Simetria - Carina

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Simetria - Carina

  1. 1. Simetria
  2. 2. <ul><li>Introdução………………………………………3 </li></ul><ul><li>A simetria……………………………………….4 </li></ul><ul><li>A simetria do cubo…….........…….........7 </li></ul><ul><li>A simetria na natureza……………………11 </li></ul><ul><li>Conclusão……………………………………..15 </li></ul><ul><li>Bibliografia…………………………………...16 </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Todos nós já pensámos em simetria (pelo menos quando nos olhamos ao espelho) e temos alguma ideia óbvia sobre o significado desta palavra. Em linguagem matemática, simetria poderia definir-se como uma operação geométrica que deixa um objecto constante. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objectos. </li></ul>Simetria Fig.1 – Figura Simétrica Eixo de Simetria
  5. 5. <ul><li>Uma simetria rotacional corresponde a observar que podemos rodar um objecto em torno de um dado eixo para que ele fique inalterado. Na figura seguinte está exemplificado o exemplo de um quadrado: (I estado inicial; II rotação de 45°, III, rotação de 90°). </li></ul><ul><li>I II III </li></ul><ul><li>Para o quadrado existem quatro ângulos segundo os quais podemos rodar a figura em torno de um eixo perpendicular que passa pelo seu centro, sem que o quadrado se altere. Esses ângulos são 90°, 180°, 270° e 360°. Este tipo de simetria chama-se Z4. </li></ul>I III II I
  6. 6. <ul><li>Se em vez do quadrado tivéssemos um triângulo, seriam 3 os ângulos de rotação que deixavam o triângulo inalterado: 120°, 240° e 360°, ou seja, uma simetria do tipo Z3. Na figura em baixo mostram o estado inicial do triângulo (I), o triângulo após uma rotação de 60° (II) e após uma rotação de 120° (III): </li></ul>III II I
  7. 7. <ul><li>Quanto e como é que um cubo é simétrico? Não é preciso muito para se perceber que é mais simétrico do que um paralelepípedo: se quatro pessoas, sentadas a uma mesa quadrada, observarem um cubo apoiado sobre a mesa, todos vêem a mesma coisa; porém, se em cima da mesa houver um paralelepípedo (com as três dimensões diferentes entre si), só duas pessoas que estiverem sentadas frente a frente verão a mesma coisa. </li></ul><ul><li>É possível demonstrar que as diferentes simetrias do cubo são 48. </li></ul>As simetrias do Cubo
  8. 8. <ul><li>São nove os planos de simetria do cubo, ou seja, os planos que o dividem em duas partes, sendo uma a imagem reflectida da outra. </li></ul>                                                                                                                                                                                                                                                           
  9. 9. Estes planos passam todos pelo centro do cubo e, se forem considerados em conjunto, dividem a superfície do cubo em 48 triângulos iguais e o próprio cubo em 48 pirâmides iguais que têm por base os 48 triângulos e por vértice o centro do cubo. Se escolhermos como referência uma destas 48 pirâmides, cada simetria do cubo leva-a para uma das 48 posições possíveis, inclusive a inicial (neste último caso, é como se o cubo inteiro tivesse permanecido imóvel, sendo esta simetria chamada transformação identidade). Por exemplo, na figura ao lado podemos observar para onde se desloca a pirâmide após uma rotação de meia volta em torno de uma recta S; e nesta figura, vemos a pirâmide reflectida num dos planos de simetria do cubo; note-se que esta segunda pirâmide por sua vez reflectida no plano volta à posição inicial (a composta da reflexão com ela própria é a identidade).
  10. 10. Para perceber quais são as 48 simetrias do cubo, podemos começar por ver quais delas são rotações, identificando, antes de mais, quais são os possíveis eixos de rotação, ou seja, as rectas em torno das quais devemos rodar o cubo de modo a que seja enviado em si mesmo. Estas rectas podem ser de três tipos: rectas que passam pelo centro de duas faces opostas. As rotações em torno destas rectas de 1/4, 1/2 e 3/4 de volta são simetrias do cubo, assim como a rotação de 0 voltas, que corresponde à identidade. No cubo existem três rectas distintas deste tipo e, por isso, podemos identificar 10 simetrias. rectas que passam pelos pontos médios de duas arestas opostas. As rotações em torno destas rectas, que fixam o cubo (para além da identidade) são apenas as de meia volta; as rectas deste tipo são seis, pelo que encontramos mais seis simetrias do cubo. rectas que passam por dois vértices opostos. Neste último caso, o cubo pode ser rodado de 1/3 ou 2/3 de volta; existem quatro pares de vértices opostos e, por isso, mais oito simetrias de rotação.  
  11. 11. <ul><li>Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria. A simetria na Natureza é um fenómeno único e fascinante. Esta ideia surge naturalmente ao espírito humano, remetendo-o para um equilíbrio e proporção , padrão e regularidade , harmonia e beleza , ordem e perfeição . Estes são alguns dos vocábulos que resumem reacções que temos inerentes às simetrias que abundam na Natureza, nas formas vivas e inanimadas. Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas e em diferentes locais. Uma figura geométrica plana diz-se simétrica se for possível dividi-la por uma recta, de forma que as duas partes obtidas se possam sobrepor por dobragem. As rectas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura. Um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza é o caso da borboleta , a qual apresenta um único eixo de simetria. </li></ul>
  12. 12. Todavia existem figuras que podem ter vários eixos de simetria ou nenhum. A simetria bilateral é imediatamente detectada nesta imagem da cabeça de uma coruja . No dente-de-leão é facilmente perceptível o arranjo em simetria radial.                                                                                                                     
  13. 13. Mas a assimetria (ou a não-simetria) é uma característica que também ocorre. Verificam-se mesmo alguns casos invulgares que têm deixado intrigados os observadores, como sucede, por exemplo, com a solha. Notem-se, no caso do peixe achatado , os dois olhos na mesma face, assim como a boca deformada.                                                                               
  14. 14. Podemos encontrar outras formas de assimetria, mas igualmente relacionadas com a matemática. Um das mais frequentes, sobretudo entre as plantas, mas também presente no reino animal é a espiral, reconhecível no desenho das conchas de caracóis, búzios e afins. É facilmente identificada, no caracol , a forma espiralada exibida pela casca.
  15. 15. Com este trabalho conclui que até o nosso corpo é simétrico e que quase tudo à nossa volta também é simétrico.
  16. 16. <ul><li>www.proavirtualg17.pbwiki.com </li></ul><ul><li>www.ufsm.br </li></ul><ul><li>www.simetria.info.pt </li></ul><ul><li>www.ese.ips.pt </li></ul><ul><li>Trabalho realizado por : Carina silva 6ºF nº7 </li></ul>

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