Enciclopedia matematica volume 2

ENCICLOPEDIA MATEMATICA
di Corrado Brogi
http://spazioweb.libero.it/corradobrogi

Prefazione

A mio modesto (anzi modestissimo) parere questa enciclopedia in sette volumi è uno dei
lavori più chiari e completi sulla matematica presenti in Rete. L’Enciclopedia può essere utilizzata
sia come riferimento per richiamare concetti noti, sia come fonte di studio introduttiva su pressoché
tutti gli argomenti di matematica di comune interesse. Ho raccolto in sette documenti PDF tutto il
contenuto del sito Web dell’autore (sperando di non aver contravvenuto alle sue volontà) in modo
da rendere il materiale facilmente consultabile ed eventualmente stampabile.

Buona lettura.

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Corrado Brogi

Volume II

Calcolo Combinatorio, le Serie, le Coniche.

INDICE del volume II

Le medie 1
Media aritmetica semplice 1
Media aritmetica ponderata 1
Media geometrica 3
Media geometrica ponderata 3
Media armonica 5
Media armonica associata a frequenze 6
Moda e mediana 7
Scarto medio quadratico 9
Cenni sui minimi quadrati 13
Calcolo combinatorio 14
Permutazioni 14
Disposizioni 18
Combinazioni 20
Coefficienti binomiali 22
Binomio di Newton 23
Polinomio di Leibniz 24
Coefficienti delle equazioni di grado ""n"" 25
Combinazioni con ripetizione 27
Calcolo delle probabilità 29
Il gioco del lotto 32
Il totocalcio 35
La speranza matematica 36
Probabilità totali 37
Probabilità composte 38
Probabilità delle cause 39
Formula di Bayes 41
Le variabili casuali o stocastiche 45
Successioni numeriche 53
Funzioni e successioni 67
Frazioni continue 71
Regola delle frazioni successive 78
La convergenza delle successioni 80
Il numero e 86
Le serie 89
La serie della progressione geometrica 90
La serie armonica 94
Le ridotte e il resto della serie 99

Criterio generale di convergenza delle serie 100
Serie assolutamente convergenti 101
Serie a segni alternati 104
Serie di Mengoli 106
Serie delle constante di Eulero-Mascheroni 110
Serie di potenze di numeri naturali 115
Criteri di convergenza 119
Criterio del rapporto 119
Criterio di radice 119
Criterio di Kummer 120
Criterio di Raabe 120
La Zeta di Rienmann 121
Prodotti infiniti 122
Le serie doppie 124
Proprietà delle serie 125
Operazioni aritmetiche fra serie 129
Prodotto di due serie 130
Serie a termini complessi 131
Continuità e discontinuità di funzioni 133
Discontinuità 135
Postulato della continuità di R.Dedekind 137
Serie a termini variabili 139
Serie di potenze 141
Il cerchio di convergenza 143
Criteri per determinare il raggio di convergenza 144
Derivazione della serie di potenze 145
Sviluppo accorciato di Taylor 146
Serie esponenziale 149
Serie del seno circolare 150
Serie del coseno circolare 150
Serie esponenziale ad esponente immaginario 151
Serie esponenziale ad esponente immaginario negativo 151
Serie esponenziale ad esponente negativo 152
Serie del coseno iperbolico 152
Serie del seno iperbolico 152
Serie esponenziale 153
Serie logaritmica 153
Serie binomiale 157
Calcolo delle variabili ennesime 159
Serie di arcsen(x) 161
Serie di arccos(x) 162
Serie di Arctg(x) o serie ciclometria 162
Il calcolo di pigreco 167
Le lunule di Ippocrate 173
Cenni di storia della serie 174
Integrazione per serie 175

Il problema del pendolo 176
Sviluppo in serie degli integrali ellittici di prima specie 179
Sviluppo in serie degli integrali ellittici di seconda specie 181
Tabella degli integrali ellittici 182
I numeri immaginari complessi 187
Operazioni sui numeri complessi 187
Potenza di un numero complesso 189
Formula di Moivre 190
Radici ennesime dell’unità 190
I sistemi di riferimento 192
Terne destrogire e terne sinistrogire 200
La direzione 201
La geometria analitica (del piano) 206
Coordinate polari 210
Traslazione di assi 211
Rotazione di assi 212
Equazione della retta tangente ad una curva piana 213
Equazione della tangente e della normale ad una curva 214
Equazione delle rette tangenti al cerchio 215
Rette tangenti al cerchio non al centro 217
Calcolo delle aree con integrali doppi 220
Rettificazione di curve piane 221
Rettificazione della circonferenza 222
Rettificazione della catenaria 223
La curvatura ed il raggio di curvatura delle curve piane 224
Calcolo del raggio di curvatura 225
I centri di curvatura del piano 229
LE CONICHE 231
L’ellisse (del giardiniere) 235
Equazione dell’ellisse al centro 236
L’ellisse come proiezione di un cerchio 238
Costruzioni grafiche dell’ellisse 239
II costruzione grafica 240
Equazione dell’ellisse in coordinate polari 241
I diametri coniugati dell’ellisse 242
Dati due diametri coniugati disegnare i diametri principali 248
L’ellisse e il teorema delle secanti 250
I raggi di curvatura dell’ellisse 261
Costruzione grafica utilizzando i raggi di curvatura 263
I centri di curvatura dell’ellisse (l’evoluta) 269
I luoghi dei centri di curvatura dell’ellisse e la curva Asteroide 271
L’ellisse come sezione di un cilindro con un piano 273
Relazione fra l’ellisse e la sinusoide 274
Applicazione alle volte a crociera e padiglione 276
Confronti fra la vota a crociera e la volta a padiglione 278
L’ellisse come intersezione di un piano con un cono 281

L’equazione dell’ellisse ad assi traslati 284
L’equazione dell’ellisse ad assi rotati 285
L’equazione dell’ellisse ad assi rotati e traslati 288
L’area dell’ellisse 289
La rettificazione dell’ellisse e gli integrali ellittici 290
Le coordinate parametriche dell’ellisse 292
Gli integrali ellittici 293
L’ellisse nella matematica applicata 295
L’ellisografo 295
Equazione delle rette tangenti all’ellisse 296
L’equazione della normale all’ellisse 299
Le proprietà focali dell’ellisse 301
La parabola 304
Costruzione grafica della parabola 305
Equazione della parabola ad assi traslati 306
Equazione della parabola ad assi rotati 306
Equazione della parabola ad assi rotati e traslati 307
Le rette tangenti alla parabola 308
Costruzione grafica della parabola per tangenti 309
Tangenti alla parabola da un punto esterno 312
La normale alla parabola 315
Altro metodo per costruire la parabola per punti 323
La parabola come traiettoria in campo gravitazionale 324
L’efflusso di fluidi a livello costante 326
Il concetto di modulo nella parabola 327
Il modulo grafico unitario di una curva qualsiasi 328
L’area della parabola 330
La rettificazione della parabola 331
I raggi di curvatura della parabola 333
I centri di curvatura della parabola (l’evoluta) 334
Grafico dell’evoluta della parabola 335
Proprietà focali della parabola 336
La podaria 336
La parabola come sezione di un piano con un cono 338
La parabola in coordinate polari 339
Una costruzione grafica per coordinate polari 339
L’Iperbole 340
Gli asintoti dell’iperbole 342
L’equazione dell’iperbole in coordinate polari 343
Le derivate dell’iperbole 344
Equazioni delle tangenti all’iperbole 345
L’equazione della normale all’iperbole 348
L’iperbole tracciata con segno continuo 349
I raggi di curvatura dell’iperbole 350
I Centri di curvatura dell'iperbole 351
Evoluta dell’iperbole 352

L’iperbole come intersezione di un piano con un cono 353
L’equazione dell’iperbole ad assi traslati 357
L’equazione dell’iperbole equilatera ad assi traslati 357
Equazione dell’iperbole ad assi ruotati 358
Equazione dell’iperbole equilatera ad assi ruotati 358
Equazione dell’iperbole ad assi ruotati e traslati 359
Equazione dell’iperbole equilatera ad assi ruotati e traslati 360
L’iperbole equilatera 360
Costruzione grafica dell’iperbole equilatera 361
La derivata dell’iperbole equilatera 362
L’iperbole equilatera riferita agli asintoti 363
L’area dell’iperbole 364
I diametri coniugati dell’Iperbole 366
I teoremi di Apollonio Pergeo 369
Dati due diametri coniugati di due iperboli coniugate 370
I circoli direttori dell’iperbole e dell’ellisse 371
La podaria dell’iperbole (e dell’ellisse) 372
Proprietà focali dell’iperbole 373
LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA 377
Relazioni di trigonometria iperbolica 378
Relazioni fra le funzioni circolari e le iperboliche 385
La Gudermanniana 389
Le coordinate parametriche dell’iperbole 392
Le coordinate polari e parametriche delle parabola avvalendosi delle funzioni
iperboliche 392
Problema inverso delle coniche 393
Le equazioni canoniche e gli assi di riferimento 395
Avvertenza 397
la individuazione delle coniche 401
Il caso ellittico 403
Ellisse al centro 404
Ellisse ad assi traslati in x 405
Ellisse ad assi traslati in y 406
Ellisse ad assi traslati in x e in y 407
Ellisse ad assi solo ruotati 408
Ellisse ad assi ruotati e traslati 410
Esempio numerico 412
Caso Iperbolico 414
Iperbole al centro 416
Iperbole ad assi traslati in x 417
Iperbole ad assi traslati in y 420
Iperbole ad assi traslati in x e in y 423
Iperbole ad assi solo ruotati 425
Osservazioni sulla rotazione degli assi 428
Iperbole ad assi ruotati e traslati 430

La parabola 436
L’equazione canonica della parabola 437
Caso parabolico 438
Parabola ad assi solo traslati in x 439
Parabola ad assi solo traslati in y 439
Parabola ad assi traslati in x e in y 440
Parabola ad assi solo ruotati 441
Parabola ad assi ruotati e traslati 444
Calcolo dei determinanti della parabola 445
Il determinante e i minori della parabola 449
La sequenza delle operazioni da compiere (parabola) 450
Il determinante e i minori dell’ellisse 451
La sequenza delle operazioni da compiere (ellisse) 452
Il determinante e i minori dell’iperbole 453
La sequenza delle operazioni da compiere (iperbole) 454
Conica per 5 punti 455
Risoluzione grafica della conica per 5 punti 460
Sequenza dei cubi 463

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