1. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4
4.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS
4.2 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
4.3 LONGITUD DE UNA CURVA PLANA
4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN
Objetivo:
Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana
65

2. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del
área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una
suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una
integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando
sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que
represente a cualquier partición de la región plana
El área del elemento diferencial será: dA hdx f (x)dx
b
Por tanto, el área de la región plana es: A f ( x ) dx
a
4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:
El área del elemento diferencial será: dA hdx f ( x) g ( x) dx
66

3. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
b
Entonces el área de la región plana esta dada por: A f ( x) g ( x ) dx
a
CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los
siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1
y x 4
Calcular el valor del área de la región limitada por
y x2 2
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y x 4 y y x2 2
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.
x 4 x2 2
2
x x 6 0
x 3 (x 2) 0
x 3 x 2
PASO 4: La integral definida para el área sería:
3
A x 4 x2 2 dx
2
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
67

4. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
3 3
2
A x 4 x 2 dx x2 x 6 dx
2 2
3
x3 x2
6x
3 2
2
3 2 3 2
3 3 2 2
6(3) 6 2
3 2 3 2
9 8
9 18 2 12
2 3
5
A
6
Ejemplo 2
y x3 x2 6x
Calcular el valor del área de la región limitada por
y 0
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos y x3 x 2 6 x
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con
el eje x.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.
x3 x2 6 x 0
2
xx x 6 0
x x 3 ( x 2) 0
x 0 x 3 x 2
PASO 4: La integral definida para el área sería:
0 3
3 2
A x x 6x (0) dx ( 0) ( x 3 x2 6 x dx
2 0
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
68

5. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
0 3
A x3 x2 6x (0) dx (0) ( x 3 x2 6 x dx
2 0
0 3
x3 x2 6 x dx x3 x2 6 x dx
2 0
0 3
x4 x3 x2 x4 x3 x2
6 6
4 3 2 4 3 2
2 0
4 3 2 4
2 2 2 3 33 32
0 6 6 (0)
4 3 2 4 3 2
8 81
4 12 9 27
3 4
253
A
12
4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y
Si la región plana tuviese la siguiente forma:
Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo
en disposición horizontal
El área del elemento diferencial será: dA hdy xdy f ( y )dy
d
Entonces el área de la región plana es: A f ( y ) dy
c
Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:
69

6. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El área del elemento diferencial será: dA hdy f ( y) g ( y ) dy
Entonces el área de la región plana esta dada por:
d
A f ( y ) g ( y ) dy
c
Ejemplo 3
y x
Calcular el área de la región limitada por y x 6
y 0
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y x y y x 6
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.
PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.
PRIMER MÉTODO.
Escogemos el elemento diferencial vertical
x x 6
2
x x 62
2
x x 12 x 36
2
x 13x 36 0
x 9 x 4 0
x 9 x 4
El área está dado por:
70

7. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4 6
A x dx x 6 dx
0 4
6
4
2 x 32 x2
6x
3 2
0
4
3
2 4 2 62 42
0 66 64
3 2 2
16
18 36 8 24
3
22
A
3
SEGUNDO MÉTODO.
Escogiendo el elemento diferencial horizontal:
El área está dada por:
2
A 6 y y 2 dy
0
2
y2 y3
6y
2 3
0
2 3
2 2
62 0
2 3
8
12 2
3
22
A
3
Ejemplo 4
y x 1
Calcular el área de la región limitada por
x 3 y2
SOLUCIÓN:
PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso
71

8. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
y 1 3 y2
y2 y 2 0
y 2 y 1 0
y 2 y 1
Paso 4 y 5: El área de la región sería:
1
A 3 y2 y 1 dy
2
1
y2 y 2 dy
2
1
y3 y2
2y
3 2
2
3 2
1 1 23 22
21 2 2
3 2 3 2
1 1 8
2 2 4
3 2 3
9
A
2
Ejercicios propuestos 4.1
Hallar el área de la región limitada por las curvas:
1. y 2 x2 , y x,
2
2. y 4x x , y 0, entre x 1y x 3.
3. y x 4, y 0, x 8.
2
4. y x 4 x 3, x y 1 0.
5. y 2x , y 2 x 4, x 0.
2 2
6. y 2x 0, y 4 x 12 0.
7. y2 x 2, y x 4
2
8. y x , y x2 4x
2x
9. y x 6, y x3 , y .
4
10. y x 1, y x2 3
11. y x3 3x 2 , y x,
3 2
12. y x 6x 8 x, y x2 4x
72

9. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
5. Determinar el área interior a r2 8 cos 2 y exterior a r 2.
6. Calcular el área de la región que es externa a la cardioide r 2 2sen e interna a la cardioide
r 2 2 cos
7. Determine el área interior al limaron r 3 6sen pero exterior al rizo.
8. Hallar el área de la región interna común entre r cos 2 y r sen2
9. Determine el área de la región R r, /3 3 r 6 cos 2
4.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar
0
360 con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se
genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.
En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.
CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la
que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se
formará un sólido de revolución:
El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la
siguiente manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma
al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.
78

10. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se
rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este
caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su
volumen está dado por:
2
dV r 2 dx f ( x) dx
Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los
volúmenes de las particiones, es decir:
b
2
V f ( x) dx
a
CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que
se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera
un sólido de revolución de la siguiente forma:
Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento
diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de
un ANILLO
79

11. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El volumen del sólido diferencial estaría dado por:
2 2
dV r2 r 1 dx
pero observe que: r2 f ( x) y r1 g ( x) entonces:
2 2
dV f ( x) g ( x) dx .
Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la
región plana alrededor del eje "x", estaría dado por:
b
2 2
V f ( x) g ( x) dx
a
CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar
la región anterior en torno al eje "y":
El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:
80

12. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo
cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:
2 r
h
dx
Su volumen sería:
dV 2 rhdx
r x
Pero observe que: h f ( x) g ( x)
Por tanto el volumen total del sólido sería:
b
V 2 x f ( x) g ( x) dx .
a
Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.
Ejemplo 1
y x2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :
y 8x
alrededor del eje x.
SOLUCIÓN:
PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas.
PASO 2: Identificamos la región.
PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical
x2 8x
4
x 8x
x x3 8 0
x 0 x 2
81

13. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está
2
dado por: dV r2 r 1 2 dx y en este caso r2 8 x y r1 x2
PASO 4: Por tanto
2
2 2
V 8x x2 dx
0
2
8 x x 4 dx
0
2
x2 x5
8
2 5
0
32
16
5
48
V u3
5
NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.
Ejemplo 2
y x2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :
y 8x
alrededor del eje y.
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza
Cuyo volumen está dado por dV 2 rhdx y en este caso r x y
2
h 8 x x
PASO 4: Por tanto:
82

14. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
2
V 2 x 8x x 2 dx
0
2
3
2 8x 2 x3 dx
0
2
2 8 52 x4
2 x
5 4
0
5 4
2 8 2 2
2 2 ( 0)
5 4
32
2 4
5
24 3
V u
5
Ejemplo 3
y x2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :
y 8x
alrededor del eje y 4
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y 4 " da lugar a una Anillo
El volumen de este diferencial está dado por dV r2 2 r 1 2 dx y en este caso r2 4 x 2
y r1 4 8x
PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:
83

15. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
2
2 2
V 4 x2 4 8x dx
0
2
16 8 x 2 x4 16 8 8 x 8 x dx
0
2
1
x 4 8 x 2 8 x 8 8 x 2 dx
0
2
x5 x3 x2 32 2 3 2
8 8 x
5 3 2 3
0
25 23 22 32 2 3 2
8 8 2 ( 0)
5 3 2 3
32 64 128
16
5 3 3
206
V u3
15
Ejemplo 4
y x2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :
y 8x
alrededor del eje y 1
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y 1 " da lugar a una Anillo
El volumen de este diferencial está dado por dV r2 2 r 1 2 dx y en este caso
r1 1 x 2 y r2 1 8x
PASO 4: Por tanto:
84

16. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
2
2 2
V 1 8x 1 x2 dx
0
2
1 2 8x 8x 1 2 x2 x 4 dx
0
2
1
2 8 x 2 8x 2 x2 x 4 dx
0
2
3
x 2 x2 x3 x5
2 8 8 2
3 2 3 5
2
0
3 5
8 2 32 2 2
2 4 22 2 (0)
3 3 5
32 16 32
16
3 3 5
174
V u3
15
Ejemplo 5
y x2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :
y 8x
alrededor del eje x 2
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x 2 " da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por dV 2 rhdx y en este caso r 2 x y
2
h 8x x
PASO 4: Por tanto:
85

17. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
2
V 2 2 x 8x x 2 dx
0
2
2 2 8x 2x2 x 8x x3 dx
0
2
1 3
2 4 2 x 2 2 x2 2 2 x 2 x3 dx
0
2
3 5
x 2 x3 x 2 x4
2 4 2 2 2 2
3 3 5 4
2 2
0
3 4
8 2 3 2 4 2 52 2
2 2 2 2 2 ( 0)
3 3 5 4
32 16 32 16
2
3 3 5 4
88
V u3
15
Ejemplo 6
y x2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :
y 8x
alrededor del eje x 1
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x 1 " da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por dV 2 rhdx y en este caso r 1 x y
2
h 8x x
PASO 4: Por tanto:
86

18. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
2
V 2 1 x 8x x 2 dx
0
2
2 8x x2 x 8x x3 dx
0
2
1 3
2 2 2 x 2 x2 2 2 x 2 x3 dx
0
2
3 5
x 2 x3 x 2 x4
2 2 2 2 2
3 3 5 4
2 2
0
3 4
4 2 3 2 4 2 52 2
2 2 2 2 (0)
3 3 5 4
16 8 32 16
2
3 3 5 4
152
V u3
15
Ejercicios Propuestos 4.3
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendo R
la región limitada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación:
a. y 2x x 2 , y 0, x 0, x 1 ; eje y
b. x 1, y , y arc tg x, x 4 ; eje y .
2
1
c. y 0, y 3, x 1, x 3, y ; eje x 1 .
x 1
1
2. Sea R la región limitada por las curvas: y x2,
y las rectas y 0, x 2 .. y
x
a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje x 2 .
b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje y 1 .
3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje x 9 la región limitada
2
por las curvas: y 9 x, y 3 x.
4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta x 4 , la región acotada por
2 2
las curvas: x y y , x y 3.
5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta y 2 de la región del primer
2 2
cuadrante limitada por las parábolas 3 x 16 y 48 0 , x 16 y 80 0 y el eje de las y .
6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es:
x2 y2 4y 3 0
x 2
y 0
y 4
x y 5 0
x 0
7. Sea la región R x, y / x 1 y 4 2 x 2 . Calcule el volumen del sólido generado al girar R
alrededor del eje: a) x 1 , b) y 1
87

19. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4.3 LONGITUD DE ARCO
Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas
de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen
infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita.
Una partición diferencial tendrá la forma:
ds i
dy
dx
Y su longitud está dada por: ds dx 2 dy 2
1. Si y f (x) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
2
dx 2 dy 2 dy
ds dx 1 dx
dx dx
b
2
dy
Es decir: s 1 dx
dx
a
2. Si x f ( y ) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
2
dx 2 dy 2 dx
ds dy 1 dy
dy dy
d
2
dx
Es decir: s 1 dy
dy
c
88

20. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
x x(t )
3. Finalmente si C : entonces se utiliza el diferencial de arco
y y (t )
2 2
dx 2 dy 2 dx dy
de la forma: ds dt dt
dt dt dt
t2
2 2
dx dy
Es decir: s dt
dt dt
t1
Ejemplo 1
3
Encuentre la longitud de arco de la curva y x 2 desde el punto (1,1) al punto
( 4,8)
SOLUCIÓN:
b
2
dy
En este caso usamos el diferencial de arco de la forma s 1 dx ¿por qué?
dx
a
dy 3 12
Ahora x
dx 2
Por tanto:
4
2
dy
s 1 dx
dx
1
4
2
3 12
1 x dx
2
1
4
9
1 x dx
4
1
4
3
9 2
1 x
2 4
3 9
4
1
8 3 3
s 10 2 13 2
27 4
89

21. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Ejemplo 2
x
Encuentre la longitud de la curva y u 3 1du ; 1 x 2
1
SOLUCIÓN:
2
2
dy
La longitud de arco esta dada por: s 1 dx
dx
1
x
dy
Para lo cual la derivada sería: Dx u 3 1du x3 1
dx
1
Reemplazando resulta:
2
2
dy
s 1 dx
dx
1
2
2
1 x3 1 dx
1
2
1 x 3 1dx
1
2
x 3 dx
1
2
5
x 2
5
2 1
2 52 5
2 1 2
5
2
s 4 2 1
5
Ejemplo 3
Calcular la longitud de la circunferencia x2 y2 a2
SOLUCIÓN:
90

22. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica
t2
2 2
dx dy
s dt
dt dt
t1
x a cos t
La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: C: ;0 t 2
y a sen t
dx dy
Por tanto a sen t y a cos t . Reemplazando resulta:
dt dt
2 2 2
dx dy
s dt
dt dt
0
2
2
a sen t a cos t 2 dt
0
2
a 2 sen 2 t a 2 cos 2 t dt
0
2
a 2 sen 2 t cos 2 t dt
0
2
a dt
0
2
a dt
0
2
at 0
s 2 a
Ejercicios Propuestos 4.4
1. Determine la longitud de arco de la curva y 1 ln cos x ; x
4
x t sen t
2. Determine la longitud de arco de la curva: en el intervalo 0 t 4
y 1 cos t
x a cos t atsent
3. Determine la longitud de arco de la curva: en el intervalo 1 t 1
y asent at cos t
x
4. Encuentre la longitud de la curva y 64sen 2u cos 4 u 1 du , x
6 3
6
91