Apostila matemática básica II

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Conceitos de matemática básica II (CIEE)
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Apostila matemática básica II

  1. 1. Programa CIEE de Educação a Distância CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA II SUMÁRIOAULA 1 – Probabilidade ..............................................................................................02AULA 2 – Equação do 1º grau ....................................................................................05AULA 3 – Inequações do 1º grau com uma incógnita .................................................11AULA 4 – Razão, densidade e proporção ...................................................................17AULA 5 – Grandeza e regra de três ............................................................................25AULA 6 – Porcentagem e juros simples......................................................................34Referências .................................................................................................................43 1
  2. 2. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 1 – PROBABILIDADEÉ comum ouvirmos nos noticiários em época de eleição que a probabilidade de umdeterminado candidato ganhar as eleições é x% ou no mundo do esporte que aprobabilidade de seu time ser campeão é de x% e, portanto já deu para perceber que aprobabilidade é um assunto muito comum em nosso cotidiano e uma das matérias maiscobradas nos vestibulares.Para calcular a probabilidade de algo acontecer, divida o número de casos favoráveisao acontecimento pelo número total de casos possíveis. Acompanhe um exemplo.Imagine que dentro de uma caixa tenha 12 figurinhas de esporte - 5 relacionadas afutebol e 7 relacionadas à natação. Se colocarmos essas figurinhas dentro da caixa,chacoalharmos e tirarmos uma figurinha, qual a probabilidade de sair uma figurarelacionada à natação?Para saber o resultado, basta utilizar a seguinte fórmula: P = número de resultados favoráveis P = 7_ = 0,58 número total de resultados possíveis 12Lembrando que o “P” é a abreviação de “probabilidade”, o número de resultadosfavoráveis para isso acontecer é 7, pois há 7 figurinhas relacionadas à natação e onúmero total de resultados possíveis é 12, visto que há no total 12 figurinhas, logo oresultado será de 0,58.Esse resultado também pode ser expresso em porcentagem, basta multiplicar 0,58 por100 e o resultado será de 58%. Logo, a probabilidade de sair uma figurinha relacionadaà natação é de 58%. 2
  3. 3. Programa CIEE de Educação a DistânciaAgora imagine que em uma garrafa há 10 confeitos de açúcar verdes e brancos. Não épossível vê-los dentro da garrafa, exceto se a virarmos de ponta-cabeça, quando umdos confeitos vai para o gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias,repetiu-se 2000 vezes a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafapara então anotar a cor do confeito que aparecia no gargalo. Os resultados foram osseguintes: Confeitos verdes = 624 Confeitos brancos = 1376Na próxima vez que for repetida essa operação, qual a probabilidade da cor do confeitoser verde?Para responder sua pergunta, utilizamos a fórmula que estudamos há pouco. P = 624 = 0,31 Probabilidade 2000 resultado nº de bolas verdes total de ensaios realizados que apareceram no gargaloObservando o cálculo, a probabilidade da cor do confeito ser verde é de 0,31 ou 31%.Agora, acompanhe outros exemplos.Qual a probabilidade de sair o número 6 após o lançamento de um dado? P = 1 = 0,16 ou 16,6% 6A probabilidade de sair o número 6 é de 16%.Qual a probabilidade de sair somente números pares? 3
  4. 4. Programa CIEE de Educação a DistânciaLembrando que um dado possui 3 lados pares (2, 4 e 6), logo: P = 3 = 0,5 ou 50% 6A probabilidade de se obter números pares é de 50%.Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho de 52 cartas eobter uma carta de paus?Lembre-se que em um baralho de 52 cartas existem 13 cartas de paus, logo: P = 13 = 1 = 0,25 ou 25% 52 4Concluímos que a chance de se obter uma carta de paus é de1 entre 4, ou seja, 25%.Utilizando o mesmo baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de se retirar um ás decopas? P = _1_ = 0,01923 ≌ 2% 52A probabilidade de tirar um ás de copas do baralho é de aproximadamente 2%. 4
  5. 5. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 2 – EQUAÇÃO DO 1º GRAUEm nosso dia a dia nos deparamos com situações em que precisamos descobrir ovalor de um número desconhecido. Esse valor pode estar associado a dinheiro,medidas, temperaturas, distâncias, quantidade de pessoas etc. e, exatamente por isso,precisamos aprender a resolver equações, já que elas nos auxiliam nesses e emmuitos outros casos.Imagine que você queira comprar 36 doces, 24 balas e o restante de bombons,quantos bombons comprará?Para resolver esse tipo de problema precisamos conhecer alguns elementosimportantes referentes à equação do 1º grau.Equação é uma sentença matemática com sinal de igualdade que apresenta pelomenos uma letra que representa um número desconhecido.Uma equação do 1º grau é definida de forma geral por ax + b = 0, sendo que a e bpodem assumir qualquer valor real diferente de 0 e x a incógnita. Você sabia... A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".Observe alguns modelos de equação: x+8=8-4 4x - 5 = 7x + 9 5a - b - c = 0Uma equação pode ter mais de uma incógnita, porém aqui trataremos apenas das quepossuem uma incógnita. 5
  6. 6. Programa CIEE de Educação a Distância Importante frisar que toda equação tem: • Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas. • Um sinal de igualdade (=). 2 x + 4 = 16 1º sinal de 2º membro membro igualdade• Uma expressão à esquerda da igualdade, chamada primeiro membro ou membro da esquerda.• Uma expressão à direita da igualdade, chamada segundo membro ou membro da direita. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 2x + 4 = 16 Termos da equação Atenção! Nem toda expressão matemática é uma equação, acompanhe alguns exemplos: 3+6=5+3 não é equação, pois não apresenta incógnita. x-8<6 não é equação, pois não é igualdade. 6 ≠ -3 não é equação, pois não é sentença de igualdade. Antes de resolver uma equação devemos lembrar que o seu resultado é chamado de raiz ou solução e esse resultado nada mais é que o valor de x. Em primeiro lugar você deve observar a forma como o problema se apresenta. Para resolver essa questão, transforme os dados apresentados em uma sentença matemática. Esse é um momento muito importante, pois todo o desenrolar do problema dependerá da sua interpretação. 6
  7. 7. Programa CIEE de Educação a DistânciaAcompanhe este exemplo: Imagine que eu compre 4 quilos de sorvete e depois compremais 2 potes. Qual o peso de cada pote, sabendo que ao todo há 16 quilos? Dados apresentados Linguagem matemática 2 potes + 4 kg = 16 kg 2x + 4 = 16Como dito, as variáveis ou incógnitas aparecem como letras e o objetivo é encontrar ovalor dessa incógnita.Agora, veja a resolução da equação: 2x + 4 = 16. Lembre-se que toda equação possuidois membros.Em uma equação você pode mudar os termos de um membro para o outro desde quese troque o sinal: 2x + 4 = 16 2x = 16 - 4Em um dos membros ficam os termos com as incógnitas e no outro os termosindependentes: 2x = 16 - 4 Membro com incógnita(s). Membro com termos independentes.Efetuamos as operações: 2x = 16 - 4 2x = 12Dividimos os membros pelo coeficiente da incógnita: 2x = 16 - 4 2 x = 12 x = 12 2 7
  8. 8. Programa CIEE de Educação a DistânciaDeterminamos a solução: 2x = 16 - 4 2 x = 12 x = 12 2 x=6Portanto, cada pote possui 6 quilos de sorvete.Logo, se você substituir a incógnita pelo resultado comprovará a equação. Acompanhe: 2x + 4 = 16 2 . 6 + 4 = 16 12 + 4 = 16 16 = 16Agora que está compreendendo o conceito, voltaremos ao cálculo do problemaapresentado no início da aula.Se você comprar 36 doces, 24 balas e o restante de bombons, quantos bombonscomprará?DadosNúmero de balas: 24Número de bombons: ?Total de doces: 36Cálculo: 24 + x = 36 x = 36 - 24 x = 12Logo, dos 36 doces, 24 são balas e 12 são bombons. 8
  9. 9. Programa CIEE de Educação a DistânciaAgora vamos aprender sobre equação do 1º grau com duas incógnitas. Essa equaçãoé reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero. Agora,acompanhe a situação: Imagine que Priscila quisesse montar alguns saquinhos com 6 doces para presentear crianças carentes. Quantos chicletes e bombons poderiam compor os • o número de chicletes por x; • o número de bombons por y. Assim temos uma equação comComo a soma do número de chicletes e bombons é igual a 6, podemos indicar onúmero de chicletes por x e o número de bombons por y. Assim temos x + y igual a 6.As equações do tipo ax + by = c, são chamadas de equação do primeiro grau porqueem cada termo, há somente uma incógnita e essa incógnita tem expoente 1.Na equação que apresentamos, o número x (que representa o número de chicletes) éum número natural. Então, a composição pode ser:Número de x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6chicletesNúmero de y=6 y=5 y=4 y=3 y=2 y=1 y=0bombonsObserve que cada par de números (um indicando o número de chicletes e outroindicando o número de bombons) é uma solução da equação x + y = 6. Portanto, assoluções possíveis são: (0,6); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (6,0). 9
  10. 10. Programa CIEE de Educação a DistânciaCada solução é expressa por um par ordenado. Nesse caso, o primeiro elemento dopar indica o número de chicletes e, o segundo, o número de bombons. (4,2) Número de chicletes Número de bombons 10
  11. 11. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 3 - INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITAAgora, iniciaremos a aula 3 do curso de matemática. Nela estudaremos as inequaçõesdo 1º grau com uma incógnita, assunto muito importante para o entendimento damatemática.Antes de iniciarmos, gostaria de comentar as condições de vida da população brasileiraem relação às desigualdades. Veja algumas notícias que li no jornal que compreienquanto passávamos pela banca.A maioria dos brasileiros recebe salários tão baixos que mal podem se sustentar,enquanto uma parcela da população tem salários altíssimos.A população de moradores de rua só aumenta com o passar dos anos.Uma parcela da população que vive na zona rural apresenta condições de vidaprecária.O que estas reportagens têm haver com inequações?As inequações nada mais são que desigualdades. No caso das reportagens estamosfalando de desigualdades sociais que têm muito haver com esse assunto. Agora,acompanhe outro exemplo, observe as crianças brincando nas gangorras e seusrespectivos pesos. Larissa Flávia Luana Peso: 29 Kg Peso: 25 Kg Peso: 26 Kg Paulo Carlos Pedro Peso: 27 Kg Peso: 32 Kg Peso: 26 Kg 11
  12. 12. Programa CIEE de Educação a DistânciaObserve que o peso de Paulo é menor que o de Larissa (27 < 29), o peso de Carlos émaior que o de Flávia (32 > 25) e o peso de Pedro é igual ao peso de Luana (26 = 26).Quando comparamos dois números reais a e b, somente uma das três afirmações éverdadeira: a < b ou a = b ou a > bSe os números a e b forem diferentes, então a < b ou a > b e dizemos que a e b sãodesiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade, portanto a desigualdade é umasentença matemática em que aparece um destes sinais, veja: Sinal Representação > Maior que < Menor que < Menor que ou igual a > Maior que ou igual a ≠ DiferenteNa situação apresentada vimos dois exemplos de desigualdades verdadeiras, que 27 émenor que 29 (27 < 29) e que 32 é maior que 25 (32 > 25). Partindo desse conceito, ainequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duasexpressões algébricas e pode ser escrita numa das seguintes formas: ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0. ax + b > 0; Nessa expressão o “a” e o “b” são números reais e “a” é ax + b < 0; ax + b ≥ 0; diferente de 0. ax + b ≤ 0.Veja alguns exemplos de inequação do 1º grau: -2x + 7 > 0 x – 10 ≤ 0 2x + 5 ≤ 0 12 – x < 0Conheça algumas características das inequações do 1º grau: 12
  13. 13. Programa CIEE de Educação a Distância A letra x é denominada incógnita ou variável. Cada expressão algébrica é um membro da inequação. Chamamos de 1º membro a expressão que está à esquerda do sinal dedesigualdade. Chamamos de 2° membro a expressão que está à direita da desigua ldade.É importante frisar que antes de aprendermos a resolver uma inequação é fundamentalconhecer os princípios de equivalência das desigualdades.Veja no quadro que os sinais < e <, bem • Os sinais < e < têm o mesmo sentido.como os sinais > e > têm o mesmo sentido. • Os sinais > e > têm o mesmo sentido.Já os sinais < e >, bem como > e < têm • Os sinais < e > têm sentidos opostos.sentidos opostos.Essa constatação é importante para compreendermos o conceito de princípio aditivo emultiplicativo das desigualdades.PRINCÍPIO ADITIVO DA DESIGUALDADEAcompanhe os cálculos quando adicionamos os mesmos números nos dois membrosda desigualdade: Número positivo Número negativo Zero - 20 > - 30 - 12 < - 8 0,5 > - 5 - 20 + 5 > - 30 + 5 - 12 - 5 < - 8 - 5 0,5 + 0 > - 5 + 0 - 15 > - 25 -7<-3 0,5 > - 5Perceba que, ao adicionar um mesmo número aos dois membros da desigualdade,obtemos outra desigualdade de mesmo sentido.PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA DESIGUALDADEAcompanhe os cálculos quando multiplicamos os mesmos números nos dois membrosda desigualdade, mas agora, atente-se à inversão de sinais (> e <): 13
  14. 14. Programa CIEE de Educação a Distância Número positivo Número negativo Zero - 20 > - 30 - 12 < - 8 0,5 > - 5 - 20 . (+ 5) > - 30 . (+ 5) - 12 . (- 5) > - 8 . (- 5) 0,5 . (0) > - 5 . (0) - 100 > - 150 + 60 > + 40 0=0Perceba que ao multiplicar os dois membros de uma desigualdade por um númeropositivo, obtemos outra desigualdade de mesmo sentido, se esse número for negativo,obtemos uma desigualdade de sentido oposto e se esse número for zero, obtemos umaigualdade.Os cálculos que acabamos de estudar permitem analisar se uma inequação éverdadeira ou não, ou seja, se o sinal (>, <, > ou <) realmente apresenta umaexpressão correta. Acompanhe o cálculo da inequação: 5 > 3. A) Adicionando o número 2 nos dois membros da expressão. 5>3 5+2>3+2 7> 5Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “7” é maior que “5”. B) Subtraindo o número 1 nos dois membros da expressão. 5>3 5-1>3-1 4> 2 Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “4” é maior que “2”.Observe que é possível usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrairum mesmo valor aos membros da inequação do 1º grau.Agora, acompanhe a explicação com o mesmo exemplo utilizando a multiplicação edivisão desses membros: A) Multiplicar pelo valor positivo 2 nos dois membros da expressão. 5>3 5 . (+ 2) > 3 . (+ 2) 10 > 6 Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “10” é maior que “6”. 14
  15. 15. Programa CIEE de Educação a Distância B) Multiplicar pelo valor negativo 2 nos dois membros da expressão. 5>3 5 . (- 2) > 3 . (- 2) - 10 > - 6 Conclusão: a inequação NÃO é verdadeira, pois “- 10” é menor que “- 6”. Para que a inequação seja verdadeira é preciso inverter o sinal: -10 < -6, tornando-a uma inequação verdadeira.É preciso ter o máximo de cuidado ao multiplicar ou dividir por um mesmo valor oscomponentes de uma inequação do primeiro grau. Caso este valor seja um númeronegativo, o sinal da inequação sempre será invertido.Agora, acompanhe o cálculo da inequação 3x + 5 < 17:3x + 5 < 173x < 17 - 5 O número 5 vai para o segundo membro e a operação (subtração) é realizada.3x < 12 Dividir por 3 o resultado da subtração. x < 12 3 x < 4 SoluçãoApós fazer os devidos cálculos da inequação apresentada, pode-se concluir que asolução dada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número4, ou seja, S = {1, 2, 3} 15
  16. 16. Programa CIEE de Educação a DistânciaVeja outro exemplo calculando a inequação -2x + 7 > 0: - 2x + 7 > 0 -2x > -7 Usando o princípioUma maneira -2x . (-1) > -7 . (-1) multiplicativo dasimples de resolveruma inequação de 1º 2x < 7 desigualdade, devemos x < 7 multiplicar por -1 para quegrau é isolarmos a 2incógnita x em um torne o número positivo.dos membros da Lembre-se que essaigualdade. ação inverte o sinal.Portanto a solução da inequação é x < 7 . 2 16
  17. 17. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 4 – RAZÃO, DENSIDADE E PROPORÇÃOEssa é a aula 4 do curso de Matemática Básica II. Nela, estudaremos razão, densidadee proporção. Começaremos conceituando a palavra “razão” que vem do latim ratio esignifica divisão, logo, razão é a divisão ou relação entre dois números a e b, com b ≠0, representado pelo quociente a lido como: “a está para b”; “razão de a para b” ou“razão entre a e b”. bParece confuso, mas não é. No decorrer da aula veremos uma série de exemplos quefacilitarão seu entendimento no assunto.Observe aquele grupo de pessoas jogando bola. Imagine que eles participaram de umcampeonato e, de 6 jogos disputados, ganharam 4. Portanto, a razão entre o númerode jogos e o número de vitórias é 6 = 3. Portanto, a cada três partidas, eles ganharamdois jogos. 4 2Para realização do cálculo, a fração foi simplificada até se tornar irredutível. Esseconceito foi estudado na 3ª aula do curso “Matemática Básica I”. Logo, razão é arelação entre duas grandezas que já estão relacionadas ou uma divisão entre doisvalores.Existem algumas razões especiais que são utilizadas em nosso cotidiano. A primeiraque vamos conhecer é a velocidade média.A "velocidade média" percorrida por um corpo móvel (motocicleta, automóvel, trem etc.)é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa emquilômetros ou metros) e o tempo gasto por ele (expresso em horas, minutos ousegundos) e definida pela fórmula: Velocidade média = distância percorrida tempo gasto 17
  18. 18. Programa CIEE de Educação a DistânciaPortanto, a razão entre a distância percorrida por um corpo móvel e o tempo gasto parapercorrê-la é definida como velocidade média.Imagine que um carro de corrida percorreu 420 km em 2h. Qual foi a velocidade médiado veículo?Primeiramente devemos levantar os dados do problema que são a distância percorridade 420 quilômetros e o tempo gasto de 2 horas. Não possuímos a informação referenteà velocidade média, pois é justamente o dado que queremos descobrir.DADOS DO PROBLEMADistância percorrida: 420 km.Tempo gasto: 2 h.Velocidade média: ?Agora, basta aplicar os conceitos na fórmula, observe: Velocidade média = 420 km = 210 km/h. (quilômetro por hora). 2hPortanto, a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 210 Km/h, ou seja,para cada hora percorrida o carro deslocou 210 Km. Agora vamos conhecer outrarazão especial que é a escala.Todos os mapas devem conter uma escala para que o leitor saiba quantas vezes aárea foi reduzida, permitindo o cálculo das distâncias reais dessa área.Aprenda alguns conceitos relacionados ao assunto. Escala: indica quantas vezes uma área foi reduzida. Comprimento real: é a distância real ou a distância no terreno. Comprimento do desenho: é a distância no mapa. 18
  19. 19. Programa CIEE de Educação a DistânciaA fórmula para esse cálculo é bastante simples. Existem três possibilidadesdependendo da informação que desejamos buscar.Quando não sabemos a distância no terreno, devemos usar a fórmula: Comprimento real = comprimento do desenho X escalaQuando não sabemos a distância no mapa, devemos usar a fórmula: Comprimento do desenho = Comprimento real _ EscalaQuando não sabemos qual é a escala do mapa, devemos usar a fórmula: Escala = Comprimento do desenho Comprimento realPortanto, cada vez que nos depararmos com um problema de escala temos queidentificar a incógnita para então utilizarmos a fórmula adequada. Acompanhe oexemplo: Imagine que esse campo de futebol possui 8 metros de comprimento. Qual seria o valor da escala, sabendo que a planta baixa utilizada possui 5 cm? 8m Comprimento real Comprimento do desenho 5 cmETAPA 1Primeiramente devemos identificar a incógnita por meio do levantamento dasinformações apresentadas no problema:Comprimento real: 8 mComprimento do desenho: 5 cmEscala: ? 19
  20. 20. Programa CIEE de Educação a DistânciaNote que as unidades de medida são diferentes (8 metros e 5 centímetros), porémelas devem possuir a mesma unidade de medida. Nesse caso é necessário transformar8 metros em centímetros, acompanhe. x 10 x 10 8 800 km hm dam m dm cm mmConforme estudamos, quando não sabemos qual é a escala do mapa, devemos utilizara seguinte fórmula: Escala = Comprimento do desenho Comprimento real Escala = 5_ ÷5 = 1_ Para determinar a escala, encontramos a 800 160 fração equivalente que tenha numerador 1.Logo a escala é de 1 : 160, portanto cada 1 cm do desenho corresponde a 160 cm ou1,6 m do real.Agora, acompanhe outro exemplo. Imagine que você tenha comprado um apartamentoque ficará pronto em um ano. A planta baixa indica as dimensões do futuroapartamento com escala de 1: 100 ou _1_ que deve ser lido como 1 cm para 100 cm. 100Isso significa que cada centímetro medido na planta corresponde a 100 centímetros ou1 metro na realidade. Nesse caso, qual seria o comprimento real da sacada? 20
  21. 21. Programa CIEE de Educação a Distância 0,85 cm 2,4 cm Para resolvermos o problema devemos levantar os dados e identificar a fórmula adequada. Dados do problema: Comprimento real: ? Comprimento do desenho: 0,85 cm e 2,4 cm Escala: 1 : 100 Como não sabemos a distância no terreno, devemos utilizar a seguinte fórmula: Comprimento real = comprimento do desenho X escala Assim, com base nas informações podemos calcular as medidas reais da sacada da seguinte forma. 0,85 cmComprimento real = 2,4 cm x 1 = 2,4 Comprimento real = 0,85 cm x 1 = 0,85 100 240 100 85 2,4 cm Portanto, as medidas reais da sacada são: 240 cm e 85 cm ou 2,4 m e 0,85 m. Você se lembra dos conceitos estudados sobre massa e volume no curso “Matemática Básica I”? Agora iremos mais além, estudaremos sobre “densidade” que nada mais é 21
  22. 22. Programa CIEE de Educação a Distânciaque a razão entre a massa de um corpo e o volume que ele ocupa. Observe na fórmulaque densidade é igual a massa, dividido pelo volume. Densidade = massa volumeA densidade dos sólidos e líquidos é expressa em gramas por centímetro cúbico(g/cm3). Falando sobre isso, imagine que uma barra de ouro puro pesa 3 kg e temvolume de 155,44 cm3. Esses dados permitem calcular a densidade do ouro,acompanhe. símbolo que representa aproximadamente grama por centímetro cúbicoDensidade = 3 kg___ = ____3.000 g_ __≌ 19,3 g/cm3 155,44 cm3 155,44 cm3Portanto, a densidade do ouro é de aproximadamente 19,3 g/cm3.Acabamos de aprender que a densidade do ouro puro é de 19,3 g/cm3; a presença deoutros metais diminui a densidade relativa, que pode baixar até 15 g/cm3, pois adensidade dos outros metais é menor que a do ouro.Há também a densidade demográfica, ou seja, a razão entre o número de habitantese a área da região ocupada por eles. Acompanhe um exemplo, vamos descobrir adensidade do Distrito Federal, para isso precisamos de alguns dados como apopulação que é de 2.455.903 e a área que é de 5.801,94 Km2. Agora, atente-se paraa fórmula e o cálculo. Densidade demográfica = população(hab.) 2 área (km ) 2 Densidade demográfica = 2.455.903 hab. = 423,29 hab./km 2 5.801,94 km 22
  23. 23. Programa CIEE de Educação a DistânciaPortanto, a densidade demográfica do Distrito Federal é de aproximadamente 423,29hab./km2.Agora você já sabe onde aplicar o conceito de razão que é a relação existente entregrandezas da mesma espécie. Evoluindo nesse conceito, nosso próximo assunto será“proporção”.Acompanhe a comparação do número de pés com o número de dedos. Comparando um pé e cinco dedos Ao compararmos um pé e Proporção: _número de pés_ = 1 número de dedos 5 cinco dedos, chegamos a Logo temos um (pé) para cinco (dedos). proporção de um para cinco. Comparando dois pés e dez dedos Proporção: _número de pés_ = 2 Ao compararmos dois pés e número de dedos 10 dez dedos, chegamos a Logo temos dois (pés) para dez (dedos). proporção dois para dez.Pegando nossos pés como exemplo, podemos dizer que o número de pés está para onúmero de dedos na razão um para cinco, dois para dez e assim sucessivamente.Essas razões apresentam as seguintes igualdades: um para cinco e dois para dez. 1 = 2 5 10Logo, cada uma dessas igualdades é uma proporção, que também podem ser escritasassim: 1: 5 = 2 :10. 1 : 5 = 2 : 10Note que os números 1, 5, 2, 10 são os termos da proporção, meiossendo que 1 e 10 são extremos e 5 e 2 são os meios. extremos 23
  24. 24. Programa CIEE de Educação a DistânciaImportante saber que em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dosextremos. Nesse caso o produto dos meios é 10 (5 x 2) e o produto dos extremostambém é 10 (1 x 10). Esse cálculo também pode ser feito da seguinte forma: extremo meio 1 2 = 5 x 2 = 10 5 10 = 1 x 5 = 10 meio extremoResumindo... uma proporção é uma igualdade entre duas razões, a/b = c/d , sendo osnúmeros a/b e c/d designados razões. Numa proporção a/b = c/d, dizemos que a, b, ce d são termos da proporção, a e d são os extremos e b e c são os meios.Atenção! Existem razões que não formam uma proporção. Acompanhe o exemplo dasrazões _12_ e _3_ . 15 2 12 e 3 = 15 . 3 = 45 15 2 = 12 . 2 = 24As razões não formam uma proporção, pois o produto dos meios é diferente do produtodos extremos. 24
  25. 25. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 5 – GRANDEZA E REGRA DE TRÊSAntes de começarmos, imagine a altura de um prédio de cinco andares, o volume dacaixa d’água de uma casa, a velocidade de um automóvel, o número de gols de umapartida de futebol etc., tudo isso está relacionado a grandezas que nada mais é queuma relação numérica estabelecida com um objeto. É tudo que podemos contar, medir,pesar e enumerar.Para facilitar o entendimento, acompanhe a rotina de Roberto. Atente-se para adiferença entre grandeza e unidades de medida de cada exemplo apresentado. 6h30min Roberto dorme 8 horas por noite e agora já é hora de acordar. O tempo é uma grandeza e a hora (h) é uma unidade de medida de tempo. 7h Roberto toma banho. A vazão da água que sai do chuveiro é umagrandeza e o litro por minuto (ℓ/m) é uma unidade de medida de vazão. 7h30min Roberto come 2 pães e toma 1 copo de leite de 200 mℓ. O número de pães e a capacidade do copo são grandezas. O mililitro (mℓ)é uma unidade de medida de capacidade. 8h Roberto sai de casa para o estágio. A velocidade média do metrô que utiliza é de 80 quilômetros por hora.A velocidade média é uma grandeza e o quilômetro por hora (km/h) é uma unidade demedida de velocidade. 25
  26. 26. Programa CIEE de Educação a Distância 9h É hora de estagiar. Roberto e outros estagiários ficam em uma sala que mede aproximadamente 30 metros quadrados. A superfície é umagrandeza e o metro quadrado (m2) é uma unidade de medida de superfície.Viu quantas grandezas e unidades de medida utilizamos no decorrer do nosso dia!Agora, nos aprofundaremos nesse conceito.Imagine que um estudante tenha comprado duas réguas ao custo de R$ 5,00, logo seele comprar três réguas o custo total será R$ 7,50, pois o custo unitário é de R$ 2,50.Nesse caso, quanto maior a quantidade de réguas, maior a quantia a ser paga. Logoduas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica navariação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.Acompanhe outro exemplo: imagine que uma papelaria cobra R$ 0,20 por páginaxerocada. Nesse caso, duas páginas custarão R$ 0,40; três R$ 0,60 e assimsucessivamente. Quantidade de páginas 1 2 3 4 5 6 Preço (R$) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20A razão entre a quantidade de páginas xerocadas e o preço é sempre o mesmo,observe. 1_ = _2 _ = _3__ = _ 4_ = _5_ = 6 _ 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20Portanto, o preço é diretamente proporcional à quantidade de páginas xerocadas.Imagine que esse carro tenha percorrido uma distância de 100 metros a umavelocidade de 50 km/h em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 100 km/hgastará apenas 5 segundos para percorrer os mesmos 100 metros. 26
  27. 27. Programa CIEE de Educação a DistânciaNesse caso quanto maior a velocidade do automóvel, menor o tempo gasto.Esse caso apresenta duas grandezas inversamente proporcionais e acontecequando, ao dobrar o valor de uma grandeza, a outra reduz pela metade ou ao reduziruma grandeza pela metade, a outra dobra e assim por diante. Logo, duas grandezasinversamente proporcionais variam na razão inversa da outra. Acompanhe outro exemplo para compreender melhor! Imagine que você tenha comprado 240 figurinhas da Copa do Mundo de Futebol para dividir entre seus amigos. O número de figurinhas que cada amigo receberá depende do número de amigos que você considerou. Veja a tabela. Número de amigos 2 3 4 5 6 Número de figurinhas por amigo 120 80 60 48 40A razão entre o número de amigos é o inverso do número de figurinhas por amigo. _ 2_ = _3 _ = _4_ = _5_ = 6_ 120 80 60 48 40 = 240 figurinhasLogo, o número de amigos é inversamente proporcional ao número de figurinhas quecada um receberá.Conhecer o conceito de grandeza é muito importante para o cálculo de regra de trêsque constitui uma maneira prática para resolver problemas que envolvem duasgrandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para resolver uma regra de trêssimples devemos seguir três etapas, acompanhe o exemplo. Regina tem 165 cm de altura e Carlos 185. Num dia de sol, eles mediram suas sombras e o comprimento da sombra de Carlos 27
  28. 28. Programa CIEE de Educação a Distânciaera de 60 cm. Portanto qual era o comprimento da sombra de Regina? 1º PASSO Altura (cm) Comprimento da sombra Organize as informações (cm) passadas. Para isso crie uma 180 60 tabela e agrupe as grandezas da 165 x mesma espécie em colunas. 2º PASSO Identifique se as grandezas são 180 = 165 diretamente ou inversamente 60 x proporcionais. No exemplo apresentado as grandezas são diretamente proporcionais, pois quanto maior 180 = 165 a altura da pessoa, maior será o 60 x tamanho da sombra. 180 . x = 60 . 165 180x = 9.900 3º PASSO x = 9.900 Monte a proporção e resolva a equação. 180 x = 55Portanto o comprimento da sombra de Regina é de 55 cm.Imagine que um atleta percorre 20 km em 2h, mantendo o mesmo ritmo. Quanto temposerá necessário para ele percorrer 30 km? 1ª) Organize as informações Percurso Tempo (h) passadas. (km) 20 2 30 x 2ª) Perceba que as grandezas são diretamente proporcionais, pois 20 = 2 quanto maior o percurso, maior o 30 x tempo. 20 = 2 3ª) Agora basta montar a 30 x proporção e resolver a equação. 20 . x = 30 . 2 20x = 60 x = 60 20 x = 3 28
  29. 29. Programa CIEE de Educação a DistânciaPortanto, o atleta percorre 30 km em 3h.Agora, imagine que os funcionários de uma construtora trabalharam 8 horas por dia efinalizaram uma obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para5 horas, em que prazo o mesmo trabalho seria finalizado?Para realizar o cálculo, primeiramente organize as informações apresentadas. Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 xPerceba se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Note quediminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término da obraaumenta, logo as grandezas são inversamente proporcionais.Agora montamos a proporção e resolvemos a equação._5_ = 20_ 8 x Note que quando as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter os termos de uma grandeza.5x = 8 . 20 x = 160 5 x = 32Logo, se o número de horas de serviço fosse reduzido para 5 horas, o trabalho seriafinalizado em 32 dias.Agora acompanhe esse exemplo envolvendo grandezas proporcionais e inversamenteproporcionais. Imagine que 12 tecelões em 90 dias de trabalho com jornada de 8 horas 29
  30. 30. Programa CIEE de Educação a Distânciadiárias produzem 36 metros de tapete. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 24metros de tapete, trabalhando 6 horas por dia?ETAPA 1Primeiro levante as informações do problema. Operários Dias Horas Metros 12 90 8 36 15 x 6 24Antes de calcular, deve-se estabelecer a direção de proporcionalidade entre cadagrandeza e a grandeza a ser determinada. Vamos começar com a coluna dosoperários: Operários Dias 12 90 15 xDevemos identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.Portanto se aumentarmos o número de operários, a quantidade de dias diminuirá,portanto, trata-se de uma relação inversamente proporcional. Nesse caso, deve-seinverter a coluna dos operários. Assim, provisoriamente, temos. Operários Dias Horas Metros 15 90 8 36 12 x 6 24ETAPA 3Agora faremos o mesmo com a coluna dos dias: quanto mais horas trabalhadas pordia, menos dias serão necessários: Dias Horas 90 8 x 6Nesse caso, deve-se inverter a coluna dos dias. Assim, provisoriamente, temos: Operários Dias Horas Metros 15 90 6 36 12 X 8 24 30
  31. 31. Programa CIEE de Educação a DistânciaAgora analisamos as grandezas da última coluna: Dias Metros 90 36 x 24Quanto mais dias trabalhados, mais metros de tapete serão produzidos. Como asgrandezas são diretamente proporcionais, a última coluna não sofre alterações: Operários Dias Horas/dia Metros 15 90 6 36 12 X 8 24Analisando coluna por coluna, temos: (a) Operários Dias 15 90 12 x (b) Dias Hora/dia 90 6 X 8 (c) Dias Metros 90 36 x 24ETAPA 6A próxima etapa é multiplicar cada um desses elementos (a, b e c) em cruz: (a) Operários Dias 15x = 12 . 90 15 90 x = 12 . 90 12 x (b) Dias Hora/dia 6x = 8 . 90 90 6 x = 8 . 90 X 8 6 31
  32. 32. Programa CIEE de Educação a Distância (c) 36x = 24 . 90 Dias Metros 90 36 x = 24 . 90 x 24 36 A) B) C) 15x = 12 . 90 6x = 8 . 90 36x = 24 . 90 x = 12 . 90 x = 8 . 90 x = 24 . 90 15 6 36Após realizar os cálculos, constatamos que os números: 12, 90, 8, 24 são numeradorese os números 15, 6, 36 são denominadores. Logo temos: x = 12 . 90 . 8 . 24 = 64 15 . 6 . 36Serão necessários 64 dias de trabalho para fazer a quantidade de tapete solicitada.Agora, acompanhe outro exemplo utilizando um modo de cálculo diferente. Em umprédio, 6 pintores pintam uma área de 300m2 em 2 horas. Quantos pintores serãonecessários para pintar uma área de 400m2 em 1 hora?FASE 1Primeiramente organize dos dados: Número de pintores Área (m2) Tempo (h) 6 300 2 X 400 1FASE 2 Número de pintores Área (m2) Tempo (h) 6 300 2 X 400 1Comparando a grandeza do número de pintores com as outras duas, constatamos queo número de pintores é diretamente proporcional à área pintada e o número de pintoresé inversamente proporcional ao tempo gasto. 32
  33. 33. Programa CIEE de Educação a DistânciaEntão podemos montar as razões da seguinte forma: 6 . 300 . 1 x 400 2 razão inversa entre os tempos razão proporcional entre áreas razão entre o número de pintoresFASE 3Agora devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outrasrazões e aplicar a propriedade fundamental das proporções. _6_ = 300 . _1_ x = 6 . 400 . 2 = 4800 = 16 300 . 1 300Portanto, serão necessários 16 pintores para pintar uma área de 400m2 em 1 hora. 33
  34. 34. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 6 – PORCENTAGEM E JUROS SIMPLESChegamos à última aula do curso “Matemática Básica II” e falaremos de um assuntomuito interessante que faz parte do nosso dia a dia, a porcentagem. Observe:- Dona Margarida teve um desconto de 10% ao comprar essa blusa de lã.- 80% dos comerciantes dessa feira de artesanato acreditam que as vendas aumentarão 5% no próximo mês, devido às festas que ocorrerão na cidade.- Esse belo quadro sofreu um aumento de 5% na semana passada.Realmente é muito comum ouvirmos falar disso no dia a dia. Quem nunca se deparoucom promoções do tipo: só hoje 10% de desconto em toda loja, aproveite os descontosespeciais de até 60%, compre hoje e evite o reajuste de preços. PORCENTAGEMPois bem, porcentagem pode ser definida como a • Centésima parte de uma grandeza.centésima parte de uma grandeza, ou ainda como uma • Fração cujo denominador é 100.fração cujo denominador é 100, ou seja, 40% é igual a_40_ que corresponde a 0,40.100Não podemos esquecer que a porcentagem é representada pelo símbolo de %.O mais interessante é que podemos utilizar a regra de três para calcular aporcentagem. Acompanhe os exemplos. 34
  35. 35. Programa CIEE de Educação a DistânciaAntônia é comerciante na feira de artesanato e vende, em média, R$ 700 por mês.Como está prevendo um aumento de 15% nas vendas devido às festas que ocorrerãona cidade no próximo mês, quanto venderá? Existem várias maneiras de resolver esseproblema de porcentagem, porém utilizaremos a regra de três para calculá-lo.ETAPA 1Primeiramente levante os dados apresentados no problema. Venda atual = R$ 700,00 Aumento previsto = 15% Valor previsto de venda para o próximo mês = ?ETAPA 2Monte a regra de três e multiplique os valores em cruz: Valor de vendas % 700 100 x 15 100 x = 700 . 15 x = 10.500 100 x = 105Portanto, o aumento das vendas será de R$ 105,00 e o valor total das vendas dopróximo mês será de R$ 805,00.Agora imagine que em um jogo de basquete um único jogador tenha feito 25% dos 92pontos marcados por seu time. Vamos descobrir quantos pontos ele fez por meio docálculo da porcentagem.ETAPA 1Levante os dados apresentados no problema: Número de pontos marcados pelo time = 92 % de pontos feitos pelo jogador = 25% Pontos feitos pelo jogador = ? 35
  36. 36. Programa CIEE de Educação a DistânciaETAPA 225% corresponde a 25 ou 1 100 4Se multiplicarmos 25 por 92, descobriremos o número de pontos realizados pelojogador. 100 25 . 92 = 2300 = 23 100 100A mesma coisa vale se multiplicarmos 1 por 92. Acompanhe: 4 1 . 92 = 92 = 23 4 4Agora acompanhe o cálculo do mesmo exemplo usando regra de três. Para realizar olevantamento de dados, observe que 92 pontos estão para 100%, assim como “x”pontos estão para 25%, assim formamos a proporção: Pontos % 92 100 x 25 100 x = 92 . 25 x = 2.300 100 x = 23Acompanhe o cálculo de 100%.Nessa barraca, Dona Elisa vende anéis variados, 42 deles contêm pedras brasileiras ecorrespondem a 60% do total. Quantos anéis Dona Elisa têm no total? 36
  37. 37. Programa CIEE de Educação a Distância Anéis % Observe que 42 anéis estão para 42 60 60% assim como x anéis estão x 100 para 100. Veja a proporção e acompanhe o cálculo por meio da 60x = 42 . 100 regra de três. x = 4200 60 x = 70 Número total Número de anéis com de anéis Outra forma de resolver o pedras brasileiras problema é por meio de uma 60% de x = 42 equação, em que x é o número 0,60 . x = 42 total de anéis. 0,60 x = 42 Resolvendo a equação em x, x = 42 60 x = 70Logo, Dona Elisa tem 70 anéis em sua barraca.Agora vamos aprender a calcular porcentagem. Imagine que essa feira de artesanatopossuísse 15 barracas variadas e que 6 delas vendessem somente artigos voltados aopúblico infantil. Qual seria a porcentagem de barracas que venderia outros tipos deartigos?Ao subtrair o número total de barracas pelo número de barracas de artigos infantis,encontramos a quantidade de barracas de artigos variados, que nesse caso é 9.Total de barracas Barracas de artigos infantis Barracas de artigos variados 15 - 6 = 9Com base na informação anterior, faremos o cálculo da porcentagem utilizando oconceito de regra de três: Total de barracas % 15 100 9 x 37
  38. 38. Programa CIEE de Educação a Distância nº de barracas dado que desejamos variadas descobrir 15 . x = 9 . 100 15x = 900 x = 900 15 x = 60A porcentagem de barracas variadas é de 60%.Outro assunto muito interessante é o cálculo de aumento e desconto em porcentagem.Por exemplo, imagine que na semana passada você tenha pesquisado o preço de umacalça e de uma camiseta na feira de artesanato. Hoje, decidiu comprá-las, mas aochegar à barraca percebeu que os preços foram alterados. A calça, que custava R$83,00 sofreu aumento de 10% e a camiseta, que custava R$ 42,00, teve desconto de5%. Quanto gastará?O cálculo de aumento deve ser feito da seguinte forma: primeiramente determinamos aporcentagem do preço atual da calça em relação ao preço antigo, ou seja, 100% mais10% que corresponde a 110%. 100% + 10% = 110%Depois calculamos 110% do preço antigo da calça (R$ 83,00) e obtemos o preço atual.Observe que há duas formas de fazê-lo: Cálculo por meio de uma equação Cálculo por meio de regra de três 110% de R$83,00 Valor da calça % 110 . R$ 83 = 91,30 R$ 83,00 100 100 x 110 100x = 83 . 110 x = 9.130 100 x = 91,30 38
  39. 39. Programa CIEE de Educação a DistânciaAgora, vamos aprender o cálculo de desconto que é realizado da mesma maneira.Primeiramente determinamos a porcentagem do preço atual da camiseta em relação aopreço antigo, ou seja, 100% menos 5% que corresponde a 95%. 100% - 5% = 95%Depois calculamos 95% do preço antigo (R$ 42,00) e obtemos o preço atual. Observeque há duas formas de fazê-lo: Cálculo por meio de uma equação Cálculo por meio de regra de três 95% de R$ 42,00 Valor da camiseta % 95 . R$ 42 = 39,90 R$ 42,00 100 100 x 95 100x = 42 . 95 x = 3.990 100 x = 39,90Para finalizar some os dois valores e obtenha o valor final da compra.Calça: R$ 91,30 +Camiseta: R$ 39,90Total: R$ 131,20Logo, o valor total da compra será de R$ 131,20.Agora, falaremos de outro assunto bastante comentado no dia a dia, o juro. Vocêsaberia nos dizer o juro cobrado ao realizar um empréstimo bancário, ao comprar umaTV com pagamento parcelado, ou ainda, quanto renderá aquele dinheirinho dapoupança.Para aprender a calcular juros, primeiramente é importante saber alguns conceitos. 39
  40. 40. Programa CIEE de Educação a DistânciaCapital: posses em dinheiro ou em propriedades, ou ainda, valores empregados emuma empresa.Juros Simples: acréscimos somados ao capital inicial no final de uma aplicação.Montante: soma de um capital com o respectivo juro.De modo geral o juro simples (J) que incide de um capital (C) a uma taxa de juro (i) porum determinado prazo (t) é calculado por meio da seguinte fórmula: J=C.i.tImagine que você tenha emprestado dinheiro do banco, seja por meio de umempréstimo, cheque especial, hipoteca etc., sem dúvida serão cobrados juros sobreesse dinheiro. O mesmo aconteceria se ocorresse o contrário, em um investimento,caderneta de poupança etc., o banco utilizaria o seu dinheiro e, nesse caso, vocêreceberia juros.Veja outro exemplo prático. Durante quatro meses, Vinicius conseguiu economizar R$1.000,00 e para não cair em tentação colocou esse dinheiro na poupança. QuantoVinícius terá na poupança após um mês, sabendo que a taxa de juros foi de 0,5% aomês?ETAPA 1 Primeiro levante as J = ? informações do C = R$ 1.000,00 problema. i = 0,5% a.m t = 1 mêsETAPA 2 Utilize a fórmula para J=C.i.t chegar ao resultado. J = 1000 . 0,5 . 1 Veja que a taxa de juros 0,5% foi 100 colocada em forma fracionária: 0,5% = 0,5 J=5 100 40
  41. 41. Programa CIEE de Educação a DistânciaPortanto, depois de um mês Vinicius receberá R$ 5,00 de juros e terá na poupança R$1.005,00.Agora veja uma situação de empréstimo. Daniel fez um empréstimo de R$ 1.000,00com um amigo à taxa de juro simples de 2% ao mês. Depois de três meses quanto elepagou?ETAPA 1 Observe que a taxa de juros e o tempo J = ? devem possuir a mesma unidade de Primeiro levante as C = R$ 1.000,00 tempo, ou seja, taxa de juros informações do i = 2% ao mês (a.m.) apresentada em meses e tempo problema. t = 3 meses expresso em meses. O mesmo vale para ano.ETAPA 2 Utilize a fórmula para J=C.i.t Veja que a taxa de juros 2% foi chegar ao resultado. J = 1000 . 2 .3 colocada em forma fracionária: 100 J = 60 2% = 2_ 100Portanto, depois de três meses Daniel pagará R$ 60,00 de juros, logo R$ 1.060,00 peloempréstimo. Observe que no sistema de juro simples, o juro incide apenas sobre ocapital. O montante obtido nesse sistema depende do capital, do tempo de aplicação eda taxa de juros.Imagine que você queira comprar um novo aparelho de TV. A loja oferece duas formasdiferentes para o pagamento, R$ 630,00 à vista ou em 8 parcelas de R$ 94,50,custando ao final R$ 756,00. Por que isso acontece?O preço da TV a prazo é maior porque é cobrado juro em relação ao preço à vista.Vamos calcular o juro que será cobrado pelo parcelamento. 41
  42. 42. Programa CIEE de Educação a DistânciaETAPA 1 Primeiro levante as Preço da TV à vista: R$ 630,00 informações do Preço da TV a prazo: R$ 756,00 problema. Porcentagem de juro cobrada: ?ETAPA 2 Descubra a diferença Preço a prazo – preço à vista = diferença entre o preço da TV à R$ 756,00 – R$ 630,00 = R$ 126,00 vista e a prazo.ETAPA 3 Encontre a porcentagem Valor da TV de juro que será à vista % cobrado na TV a prazo. 630 100 126 x Diferença % de juro cobrado 630x = 126 . 100 x = 12.600 630 x = 20%Logo, o juro cobrado na TV a prazo é de 20%. Para saber a taxa cobrada ao mês,basta dividir 20% por 8 (dado que corresponde ao número de parcelas). Nesse caso,obtemos 2,5% que é a taxa de juro simples mensal. 42
  43. 43. Programa CIEE de Educação a DistânciaREFERÊNCIASALGO SOBRE VESTIBULAR. Juros simples. http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-simples.html Data de acesso: 06/04/09ALUNOS ON-LINE. Entenda os cálculos de juros.http://www.alunosonline.com.br/matematica/juros/ Data de acesso: 20/03/09BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática : ensino fundamental, -Volumes 6 e 7 2. ed. – São Pulo : Moderna, 2007CIÊNCIA À MÃO. Inequações do 1º grau – aula 67http://www.cienciamao.if.usp.br/dados/t2k/_matematica_mat67b.arquivo.pdf Data deacesso: 17/03/09INFOESCOLA. Inequação do 1º grau – 2ª parte.http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-primeiro-grau/ Data de acesso:16/03/09JULIO BATTISTI. Matemática para concursos – 15ª parte.http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos015.asp Datade acesso: 18/03/09MATEMATHIKA. Regra de três simples.http://www.mathemathika.hpg.ig.com.br/regd3.htm Data de acesso: 20/03/09MUNDO EDUCAÇÃO. Juros simples.http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/juros-simples.htm Data de acesso:06/04/09MUNDO EDUCAÇÃO. Proporção.http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/proporcao.htm Data de acesso:17/03/09MUNDO VESTIBULAR. Equações do primeiro grau.http://www.mundovestibular.com.br/articles/57/1/EQUACOES-DO-PRIMEIRO-GRAU/Paacutegina1.html Data de acesso: 13/3/09PORTAL TÔ SABENDO. Razão, proporção e porcentagem.http://www.portaltosabendo.com.br/index.php/assuntos_enem/visualizar/razao_proporcao_e_porcentagem.wsa Dados de acesso: 17/03/09PASSEI WEB. Grandeza, razão e proporção.http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/grandeza/grandeza_razao_proporcao Data de acesso: 17/03/09 43
  44. 44. Programa CIEE de Educação a DistânciaPORTAL SÃO FRANCISCO. Equação do primeiro grau.http://www.colegiosaofrancisco.com.br/alfa/matematica-ef/equacao-do-primeiro-grau-1.php Data de acesso: 16/3/09RCE ON-LINE. Sistemas de equação do primeiro grau.http://www.rceonline.com.br/cf/salaaula/estudos/matematica/sistemas_equacoes1grau/adicao2.htm Data de acesso: 16/3/09SLIDE SHARE. Equações de 1º grau. http://www.slideshare.net/tetsu/brunoequaes-de-1-grau-2-parte Data de acesso: 16/03/07SLIDE SHARE. Equações de 1º grau – 1ª partehttp://www.slideshare.net/tetsu/brunoequaes-de-1-grau-1-parte Data de acesso:16/03/09SÓ MATEMÁTICA. Grandezas diretamente proporcionais.http://www.somatematica.com.br/fundam/grandir.php Data de acesso: 06/04/09UOL EDUCAÇÃO. Regra de três composta.http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtm( Data de acesso: 20/03/09SÓ MATEMÁTICA. Regra de três simples.http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php Data de acesso: 17/03/09UOL EDUCAÇÃO. Regra de três simples.http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u25.jhtm Data de acesso: 20/03/09 44

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