2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban

Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác

BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG

1. K H A I T R I Ể N N HỊ TH Ứ C N E W T O N

( a + b ) n = Cn a n + Cn a n −1b + ... + Cn a n −k b k + ... + Cn −1ab n −1 + Cn b n
0 1 k n n

k n!
trong đó Cn = và m! = 1.2.... ( m − 1) m với qui ước 0! = 1
k !( n − k ) !

2. C Á C CÔ N G T HỨ C N G UY Ê N H À M L Ư Ợ N G G I Á C

1 1
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c
dx 1 dx 1
∫ cos 2
= tg ( ax + b ) + c
( ax + b ) a ∫ sin 2
( ax + b )
= − cotg ( ax + b ) + c
a

B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN

∫
I. Dạng 1: A1.1 = ( sinx ) dx ; A1.2 ( cosx ) dx ∫
n n

1. Công thức hạ bậc

1 − cos 2 x 1 + cos 2 x − sin 3x + 3 sin x cos 3x + 3 cos x
sin 2 x = ; cos 2 x = ; sin3 x = ; cos 3 x =
2 2 4 4
2. Phương pháp

2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.

2.3. Nếu 3 ≤ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi:

dx = ( sin x ) sin xdx = − ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x )
p
∫
A1.1 = ( sinx ) dx = ( sinx ) ∫ ∫ ∫
n 2p+1 2p

= −  Cp − Cp cos x + ... + ( − 1) C p ( cos x ) + ... + ( − 1) C p ( cos x )  d ( cos x )
 0 k p

∫
1 2 k k 2 p p 2
 

 0 1 1 ( − 1) k k 2k +1 ( − 1) p p 2p +1 
Cp ( cos x ) C p ( cos x )
3
= −  Cp cos x − C p cos x + ... + + ... + +c

 3 2k + 1 2p + 1 


25

∫ ( 1 − sin x ) d ( sin x )
p
∫
A1.2 = ( cosx ) dx = ( cosx ) ∫
dx = ( cos x ) cos xdx = ∫
n 2p+1 2p 2

= C0 − C1 sin 2 x + ... + ( −1) Cp ( sin 2 x ) + ... + ( −1) C p ( sin 2 x )  d ( sin x )
k p
∫
k k p p
 p p 

 1 ( −1) k k 2k +1 ( −1) p p 2p +1 
=  C0 sin x − C1 sin 3 x + ... +
p p C p ( sin x ) + ... + C p ( sin x ) +c
 3 2k + 1 2p + 1 
3
 1 + cos 2 x 
∫ ( cos x ) dx = ∫ 
3
∫
• A1 = cos 6 xdx = 2
÷ dx
 2 

∫ ( 1 + 3cos 2x + 3cos 2x + cos 2x ) dx
1
( 1 + cos 2x ) 3 dx = 1
∫
2 3
=
4 4
1  3 ( 1 + 2 cos 4x ) cos 3x + 3cos x 
=
4  ∫
1 + 3cos 2x +
2
+
4
÷dx

1  1 
=  7x + 6 sin 2x + 3sin 4x + sin 3x + 3sin x ÷ + c
16  3 
1
∫ ( 1 − cos 5 x ) d ( cos 5 x )
4
∫ ∫
• A2 = ( sin5x ) dx = ( sin 5 x ) ( sin 5 x ) dx = −
9 8 2
5

∫ [ 1 − 4 cos 5x + 6 cos 5x − 4 cos 5x + cos 5x ] d ( cos 5x )
1 2 4 6 8
=−
5
1 4 3 6 5 4 7 1 9 
= −  cos 5x − cos 5x + cos 5x − cos 5x + cos 5x ÷ + c
5 3 5 7 9 

∫
m n
II. Dạng 2: B = sin x cos x dx (m, n∈N)

1. Phương pháp:

1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

dx = ( sin x ) ( cos x ) cos xdx = ( sin x ) ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x )
p
∫
B = ( sinx ) ( cosx ) ∫ ∫
m 2p+1 m 2p m

= ( sin x )  Cp − Cp sin x + ... + ( − 1) Cp ( sin x ) + ... + ( −1) Cp ( sin x )  d ( sin x ) =
m  0 k p

∫
1 2 k k 2 p p 2
 
 0 ( sin x ) m +1 1 ( sin x )
m+ 3
( ) 2k +1+ m ( ) 2p +1+ m 
 Cp − Cp + ... + ( −1) k C k sin x
p
+ ... + ( −1) p C p sin x
p +c

 m +1 m+3 2k + 1 + m 2p + 1 + m  
c. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

26


( cosx ) n dx = ( cos x ) n ( sin x ) 2 p sin xdx = − ( cos x ) n ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x )
p
∫
B = ( sinx ) ∫ ∫
2p+1

= − ( cos x )  C p − C p cos x + ... + ( −1) C p ( cos x ) + ... + ( −1) C p ( cos x )  d ( cos x ) =
n 0 k p

∫
1 2 k k 2 p p 2
 
 0 ( cos x ) n +1 1 ( cos x )
n+3
k k ( cos x )
2k +1+ n
p p ( cos x )
2p +1+ n

−  Cp − Cp + ... + ( − 1) C p + ... + ( − 1) C p +c

 n +1 n+3 2k + 1 + n 2p + 1 + n  
d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có:
n −1 m −1
B = sin m x cos n xdx = ( sin x ) ( cos 2 x )
∫ ∫ cos xdx = u m ( 1 − u 2 )
∫
m
2 2 du (*)

m +1 n −1 m + k
• Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số ; ; là số nguyên
2 2 2

2. Các bài tập mẫu minh họa

1
∫
• B1 = ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫
( sin 2 x ) 2 ( cos x ) 2 dx
2 4

4
1 1
=
16 ∫ ( 1 − cos 4x ) ( 1 + cos 2x ) dx = 16 ∫ ( 1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4x ) dx
1  1 
=
16 ∫ 1 + cos 2x − cos 4x − 2 ( cos 6x + cos 2x )  dx
 
1 1  sin 2x sin 4x sin 6x 
=
32 ∫ ( 2 + cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x ) dx = 32  2x +
 2
−
2
−
6 
÷+ c

∫ ∫
• B2 = ( sin5x ) ( cos5x ) dx = ( cos 5 x ) ( sin 5 x ) sin 5 x dx
9 111 111 8

−1
( cos 5x ) 111 ( 1 − cos 2 5x ) d ( cos 5x )
4
=
5 ∫
1
( cos 5x ) 111 ( 1 − 4 cos 2 5x + 6 cos 4 5x − 4 cos 6 5x + cos 8 5x ) d ( cos 5x )
=−
5 ∫
1  ( cos 5x ) 4 ( cos 5x ) 6 ( cos 5x ) 4 ( cos 5x ) ( cos 5x ) 120 
112 114 116 118
=−  − + − + +c
5  112 114 116 118 120 
( sin3x ) 7 −4
−1 −4
( cos3x ) 5 ( 1 − cos 2 3x ) d ( cos3 x )
3
∫ ∫
dx = ( cos3x ) 5 ( sin3 x ) sin3 xdx = ∫
6
• B3 = 5
cos 4 3x 3
−4
−1
( cos 3x ) 5 ( 1 − 3cos 2 3x + 3cos 4 3x − cos 6 3x ) d ( cos 3x )
=
3 ∫
−1  1 15 11 15 21 5 31 
= 5 ( cos 3x ) − 11 ( cos 3x ) + 21 ( cos 3x ) − 31 ( cos 3x )  + c
5 5 5 5
3  
27

3
dx dx 1  1  dx
B4 = ∫ ( sinx ) = ∫ = ∫  ÷
• ( cosx ) 5
( cos xx )
3 3
sin tg 3 x  cos 2 x  cos 2 x
cos8 x

( 1 + tg x )
3
2 2 4 6
1 + 3 tg x + 3 tg x + tg x
= ∫ d ( tg x ) = ∫ d ( tg x )
( tg x ) 3 tg x
3

 3 3  −1 3 2 1 4
=  ( tg x ) +
−3
∫ + 3 tg x + tg x  d ( tg x ) = 2
+ 3ln tg x + tg x + tg x + c
 tg x  2 tg x 2 4

dx cos xdx ( 1 − sin 4 x ) + sin 4 x d ( sin x )
• B5 = ∫ sin4 xcosx ∫ sin 4 x cos2 x ∫ sin 4 x ( 1 − sin 2 x ) ∫ sin 4 x ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x )
= = =

d ( sinx )
2
1 + sin x −1 1 1 1 + sin x
= ∫ sin x
4
d ( sin x ) + ∫ 1 − sin 2
x
=
3 ( sin x )
3
− + ln
sin x 2 1 − sin x
+c

−5 −1 −5 −4
dx
• B6 = ∫ 3
sin5 xcosx
∫
= ( sin x ) 3 ( cos x ) 3
∫
dx = ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 cos x dx

−2
−5 −2
−3  1 − u 3
−5 −4 2

∫
= ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 d ( sin x ) = u ∫
3 (1 − u ) 2 3
∫
du = u  2
 ÷ du
÷
 u 
13 13
1 − u2  1 − u2   cos 2 x  −2
Đặt = v3 ⇒ −2u −3 du = 3v 2 dv ; v =  2
 ÷ =
÷  ÷ = ( tg x ) 3
÷
u2  u 
2
 sin x 
−2
 2
3 −2
⇒ B = u −3  1 − u −3 3 3
dv = − v + c = − ( tg x ) 3 + c
6  2
 u
∫ ÷ du =
÷
 2 2 2 ∫
−5 −2
1 dx 3
B7 = ∫ × 2 = ∫ ( tg x ) 3 d ( tg x ) = − ( tg x ) 3 +c
( )
Cách 2: sin x
5
cos x 2
3
cos x

∫ ( tg x ) ∫ ( cotg x )
n n
III. Dạng 3: C 3 . 1 = dx ; C 3 . 2 = dx (n∈N)

1. Công thức sử dụng

dx
∫ ( 1 + tg x ) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tg x ) = tg x + c
2
• 2

dx
∫ ( 1 + cotg x ) dx = −∫ sin x = −∫ d ( cotg x ) = − cotg x + c
2
• 2

d ( cos x )
sin x
• ∫ tg xdx = ∫ cos x dx = −∫ cos x
= − ln cos x + c

cos x d ( sin x )
• ∫ cotg xdx =
sin x
dx = ∫
sin x
= ln sin x + c ∫
28


2. Các bài tập mẫu minh họa

• C1 = ∫ ( tgx )
2k
dx = ∫ ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) − ( tg x ) 2k − 4 ( 1 + tg 2 x ) + ( tg x ) 2k − 6 ( 1 + tg 2 x ) −
2k − 2

− ( tg x )
2k − 8
( 1 + tg 2 x ) + ... + ( −1) k −1 ( tg x ) 0 ( 1 + tg 2 x ) + ( −1) k  dx


= ( tg x )
∫ − ( tg x ) + ( tg x ) − ... + ( −1) ( tg x )  d ( tg x ) + ( −1) dx
2k − 2 2k − 4 2k − 6 k −1
∫
0 k
 

( tg x ) 2k −1 ( tg x ) 2k −3 ( tg x ) 2k −5 k −1 tg x ( ) k
= − + − × ×+ ( −1)
× + −1 x + c
2k − 1 2k − 3 2k − 5 1

• C2 = ∫ ( tgx )
2k+1
dx = ∫ ( tg x )
2 k −1
( 1 + tg 2 x ) − ( tg x ) 2 k −3 ( 1 + tg 2 x ) +
+ ( tg x )
2k − 5
( 1 + tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) + ( −1) k tg x  dx


= ( tg x ) − ( tg x ) + ( tg x ) − ... + ( −1) ( tg x )  d ( tg x ) + ( −1) tg xdx
k −1
∫ ∫
2k −1 2k − 3 2k −5 k
 

( tg x ) 2k ( tg x ) 2k −2 ( tg x ) 2k − 4 k −1 ( tg x ) 2 ( ) k
= − + − ×××+ ( −1) − −1 ln cos x +c
2k 2k − 2 2k − 4 2

• C3 = ∫ ( cotgx )
2k
dx = ∫ ( cotg x )
2k −2
( 1 + co tg 2 x ) − ( cotg x ) 2k −4 ( 1 + co tg 2 x ) +
+ ( cotg x )
2k − 6
( 1 + co tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( cotg x ) 0 ( 1 + co tg 2 x ) + ( −1) k  dx


= − ( cotg x )
∫ − ( cotg x ) + ... + ( −1) ( cotg x )  d ( cotg x ) + ( −1) dx ∫
2k − 2 2k − 4 k −1 0 k
 
 ( cotg x ) 2k −1 ( cotg x ) 2k −3 ( cotg x ) 2k −5 k −1 cotg x

− ×××+ ( −1)  + ( −1) x + c
k
=− − +
 2k − 1 2k − 3 2k − 5 1 

• C4 = ∫ ( cotgx )
2k+1
dx = ( 1 + co tg 2 x ) − ( cotg x ) 2k −3 ( 1 + co tg 2 x ) +
∫ ( cotg x )
2 k −1

+ ( cotg x )
2k − 5
( 1 + co tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( cotg x ) 1 ( 1 + co tg 2 x ) + ( −1) k cotg x  dx

= − ( cotg x )
∫ − ( cotg x ) + ... + ( −1) ( cotg x )  d ( cotg x ) + ( −1) cotg x dx ∫
2k −1 2k − 3 k −1 k
 
 ( cotg x ) 2k ( cotg x ) 2k − 2 k −1 ( cotg x )
2

+ ×××+ ( − 1)  + ( −1) ln sin x + c
k
= − −
 2k 2k − 2 2 

29

∫ ( tgx + cotgx ) dx = ( tg x ) + 5 ( tg x ) cotg x + 10 ( tg x ) ( cotg x ) +
∫
5 5 4 3 2
• C5 = 

+10 ( tg x ) ( cotg x ) 3 + 5 tg x ( cotg x ) 4 + ( cotg x ) 5  dx
2

= ( tg x ) + ( cotg x ) + 5 ( tg x ) + 5 ( cotg x ) + 10 tg x + 10 cotg x  dx
∫
5 5 3 3
 

= ∫ ( tg x ) + 5 ( tg x ) + 10 tg x  dx + ( cotg x ) + 5 ( cotg x ) + 10 cotg x  dx
∫
5 3 5 3
   

=  ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) + 4 tg x ( 1 + tg 2 x ) + 6 tg x  dx
∫
3
 

+  ( cotg x ) ( 1 + cotg 2 x ) + 4cotg x ( 1 + cotg 2 x ) + 6cotg x  dx
∫
3
 

=  ( tg x ) + 4 tg x  d ( tg x ) + 6 tg x dx −  ( cotg x ) + 4cotg x  d ( cotg x ) + 6 cotg x dx
∫ ∫ ∫ ∫
3 3
   

( tg x ) 4 2 ( cotg x ) 4 2
= + 2 tg x − 6ln cos x − − 2cotg x + 6ln sin x + c
4 4

( tg x ) m ( cotg x ) m
IV. Dạng 4: D 4 . 1 = ∫ ( cos x ) n
dx ; D4 . 2 = ∫ ( sin x ) n
dx

( tg x ) m
1. Phương pháp: Xét đại diện D4.1 = ∫ ( cos x ) n
dx

1.1. Nếu n chẵn (n = 2k) thì biến đổi:
( tgx ) m m  1 
k −1
dx
∫ ( tg x ) ( 1 + tg x )
k −1
∫ ( cosx ) ∫ ( tg x )  d ( tg x )
m 2
D4.1 = 2k
dx = ÷ =
 cos 2 x  cos 2 x
 C0 + C1 ( tg 2 x ) 1 + ... + C p ( tg 2 x ) p + ... + C k −1 ( tg 2 x ) k −1  d tg x
∫ ( tg x )  ( )
m
=  k −1 k −1 k −1 k −1

( tg x ) m +1 ( tg x ) m +3 ( tg x ) m + 2p +1 ( tg x ) m + 2k −1
C0 −1 C1 −1 C p −1 C k −1
k
= k + + ... +
k + ... + k −1 +c
m +1 m+3 m + 2p + 1 m + 2k − 1
1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m = 2k + 1, n = 2h + 1) thì biến đổi:
( tgx ) 2k+1 2k  1  tg x
2h
 1  sin x
2h

∫ ( tg x )
k
∫ ( cosx ) ∫ ( tg x ) 
2
D4 .1 = dx = ÷ dx =  ÷ dx
2h+1
 cos x  cosx  cos x  cos 2 x
k 2h
 1   1   1  1
∫( u − 1) u 2h du
k
∫
2
=  − 1÷  ÷ d ÷= (ở đây u = )
  cos x   cos x 
2
 cos x cos x

= u 2h  C0 ( u 2 ) − C1 ( u 2 ) + ... + ( −1) C p ( u 2 ) + ... + ( −1) C k  du
k k −1 k −p
∫
p k
 k k k k

2k + 2h +1 2k + 2h −1 2k + 2h − 2p +1 2h +1
u u u u
+ ... + ( − 1) C p + ... + ( − 1) Ck
p k
= C0
k − C1
k k k +c
2k + 2h + 1 2k + 2h − 1 2k + 2h − 2p + 1 2h + 1

30


1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m = 2k, n = 2h + 1) thì sử dụng biến đổi:
( tg x ) 2k ( sin x ) 2k cos x ( sin x ) 2k
D 4.1 = ∫ ( cos x ) 2h +1
dx = ∫ ( cos x ) 2( k + h +1)
dx = ∫ ( 1 − sin 2
x)
k + h +1
d ( sin x ) ; ( u = s inx )

u 2k du u 2k − 2 1 − ( 1 − u 2 ) 
  u 2k − 2 du u 2k − 2 du
D 4.1 = ∫ (1− u )
2 k + h +1
= ∫ ( 1 − u 2 ) k + h +1
du = ∫ (1− u )
2 k + h +1
− ∫ (1 − u )
2 k+h

Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu
tỉ ta có thể tính được D 4.1.
2. Các bài tập mẫu minh họa:

( tg3x ) 7  1  dx 1
2

∫ ( tg 3x ) ( 1 + tg 3 x )
2
∫ dx = ( tg 3 x )  ∫ d ( tg 3 x )
7 7 2
• D1 = 2
=
( cos3x ) 6
 ( cos 3 x )  ( cos 3 x )
2
3

 
1 + 2 ( tg3x ) 2 + ( tg3x ) 4  d ( tg3x ) = 1  ( tg3x ) + 2 ( tg3x ) + ( tg3x )  + c
8 10 12
1
= ∫ ( tg3x )  7

3 3 8 10 12 

( cotg5x ) 10 10  1  dx
3
• D2 = ∫ ( sin5x ) 8
dx = ∫ ( cotg 5 x )  2 
 ( sin 5 x )  ( sin 5 x )
2

1 3
=− ( cotg 5x ) 10 1 + cotg 2 5x  d ( cotg 5x )
∫  
5
1  ( cotg 5x ) ( cotg 5x ) 13 ( cotg 5x ) 15 ( cotg 5x ) 17 
11

=−  +3 +3 + +c
5 11 13 15 17 

( tg4x ) 7 6  1  tg 4 x
94
• D3 = ∫ ( cos4x ) 95
dx = ∫ ( tg 4 x )  ÷
 cos 4 x  cos 4 x
dx

3 94
1  1   1   1  1 94 ( 2
u u − 1) du
3
= ∫
(
4  cos 4x ) 2
− 1 
  cos 4x 
÷ d ÷=
 cos 4x  4 ∫
1 94 ( 6 1  u101 u 99 u 97 u 95 
= u u − 3u 4 + 3u 2 − 1) du = 
∫ −3 +3 − +c
4 4  101 99 97 95 
1 1 1 3 1 
=  − + − 95 
+c
4 101( cos 4x ) 101
33 ( cos 4x )
99
97 ( cos 4x )
97
95 ( cos 4x ) 

( cotg3x ) 9 8  1  cotg 3x
40
• D4 = ∫ ( sin3x ) 41
dx = ∫ ( cotg 3x )  
÷
sin 3 x  sin 3 x
dx

4 40
1  1   1   1  1 40 2
÷ = − u ( u − 1) du
4
∫
= −  2 − 1÷  ÷ d
3  sin x   sin 3x   sin 3x  3 ∫
31

1 40 ( 8 1  u 49 u 47 u 45 u 43 u 41 
u u − 4u 6 + 6u 4 − 4u 2 + 1) du = − 
4
=−
3 ∫ 3  49
−4
47
+6
45
−4 +
43 41 
+c

1 1 4 2 4 1 
=−  − + − + 41 
+c
3  49 ( sin 3x ) 49
47 ( sin 3x )
47
15 ( sin 3x )
45
43 ( sin 3x )
43
41 ( sin 3x ) 

( tgx ) 2 dx ( sin x ) 2 cos xdx  sin x  (
2
• D5 = ∫ cosx
= ∫ ( cos x ) 2
×
( cos x ) 2
=  ∫ ÷ d sin x )
 1 − sin 2 x 
2
 ( 1 + sin x ) − ( 1 − sin x ) 
2
 1 1 
∫
= 
 ( 1 + sin x ) ( 1 − sin x ) 
 d ( sin x ) =  1 − sin x − 1 + sin x ÷ d ( sin x )
  ∫
 1 1 2  ( 1 1 1 + sin x
∫
= 
 ( 1 − sin x )
2
+ 2
− 2 
( 1 + sin x ) 1 − sin x 
d sin x ) = −
1 − sin x 1 + sin x
− ln
1 − sin x
+c

( tgx ) 4 ( sin x ) 4 cos xdx ( sin x ) 4
• D6 = ∫ cosx
dx = ∫ ( cos x ) 4
×
( cos x ) 2
= ∫ ( 1 − sin 2
x)
3
d ( sin x )

u 4 du 1 − ( 1 − u4 ) du 1 + u2
= ∫ (1 − u )
2 3
= ∫ ( 1 − u2 ) 3
du = ∫ (1 − u )
2 3
− ∫ (1 − u )
2 2
du = I 2 − I1

I1 = ∫
( 1 + u 2 ) du  u 2 ÷
=∫
 
=∫
d u−
u
=−
 1 + 1  du
1
+c=
u
+c
( 1)
( 1 − u2 ) 1
( u)
2 2
2
 1 1 u− 1− u2
u− u−  ÷ u
 u
du 1 (1 + u) + (1 − u) 
3 3
I2 = ∫ (1 − u 2 3 )
= ∫
1  1 1 
 ( 1 + u ) ( 1 − u )  du = 8 1 − u + 1 + u  du
8    ∫

1  1 1 3  1 1 
=  ∫
8 ( 1 − u) 3
+
(1+ u) 3
+ 2 1− u
(1− u ) 
+ ÷ du
1 + u 

1 1 1 du  1  ( 1 + u ) − ( 1 − u )
2 2
( 1 + u2 ) + ( 1− u2 ) 
=  −
8  2( 1 − u ) 2 2( 1 + u ) 2
+6 =  ∫
( 1 − u2 )  8  2 ( 1 − u 2 )
2

2
+3
( 1− u2 )
2
du 

∫
 
u 3 ( 1 + u 2 ) du 3 du u 3 3 1+ u
=
4( 1 − u2 )
2
+ ∫
8 ( 1− u ) 2 2
+
8 1− u 2
=
4
∫ + I1 + ln
( 1 − u ) 8 16 1 − u
2 2
+c

32


u 3 3 1+ u
⇒ D6 = I 2 − I1 = + I1 + ln − I1
4(1 − u ) 16 1 − u
2 2 8

u 5 u 3 1+ u 2u − 5u ( 1 − u 2 ) 3 1 + u
= − × + ln +c= + ln +c
4 ( 1 − u2 ) 8 1 − u 2 16 1 − u (1 − u2 ) 2 16 1 − u
2
8
5 ( sin x ) − 3sin x 3
3
5u 3 − 3u 3 1+ u 1 + sin x
= + ln +c= + ln +c
8( 1 − u2 ) 16 1 − u 8 ( cos x ) 16 1 − sin x
2 4

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

( tg 6x ) 20 ( cotg 3x ) 11 ( tg x ) 4 ( cotg 2x ) 6
D1 = ∫ ( cos 6x ) 8
dx ; D 2 = ∫ ( sin 3x ) 21
dx; D3 = ∫ ( cos x ) 3
dx ; D 4 = ∫ ( cos 2x ) 5
dx

33

V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
1. Phương pháp:

E5.1 = ( cos mx ) ( cos nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ cos ( m − n ) x + cos ( m + n ) x ] dx
E5.2 = ( sin mx ) ( sin nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ cos ( m − n ) x − cos ( m + n ) x ] dx
E5.3 = ( sin mx ) ( cos nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ sin ( m + n ) x + sin ( m − n ) x ] dx
E5.4 = ( cos mx ) ( sin nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ sin ( m + n ) x − sin ( m − n ) x ] dx
2. Các bài tập mẫu minh họa:

1
∫
• E1 = cos2x .cos5x .cos9x dx = ∫
2
cos 2 x ( cos 14 x + cos 4 x )

=
1
∫ [ ( cos16x + cos12x ) + ( cos6x + cos 2x ) ] dx = 1  sin16x + sin12x + sin 6x + sin 2x  + c
 ÷
4 4  16 12 6 2 
( 3 cos x + cos 3 x )
∫
= ( cosx ) sin8x dx = ∫
3
• E2 sin 8 x dx
4
=
1
∫ ( 3 cos x sin 8x + cos 3x sin 8x ) dx = 1  3 ( sin 9x + sin 7x ) + 1 ( sin11x + sin 5x )  dx
∫
4 4 2
 2 

13 3 1 1 
= −  cos 9x + cos 7x + cos11x + cos 5x ÷ + c
89 7 11 5 
1
∫
• E 3 = ( sinx ) ( sin3x ) ( cos10x ) dx = ∫
( 1 − cos 2 x ) 2 ( sin 13 x + sin 7 x ) dx
4

8
1 (
= 1 − 2 cos 2x + cos 2 2x ) ( sin13x + sin 7x ) dx
∫
8
1  1 + cos 4x 
= ∫
1 − 2cos 2x +
8  2
÷( sin13x + sin 7x ) dx

1
=
16 ∫ ( 3 − 4cos 2x + cos 4x ) ( sin13x + sin 7x ) dx
1
=
16 ∫ [ 3 ( sin13x + sin 7x ) − 4 cos 2x ( sin13x + sin 7x ) + cos 4x ( sin13x + sin 7x ) ] dx
1 
=
16 ∫ 3 ( sin13x + sin 7x ) − 2 ( sin15x + sin11x + sin 9x + sin 5x ) +

1 
+ ( sin17x + sin 9x + sin11x + sin 3x )  dx
2 

34


1
=
32 ∫
( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx

− 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x 
=  − + − − + − + ÷+ c
32  17 15 13 11 3 7 5 3 

∫ ∫
• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx
5 3 2

cos3x + 3cos x 1 + cos 2x
= ∫ 4
×
2
×sin 5x dx

1
=
8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx
1  sin 7x + sin 3x 
=
8  ∫
( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx

1
=
16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx
1 
=
32 

∫
2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +


+ 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx


1
=
32 ∫
( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx

−1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x 
=  + + + + ÷+ c
32  10 8 3 2 2 

( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )
•
E5 = ∫ tgx + cotg2x
dx = ∫ sin x + cos 2 x
dx = ∫ cos ( 2 x − x )
dx
cos x sin 2 x cosx .sin 2 x
1
∫
= ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx =
2 ∫
( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx

1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x 
=
4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx = 
4 5
+
1
−
9
+
3 
÷+ c

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

( sin 8x ) 5 dx
∫ ∫
E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x )
4 3 5 2
2

35

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