em aula. Além disso, elas aprenderiam muito mais a respeito das operações e suas propriedades, sobre as estratégias que elas mesmas e as outras utilizam frente a diversas situações. Elas poderiam ‘ fazer matemática’, em lugar de ver-se reduzidos a aplicar procedimentos que não compreendem. (ZUNINO, 1995, p. 69).”
  62. 62. Repetição Escrever várias vezes a mesma tabuada Não garante o Aprendizado daquilo que se deseja Leva os alunos a criarem estratégias mecânicas e sem sentido para registrar O que desejam. Constrói na criança uma ideia equivocada do que significa fazer Matemática
  63. 63. A tabuada deve ser construída pelo aluno “[...] é conveniente que em primeiro lugar os alunos possam construir os resultados de algumas multiplicações, dentro de certos contextos, usando material de manipulação”. (TOLEDO, 1997, p.22).
  64. 64. Ex. A professora propõe que os alunos resolvam a seu modo a multiplicação 14 x 12 e em seguida demonstrem ao restante da turma as diferentes formas que conseguiram chegar. O algoritmo começa a ser utilizado pela criança sem IMPOSIÇÕES
  65. 65. 353 X 25 = 300 e 50 e 3 x 20 e 5 5 x 3= 15 5 x 50= 250 5 x 300= 1500 20x3= 20 x50= 20 x300= 3 50 300 x20 x20 x20 + 0 +00 + 000 60 1000 6000 60 1000 6000 Esse pensamento( decompor) deve ser ponto de partida para o ensino do algoritmo tradicional. Outra questão importante é NÃO considerar O ZERO COMO UM NÚMERO DIFERENTE, principalmente no processo inicial. Evita erros comuns em multiplicações que envolvem reserva leva à compreensão de certas regularidades, como o caso da “casa” vazia nas multiplicações em que as duas quantidades são maiores que 10.
  66. 66. Importante: - A sala de aula deve ser um ambiente propício ao debate. Os alunos precisam ter certeza de que suas hipóteses sobre o conhecimento em questão serão respeitadas. - Todas as perguntas devem ter um espaço para reflexão; - O erro precisa ser algo observável e ser motivo de debate e argumentação.
  67. 67. - As crianças estão atentas ao comportamento do professor e procuram dar respostas de acordo com suas expectativas; - Não se atêm nem aos dados contidos no problema nem a própria capacidade de pensar. Duas lógicas se desenvolvem dentro do pensamento dessas crianças: 1. Aquela que é própria delas e é usada fora da escola; 2.Aquela que é usada para se obterem bons resultados na escola, mesmo que não faça sentido.
  68. 68. Discussão necessária As crianças aprendem a resolver problemas observando, escrevendo e PRODUZINDO escritas numérica e resolvendo situação- problema contextuais nos quais desenvolvem e analisam estratégias de cálculo. Délia Lerner afirma que a Resolução de Problemas pode ser uma estratégia de trabalho que conduz do “conhecimento” ao “saber” e que dá sentido aos conteúdos matemáticos.
  69. 69. Correção coletiva: análise de uma situação didática: Sala da professora Ana, aula de matemática Prof.:- Joãozinho venha ao quadro escrever a resposta do seu problema. (Joãozinho é um dos melhores alunos da classe, sempre termina rápido suas atividades) Muitos alunos se entreolharam, olham para o seu caderno e constatam que ainda não terminaram de resolver o problema. De súbito param, seguram o lápis e esperam que o colega termine o registro no quadro. Os poucos que terminaram aguardam para verificar se fizeram igual ao do colega. Prof.:- está certo Joãozinho, pode sentar. Não demora, vê-se as borrachas nas mãos num movimento frenético nos cadernos. É, nem tudo estava igual.
  70. 70. Como podemos analisar esta situação? - O que avalia o professor? - Como o professor pode conduzir o processo de correção das produções de modo a tornar este momento significativo?
  71. 71. Situações conduzidas como a da professora Ana podem: - Desestimular as crianças a resolverem problemas, já que apenas uma solução é considerada. - Não oportuniza a socialização de estratégias produzidas pelos alunos; - Não desenvolve autonomia, muito pelo contrário, eles acabam por registrar o pensamento do outro; - Enfatizam o produto, já que o importante é a verificação do resultado;
  72. 72. É das hipóteses mais simples que mais devemos desconfiar, porque são aquelas que têm mais possibilidades de passar despercebidas. (Poincaré) Jules Henri Poincaré
  73. 73. Jogo da Conquista - Materiais: 2 dados; um tabuleiro quadriculado; quadrados coloridos. - Objetivo: trabalhar as propriedades da multiplicação (comutativa, distributiva e associativa) Trabalhar a ideia de proporcionalidade.
  74. 74. Regras: Objetivo: conquistar a maior área possível do retângulo. Possibilidades: multiplicação de dois fatores: comutatividade (a criança lança os dados- 1 indicará a quantidade de colunas e outro a quantidade de casas por coluna); preenche os espaços; Sugestão I: ao conquistar 40 “casas” o aluno passa para a segunda fase onde poderá lançar, novamente, o dado que representa a coluna, mantendo a quantidade de casas. EX: numa primeira jogada o resulta foi 3 casas e 4 colunas. O aluno preenche. Na segunda jogada ele lança o dado da coluna e obtém o valor 5. Significa que ganhou mais 5 colunas e que deverá preencher também, 3 CASAS POR COLUNA, pois o total de casa aumenta, proporcionalmente, à quantidade de colunas. Sugestão II: com essa malha quadriculada o professor pode trabalhar: contagem; sequência; figuras geométricas (quadriláteros). Basta usar a criatividade!!!
  75. 75. Proponha a seus alunos as atividades a partir da obra de Kandinsky "Quadrados com círculos concêntricos“, 1937 óleo sobre tela, 81 cm x 100cm
  76. 76. Sugestões de abordagem Observe o título desse quadro? Em sua opinião, por que o pintor deu esse nome à ele? Que outro título você daria ao quadro, utilizando uma ideia matemática? Compare sua resposta com a de seus colegas e analise em conjunto os argumentos sugeridos. O que pode ser avaliado? Aspectos referente aos processos multiplicativos, contagem, geometria e noção de área.
  77. 77. Bibliografia: Revista educação – Especial didática ed. Segmento, agosto/2011 SOARES, EDUARDO SARQUIS. Ensinar Matemática: Desafios e Possibilidades. Belo horizonte: Dimensão, 2009. DANTE, Roberto Luiz. Didática da resolução de problemas matemáticos. São Paulo: Editora Ática, 1991. TOLEDO, M. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997. e a resolução de problemas. Inter-ação, Fac. Educação UFG, 17 (1-2), jan/dez, 1993. Blog – “Estimulando meus filhos” - metodologias Doman e Montessori http://estimulandomeusfilhos.blogspot.com.br/ Vídeos disponível You Tube: http://www.youtube.com/watch?v=Fkx5npxc-Ek https://www.youtube.com/watch?v=8dpSSUr78JA http://www.youtube.com/watch?v=fDCLhlAI9Tc

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