Mapas Exponenciais           por Rafael VieiraCRAb – Grupo de Computação Gráfica   Departamento de Computação             ...
Sumário1. Definições2. Método de Rotação3. Prova4. Matriz de Rotação5. Reparametrização6. Mapas Exponenciais e Quaternions...
Definição: R3É o espaço Euclidiano tridimensional. Todo ponto P em R3 possuitrês coordenadas, tal que se P está em R3 entã...
Definição: Special Orthogonal GroupSO(3) é o conjunto das transformações lineares ou matrizesque preservam o produto inter...
Definição: Quaternions É um conjunto de vetores com 4 dimensões. São considerados uma generalização do espaço complexo. Se...
Definição: 3-SphereS3 é uma esfera de 4º dimensão análoga a uma esfera comraio unitário. Ela é um conjunto de pontos equid...
Definição: Skew-Simetric Matrices (Matrizantisimétrica)so(3) é o conjunto das transformações lineares ou matrizesque são s...
Definição: A função exponencial ex(2), pode seraproximada pela série de Taylor(1) da seguintemaneira:                     ...
Definição: Geodésica é a menor distância entre doispontos em uma superfície n-dimensional.           Fonte: UOL, http://ci...
Definição: Espaço tangente é um hiperplano d--dimensional que mais se aproxima do valor real deuma superfície d-dimensiona...
Definição: Em uma superfície S(u,v), para um ponto p0= S(u0,v0), é o hiperplano tangente aquele ponto édado por uma plano ...
Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de umponto Q pertencente ao hiperpl...
Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de umponto Q pertencente ao hiperpl...
Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de umponto Q pertencente ao hiperpl...
Método de Rotação: O mapeamento exponecial, quenos interessa, é o de vetores, pois realiza umatransformação de so(3) → SO(...
Método de Rotação: Como o eixo de rotação nãovaria ŵ é uma constante. Ajustando a fórmula eaplicando integral em ambos os ...
Método de Rotação: Aplicando a definição deexponencial, temos o mapa exponencial final.                                   ...
Método de Rotação: É possível simplificar a fórmulapela série de Taylor para seno e cosseno e assimobter a fórmula de Rodr...
Prova da Fórmula de Rodrigues                                Cheng, Steve
Matriz de Rotação derivada diretamente da fórmula.                  2             (                                       ...
Atenção! Quaternion também pode ser Reparametrização                              visto como uma forma de mapeamento      ...
Mapas exponenciais e quaterninonsComo foi visto que o quarternion é uma forma demapeamento exponencial também é possível c...
Referências:1. Murray, Richard ; Li, Zexiang; Sastry, S. Shankar; A MathematicalIntroduction to Robotic Manipulation CRC P...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Mapas Exponenciais

1.000 visualizações

Publicada em

Apresentação sobre rotação com mapas exponenciais. Cita quaternions.

Publicada em: Tecnologia
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.000
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
4
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Mapas Exponenciais

  1. 1. Mapas Exponenciais por Rafael VieiraCRAb – Grupo de Computação Gráfica Departamento de Computação UFC
  2. 2. Sumário1. Definições2. Método de Rotação3. Prova4. Matriz de Rotação5. Reparametrização6. Mapas Exponenciais e Quaternions7. Referências
  3. 3. Definição: R3É o espaço Euclidiano tridimensional. Todo ponto P em R3 possuitrês coordenadas, tal que se P está em R3 então P é a tupla (x, y, z).Todo ponto em R3 pode ser visto como um vetor Vp que parte daorigem do sistema O (0,0,0) até o ponto P(x¹,y¹,z¹) Q(x²,y²,z²) ĵ Por definição: î O(0,0,0) Vp = P – 0 = (x¹ – 0, y¹ – 0, z¹ – 0) ^ Vp = (x¹, y¹, z¹) k Análogamente, Vq = (x², y², z²)
  4. 4. Definição: Special Orthogonal GroupSO(3) é o conjunto das transformações lineares ou matrizesque preservam o produto interno de dois vetores no R3 Noespaço Euclidiano, o produto interno é o produto escalar dedois vetores. Para toda matriz R do grupo SO(3), R.Rt = I.Exemplos: cos θ 0 −sin θ 1 0 0 ) ( ) ( ) cos θ sin θ 0 (R x = −sin θ cos θ 0 0 0 1 R y= 0 1 0 sin θ 0 cos θ R z = 0 cos θ sin θ 0 −sin θ cos θ Rotação nos eixos x, y e z segundo um eixo unitário. Obs: Se P é um ponto em R3 , P.Ri rotaciona P em torno do eixo x, y ou z em θ graus pela regra da mão direita e Ri .P rotaciona P em torno do eixo x, y ou z em θ graus pela regra da mão esquerda (sentido contrário).
  5. 5. Definição: Quaternions É um conjunto de vetores com 4 dimensões. São considerados uma generalização do espaço complexo. Se q é um quaternion, û é o vetor eixo de rotação, v é um vetor do espaço R3, θ é o ângulo de rotação e R é a função de rotação por um eixo v, então estão definidos: q=s+x∗̂ i+y∗̂ j+z∗k ̂ ĵAtenção! Existem q =s−x∗̂ ̄ i−y∗̂ ̂ j−z∗k î4 direções que umquaternion pode q=cos( θ )+sin ( θ ) u , û=(x , y , z) ̂ ^se mover, mas 2 2 kqueremos apenas3 DOFs (degrees R v =q∗v∗q ou R v =q∗v∗q ⁻1 ̃ ̄ ̃of freedom). v =x∗̂ ̃ i+y∗̂ ̂ j+z∗k , v=(x , y , z) ou θ=180 °
  6. 6. Definição: 3-SphereS3 é uma esfera de 4º dimensão análoga a uma esfera comraio unitário. Ela é um conjunto de pontos equidistantes deum ponto central a partir do espaço 4D dos quaternions. Projeção de uma hiperesfera em 3D fonte: Claudio Rocchini.
  7. 7. Definição: Skew-Simetric Matrices (Matrizantisimétrica)so(3) é o conjunto das transformações lineares ou matrizesque são skew simetric. Para toda matriz R do grupo so(3) e R= -Rt.Exemplos: 0 −w 3 w 2 ̂ ( w= w3 0 −w 2 w1 −w1 0 ) Obs: Se w e v são um vetores em R3 , ŵv é o produto vetorial de w por v, isto é w x v.
  8. 8. Definição: A função exponencial ex(2), pode seraproximada pela série de Taylor(1) da seguintemaneira: ∞ f n (a) (1) f (x)=∑n=0 an (x−a)n na qual an = n! n 2 3 4 ∞ x x x x (2) e x = ∑n=0 =1+x+ + + +⋯ n! 2! 3 ! 4 ! iπ (3) e +1=0 (3) define a identidade de Euler e (4) é iθ (4) e =cos θ+sin θi uma expansão da identidade para análise complexa (3).
  9. 9. Definição: Geodésica é a menor distância entre doispontos em uma superfície n-dimensional. Fonte: UOL, http://ciencia.hsw.uol.com.br/mapa1.htm acessado em 14/09/11
  10. 10. Definição: Espaço tangente é um hiperplano d--dimensional que mais se aproxima do valor real deuma superfície d-dimensional. Em uma curva C(t),para um ponto p0 = C(t0), o hiperplano tangente aqueleponto é uma reta retornada pela primeira derivadaC(t0). Kazhdan, Misha.
  11. 11. Definição: Em uma superfície S(u,v), para um ponto p0= S(u0,v0), é o hiperplano tangente aquele ponto édado por uma plano bidimensional retornado pelaprimeira derivada S(u,v) para u e v. Kazhdan, Misha.
  12. 12. Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de umponto Q pertencente ao hiperplano tangente nasuperfície. Exemplo: Em uma curva C(t), o mapa exponencial para um ponto p0 = C(t0) é um mapeamento que envia pontos no espaço tangente C(t0) para a curva C(t). Kazhdan, Misha.
  13. 13. Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de umponto Q pertencente ao hiperplano tangente nasuperfície. Exemplo: Em uma superfície S(u,v), o mapa exponencial para um ponto p0 = S(u0,v0) é um mapemaneto que envia pontos no espaço tangente S(u0,v0) para a curva S(u0,v0). Kazhdan, Misha.
  14. 14. Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de umponto Q pertencente ao hiperplano tangente nasuperfície. Exemplo: Em uma superfície S(u,v), o mapa exponencial para um vetor w no espaço tangente definido pelo ponto p0 = S(u0,v0) é mapeamento que cria uma geodésica que move p0 na direção w no espaço tangente S(u0,v0) para um comprimento |tw| na curva S(u0,v0). Kazhdan, Misha.
  15. 15. Método de Rotação: O mapeamento exponecial, quenos interessa, é o de vetores, pois realiza umatransformação de so(3) → SO(3), o que nos permiteobter uma rotação em R3. Para obter o plano diferencial, precisamos então fazer uso da mecânica clássica de Física. v ⃗ =w x ⃗ v ⃗ r r d⃗ r = wr ̂ dt Importante! ŵ é uma w (vetor saindo matriz antisimétrica do monito) que simula o produto vetorial w x r. E também é o nosso eixo de rotação.
  16. 16. Método de Rotação: Como o eixo de rotação nãovaria ŵ é uma constante. Ajustando a fórmula eaplicando integral em ambos os lados obtém-se: d⃗ r = wr ̂ dt v d⃗r = w dt ̂ r r ∫ dr⃗ = w ∫ dt r ̂ w (vetor saindo do monito) ln (r )= w t ̂ ̂ e wt =r
  17. 17. Método de Rotação: Aplicando a definição deexponencial, temos o mapa exponencial final. ̂ r=e wt wθ ̂ R ( w , θ)=e ̂ Define-se r como a nossa Rotação ∞ w n θn ̂ w 2 θ2 w 3 θ3 w 4 θ4 ̂ ̂ ̂ R pelo vetor R ( w , θ)=∑n=0 ̂ =I + w θ+ ̂ + + +⋯ n! 2! 3! 4! arbitrário w e t como o ângulo de rotação. 2 2 ( ) −( w 2 + w 3 ) w 2∗w 1 w 1∗w 3 ̂ w² = w 1∗w 2 −( w 2 + w 2 ) w 3∗w 2 1 3 w 3∗w 1 w 2∗w 3 −( w 2 + w 2 ) 1 2 Atenção ŵ² = w x (w x vp)
  18. 18. Método de Rotação: É possível simplificar a fórmulapela série de Taylor para seno e cosseno e assimobter a fórmula de Rodrigues. ∞ w n θn ̂ w 2 θ2 w 3 θ3 w 4 θ4 ̂ ̂ ̂ R ( w , θ)=∑n=0 ̂ =I + w θ+ ̂ + + +⋯ n! 2! 3! 4! 3 5 2 4 6 θ θ θ θ θ ̂ ̂ ̂2 R ( w ,θ)=I + w (θ− + −⋯)+ w ( − + +⋯) 3! 5! 2! 4 ! 6! Fórmula de Rotação de R ( w ,θ)=I + w(sin θ)+ w 2 (1−cos θ) ̂ ̂ ̂ Rodrigues Atenção! Para expoente ímpar: w x( w x (w x p)) = ŵ ou -ŵ Para expoente par: w x (w x( w x (w x p))) = ŵ² ou -ŵ²
  19. 19. Prova da Fórmula de Rodrigues Cheng, Steve
  20. 20. Matriz de Rotação derivada diretamente da fórmula. 2 ( ) w 1 (1− cs θ)+cs θ w 1 w 2 (1−cs θ)− w 3 s θ w1 w 3 (1−cs θ)+ w 2 s θ 2R ( w , θ) = w 1 w 2 (1−cs θ)+ w 3 s θ ̂ w 2 (1−cs θ)+cs θ w 2 w 3 (1−cs θ)− w 1 s θ w 1 w 3 (1− cs θ)− w 2 s θ w 2 w 3 (1−cs θ)+ w 1 s θ w 2 (1−cs θ)+ cs θ 3 Obs: Esta é a matrix usada pelo OpenGL para realizar suas rotações segundo sua documentação: Quaternion unitário http://www.opengl.org/sdk/docs/man/xhtml /glRotate.xml 2 2 ( ) 1−2y −2z 2xy+2zs 2xz−2ys R ( s , v ) = 2xy−2zs 1−2x 2 −2z 2 2yz+2xs , 2 2 2xz+2ys 2yz−2xs 1−2x −2yv =( v x∗sen ( θ ) , v y∗sen ( θ ) , v z∗sen ( θ )) , s =cos( θ ) , x = v x∗sen ( θ ) , ⋯ 2 2 2 2 2
  21. 21. Atenção! Quaternion também pode ser Reparametrização visto como uma forma de mapeamento exponencial na 4º dimensão. (1)∣v∣=1, v = θ ∗v ˙ 2 (2)∣v∣= θ ˙ 2 v ˙(3) q ( s , v )= e =(sin ( θ ) , cos( θ )) vθ 2 ∣v∣ ˙ 2(4) q ( s, v )=e =( sinc ( θ ) v , cos( θ )) vθ ˙ 2 2 (x) (4) sinc ( x )=sin x (5) R ( w , θ)= R (−̂w , 360 ° −θ) ̂ Comparação do comportamento da função sin(x) e sinc(x)
  22. 22. Mapas exponenciais e quaterninonsComo foi visto que o quarternion é uma forma demapeamento exponencial também é possível constuir umafórmula de aproximação para ele. q=( θ , s), R (q , v)=q.v. ̄ q Atenção! Mqn é 2 o produto de quaternions! (met.I ) R (q , v)=eq . e v . e ̄ q (met.II ) R (q , v)=M q. v ∞ M qn M q2 M q 3 M q 4 R (q , v)=∑n=0 =I +M q + + + +⋯ n! 2! 3! 4! Desafio: Será que é possível simplificar o produto dos quaternions?
  23. 23. Referências:1. Murray, Richard ; Li, Zexiang; Sastry, S. Shankar; A MathematicalIntroduction to Robotic Manipulation CRC Press; 1 edition (March 22, 1994).ISBN-10: 0849379814. ISBN-13: 978-08493798192. Cheng, Steve. A proof of Rodrigues rotation formulahttp://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfRodriguesRotationFormula.html[acessado em 14/09/11]3. Grassia, F. Sebastian. Practical parameterization of rotations using theexponential map. Journal of Graphics Tools, vol 3, pags 29-48. 19984. Kazhdan, Misha. Quaternions and Exponentialswww.cs.jhu.edu/~misha/Spring11/27.pdf [acessado em 14/09/11]5. Artigos da wikipédia [acessados em 14/09/11]http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrixhttp://en.wikipedia.org/wiki/Quaternionhttp://en.wikipedia.org/wiki/3-spherehttp://en.wikipedia.org/wiki/SO%283%29

×