Aula3 sistemas lineares - parte1

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Aula3 sistemas lineares - parte1

  1. 1. Resolução de Sistemas Lineares- Parte 1
  2. 2. • Exemplo 1: Problema da treliça• Treliça: estrutura composta de barras (metálicas ou de madeira) unidas por rótulas (nós) nas suas extremidades.• Determinar as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça. 2 4 4 8 6 12 8 1 5 9 13 16 7 11 3 15 1 2 6 10 14 17 10 Fh 3 5 7 9 Fh F1 F2 F3
  3. 3. • Forças que atuam na treliça: 17• O número de junções (j) está relacionado com o número de componentes da treliça (m): 2j-3 = m Neste caso: 2 (10) – 3 = 17• Logo, as componentes das forças são determinadas pelas condições de equilíbrio nas junções.
  4. 4. • Condições de equilíbrio:• Junção 2: ∑ Fx = −f1 cos 45° + f 4 + f5 cos 45° = 0        a a  ∑ Fx = −a f1 + f 4 + a f5 = 0  ∑ Fy = − a f1 − f3 − a f5 = 0 • Junção 3: ∑ Fx = − f 2 + f 6 = 0   ∑ Fy = f 3 − F1 = 0 
  5. 5. • Junção 4: ∑ Fx = − f 4 + f 8 = 0   ∑ Fy = − F7 = 0 • Junção 5: ∑ Fx = −a f 5 − f 6 + a f 9 + f 10 = 0   ∑ Fy = −a f 5 + f 7 + af 9 − F2 = 0 • Junção 6: ∑ Fx = − f 8 − a f 9 + f 12 + a f 13 = 0   ∑ Fy = −a f 9 − f 11 − a f 13 = 0 
  6. 6. • Junção 7: ∑ Fx = − f 10 + f 14 = 0   ∑ Fy =F11 = 0 • Junção 8: ∑ Fx = − f 12 + a f 16 = 0   ∑ Fy = −a f 15 − af 16 = 0 • Junção 9: ∑ Fx = −a f 13 − f 14 + f 17 = 0   ∑ Fy =a f 13 + f 15 − f 10 = 0 • Junção 10: {∑ Fx = −a f16 − f17 =0
  7. 7. Junção 10: {∑ F x = −a f 16 − f 17 = FhJunção 1: {∑ F x = −a f 1 − f 2 = −Fh Sistema linear com 17 variáveis ( f1 , f 2 , f 3 ,..., f 17 ) e 17 equações
  8. 8. Um sistema linear com m equações e n incógnitas pode ser escrito na forma: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n 2 2       a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bn coeficientes constantes variáveis a mn bn xn
  9. 9. Resolver o sistema linearCalcular os valores de x j ( j = 1, 2, ..., n) , caso existam, que satisfaçam as m equações.
  10. 10. • Notação matricial: AX = Bonde  a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2 n  A=       a a m 2  a mn   m1 é a matriz dos coeficientes.
  11. 11.  x1     x2  X =     x   né o vetor das variáveis  b1     b2  B=     b   né o vetor dos termos independentes
  12. 12. • Consideremos a situação de duas equações e de duas variáveis 2 x1 + x 2 = 3 1 solução única ∗ x =  1x1 − 3 x 2 = −2 retas concorrentes   2 x1 + x 2 = 3 infinitas soluções x ∗ =  α  ∀α ∈ ℜ   3 − 2α   4 x1 + 2 x 2 = 6 retas coincidentes   2 x1 + x 2 = 3 nenhuma solução4 x1 + 2 x 2 = 2 retas paralelas
  13. 13. Comentário 1: no caso geral de m equaçõese n variáveis também temos estas três situa- ções: solução única, infinitas soluções e ne-nhuma solução.Notação: x ∗ solução exata x solução aproximada
  14. 14. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES nxnMétodos Diretos: fornecem solução exata, amenos de arredondamentos e caso exista,após um número finito de operações.]Métodos Iterativos: geram uma seqüência devetores { x k } , dada aproximação inicial { x 0 } ,que converge para solução { x} , caso exista.
  15. 15. MÉTODOS DIRETOS Método de Cramer pertence a esta classe.Ax = b ⇒ A −1 Ax = A −1b ⇒ x = A −1b onde A −1 é a inversa de A • Para calcular o determinante de um sistema 20x20 temos 21x20!x19 multiplicações, mais este número de adições. • Um computador de 1GHz (109 operações por segundo) levaria 3X104 anos para calcular a solução deste sistema • Necessitamos de métodos mais eficientes!!!
  16. 16. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSS• O Método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.Sistemas equivalentes têm a mesma solução.Sistema linear triangular tem solução imediata.
  17. 17. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSSTeorema 1: Seja Ax = b um sistema linear. Aplicandosobre as equações deste uma seqüência de operaçõeselementares escolhidas entre:a) trocar a ordem das equações,b) multiplicar uma equação por constante,c) adicionar um multiplo de uma equação a outra; ~ ~obtemos um novo sistema A x = b equivalente.
  18. 18. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSS• Suponha Det A ≠ 0 . A eliminação e efetuada por colunas.• O elemento a11 é denominado pivô na primeira etapa. O elemento a 22 é o pivô da segunda etapa. O proces- so repete-se até termos um sistema linear triangular.• Os elementos mi1 = a1i a11 são os multiplicadores da primeira etapa. Para gerar os zeros da coluna 1 linha i, faça Li → Li − mi1 L1 na linha i. Repita o procso para a coluna 2.
  19. 19. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSSExemplo: seja o sistema linear 1 4 m 21 = , m31 =3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 3 3 3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 x1 + x 2 + 2 x3 = 2 (1 / 3) x 2 + ( 2 / 3) x3 = ( 5 / 3)4 x1 + 3x 2 − 2 x3 = 3 L2 → L2 − m 21 L1 L3 → L3 − m31 L1 (1 / 3) x 2 − ( 22 / 3) x3 = ( 5 / 3) 3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1  − 3   ( 1 / 3) x 2 + ( 2 / 3) x 3 = ( 5 / 3) x∗ =  5  1/ 3  0 m32 = 1/ 3 =1 − ( 24 / 3) x3 = 0  
  20. 20. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSSProblema: Pivô nulo ou próximo de zero!!!!Estratégia de pivoteamento parcial• No início de cada eliminação de Gauss, trocando as linhas, escolher para o pivô o maior a ij da coluna j.
  21. 21. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSSEstratégia de pivoteamento total• No início de cada eliminação de Gauss, escolher para o pivô o maior a ij entre todos elementos que atuam no processo de eliminação.• Problema: Muitas operações de comparação!!
  22. 22. MÉTODOS DIRETOS ELIMINAÇÃO DE GAUSS Pivoteamento Parcial X Pivoteamento total 3x1 + 2 x 2 + 1x3 − x 4 = 5 3x1 + 2 x 2 + 1x3 − x 4 = 5 0 x1 + 1x 2 + 0 x3 + 3x 4 = 6 parcial 0 x1 − 3x 2 − 5 x3 + 7 x 4 = 7 continuar0 x1 − 3x 2 − 5 x3 + 7 x 4 = 7 0 x1 + 1x 2 + 0 x3 + 3x 4 = 60 x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 = 15 0 x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 = 15 3x1 + 2 x 2 + 1x3 − x 4 = 5 3x1 + − x 4 + 1x3 + 2 x 2 = 5 0 x1 + 1x 2 + 0 x3 + 3x 4 = 6 total continuar 0 x1 + 7 x 4 + 5 x3 − 3x 2 = 7 0 x1 − 3x 2 − 5 x3 + 7 x 4 = 7 0 x1 + 3x 4 + 0 x3 + 1x 2 = 60 x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 = 15 0 x1 + 0 x 4 + 4 x3 + 2 x 2 = 15
  23. 23. MÉTODOS DIRETOS FATORAÇÃO LUSeja o sistema linear A x = b . Este processo defatoração consiste em decompor a matriz A emUm produto de dois ou mais fatores.Exemplo: Seja A = C D , então resolver A x = bÉ equivalente a resolver C y = b e depois Dx= y .
  24. 24. MÉTODOS DIRETOS FATORAÇÃO LUNa fatoração A = L U a matriz L étriangular inferior com diagonal unitáriae a matriz U é triangular superior.
  25. 25. MÉTODOS DIRETOS FATORAÇÃO LU Teorema da fatoração LUDada uma matriz quadrada nxn. Se Det A ≠ 0então existe uma única matriz triangular inferior L = mij , com diagonal principal unitária, e umaúnica matriz triangular superior U = u ij , taisque L U = A n , e det A = ∏ i =0 u ii
  26. 26. MÉTODOS DIRETOS FATORAÇÃO LUExemplo de fatoração LU. Considere3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1  3 2 4   x1 + x 2 + 2 x3 = 2 onde A =  1 1 24 x1 + 3x 2 − 2 x3 = 3  4 3 2  Do método de Gauss sem pivoteamento:
  27. 27. FATORAÇÃO LU  3 2 4 3 2 4   3 2 4       A =  1 1 2  0 1/ 3 2 / 3   1/ 3 1/ 3 2 / 3   4 3 2  0 1 / 3 − 10 / 3   4 / 3 1 / 3 − 10 / 3        No último passo foi acrescentados os multiplicadores mij Os multiplicadores são definidos como segue: da equação (linha) j subtraímos a equação (linha) i multiplicada por mij , de modo a escalonar a matriz A Continuando o processo:
  28. 28. FATORAÇÃO LU  3 2 4  3 2 4   3 2 4       A =  1 1 2  1/ 3 1/ 3 2 / 3   1 / 3 1 / 3 2 / 3  4 3 2  4 / 3 1 / 3 − 10 / 3  4/3 1 − 4        Assim, as matrizes L e U são  1 0 0 3 2 4      L =  1/ 3 1 0 U =  0 1 / 3 2 / 3 LU = A  4 / 3 1 1 0 0 − 4     
  29. 29. FATORAÇÃO LU Resolvendo o sistema A x = b por fatoração LU:3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 y1 = 1  1  L y =b   x1 + x 2 + 2 x3 = 2 1 / 3 y1 + y 2 = 2 y =  5 / 34 x1 + 3x 2 − 2 x3 = 3 4 / 3 y1 + y 2 + y 3 = 3  0    Continuando 3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1  − 3   U x= y 1 / 3 x 2 + 2 / 3 x3 = 5 / 3 x= 5   0 − 4 x3 = 0  
  30. 30. FATORAÇÃO LU + PIVOTEAMENTOFatoração LU com pivoteamento parcial.Fatoração LU com pivoteamento total.O pivoteamento pode ser implementado pormeio da matriz de permutação.Definição: Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz de permutação se pode ser obtida da matriz identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas).
  31. 31. FATORAÇÃO LU + PIVOTEAMENTO  0 1 0  Exemplo de matriz permutação P =  0 0 1   1 0 0    3 1 4  Seja A =  1 5 9   2 6 5    0 1 0  3 1 4  1 5 9      Note: P A =  0 0 1  •  1 5 9  =  2 6 5   1 0 0  2 6 5  3 1 4      
  32. 32. FATORAÇÃO DE CHOLESKYDefinição: Uma matriz quadrada A de ordem n édefinida positiva se x T A x > 0 ∀ x ∈ ℜ.nDefinição: A fatoração de Cholesky de uma matriz A ,simétrica positiva, é dada por A = G GT onde G : n × n ,com G uma matriz triangular inferior com elementos dadiagonal estritamente positivos.
  33. 33. FATORAÇÃO DE CHOLESKYDo teorema LU, temos A = L D U , onde D é umamatriz diagonal de ordem n. Ainda, se A for simétrica,então U = LT e a fatoração escreve-se como: A = L D LT = L D D LT onde d ii = d iiPortanto, G = L D
  34. 34. FATORAÇÃO DE CHOLESKY  16 − 4 12 − 4    − 4 2 −1 1 Considere a matriz A= 12 − 1 14 − 2     − 4 1 − 2 83   Calculando os fatores L U  16 − 4 12 − 4   1 −0 0 0  16 − 4 12 − 4         − 4 2 − 1 1   − 1/ 4 1 0 0  0 1 2 0  A= = • 12 − 1 14 − 2   3 / 4 2 1 0  0 0 1 1         − 4 1 − 2 83   − 1 / 4 0  0 1 1  0 0 81     
  35. 35. FATORAÇÃO DE CHOLESKY Calculando os fatores LD e L DU  16 − 4 12 − 4   1 −0 0 0  16 − 4 12 − 4         − 4 2 − 1 1   − 1/ 4 1 0 0  0 1 2 0  A= = • = LU 12 − 1 14 − 2   3 / 4 2 1 0  0 0 1 1         − 4 1 − 2 83   − 1 / 4 0  0 1 1  0 0 81       1 −0 0 0  16 0 0 0  1 − 1/ 4 3 / 4 − 1/ 4        − 1/ 4 1 0 0  0 1 0 0  0 1 2 0 A= • • = L D LT 3/ 4 2 1 0  0 0 1 0 0 0 1 1         − 1/ 4 0 1 1  0  0 0 0 81  0 0 1     
  36. 36. FATORAÇÃO DE CHOLESKY Enfim,  1 −0 0 0  4 0 0 0  4 0 0 0 1 − 1/ 4 3 / 4 − 1/ 4          − 1/ 4 1 0 0  0 1 0 0  0 1 0 0  0 1 2 0  TA= • • •  = L D DL 3/ 4 2 1 0  0 0 1 0  0 0 1 0  0 0 1 1          − 1/ 4 0 1 1 0 0 0 9  0  0 0 0 9  0 0 1        Ou ainda,  4 0 0 0  4 − 1 3 − 1     −1 1 0 0  0 1 2 0 T A=  • 0 0 =GG 3 2 1 0 1 1     −1 0 1 9  0 0 0 9    
  37. 37. FATORAÇÃO DE CHOLESKYTeorema da Fatoração de CholeskySe A é uma matriz simétrica positiva definida,então existe uma única matriz triangular inferiorG com diagonal estritamente positiva, tal que T A=GG
  38. 38. FATORAÇÃO DE CHOLESKYResolução de sistemas lineares é semelhanteao método LU. Seja A = G G T, então resolverA x = b é equivalente a resolver G y = b edepois G T x = y .
  39. 39. COMPARAÇÃO DOS MÉTODOSFatoração de Cholesky: Primeiro verificar se uma matriz simétrica é definida positiva. Em caso positivo, continuar com o método de Cholesky.O método de Cholesky requer aproximadamente a metade das operações necessárias para a fatoração LU, da ordem de n3/6 operações.

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