Análise de Fourier
                Dia 1:
Filtragem no Domínio da Frequência
   Daniel Teixeira & Rafael Vieira

  CRAb – ...
Sumário

Histórico
Fundamentos
Série de Fourier
Transformada de Fourier Contínua
Transformada de Fourier Discreta
Reconstr...
0.1 Histórico

                      A Série de Fourier teve seus primeiros resquícios em 1807

                      Cria...
0.1 Histórico
  Em 1965, os americanos Cooley e Tukey publicam um artigo com um
algoritmo para a Transformada de Fourier R...
0.2 Motivação e Aplicações

Motivação:

Aumenta o seu poder de análise sobre funções, analisamos uma
função sobre dois dom...
1.1 Fundamentos:
        Números Complexos
Os números complexos são uma extensão dos números reais. E
portanto podem ser e...
1.2 Fundamentos:
       Complexos: Forma Polar
Os complexos podem ser expressos também em
coordenadas polares:




Em que,...
1.3 Fundamentos:
       Complexos: Gráfico
Os complexos não podem ser representados no
plano Cartesiano a não ser pelas su...
1.4 Fundamentos:
       Fórmula de Euler
Fórmula de Euler:



Como conseqüência temos que:




                           ...
1.5 Fundamentos:
        Função de Impulso
Função Delta de Dirac ou Impulso pode ser encarada
como um distribuição, tal qu...
1.6 Fundamentos:
         Função de Impulso - Propriedades




                         f(x) é uma função qualquer



Demo...
1.7 Fundamentos:
         Trem de Impulsos(função de
    amostragem ou combinação de Dirac)

Uma combinação de Dirac é uma...
1.8 Fundamentos:
     Convolução


f(t) e h(t) são duas funções quaisquer




                        “Gira e Desliza”
   ...
1.9 Fundamentos:
        Teorema da Convolução


O teorema determina que uma filtragem no domínio da
freqüência é equivale...
1.10 Fundamentos:
Exemplo de Convolução 1D e Discreta

               Inverte-se w(x) e a desloca para
               alin...
1.11 Fundamentos:
         Teorema de Nyquist (ou Teorema da Amostragem)


A reconstrução de uma função
contínua limitada ...
1.12 Fundamentos:
      Funções Pares e Impares

• função par


   Exemplos: cosseno, |x|, x²


• função ímpar



   Exemp...
1.13 Fundamentos:
       Trigonometria

cos(A+B) = cosAcosB – senAsenB
sen(A+B) = senAcosB + senBcosA

cos²A + sen²A = 1

...
1.14 Fundamentos:
       Funções Periódicas
Um função é dita periódica, se:




T é o período da função
Exemplos: sinc, se...
1.15 Fundamentos:
         Oscilador Harmônico Simples
 O movimento de um OHS pode
 ser representado por uma senóide




A...
1.16 Fundamentos:
        Oscilador Harmônico Simples
O movimento de um OHS pode
ser representado por uma senóide




A : ...
1.17 Fundamentos:
        Amplitude

Determina a magnitude de oscilação da função ou sinal:




         sen(x)           ...
1.18 Fundamentos:
        Freqüência

Determina o número de repetições de um sinal ou função
em um intervalo dado:



    ...
1.19 Fundamentos:
        Ângulo de Fase

Determina um ângulo de início e fim para a emissão do
sinal, isto é, um deslocam...
1.20 Fundamentos:
       Somatórios de funções periódicas

Somatórios de senóides e cossenóides:




                     ...
2. Série de Fourier




É capaz de representar funções periódicas   26
2.1 Exemplo de SF




                    27
2.2 Gráfico de SF


SF de coeficientes k em [0,2]   SF de coeficientes k em [0,15]




                                   ...
3. Transformada de Fourier
   Contínua
É capaz de representar funções não periódicas.




                                ...
3.1 Exemplo de CFT

A função quadrado, também chamada de Filtro Ideal de Baixa Freqüência, pode
ser definida como:
f(t) = ...
3.2 Gráfico de CFT




           “É justo dizer que muitos Engenheiros
           Elétricos vêem a função sinc em seus so...
4. Transformada de Fourier
Discreta




                             32
4.1 Exemplo de DFT

Transformada de Fourier:
                                      Todos os pontos da
                    ...
4.2 Gráfico de DFT


 Função original     Transformada da função




                                       34
5. Reconstrução de Imagens

Os pontos de uma transformada são obtidos
através de interpolação entre todos os pontos
da amo...
6. Amostragem


                Transformada de Fourier




                Alta taxa de amostragem




                Ta...
6. Amostragem

Extração de um período usando filtro ideal:


                                Baixa taxa de amostragem
Alta...
7. Aliasing


                           Erro de amostragem.
                           Jaggies é o nome
                 ...
8. Interpolação

                       Interpolação pelo vizinho mais
 Pontos amostrais
                                 ...
9. Padrões Moiré

Padrões criados por sobreposição de outros
padrões na imagem
                                Padrão moir...
10. Extensão para 2D

Em Processamento Digital de Imagens
trabalhamos com 2 Dimensões. Precisamos,
portanto, de novas defi...
10.1.1 CFT 2D




                42
10.1.2 Exemplo de CFT 2D




                           43
10.1.3 Gráfico de CFT 2D




                           44
10.2 Impulso 2D




                  45
10.3 Trem de Impulsos 2D




                           46
10.4 Convolução 2D




                     47
10.5 DFT 2D


Para um imagem f(x,y) de dimensões M x N, em que M é a
largura e N é a altura, as transformadas podem ser ob...
Propriedades da
Transformada de Fourier
      Discreta 2D
1. Relações Entre Intervalo
  Espacial e de Frequência
• Supondo f(t,z) uma função
  contínua de uma amostra de uma
  imag...
1. Relações Entre Intervalo
  Espacial e de Frequência
• A distância entre as amostras no
  domínio de frequência são
  in...
2. Translação e Rotação
• Propriedades da Translação:
               j2  u0 x / M v 0 y / N 
  f x , ye             ...
2. Translação e Rotação

                        f  x−x 0 , y− y 0 ⇔?
                               M −1         N −...
2. Translação e Rotação

• A Translação não tem efeito na
  magnitude(espectro) de F(u,v)
• Usando coordenadas polares:
  ...
3. Periodicidade

• Como a Transformada de Fourier
  2D é sempre periódica na direção u
  e v:
F u , v =F u K 1 M , v ...
3. Periodicidade

• Pela Transformada 1D:
• Vamos deslocar a origem para o
  ponto M/2, ou seja, u0=M/2
                  ...
3. Periodicidade




                   57
3. Periodicidade
• Pela Transformada 2D:
• Vamos deslocar a origem para o
  ponto (M/2,N/2), ou seja,
  (u0,v0)=(M/2,N/2)
...
3. Periodicidade

• No caso de 2D:




                            59
4. Propriedades de
                       Simetria
• Qualquer função real ou complexa,
  w(x,y), pode ser escrita como um
...
4. Propriedades de
              Simetria
• Substituindo na formula vemos que:
 – wp(x,y) = wp(-x,-y)
 – wi(x,y) = -wi(-x,...
4. Propriedades de
                Simetria
• Para evitar os termos negativos:
   – wp(x,y) = wp(M-x,N-y)
   – wi(x,y) = -...
4. Propriedades de
               Simetria
• Exemplo em 1D:
  – f = { f(0) f(1) f(2) f(3) } M=4
  – ={ 2          1    1  ...
4. Propriedades de
              Simetria
• Exemplo em 1D:
   – g = { g(0) g(1) g(2) g(3) } M=4
   – ={      0    -1    0 ...
4. Propriedades de
               Simetria
• Nas funções Ímpares o termo central é sempre
  0
• No caso de 2D:
   – A funç...
4. Propriedades de
             Simetria

• O Conjugado Simétrico de uma
  função real, f(x,y), será:
 – F*(u,v) = F(-u,-v...
4. Propriedades de
                    Simetria
                                                                          ...
4. Propriedades de
     Simetria




                     68
5. Exemplo das
          Propriedades:




• Na propriedade 3:
  – Parte real:       {10 -2 -2 -2} - par
  – Parte imaginá...
5. Exemplo das
                       Propriedades:
 • Propriedade 6:
                               M −1         N −1...
5. Exemplo das
              Propriedades:


                   M −1      N −1
                                       ...
6. Espectro de Fourier e
         Ângulo de Fase
• Como a Transformada de Fourier é
  Complexa em geral, nós podemos
  exp...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• O Ângulo Fase é:

                         [            ]
               ...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Ex: atan(1/1)=45°, atan(-1/-1)=45°,
  porém atan2(-1,-1)=135°




       ...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Por ultimo a Intensidade do
  Espectro:
                      2    2     ...
6. Espectro de Fourier e
             Ângulo Fase
• Ângulo Fase é simetricamente
  ímpar em relação a origem:

           ...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Fazendo pela média de f(x,y):
                 1      M −1   N −1
   ...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Espectro de uma imagem:




                            78
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Para centralizar o espectro basta
  multiplicar a imagem por:       x y
...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Para aumentar os detalhes da imagem,
  vamos aplicar a Transformação log:...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• O Espectro é insensível a
  Translações na imagem
• Se a imagem for Rotac...
6. Espectro de Fourier e
      Ângulo Fase




                     82
6. Espectro de Fourier e
            Ângulo Fase
• Arrays dos Ângulos Fase:




  Imagem        Imagem         Imagem
   o...
6. Espectro de Fourier e
          Ângulo Fase
• Os componentes do Espectro da
  transformada determinam as
  amplitudes d...
6. Espectro de Fourier e
           Ângulo Fase
• Imagem normal
• Ângulo Fase da imagem
• Usando somente o ângulo fase na ...
6. Espectro de Fourier e
             Ângulo Fase
                                 j u , v
       F  u , v=∣F u , v ...
7. Sumário das Propriedades da
Transforma Discreta 2D de Fourier




                             87
7. Sumário das Propriedades da
Transforma Discreta 2D de Fourier




                             88
7. Sumário das Propriedades da
Transforma Discreta 2D de Fourier


         Ver Tabela da Propriedades de Simetria




   ...
7. Sumário das Propriedades da
Transforma Discreta 2D de Fourier




                             90
Referências Bibliográficas

• Weaver, Joseph - Applications of Discrete and Continuous
   Fourier Analysis – 1983


• Osgo...
Próxima aula


• Bases da filtragem no domínio da frequência


• Suzavização de imagens empregando filtro de
  domínio da ...
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Análise de Fourier.

  1. 1. Análise de Fourier Dia 1: Filtragem no Domínio da Frequência Daniel Teixeira & Rafael Vieira CRAb – Grupo de Computação Gráfica Departamento de Computação UFC
  2. 2. Sumário Histórico Fundamentos Série de Fourier Transformada de Fourier Contínua Transformada de Fourier Discreta Reconstrução de Imagens Amostragem, Alias e Interpolação Extensão 2D Propriedades: Translação Rotação Periodicidade Espectro de Fourier e Ângulo de Fase Convolução em 2D 2
  3. 3. 0.1 Histórico A Série de Fourier teve seus primeiros resquícios em 1807 Criada e Desenvolvida pelo francês Jean Baptiste Joseph Fourier Em 1822, a publica em seu livro “La Théorie Analitique de la Chaleur” Idéia inicialmente encontra ceticismo Fourier, Jean B. J. Em 1950, o francês Laurent-Moïse Schwartz ganha a medalha Fields pelo seu trabalho na teoria das distribuições A teoria das distribuições expande a teoria da Transformada de Fourier Schwartz consegue determinar a classe de funções ideais para a Transformada de Fourier - A classe Schwartz, em sua homenagem Schwartz, Laurent-Moïse 3
  4. 4. 0.1 Histórico Em 1965, os americanos Cooley e Tukey publicam um artigo com um algoritmo para a Transformada de Fourier Rápida – FFT, trabalhando no setor de pesquisas da IBM O algoritmo de FFT incluindo sua aplicação recursiva foi inventado em 1805 pelo alemão Carl Friedrich Gauss Gauss não foi citado por Cooley e Turkey em seu artigo, mas foi descoberto anos mais tarde a cópia Hoje, existem inúmeras versões para o algoritmo de FFT: Prime-factor FFT algorithm Bruun's FFT algorithm Rader's FFT algorithm Bluestein's FFT algorithm O algoritmo para FFT, que é uma aproximação para a DFT, é implementado em ferramentas como o Matlab e o Octave Gauss, Johann Carl Friedrich 4
  5. 5. 0.2 Motivação e Aplicações Motivação: Aumenta o seu poder de análise sobre funções, analisamos uma função sobre dois domínios distintos o espaço e a freqüência Certos atributos de um fenômeno físico ou digital podem ser analisados com mais exatidão no domínio da freqüência Aplicações: Desenvolvedores de Circuitos Edição de Som Engenharia Espectrografia Cristalografia Foundations of Vision, Brian Wendell Comunicação e Sinais Digitais Departamento de Psicologia, Stanford Teoria do Calor Aumente a frequência das linhas até ver verde. Processamento de Imagens 5
  6. 6. 1.1 Fundamentos: Números Complexos Os números complexos são uma extensão dos números reais. E portanto podem ser escritos da seguinte forma: C(x,y) = R(x,y) + I(x,y), em que R(x,y) denota a parte real I(x,y) denota a parte imaginária A parte imaginária possui um componente j, tal que: Todo complexo possui seu conjugado de forma que: 6
  7. 7. 1.2 Fundamentos: Complexos: Forma Polar Os complexos podem ser expressos também em coordenadas polares: Em que, temos o módulo ou norma definida por: E o ângulo definido por: 7
  8. 8. 1.3 Fundamentos: Complexos: Gráfico Os complexos não podem ser representados no plano Cartesiano a não ser pelas suas normas. Plano Cartesiano, usando as normas Plano Complexo ou Plano de ao quadrado dos Complexos Argand (O espectro de energia: Power Spectrum) 8
  9. 9. 1.4 Fundamentos: Fórmula de Euler Fórmula de Euler: Como conseqüência temos que: Euler, Leonhard Paul E a identidade de Euler, considerada uma beldade da matemática: 9
  10. 10. 1.5 Fundamentos: Função de Impulso Função Delta de Dirac ou Impulso pode ser encarada como um distribuição, tal qual definida por Schwartz: Dirac, Paul 10
  11. 11. 1.6 Fundamentos: Função de Impulso - Propriedades f(x) é uma função qualquer Demonstração: 11
  12. 12. 1.7 Fundamentos: Trem de Impulsos(função de amostragem ou combinação de Dirac) Uma combinação de Dirac é uma distribuição de Schwartz periódica construída a partir de funções delta Dirac T é o período k varia de menos infinito a infinito 12
  13. 13. 1.8 Fundamentos: Convolução f(t) e h(t) são duas funções quaisquer “Gira e Desliza” 13
  14. 14. 1.9 Fundamentos: Teorema da Convolução O teorema determina que uma filtragem no domínio da freqüência é equivalente a uma convolução no domínio do tempo e vice-versa. h(t) e f(t) são duas funções quaisquer F(u) é a transformada de Fourier de f(t) H(u) é a transformada de Fourier de h(t) * Prova na página 210 do livro-texto. 14
  15. 15. 1.10 Fundamentos: Exemplo de Convolução 1D e Discreta Inverte-se w(x) e a desloca para alinhar-se com o 1º ponto de f(x), neste caso 0: w(-0) = 1 f(4)=0 w(0) = 1 f(0)=0 w(-1) = 2 f(5)=0 w(1) = 2 f(1)=0 w(-2) = 3 f(6)=0 w(2) = 3 f(2)=0 w(-3) = 2 f(7)=0 w(3) = 2 f(3)=1 w(-4) = 8 f(8)=0 w(4) = 8 g(x) é produto da convolução de w(x) e f(x): g(2) = w(2-0)*f(0) + w(2-1)*f(1) + w(2-2)*f(2) + w(2-3)*f(3) + w(2-4)*f(4) = 2 15
  16. 16. 1.11 Fundamentos: Teorema de Nyquist (ou Teorema da Amostragem) A reconstrução de uma função contínua limitada em [-B,B] é realizável desde que o número de amostras neste intervalo seja maior que 2*B. Isto é: Nyquist, Harry Theodor fs > 2*B fs é a quantidade de amostras por segundo. 16
  17. 17. 1.12 Fundamentos: Funções Pares e Impares • função par Exemplos: cosseno, |x|, x² • função ímpar Exemplos: seno, x³, 1/x 17
  18. 18. 1.13 Fundamentos: Trigonometria cos(A+B) = cosAcosB – senAsenB sen(A+B) = senAcosB + senBcosA cos²A + sen²A = 1 cos(t) = cos(t + 2π) sen(t) = sen(t + 2π) cosseno e seno são funções periódicas 18
  19. 19. 1.14 Fundamentos: Funções Periódicas Um função é dita periódica, se: T é o período da função Exemplos: sinc, seno e cosseno Relação entre período(T) e freqüência (f) 19
  20. 20. 1.15 Fundamentos: Oscilador Harmônico Simples O movimento de um OHS pode ser representado por uma senóide As únicas funções nos reais cujas derivadas segundas são elas próprias invertidas são o seno e o cosseno. 20
  21. 21. 1.16 Fundamentos: Oscilador Harmônico Simples O movimento de um OHS pode ser representado por uma senóide A : amplitude n: frequência α: ângulo de fase Vejamos os três conceitos isoladamente e como atuam na função. 21
  22. 22. 1.17 Fundamentos: Amplitude Determina a magnitude de oscilação da função ou sinal: sen(x) 4sen(x) 22
  23. 23. 1.18 Fundamentos: Freqüência Determina o número de repetições de um sinal ou função em um intervalo dado: sen(x) sen(2x) 23
  24. 24. 1.19 Fundamentos: Ângulo de Fase Determina um ângulo de início e fim para a emissão do sinal, isto é, um deslocamento na medição no sinal. sen(x) sen(x+0.5) 24
  25. 25. 1.20 Fundamentos: Somatórios de funções periódicas Somatórios de senóides e cossenóides: cos(x) + cos(3x) + cos(5x) sen(2x) + sen(4x) + sen(6x) cos(x) - cos(3x) + cos(5x) sen(2x) + sen(4x) + sen(6x) + cos(x) 25
  26. 26. 2. Série de Fourier É capaz de representar funções periódicas 26
  27. 27. 2.1 Exemplo de SF 27
  28. 28. 2.2 Gráfico de SF SF de coeficientes k em [0,2] SF de coeficientes k em [0,15] 28
  29. 29. 3. Transformada de Fourier Contínua É capaz de representar funções não periódicas. 29
  30. 30. 3.1 Exemplo de CFT A função quadrado, também chamada de Filtro Ideal de Baixa Freqüência, pode ser definida como: f(t) = A, tal que -W/2 <= t <= W/2. A transformada de Fourier desta função, F(u), é obtida como segue: 30
  31. 31. 3.2 Gráfico de CFT “É justo dizer que muitos Engenheiros Elétricos vêem a função sinc em seus sonhos” - prof Brad Osgood 31
  32. 32. 4. Transformada de Fourier Discreta 32
  33. 33. 4.1 Exemplo de DFT Transformada de Fourier: Todos os pontos da amostragem são usados para calcular cada ponto de sua Transformada e de sua Inversa Inversa da Transformada de Fourier: gráfico da função original 33
  34. 34. 4.2 Gráfico de DFT Função original Transformada da função 34
  35. 35. 5. Reconstrução de Imagens Os pontos de uma transformada são obtidos através de interpolação entre todos os pontos da amostragem da função. Uma baixa taxa de amostragem pode levar a conclusões errôneas 35
  36. 36. 6. Amostragem Transformada de Fourier Alta taxa de amostragem Taxa de amostragem crítica Baixa taxa de amostragem 36
  37. 37. 6. Amostragem Extração de um período usando filtro ideal: Baixa taxa de amostragem Alta taxa de amostragem (Alias) 37
  38. 38. 7. Aliasing Erro de amostragem. Jaggies é o nome popular dos artefatos gerados por aliasing. Em um sistema digital 96x48, imagens de mesma dimensão com quadrados: 16x16, 6x6, AxA e BxB em que A < 1 e B < 0.5. 38
  39. 39. 8. Interpolação Interpolação pelo vizinho mais Pontos amostrais próximo Interpolação Linear Interpolação Polinomial 39
  40. 40. 9. Padrões Moiré Padrões criados por sobreposição de outros padrões na imagem Padrão moiré em Imagens gerando padrão moiré Imagem de jornal 40
  41. 41. 10. Extensão para 2D Em Processamento Digital de Imagens trabalhamos com 2 Dimensões. Precisamos, portanto, de novas definições. Todas as definições que vimos até agora podem ser expandidas facilmente para o domínio 2D sem perca de generalidade. A imagem em si é vista como uma função de período M x N (M é a largura e N é a altura da imagem) 41
  42. 42. 10.1.1 CFT 2D 42
  43. 43. 10.1.2 Exemplo de CFT 2D 43
  44. 44. 10.1.3 Gráfico de CFT 2D 44
  45. 45. 10.2 Impulso 2D 45
  46. 46. 10.3 Trem de Impulsos 2D 46
  47. 47. 10.4 Convolução 2D 47
  48. 48. 10.5 DFT 2D Para um imagem f(x,y) de dimensões M x N, em que M é a largura e N é a altura, as transformadas podem ser obtidas por: 48
  49. 49. Propriedades da Transformada de Fourier Discreta 2D
  50. 50. 1. Relações Entre Intervalo Espacial e de Frequência • Supondo f(t,z) uma função contínua de uma amostra de uma imagem f(x,y) de tamanho MxN • ∆T e ∆Z é a distância entre as amostras 50
  51. 51. 1. Relações Entre Intervalo Espacial e de Frequência • A distância entre as amostras no domínio de frequência são inversamente proporcionais à distância espacial e o numero de amostras 1 1 ∆u= ∆ v=  N ∆ Z  M ∆T  51
  52. 52. 2. Translação e Rotação • Propriedades da Translação: j2  u0 x / M v 0 y / N  f x , ye ⇔ F u−u0 , v−v 0  − j2   x 0 u/ M  y 0 v / N  f  x−x 0 , y− y 0 ⇔ F u , v  e Multiplicando f(x,y) pelo exponencial, teríamos uma deslocação da origem da TFD para (u0,v0). Multiplicando F(u,v) pelo exponencial negativo, teríamos uma deslocação da origem da f(x,y) para (x0,y0). 52
  53. 53. 2. Translação e Rotação f  x−x 0 , y− y 0 ⇔?  M −1  N −1 f  x− x 0 , y− y 0  e− j2   xu / M  yv / N  F f  x− x 0 , y− y 0 =∑ x=0 ∑ y=0 Fazendo a=x-x0 e b=y-y0 x=a+x0 e y=b+y0  N −1 M −1 − j2  ux 0 / M vy 0 / N  F f  x−x 0 , y− y 0 =∑a=0 ∑b=0  f a , b e− j2  ua/ M vb/ N  e − j2   x 0 u / M  y 0 v / N  f  x−x 0 , y− y 0 ⇔ F u , ve 53
  54. 54. 2. Translação e Rotação • A Translação não tem efeito na magnitude(espectro) de F(u,v) • Usando coordenadas polares: x = rcosΘ y=rsenΘ u = wcosφ v=wsenφ f r , ΘΘ 0 ⇔ F w , φΘ 0  • Rotacionando f(x,y) em Θ, rotaciona F(u,v) no mesmo ângulo • Rotacionando F(u,v) rotaciona f(x,y) no mesmo ângulo 54
  55. 55. 3. Periodicidade • Como a Transformada de Fourier 2D é sempre periódica na direção u e v: F u , v =F u K 1 M , v = F u , vK 2 N =F u K 1 M , vK 2 N  f  x , y =f  xK 1 M , y =f x , y K 2 N =f  x K 1 M , yK 2 N  Onde K1 e K2 são inteiros 55
  56. 56. 3. Periodicidade • Pela Transformada 1D: • Vamos deslocar a origem para o ponto M/2, ou seja, u0=M/2 j2  u 0 x / M  f  xe ⇔ F u−u0  jx x e =−1 • Agora F(0) está no centro do intervalo [0,M-1] x f  x−1 ⇔ F u−M /2 56
  57. 57. 3. Periodicidade 57
  58. 58. 3. Periodicidade • Pela Transformada 2D: • Vamos deslocar a origem para o ponto (M/2,N/2), ou seja, (u0,v0)=(M/2,N/2) j2 u 0 x / M v 0 y / N  f  x , y e ⇔ F u−u 0 , v−v 0  j   x y   x y  e =−1  x y  f  x , y −1 ⇔ F u−M / 2 , v−N /2 • Agora F(0,0) está no centro do intervalo [0,M-1],[0,N-1] 58
  59. 59. 3. Periodicidade • No caso de 2D: 59
  60. 60. 4. Propriedades de Simetria • Qualquer função real ou complexa, w(x,y), pode ser escrita como um somatório de uma parte Par e Ímpar (cada qual pode ser real ou complexa) – w(x,y) = wp(x,y) + wi(x,y) • Onde: w  x , y −w −x ,− y  w  x , yw −x ,− y  w i  x , y≡ w p  x , y ≡ 2 2 60
  61. 61. 4. Propriedades de Simetria • Substituindo na formula vemos que: – wp(x,y) = wp(-x,-y) – wi(x,y) = -wi(-x,-y) • Funções Pares são chamadas Simétricas e funções Ímpares são chamadas Anti simétricas • Todos os índices da TFD e da sua inversa são positivos(em relação ao ponto central da sequência) 61
  62. 62. 4. Propriedades de Simetria • Para evitar os termos negativos: – wp(x,y) = wp(M-x,N-y) – wi(x,y) = -wi(M-x,N-y) • O produto de 2 funções pares é par. • O produto de 2 funções ímpares é par. • O produto de 1 função par e 1 ímpar é ímpar. • Na adição o único meio de uma função ser ímpar é o resultado ser 0  M −1  N −1 ∑ x=0 ∑ y=0 w p  x , y wi  x , y =0 62
  63. 63. 4. Propriedades de Simetria • Exemplo em 1D: – f = { f(0) f(1) f(2) f(3) } M=4 – ={ 2 1 1 1} • Condição para ser Par: f(x)=f(M-x), logo: – f(0)=f(4), f(2)=f(2), f(1)=f(3), f(3)=f(1) – f(4) está fora da área examinada – Para os outros ponto é válida a condição, logo, f é Par 63
  64. 64. 4. Propriedades de Simetria • Exemplo em 1D: – g = { g(0) g(1) g(2) g(3) } M=4 – ={ 0 -1 0 1} • Condição para ser Ímpar: g(x)=-g(M-x), logo: – g(0)=-g(4), g(2)=-g(2) – g(1)=-g(3), g(3)=-g(1) – g(4) está fora da área examinada – Para os outros ponto é válida a condição, logo, g é Ímpar 64
  65. 65. 4. Propriedades de Simetria • Nas funções Ímpares o termo central é sempre 0 • No caso de 2D: – A função é Ímpar – Ao adicionar um linha e coluna de zeros iremos ter um resultado nem Par nem Ímpar – Máscara de Sobel 65
  66. 66. 4. Propriedades de Simetria • O Conjugado Simétrico de uma função real, f(x,y), será: – F*(u,v) = F(-u,-v) • O Conjugado Anti Simétrico de uma função imaginária, f(x,y), será: – F*(-u,-v) = -F(u,v) 66
  67. 67. 4. Propriedades de Simetria * [∑ ]  M −1  N −1 ∑ y=0 f  x , y e − j2  ux / M vy / N  * F u , v =  x=0  M −1  N −1 j2  ux / M vy / N  F u , v =∑ x=0 ∑ y=0 f * * x , ye  M −1  N −1 F u , v =∑ x=0 ∑ y=0 f  x , y e − j2  −u x / M −v  y / N  * * F u , v =F −u ,−v  67
  68. 68. 4. Propriedades de Simetria 68
  69. 69. 5. Exemplo das Propriedades: • Na propriedade 3: – Parte real: {10 -2 -2 -2} - par – Parte imaginária: { 0 2 0 -2} - ímpar 69
  70. 70. 5. Exemplo das Propriedades: • Propriedade 6:  M −1  N −1 − j2  ux / M vy / N  ℑ{f −x ,− y}=∑ x=0 ∑ y=0 f −x ,− y e • Por causa de Periodicidade: – f(-x, -y) = f(M-x, N-y) – Fazendo: m=M-x e n=N-y M −1 N −1 − j2  u M −m/ M v  N−n/ N  ℑ{f −x ,− y}=∑m=0 ∑n=0 f m , ne M −1 N −1 ∑n=0 f m , ne− j2  u  M / M v N / N ∗e− j2  u−m/ M v −n/ N  ℑ {f −x ,− y }=∑m=0 j ∗−2u M / M v N / N  −2uv  e =−1 =1 70
  71. 71. 5. Exemplo das Propriedades:  M −1  N −1 j2  um / M vn/ N  ℑf −x ,− y =∑m=0 ∑n=0 f m , ne ℑf −x ,− y =F −u ,−v 71
  72. 72. 6. Espectro de Fourier e Ângulo de Fase • Como a Transformada de Fourier é Complexa em geral, nós podemos expressar ela na forma polar: j u , v  F u , v=∣F u , v∣e • Onde a Magnitude é: 2 2 1 /2 ∣F u , v∣= R u , v I u , v • A Magnitude é também chamada de de Espectro de Fourier ou Espectro da Frequência 72
  73. 73. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • O Ângulo Fase é: [ ] I u , v  u , v =arctan R u , v  • O arctan tem que ser computado nos quatro quadrantes para obtermos ângulos entre [-π,π] 73
  74. 74. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Ex: atan(1/1)=45°, atan(-1/-1)=45°, porém atan2(-1,-1)=135° 74
  75. 75. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Por ultimo a Intensidade do Espectro: 2 2 2 Pu , v=∣F u , v  =R u , v I u , v ∣ • A transformada de uma função real é o conjugado simétrico. Isso é, o Espectro é simétricamente par em relação a origem ∣F u , v∣=∣F −u ,−v  ∣ 75
  76. 76. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Ângulo Fase é simetricamente ímpar em relação a origem: u , v =−−u ,−v  • Sabendo que: M −1 N −1 F 0,0=∑x=0 ∑ y=0 f x , y − j2 ux/ M vy / N  − j2 0x / M 0y/ N  − j2 0 e =e =e =1 76
  77. 77. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Fazendo pela média de f(x,y): 1 M −1 N −1 ∑x=0 ∑y=0 F 0,0=MN f  x , y MN F 0,0=MN   x , y  f ∣F 0,0∣=MN ∣   x , y∣ f • F(0,0) é chamado de Componente DC da transformada • DC significa direct current 77
  78. 78. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Espectro de uma imagem: 78
  79. 79. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Para centralizar o espectro basta multiplicar a imagem por: x y −1 79
  80. 80. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Para aumentar os detalhes da imagem, vamos aplicar a Transformação log: 1log∣F  u , v∣ 80
  81. 81. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • O Espectro é insensível a Translações na imagem • Se a imagem for Rotacionada em um dado ângulo, o Espectro será rotacionado no mesmo angulo 81
  82. 82. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase 82
  83. 83. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Arrays dos Ângulos Fase: Imagem Imagem Imagem original transladada rotacionada 83
  84. 84. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Os componentes do Espectro da transformada determinam as amplitudes da senóides que combinam para formar a imagem • Uma pequena amplitude implica numa baixa senóide presente na imagem • Uma a grande amplitude implica num destaque na senóide de frequência na imagem 84
  85. 85. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase • Imagem normal • Ângulo Fase da imagem • Usando somente o ângulo fase na inversa da fórmula: j  u , v j u ,v F  u , v=∣F u , v  ⇒e ∣e 85
  86. 86. 6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase j u , v F  u , v=∣F u , v  ⇒∣F  u , v∣ ∣e • Usando somente o Espectro na inversa da fórmula: • Usando o Espectro do retângulo e o Ângulo Fase da mulher na inversa da fórmula • Usando o Espectro da mulher e o Ângulo Fase do retângulo na inversa da fórmula 86
  87. 87. 7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier 87
  88. 88. 7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier 88
  89. 89. 7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier Ver Tabela da Propriedades de Simetria 89
  90. 90. 7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier 90
  91. 91. Referências Bibliográficas • Weaver, Joseph - Applications of Discrete and Continuous Fourier Analysis – 1983 • Osgood, Brad – Lectures Notes for the Fourier Transforms and Applications • Sodré, Ulysses - Transformadas de Fourier 2003 • Gonzalez, Rafael & Woods, Richards - Digital Image Processing – 2008 • Wikipédia 91
  92. 92. Próxima aula • Bases da filtragem no domínio da frequência • Suzavização de imagens empregando filtro de domínio da frequência • Realce de imagens empregando filtro de domínio da frequência • Filtragem seletiva • Detalhes de implementação 92

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