1. CÓNICAS
Elipse y Parábola
PROFESORES: Brandon
Mella
Ramón Bustos

2. Cónicas Definición
 Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas
las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano
no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente
dichas. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la
intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una
parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y parábola)

3. Elipse
 Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular
recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún
elemento del cono.

4. elipse
 Definición geométrica: sean 퐹1 , 퐹2 dos
puntos diferentes del plano y 푘 > 0, 푘 mayor
que la distancia entre 퐹1 y 퐹2.
La elipse de focos 퐹1 , 퐹2 y eje mayor de
longitud 푘 , es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de distancia a
퐹1 y 퐹2 es igual a 푘.
El punto central entre 퐹1 y 퐹2 se llama centro
de la elipse. La recta que pasa por 퐹1 y 퐹2
contiene 2 puntos de la elipse se llaman
vértices de la elipse 푣1 y 푣2

5. Elipse
Observacion: se demuestra que la distancia
entre 푣1 y 푣2 es 푘, por lo que el segmento
푣1푣2 es el eje mayor de la elipse.

6. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y
eje mayor horizontal
Sean 퐹1(−퐶, 푂) Y 퐹2(퐶, 푂), 퐶 > 0 los focos de
la elipse y sea 푘 = 2푎 la longitud del eje
mayor, con 2푎 > 2푐, es decir, 푎 > 푐.

7. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ)
y eje mayor horizontal
Deducción ecuación:
∀ 푃 푥, 푦 , 푃 푥, 푦 ∈ 푒푙푖푝푠푒 ⇔ 푑 푃, 퐹1 + 푑 푃, 퐹2 = 2푎
⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 + 푥 − 푐 2 + 푦2 = 2푎
⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 = 2푎 − 푥 − 푐 2 + 푦2 , elevamos al cuadrado.
⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 = 4푎2 − 4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 + 푥 − 푐 2 + 푦2
⇔푥2 + 2푥푐 + 푐2 = 4푎2 − 4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 + 푥2 − 2푥푐 + 푐2
⇔4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 = 4푎2 − 4xc, multiplicamos por
1
4
y
elevamos 2

8. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ)
y eje mayor horizontal
⇔푎2 푥2 − 2푥푐 + 푐2 + 푦2 = 푎4 − 2푎2푥푐 + 푥2푐2
⇔푎2푥2 + 푎2푦2 − 푥2푐2 = 푎4 − 푎2푐2.
⇔푥2(푎2 − 푐2) + 푎2푦2=푎2(푎2 − 푐2), div. Por 푎2(푎2 − 푐2)
Observación como 푎 > 푐 > 0 ⇒ (푎2 − 푐2)> 0
푥2
푎2 +
⇔
푦2
(푎2−푐2)
= 1, luego definimos 푏2=(푎2 − 푐2)
2 2
x y
a b
  
2 2 1, es la ecuacion de elipse con
 
c
centro 0,0 y focos de 2 de distancia.

9. Elipse
 De forma similar se demuestra la ecuación
elipse con centro C 0,0 y eje mayor
vertical. además mostramos le caso
anterior eje mayor horizontal.

10. Ecuacion de una elipse con centro en 퐂 풉, 풌 y
el eje mayor horizontal
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
    2 2
x h y k
a b
 
  
v h a k v h a k
F h c k F h c k
2 2 1,
1 2
1 2
Ecuacion de una elipse con centro en 퐂 풉, 풌 y
el eje mayor vertical
    2 2
x h y k
b a
 
  
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
2 2 1,
 
 
v h k a v h k a
F h k c F h k c
 
 
1 2
1 2

11. Ecuación general elipse
Observación: la ecuación de cualquier elipse
con ejes de simetría paralelos a los ejes
coordenados es de la forma general.
퐴푥2 + B푦2 + Cx + Dy + E = 0,
Con 퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ∈ ℝ fijos y 퐴B >0, A≠B(ambos
negativos o positivos). Recíprocamente toda
ecuación de esta forma con las condiciones
mencionadas representa una elipse con ejes de
simetría paralelos a los ejes coordenados o una
elipse degenerada(∅(negativa) o un punto(푥 =
ℎ ∧ 푥 = 푘)).

12. Ejemplo: determine todos los elementos de la
elipse.
1. 3푥2 + 4푦2 + 6푥 − 12푦 + 10 = 0
Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.
3 푥2 + 2푥 + 1 + 4 푦2 − 3푦 +
9
4
= −10 + 3 + 9
3 푥 + 1 2 + 4 푦 −
3
2
2
= 2 , dividimos por 2
3 푥 + 1 2
2
+ 2 푦 −
3
2
2
= 1
푥 + 1 2
2
3
+
푦 −
3
2
2
1
2
Continua próxima diapositiva.

13. Ejemplo: determine todos los elementos de
la elipse
Como
2
3
>
1
2
⇒
2
3
= 푎2 por tanto horizontal. luego
el centro −1,
3
2
y eje mayor horizontal.
푎2=
2
3
⇒ 푎=
2
3
, 푏2=
1
2
⇒ b=
1
2
=
2
2
.
Entonces 푐2=푎2-푏2=
2
3
−
1
2
=
1
6
⇒푐 = ±
1
6
=±
6
6
Finalmente los focos y vértices son los
siguientes.
   
2 3 2 3
v h a k v h a k v v
( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
            
1 2 1 2
3 2 3 2
1 3 1 3
   
   
F h c k F h c k F F
( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
        
1 2 1 2
6 2 6 2
   

14. Parábola
 Una parábola es una curva abierta, producida por la
intersección de un cono circular recto y un plano
paralelo a algún elemento del cono.

15. PARÁBOLA:
Lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto llamado foco
y de una recta llamada directriz.

16. Concepto previo «distancia
de un punto a una recta»
Ya sabemos calcular la distancia entre
puntos de la unidad 1, ahora para poder
deducir la ecuación de la parábola es
necesario saber obtener la «distancia de un
punto a una recta»

17. Distancia de un Punto a una
recta
Sea 푙 una recta de ecuación 푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0,
con 푎, 푏 푦 푐 ∈ ℝ , 푎 ≠ 0 ∨ 푏 ≠0 y sea 푃0 =
(푥0, 푦0) un punto que no pertenece a 푙.
Si 푑 푃0, 푙 se denota la distancia de 푃0 a 푙.
Se demuestra que 푑 푃0, 푙 .
푑 푃0, 푙 =
푎푥0+푏푦0+푐
푎2+푏2

18. Ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) , eje
de simetría vertical y Foco de la parabola
푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄
d(P, F)  d(P, l)
Los puntos de la parábola
cumplen:

19. Deducción ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) ,
eje de simetría vertical y Foco de la parábola
푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄
 Entoces ∀ 푃 푥, 푦 , 푃 푥, 푦 ∈ parábola
⇔푑 푃, 퐹 = 푑 푃, 푙 (la condición).
⇔ 푥2 + 푦 − 푐 2=
푦+푐
0+12 (distancia Punto a recta )
⇔ 푥2 + 푦 − 푐 2= 푦 + 푐 ( eleva cuadrado ambos +)
⇔푥2+푦2 − 2yc + 푐2=푦2 + 2yc + 푐2
(cancelamos)
continuamos próxima diapositiva……

20. Deducción ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) ,
eje de simetría vertical y Foco de la parábola
푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄
Continuemos.
2
cy x
cy x
x
   
 
4 / multiplicamos por -1
4
2
2
(finalmente lo que buscabamos)
 
4
y
c

21. La parábola en otros casos

22. Ecuacion de una parábola con vértice en
V 풉, 풌 풚 풆풋풆 풅풆 풔풊풎풆풕풓풊풂.
1) Vertical.
푦−k =
푥−ℎ 2
4푐
,
Donde 푐 es la distancia entre el vértice y
el foco o entre el vértice y la directriz.
2) Horizontal.
푥 − ℎ =
푦−푘 2
4푐

23. Ecuación general de una
parábola
 La ecuación de cualquier parábola con ejes
de simetría paralelos a uno de los ejes
coordenados es de la forma general.
퐴푥2 + B푦2 + Cx + Dy + E = 0,
Con 퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ∈ ℝ fijos y 퐴=0 o bien 퐵=0.
Recíprocamente, toda ecuación de la forma
anterior con 퐴 = 0 o bien 퐵=0 representa una
parábola en el plano con ejes de simetría
paralelos a uno de los ejes coordenados o una
parábola degenerada(vacia, una recta o la
unión de dos rectas)

24. Ejemplos: determine todos
los elementos de la parábola
1. 3푥2 + 6푥 + 5푦 − 8 = 0.
Solución. 3 푥2 + 2x + 1 = −5y + 8 + 3
3 푥 + 1 2 = −5(푦 −
11
5
)
푦 −
11
5
= −
3
5
푥 + 1 2
푦 −
11
5
=
푥 + 1 2
−
5
3
Continua próxima diapositiva.

25. Ejemplos: determine todos los
elementos de la parábola
Continuación solución, cuando la parábola es de
la forma .
푦−k =
푥−ℎ 2
4푐
. Eje de simetría Vertical .
Comparando con lo obtenido.
푦 −
11
5
=
푥+1 2
−
5
3
, Se obtiene el vértice ℎ, 푘 , es
−1,
11
5
, como 4푐 = −
5
3
, luego 푐 = −
5
12
.
퐹(−1,
11
5
−
5
12
=
107
60
) , Bisectriz: 푦 =
11
5
+ 푐 =
157
60

26. Ejemplos: determine todos los
elementos de la parábola
2) 5푦2 + 3푥 − 25푦 + 10 = 0.
Solución: 5푦2 − 25푦 = −3푥 − 10
5 푦2 − 5y +
25
4
= −3x − 10 +
125
4
5 푦 −
5
2
2
= −3푥 +
85
4
5 푦 −
5
2
2
= −3(x −
85
12
)
Continua próxima diapositiva…..

27. Ejemplos: determine todos los
elementos de la parábola
푥 −
85
12
= −
5
3
푦 −
5
2
2
푥 −
85
12
=
푦 −
5
2
2
−
3
5
Notamos que la ecuación es de la forma ;con
eje de simetría Horizontal.
푥 − ℎ =
푦−푘 2
4푐
, continua prox.
Diapositiva.

28. Ejemplos: determine todos los
elementos de la parábola
V h k V

85 5
El vertice es ( , ) , y su eje de
12 2
simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.
3 3 5
c c y
4 , eje de simetria
5 20 2
85 3 5 104 5
F F
foco , ,
12 20 2 15 2
85
y la directriz es:
 
   
 1

x
 
   
 
     
   
     
   

3 217
2 20 30