Operacao de polinomios_material_dourado

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Operações de polinômios utilizando o material dourado uma opção bem legal para entender o que é e para que serve e onde encontramos o cálculo algébrico álgebra

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Operacao de polinomios_material_dourado

  1. 1. UNIVERSIDADE DO CONTESTADO – UnC CURSO DE MATEMÁTICA – REGIME ESPECIAL <ul><li>OPERAÇÕES DE POLINÔMIOS COM O USO DO MATERIAL DOURADO </li></ul><ul><li>CAÇADOR </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  2. 2. OPERAÇÕES DE POLINÔMIOS COM O USO DO MATERIAL DOURADO Professores Ms. orientadores: Darci Martinello e Marcele Guzela
  3. 3. <ul><li>Breve história da álgebra. </li></ul><ul><li>Maria Montessori e o Material Dourado </li></ul><ul><li>Sugestões para se trabalhar com o Material dourado </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  4. 4. 1) Forme figuras (quadriláteros) com a quantidade de peças pedidas. <ul><li>1) 121 peças </li></ul><ul><li>2) 144 peças </li></ul><ul><li>3) 169 peças </li></ul><ul><li>4) 30 peças </li></ul><ul><li>5) 90 peças </li></ul><ul><li>6) 441 peças </li></ul><ul><li>7) 45 peças </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  5. 5. <ul><ul><li>Consideremos o n ú mero 90. Utilizando a multiplica ç ão podemos escrever esse n ú mero de v á rias maneiras: </li></ul></ul><ul><ul><li>2.45 </li></ul></ul><ul><ul><li>3.30 </li></ul></ul><ul><ul><li>90= 5.18 </li></ul></ul><ul><ul><li>9.10 </li></ul></ul><ul><ul><li>2.3 ² .5 </li></ul></ul>FATORANDO POLINÔMIOS 05/26/11 Carmen e João Carlos
  6. 6. <ul><li>Quando escrevemos o número 90 na forma 2.45 ou 3.30 ou 6.15 ou 9.10 transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores. </li></ul><ul><li>Quando escrevemos o número 90 na forma 2.3².5, transformamos esse número numa multiplicação em que todos os fatores são números primos. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  7. 7. <ul><li>Em qualquer dos casos, fizemos a fatoração do número 90. </li></ul><ul><li>Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  8. 8. <ul><li>Tomando como base esses conhecimentos vamos considerar a figura a baixo: </li></ul>1 2 a b c 05/26/11 Carmen e João Carlos
  9. 9. <ul><li>Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura : </li></ul><ul><li>1ª)Área da figura 1 + área da figura 2 ou seja, ac + cb. </li></ul><ul><li>2ª)Fazemos c.(a+b), pois a figura é um retângulo. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  10. 10. <ul><li>Daí podemos escrever: </li></ul><ul><li>ac+ bc (polinômio) = c . (a+b) (multiplicação de polinômios) </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  11. 11. <ul><li>Quando escrevemos o polinômio ac+bc na forma c.(a+b), estamos transformando o polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, ou seja, estamos efetuando a fatoração do polinômio inicial. Logo: </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  12. 12. <ul><li>Fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  13. 13. <ul><li>Para fatorar um polinômio, devemos conhecer algumas técnicas que se baseiam em multiplicações já conhecidas e estudadas. </li></ul><ul><li>Estudaremos apenas os casos simples de fatoração de polinômios, de larga aplicação no cálculo algébrico. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  14. 14. FATORAÇÃO PELA COLOCAÇÃO DE UM FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA. <ul><li>Consideremos as seguintes situações: </li></ul>y y x x 05/26/11 Carmen e João Carlos
  15. 15. <ul><li>1° Vamos calcular o perímetro do retângulo ao lado, cujas dimensões são x e y. </li></ul><ul><li>O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras: </li></ul><ul><li>2x +2y ou 2.(x + y) </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  16. 16. <ul><li>Então podemos escrever: </li></ul><ul><li>2x + 2y = 2.(x + y) </li></ul>polinômio forma fatorada do polinômio 05/26/11 Carmen e João Carlos
  17. 17. <ul><li>Na forma fatorada, notamos que: </li></ul><ul><li>2 é um fator comum a todos os termos do polinômio e foi colocado em evidência. </li></ul><ul><li>O outro fator x + y é o mesmo que (2x : 2) + (2y : 2). </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  18. 18. <ul><li>Podemos dizer que: </li></ul><ul><li>Quando todos os termos de um polinômios têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  19. 19. Exercícios: <ul><li>01- Fatore os polinômios colocando o fator comum em evidência: </li></ul><ul><li>a) 5x + 5y= </li></ul><ul><li>b) 3a + 3= </li></ul><ul><li>c) (a² + 5ab)= </li></ul><ul><li>d) (x² + 3xy)= </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  20. 20. <ul><li>02- Apartir da forma fatorada calcule os polinômios: </li></ul><ul><li>a) 7c(5+c)= </li></ul><ul><li>b) 8x³(3x²-x-7)= </li></ul><ul><li>c) p(a+b+b)= </li></ul><ul><li>d) y(1-y²+y+y 4 +y 6 )= </li></ul><ul><li>e) xy(1-x²y²)= </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  21. 21. Trabalho de casa: <ul><li>Na figura indicamos as medidas do campo de futebol em metros. </li></ul>x X + 42 05/26/11 Carmen e João Carlos
  22. 22. <ul><li>Qual é o valor de x se o perímetro do campo de futebol é igual a 356m? </li></ul><ul><li>Quanto vale a área do campo de futebol? </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  23. 23. FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO <ul><li>Observe as três figuras seguintes. </li></ul><ul><li>Figura 1. </li></ul>a b x y A área dessa figura pode ser representada pelo polinômio: ax +bx + ay + by. by ax bx ay 05/26/11 Carmen e João Carlos
  24. 24. <ul><li>Figura 2 : </li></ul>X . (a + b) Y . (a + b) a b x y A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio: x(a + b) + y(a +b). 05/26/11 Carmen e João Carlos
  25. 25. <ul><li>Figura 3: </li></ul>a b x A área dessa figura pode ser dada pelo produto: (a + b) (x +y). Como as três figuras tem a mesma área, podemos escrever: ax +bx +ay +by = x.(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) polinômio Forma fatorada do polinômio y 05/26/11 Carmen e João Carlos
  26. 26. <ul><li>Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio </li></ul><ul><li>ax + bx + ay + by na forma fatorada: </li></ul><ul><li>(ax + bx) + ( ay + by) : agrupamos os termos que possuem fator comum. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  27. 27. <ul><li>x(a +b) + y(a +b): Em cada grupo colocamos o fator comum em evidência. </li></ul><ul><li>(a +b) (x +y): Colocamos, novamente, em evidência o fator comum. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  28. 28. EXERCÍCIO 1: <ul><li>Fatore os polinômios: </li></ul><ul><li>a² + ab + ax + bx = </li></ul><ul><li>b 5 + b³ + 2b² + 2 = </li></ul><ul><li>bx² - 2by + 5x² - 10y = </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  29. 29. EXERCÍCIO 2: <ul><li>A partir da forma fatorada ache os polinômios. </li></ul><ul><li>x(c + 1) + 1(c + 1) = </li></ul><ul><li>y²(5y – 4) + 2(5y - 4) = </li></ul><ul><li>(2ª + 1)(n + m) = </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  30. 30. FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS <ul><li>Consideramos a figura </li></ul><ul><li>ao lado: </li></ul>x x x - y x -y y y x² - y² 05/26/11 Carmen e João Carlos
  31. 31. <ul><li>Recortando a figura (1) </li></ul><ul><li>pelo tracejado... </li></ul>(x –y) y y y (x – y) x x Figura 1 05/26/11 Carmen e João Carlos
  32. 32. Formaremos uma nova figura. y (x-y) (x-y) (x-y) x Figura 2 05/26/11 Carmen e João Carlos
  33. 33. <ul><li>Notando que a área da figura1, expressa por x² - y², e a área da figura 2, expressa por (x + y)(x – y), são iguais, podemos escrever: </li></ul><ul><li>x² - y² = (x + y) . (x – y) </li></ul>(polinômio) ( forma fatorada do polinômio) 05/26/11 Carmen e João Carlos
  34. 34. <ul><li>Na forma fatorada, você observa que: </li></ul>X² Raiz quadrada do primeiro termo do polinômio y = y ² Raiz quadrada do 2º termo do polinômio X= 05/26/11 Carmen e João Carlos
  35. 35. EXERCÍCIO 3: 1) Fatore os polinômios e represente no material dourado quando possível. <ul><li>x² - y² = </li></ul><ul><li>a² - 36 = </li></ul><ul><li>m² - 1 = </li></ul><ul><li>4x² - 9 = </li></ul><ul><li>100 – y² = </li></ul><ul><li>25x² - 4 = </li></ul><ul><li>9a² - 16 b² = </li></ul><ul><li>a 4 - 25 = </li></ul><ul><li>81x 4 - 1 = </li></ul><ul><li>x² - 1 = </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  36. 36. Trabalho para casa: <ul><li>Analise a situação e responda no caderno. </li></ul>casa Quintal 20m 20m x x 05/26/11 Carmen e João Carlos
  37. 37. <ul><li>Pedro tem um terreno quadrado com 20 m de lado no qual construirá uma casa, também quadrada. Qual deverá ser a medida de x, do lado da casa, para que o quintal tenha uma área de 256m²? </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  38. 38. <ul><li>Desenhe no papel milimetrado as diferenças de dois quadrados atribuindo valores as variáveis, e calculando a área da figura obtida. </li></ul><ul><li>y² - x² = </li></ul><ul><li>4x² - 1 = </li></ul><ul><li>a² - 81 = </li></ul><ul><li>x² - 100 = ( neste caso considere x=10 e explique o quê aconteceu com a figura) </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  39. 39. FATORAÇÃO DE UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO. <ul><li>QUADRADO DA SOMA (considere as figuras abaixo) </li></ul>x² xy xy Y² x y Afigura representa um quadrado cujo lado mede(x+y) unidades de comprimento. A área da figura pode ser indicada de duas maneiras: x²+2xy+y² ou (x+y)² x y 05/26/11 Carmen e João Carlos
  40. 40. <ul><li>QUADRADO DA DIFERENÇA: </li></ul>y² (x-y) (x-y) y y x x A figura colorida e não hachurada representa um quadrado cujo lado mede (x-y), cuja área pode ser indicada de duas maneiras: x²-2xy+y² ou (x-y)² 05/26/11 Carmen e João Carlos
  41. 41. <ul><li>Então, podemos escrever as seguintes igualdades : </li></ul><ul><li>x²+2xy+y² = (x+y) (x+y) = (x+y)² </li></ul><ul><li>x² - 2xy+y² = (x-y) (x-y) = (x-y)² </li></ul>polinômio forma fatorada do polinômio polinômio Forma fatorada do polinômio 05/26/11 Carmen e João Carlos
  42. 42. <ul><li>A seguir, determinar a raiz quadrada de cada termo quadrado: </li></ul><ul><li>x² = x e 16y² = 4y. </li></ul><ul><li>Finalmente,multiplicamos por dois os produtos das raízes para verificar se os resultados é igual ao termo restante: 2 . x . 4 = 8xy. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  43. 43. <ul><li>Os polinômios x² + 2xy + y² e x² - 2xy + y² </li></ul><ul><li>São chamados trinômios quadrados perfeitos. Trinômios porque possuem três </li></ul><ul><li>termos; quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), enquanto que o segundo representa o quadrado de (x –y). </li></ul><ul><li>Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não um quadrado perfeito. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  44. 44. <ul><li>Consideremos as seguintes situações. </li></ul><ul><li>Verificar se o trinômio x² + 8xy + 16x² é quadrado perfeito. </li></ul><ul><li>Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, x² e 16y² são quadrados. </li></ul><ul><li>A seguir determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: x² = x e 16y = 4y </li></ul><ul><li>Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2 . x . 4y = 8xy. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  45. 45. EXERCÍCIO 4: Verifique se os trinômios são quadrados perfeitos e represente no material dourado quando possível. <ul><li>x²+6x+9 = </li></ul><ul><li>x²+10x+25 = </li></ul><ul><li>9x²+12x+4 = </li></ul><ul><li>25x²+20x+1 = </li></ul><ul><li>x²+14x+36 = </li></ul><ul><li>a²-4a+4 = </li></ul><ul><li>16x²+12x+20 = </li></ul><ul><li>x²+8x-4 = </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  46. 46. <ul><li>Fatore os trinômios quadrados perfeitos: </li></ul><ul><li>x²+6x+9 = </li></ul><ul><li>x²-14x+49 = </li></ul><ul><li>y²+2y+1 = </li></ul><ul><li>a²-20a+100 = </li></ul><ul><li>1+2x+x² = </li></ul><ul><li>m²-12m+36 = </li></ul><ul><li>9x²+12x+4 = </li></ul><ul><li>4m²-20m+25 = </li></ul><ul><li>x²-18x+81 = </li></ul><ul><li>16y²-8y+1 = </li></ul><ul><li>9x²+36xy+36y² </li></ul><ul><li>25a²+6ab+36b² </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  47. 47. TRABALHO DE CASA. <ul><li>Que monômios podem ser acrescentados ao binômio 9x² + 49 para que ele seja um trinômio quadrado perfeito? Qual é esse trinômio? </li></ul><ul><li>Represente a figura no papel milimetrado atribuindo valores as variáveis e calculando a área da figura. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  48. 48. Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos <ul><li>Observe as seguintes multiplicações: </li></ul><ul><li>a) (x + y).(x² - xy + y²) = </li></ul><ul><li>x³ - x²y + xy² + x²y + xy² + y³ = x³ + y³ </li></ul><ul><li>Pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever: </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  49. 49. <ul><li>x³- y³ = (x – y) . (x² + xy + y²) </li></ul><ul><li>b) (x – y). (x² + 2xy + y²) = </li></ul><ul><li>x³ + x²y + x²y – xy² - x²y – y³ = x³ - y³ </li></ul><ul><li>Pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever: </li></ul><ul><li>x³ - y³ = ( x – y) . ( x² + xy + y²) </li></ul>polinômio Forma fatorada do polinômio polinômio forma fatorada do polinômio 05/26/11 Carmen e João Carlos
  50. 50. REPRESENTAÇÃO DA SOMA DE DOIS CUBOS 05/26/11 Carmen e João Carlos
  51. 51. TRABALHO DE CASA: <ul><li>No cubo abaixo a medida da aresta é representada pelo binômio (a + b). Obtenha um polinômio que represente o volume desse cubo. </li></ul>(a +b) (a+b ) (a + b) 05/26/11 Carmen e João Carlos
  52. 52. Resolva o problema : <ul><li>O consumo de água de Dona Maria Santa é dado pelo binômio (a+1). Sabendo que esse consumo vem representado em m³, responda: </li></ul><ul><li>Quantos metros cúbicos de água os professores gastam por mês, se o valor de a= 2? </li></ul><ul><li>Sabendo que o m³ de água custa o equivalente a R$ 2,70. Qual foi o valor da fatura referente aos metros cúbicos consumidos? </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  53. 53. <ul><li>EXERCÍCIO 5 : </li></ul><ul><li>Fatore as somas ou as diferenças de dois cubos e represente no material dourado: </li></ul><ul><li>(c + k)³= </li></ul><ul><li>m³ - n³ = </li></ul><ul><li>x³ - 8 = </li></ul><ul><li>a³ + 1 = </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  54. 54. CARMEN RIBEIRO COSTA JOÃO CARLOS MAZZOT I ACADÊMICOS RESPONSÁVEIS 05/26/11 Carmen e João Carlos
  55. 55. ANIMAÇÃO <ul><li>Leonir Antônio Costa </li></ul><ul><li>Guilherme Costa Neto </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  56. 56. BIBLIOGRAFIAS <ul><li>CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; POLI, Ednéia. Para Saber Matemática 2.ed. (manual do professor 7ª série). São Paulo: saraiva 2006. </li></ul><ul><li>GIOVANI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANI, José Ruy Jr. A Conquista da Matemática. São Paulo: FDT, 1998. </li></ul><ul><li>GUERDJ, Denis. O teorema do papagaio. São Paulo. Companhia das letras, 1999. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos
  57. 57. <ul><li>LEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade 5.ed.: ensino fundamental 7ª série. São Paulo: atual 2005. </li></ul><ul><li>MODERNA, Editora. Projeto Araribá, matemática 7ª série (obra coletiva). São Paulo. Moderna, 2006. </li></ul><ul><li>MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios, 14. ed. São Paulo. Saraiva, 2006. </li></ul>05/26/11 Carmen e João Carlos

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