Rangkuman materi mata pelajaran IPA kelas XI semester genap mencakup materi suku banyak, fungsi komposisi dan invers, limit fungsi, serta turunan fungsi dan aplikasinya.

1. RANGKUMAN MATERI
KELAS XI IPA SEMESTER GENAP
an x n an 1 x n 1
... a1 x a 0
SUKU BANYAK
1 1 1
( f  g) g f
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
LIMIT FUNGSI
d du
(sin u ) cosu
dx dx
TURUNAN FUNGSI DAN APLIKASINYA

2. SUKU BANYAK
A. Pengertian Suku Banyak
1. Bentuk Umum Suku Banyak berderajat n dalam variable x adalah
an x n an 1 x n 1
... a1 x a 0
2. Jika p1 x adalah suku banyak berderajat m dan p 2 x adalah suku banyak berderajat n,
maka:
a. p1 x p 2 x memiliki derajat m (jika m>n) atau n (jika n>m)
b. p1 x p 2 x memiliki derajat m (jika m>n) atau n (jika n>m)
c. p1 x p 2 x memiliki derajat m+n
d. p1 x : p 2 x memiliki derajat m – n (jika m > n)
B. Nilai Suku Banyak
1. cara subtitusi:
Nilai suku banyak f(x) untuk x = k atau f ( x) an x n an 1 x n 1
... a1 x a0 diperoleh
f (k ) a n k n a n 1 k n 1 ... a1 k a 0
2. Cara skema Horner
3
Missal f ( x) ax 3 bx 2 cx d maka f (k ) ak bk 2 ck d
ak 3 bk 2 ck d (ak 2 bk c)k d
((ak b)k c)k d
Langkah tersebut dapat ditunjukan dengan skema horner.
k a b c d
2 3
ak ak bk ak bk 2 ck
+
a ak b ak 2 bk c ak 3 bk 2 ck d
{nilai dari f (k ) }
C. Pembagian Suku Banyak
1. Pembagian suku banyak oleh x k
Suku banyak f ( x) ax 3 bx 2 cx d dibagi oleh x k
k a b c d
2 3
ak ak bk ak bk 2 ck
+
a ak b ak 2 bk c ak 3 bk 2 ck d
Koefisien-koefisien hasil bagi f (k ) =sisa pembagian
Jadi, ax bx cx d ( x k )( ax (ak b) x (ak 2 bk c)) (ak 3 bk 2
3 2 2
ck d)
2. Pembagian suku banyak oleh ax b
Jika f(x) dibagi oleh ax b maka akan diperoleh:
f x ax b h x s
b
x ahx s
a
b
x ah x s
a
b
x H x s, dengan H x ah x
a
Koefisien H x dan sisa pembagian dapat diperoleh dengan cara Horner seperti pada
b
pembagian suku banyak oleh x k dengan k
a
Rangkuman materi XI A 2 2
phie_alphie@yahoo.com

3. 3. Pembagian suku banyak oleh suku banyak derajat dua ( ax 2 bx c )
a. Metode Horner, jika ax 2 bx c dapat difaktorkan
b. Pembagian Biasa
f ( x) ( x k1 )[(x k 2 )h( x) s 2 ] s1
( x k1 )(x k 2 )h( x) ( x k 2 ) s 2 s1
h( x )
a( x k1 )(x k 2 ) ( x k 2 ) s 2 s1
a
h( x )
(ax 2 bx c) s 2 x s1 s 2 k1
a
D. Teorema Sisa
Jika suku banyak f (x) dibagi x k , maka sisanya adalah f (k )
b
1. Sisa pembagian suku banyak f (x) oleh ax b adalah f
a
x b x a
2. Sisa Pembagian suku banyak f (x) oleh x a x b adalah s f (a) f (b)
a b b a
E. Teorema Faktor
Suku banyak f (x) mempunyai factor x k jika dan hanya jika f (k ) 0 ; k disebut juga akar
dari f (x) .
Rangkuman materi XI A 2 3
phie_alphie@yahoo.com

4. FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
A. Fungsi dan Sifatnya
1. Fungsi Konstan
f (x) bilangan tetap (konstanta)
2. Fungsi Identitas
Fungsi yang mengawankan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri.
f ( x) x
3. Fungsi Modulus (mutlak)
f ( x) x
x, untuk x 0
x
x, untuk x 0
4. Fungsi Genap f ( x) f ( x)
Fungsi Ganjil f ( x) f ( x)
5. Fungsi Linear
f ( x) ax b
6. Fungsi Kuadrat
f ( x) ax 2 bx c
B. Aljabar Fungsi
1. Jumlah dan selisih dua fungsi
f g x f ( x) g ( x)
f g x f ( x) g ( x)
2. Perkalian dua fungsi
f g x f ( x) g ( x)
3. Pembagian sebuah fungsi dengan fungsi yang lain
f f ( x)
x
g g ( x)
C. Fungsi Komposisi
1. ( f  g ) ( g  f )
2. ( f  ( g  h)) (( f  g )  h)
3. ( f  I ) ( I  f ); I adalah fungsiidentitas
D. Fungsi Invers
1. Misalkan fungsi f : X Y . jika f ( x) y untuk setiap x X , maka f 1 ( y ) adalah invers
f (x) apabila f 1 ( y ) x .
2. Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers siatu fungsi juga merupakan
fungsi, invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.
3. Syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi invers adlah sb:
Fungsi f mempunyai fungsi invers f 1 jika dan hanya jika f fungsi bijektif (korespondensi
satu-satu). Daerah hasil f adalah daerah asal f 1 dan daerah asal f daerah hasil f 1 .
4. Dalam menentukan fungsi invers f 1 suatu fungsi f , maka f harus terdefinisi agar nilai y,
yaitu peta dari x oleh f , ada.
E. Invers dari Fungsi Komposisi
1. h ( f  g ) , maka h 1 ( f  g ) 1
2. ( f  g ) 1 g 1  f 1
3. ( f  g  h) 1 h 1  g 1  f 1
Rangkuman materi XI A 2 4
phie_alphie@yahoo.com

5. LIMIT FUNGSI
A. Teorema Limit
Jika f (x) dan g (x) adalah fungsi dan k konstanta maka:
1. lim k k
x a
2. lim( f ( x)
x a
g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a x a
3. lim( f ( x)
x a
g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a x a
4. lim( f ( x)
x a
g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a x a
f ( x) lim f ( x)
x a
5. lim ; lim g ( x) 0
x a g ( x) lim g ( x)
x a
x a
6. limkf ( x)
x a
k lim f ( x); k konstanta
x a
n
n
7. lim f ( x) lim f ( x) ; dengan n bilangan bulat positif
x a x a
8. lim
x a
n f ( x) n lim f ( x) ; dengan lim f ( x)
x a x a
0
B. Limit Fungsi Aljabar
Menentukan Nilai Limit fungsi aljabar
1. Limit fungsi f : x f ( x) untuk x a
a. Substitusi Langsung
b. Faktorisasi
c. Merasionalkan bentuk akar
2. Limit fungsi f : x f ( x) untuk x
1
Jika n bilangan bulat positif, lim n 0
x x
m m 1
ax bx ... c
3. lim n n 1
L
x px qx ... r
a. Jika m n, L 0
a
b. Jika m n, L
p
c. Jika m n, L
C. Limit Fungsi Trigonometri
sin x
1. lim 1
x 0 x
tan x
2. lim 1
x 0 x
sin ax ax a
3. lim lim sin bx b
x 0 bx x 0
tan ax ax a
4. lim lim tan bx b
x 0 bx x 0
sin ax tan ax a
5. lim lim tan bx b
x 0 sin bx x 0
Rangkuman materi XI A 2 5
phie_alphie@yahoo.com

6. TURUNAN FUNGSI DAN APLIKASINYA
A. Turunan Fungsi Aljabar
f ( x h) f ( x )
1. lim
h 0 h
f ( a h) f ( a )
f ' (a) lim
h 0 h
2. Notasi Leibniz
dy df y f (x x) f ( x) f ( x h) f ( x)
Jika y f ( x), y '
dx dx Lim x
x 0
Lim
x 0 x Lim
h 0 h
3. Rumus Turunan Fungsi Aljabar
f ( x) x n
f ' ( x) nx n 1
4. Rumus Turunan Fungsi
a. f ( x) u( x) v( x)
f ' ( x) u ' ( x) v' ( x)
b. f ( x) c u( x), dengan c suatu konstanta
f ' ( x) c u ' ( x)
c. f ( x) u( x) v( x)
f ' ( x) u ' ( x ) v ( x) u ( x ) v' ( x )
u( x
d. f ( x)
v( x)
u ' v uv'
f ' ( x) , dengan v 0
v2
B. Persamaan Garis Singgung pad Kurva
y f ( a h) f (a)
Gradien garis singgung PQ adalah mPQ . Jika nilai h semakin kecil
x h
f ( a h) f (a)
( h mendekati nol) maka garis PQ mendekati garis g, yaitu m g lim
h 0 h
.
1. Gradien garis singgung pada kurva y f (x) di titik P(a, f (a))
f ( a h) f ( a )
adalah m f ' (a) lim
h 0 h
2. Persamaan garis singgung di titik (a,b) pada kurva y f (x) adalah y b f ' (a)(x a)
C. Turunan Fungsi Trigonometri
d du
1. (sin u ) cosu
dx dx
d du
2. (cosu ) sin u
dx dx
d du
3. (tan u ) sec2 u
dx dx
D. Grafik Fungsi Aljabar
1. Pengertian fungsi naik dan fungsi turun
a. Jika x1 dan x 2 dalam fungsi memenuhi a x1 x2 b didapat f ( x1 ) f ( x2 ) , fungsi
dikatakan naik.
b. Jika x1 dan x 2 dalam fungsi memenuhi a x1 x2 b didapat f ( x1 ) f ( x2 ) , fungsi
dikatakan turun.
Rangkuman materi XI A 2 6
phie_alphie@yahoo.com

7. 2. Suatu fungsi kontinu f (x) dalam suatu interval tertentu dikatakan:
a. Fungsi naik jika f ' ( x) 0
b. Fungsi turun jika f ' ( x) 0
3. Nilai stasioner
a. Jika f ' (a ) 0, f ' (a ) 0 f (a) merupakan nilai maksimum.
b. Jika f ' (a ) 0, f ' (a ) 0 f (a) merupakan nilai minimum.
c. Jika f ' (a ) 0, f ' (a ) 0 f (a) merupakan titik belok.
d. Jika f ' (a ) 0, f ' (a ) 0 f (a) merupakan titik belok.
4. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup.
a. Nilai maksimum dan minimum fungsi f dalam suatu interval tertutup belum tentu sama
dengan nilai balik maksimum atau minimum.
b. Nilai maksimum dan minimum fungsi f dalam interval tertutup dapat diperoleh dari dua
kemungkinan, yaitu nilai-nilai stasioner fungsi f atau nilai fungsi pada ujung-ujung
interval tertutup itu.
5. Menggambar grafik fungsi aljabar
a. Menentukan titik potong grafik
b. Menentukan titik stasioner dan jenisnya; titik balik maksimum/minimum, titik belok
stasioner.
c. Menentukan nilai y untuk x besar positif dan x besar negative.
E. Turunan kedua Suatu Fungsi
Turunan kedua digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
1. y f (x) mempunyai nilai maksimum di x a , jika f ' (a) 0 dan f ' ' (a) 0
2. y f (x) mempunyai nilai minimum di x b , jika f ' (b) 0 dan f ' ' (b) 0
3. y f (x) mempunyai nilai titik belok di x c (naik belok), jika f ' (c) 0 , f ' (c ) 0 dan
f ' ' (c) 0
4. y f (x) mempunyai nilai titik belok di x d (turun belok), jika f ' (d ) 0 , f ' (d ) 0 dan
f ' ' (d ) 0
Rangkuman materi XI A 2 7
phie_alphie@yahoo.com