• Juan Marcos Femat Guerrero
• Fernanda Michelle Guerra Espinosa
• María Del Rocío Gómez Ramos
• Melissa Berenice Mojarro
• Rocío Viridiana Ortiz De Loera
• Cynthia Guadalupe R. Esparza Vázquez
• Mónica Triana Rodríguez
• Claudia Verónica Vázquez Vivero

 Históricamente la idea de la integral se halla
unida al calculo de áreas a través del teorema
fundamental del calculo, del que nos
ocuparemos posteriormente. Puede decirse que
la integral contiene información de tipo general
mientras que la derivada la contiene de tipo
local.
 El concepto operativo integral aquí desarrollado
se basa en la idea de << operación contraria a la
derivada>>, es decir, la antiderivada. Planteadas
así las cosas, se establece el calculo de la
integrales a través de la tabla de derivadas, de
forma que todo lo que no sea una derivada al
revés, no podrá ser hallado.

 Una superficie de revolución se forma cuando una curva se
hace girar alrededor de una línea.
 Queremos definir el área de una superficie de revolución
de tal manera que corresponde a nuestra intuición. Si la
superficie es, podemos imaginar que la pintura de la
superficie se requieren la misma cantidad de pintura como
lo hace una región plana con área.
 ¿Qué pasa con las superficies más complicadas de la
revolución? Si seguimos la estrategia que utiliza con la
longitud de arco, podemos aproximar la curva original de
un polígono. Cuando este polígono se hace girar alrededor
de un eje, se crea una superficie más sencilla cuya
superficie se aproxima a la área superficial real. Al
adoptar un límite, podemos determinar la superficie
exacta.

Algunos tipos de superficies generadas:
• Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la
rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor
del mismo; esta superficie determina un volumen denominado
cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el
eje y la recta se denomina radio.
• Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación
de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto,
llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la
generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al
volumen denominado cono.
• Una superficie de revolución esférica está generada por la
rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra
al sólido de revolución llamado esfera.
• Una superficie de revolución toroidal está generada por la
rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la
interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
Área de una superficie de revolución
El área de una superficie de revolución es aquella superficie
obtenida mediante la rotación de una curva definida C alrededor de
un eje.

Si tenemos una función f : [a, b] −→ R derivable con
continuidad en (a, b), el área de la superficie que genera
cuando gira 360° alrededor del eje horizontal, viene
dado por la integral:
2π ∫ba|f(x)|√1+[f [ (x)]2dx
El trabajo con Máxima se reduce a calcular la integral
que aparece. Pero aquí hay quehacer un estudio del signo
de f, pues aparece un valor absoluto en la integral.
NOTA:
Si lo que gira es una región limitada por dos curvas, tanto
en el volumen como en el área, debemos considerar la
diferencia de los volúmenes o la suma áreas que genera
cada función.

 Ejemplo 1
Dada la funcion en los puntos (1,1) y (2,4) que
rota alrededor del eje y. Calcule el area de
la superficie generada.
tenemos:

 Cambio a y b por la funcion dentro de la
longitud de arco, y

 Ejemplo 2
El arco de la parabola: se hace girar en torno
del eje de (1,1) a (2,4). Calcule el area de la
superficie resultante.
Solución: Empleamos:
&
Debido a que gira entorno del eje el area de superficie esta dada por:
En este caso:
Proponemos: &
sustituimos:

EJEMPLO 3
La curva , , es un arco del círculo
.
Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".
entonces, sabemos que y' sería;
entonces nos queda que;

EJEMPLO 4
Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en
el eje X.
=>
Entonces:
Hacemos las respectivas sustituciones: Simplificamos;
y
Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:

 Los sólidos de revolución son sólidos que se
generan al girar una región plana alrededor
de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido
que resulta al girar un triángulo recto
alrededor de uno de sus catetos, el cilindro
surge al girar un rectángulo alrededor de uno
de sus lados.
 Sea f una función continua y positiva en el
intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la
figura rota alrededor del eje X, está genera
un sólido de revolución cuyo volumen
tratamos de determinar.

 El volumen de los sólidos generados por
revolución alrededor de los ejes cartesianos
se pueden obtener mediante las siguientes
ecuaciones.
 Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)
 El volumen de un sólido generado por el giro
de un área comprendida entre dos gráficas,
f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b]
alrededor de un eje horizontal, es decir, un
recta paralela al eje OX de expresión y=K
siendo K constante, viene dado por la
siguiente fórmula .

 Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
 Suponga que se tiene una región plana y que
se la hace girar 360º con respecto a un
determinado eje, esta situación provoca que
se genere lo que se llama SÖLIDO DE
REVOLUCIÓN.
 En primera instancia generalicemos 3
situaciones que se presentan.

 CASO I. Suponga que se tiene una región
plana simple-x, como la que se muestra en
la figura. Al girar la región con respecto al
eje "x" se formará un sólido de revolución:

 El volumen de este sólido de revolución se lo
puede calcular de la
 siguiente manera:
 Primero: se determina el volumen del sólido
diferencial que se forma
 al girar el elemento diferencial
representativo en torno al eje indicado.

 Observe que lo anterior también se lo puede
ver como que se
 rebana el sólido y se determina el volumen
de una partición. En este
 caso el sólido diferencial tiene la forma un
DISCO, por tanto su
 volumen está dado por:
 Segundo: El volumen de todo el sólido es una
suma infinita de los
 volúmenes de las particiones, es decir:

 CASO II. Suponga ahora que la región plana
fuese como la que
 se sombrea en la figura. Al girar la región
alrededor del eje "x" se genera
 un sólido de revolución de la siguiente
forma:

 Primero: El sólido diferencial que se genera
al rotar el elemento diferencial alrededor del
eje "x", para cada partición tiene la forma
de un ANILLO

 El
volumen del sólido diferencial estaría dado
por:
 Segundo: EL volumen total del sólido que se
genera al girar la región plana alrededor del
eje "x", estaría dado por:

 Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la
parábola
Las secciones transversales perpendiculares al
eje son triángulos equiláteros; encontrar
el volumen del sólido.
 La base del triángulo será Por ser el
triángulo equilátero

 El
área de un triángulo es
y la sección transversal tiene un volumen
para lo cual va de 0 a 4 ,
con lo cual

 Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de
base rectangular de dimensiones 2a y a y de altura h.
 Se podría tomar el origen del sistema en el centro del
rectángulo, la altura se mide sobre el eje y con lo
cual las secciones tranversales perpendiculares esta
vez al eje y son rectángulos de lados 2x y x el volumen
de una tajada tomada así es Para
poder expresar x en términos de y se usa semejanza
de triangulos donde:

 quecorresponde a la fórmula geométrica
Area de la base)(altura)
También se pude tomar el vértice de la
pirámide en el origen , la altura medida
sobre el eje x , el centro de los rectángulos
queda sobre el eje x y las secciones
perpendiculares al eje x son
rectángulos de lados 2y y y el volumen de una
sección transversal es

 Paraexpresar en términos de y , x se usan
triángulos semejantes con lo cual
 Ejemplo 3: Las secciones transversales de
cierto sólido por planos perpendiculares al
eje y son semicírculos con diámetros que van
desde la curva hasta la curva
el sólido está entre los puntos de
intersección de las dos curvas; encontrar el
volumen.

 Puntosde intersección :
los puntos son (4,2)y (4,-2) Como las secciones
transversales son perpendiculares al eje y un
elemento de volumen estará dado por
El diámetro de cada semicírculo será
el radio entonces
Con lo cual