Analisa Regresi Non-Linier
(Non-Linear Regression Analysis)
ARIF RAHMAN
1

Statistika
Statistika adalah cabang ilmu matematika yang
mempelajari metode ilmiah untuk mengumpulkan,
mengorganisasi, merangkum, menyederhanakan,
menyajikan, menginterpretasikan, menganalisa dan
mensintesa data (numerik atau nonnumerik) untuk
menghasilkan informasi dan/atau kesimpulan, yang
membantu dalam penyelesaian masalah dan/atau
pengambilan keputusan.
2

Statistika
3
Mengorganisasi,
Merangkum,
Menyederhanakan,
Menyajikan,
Menginterpretasikan
Menganalisa
Mensintesa
Mengumpulkan data
Menghasilkan informasi dan/atau kesimpulan
Menggeneralisasi
Mengestimasi,
Menguji hipotesa,
Menilai relasi,
Memprediksi
Menyelesaikan masalah Mengambil keputusan

Statistika Inferensia
Statistika inferensia adalah cabang statistika yang
menganalisa atau mensintesa data untuk
menggeneralisasi sampel terhadap populasi,
mengestimasi parameter, menguji hipotesa, menilai
relasi, dan membuat prediksi untuk menghasilkan
informasi dan/atau kesimpulan.
Terdapat banyak alat bantu statistika (statistical tools)
yang dapat dipergunakan untuk menginferensi
populasi atau sistem yang menjadi sumber asal data
sampel
4

Statistika Inferensia
5
Tujuan studi terhadap populasi Observasi atau eksperimen pada sampel
SAMPLING
INFERENSI
Parameter :
N (banyaknya anggota populasi),
μ (rata-rata populasi),
σ (simpangan baku populasi),
π (proporsi populasi)
Statistik :
n (banyaknya anggota sampel),
ẋ (rata-rata sampel),
s (simpangan baku sampel),
p (proporsi sampel)

Tipe Data
Data Nominal, data yang hanya berupa simbol (meski berupa
angka) untuk membedakan nilainya tanpa menunjukkan tingkatan
Data Ordinal, data yang mempunyai nilai untuk menunjukkan
tingkatan, namun tanpa skala yang baku dan jelas antar tingkatan.
Data Interval, data yang mempunyai nilai untuk menunjukkan
tingkatan dengan skala tertentu sesuai intervalnya. Nilai nol hanya
untuk menunjukkan titik acuan (baseline).
Data Rasio, data yang mempunyai nilai untuk menunjukkan
tingkatan dengan skala indikasi rasio perbandingan. Nilai nol
menunjukkan titik asal (origin) yang bernilai kosong (null).
6

Tipe Data
Data Parametrik, data kuantitatif yang mempunyai
sebaran variabel acak mengikuti pola distribusi
probabilitas dengan parameter tertentu (independent
and identically distributed random variables)
Data Nonparametrik, data yang tidak mempunyai
distribusi probabilitas (distribution-free)
7

Tipe Data
Data Diskrit, data hasil pencacahan atau
penghitungan, sehingga biasanya dalam angka
bilangan bulat.
Data Kontinyu, data hasil pengukuran yang
memungkinkan dalam angka bilangan nyata
(meskipun dapat pula dibulatkan)
8

Statistika Alat Bantu Problem Solving
9
Penting memperhatikan
cara memperoleh
data yang akan diolah
Demikian pula
cara mengolah data
juga penting diperhatikan

Statistika Alat Bantu Problem Solving
10
Metode statistika bukan
ramuan sihir
Alat statistika bukan
tongkat sihir

Ketelitian &
Tipe Kesalahan
11

Akurasi dan Presisi
Akurasi (accuracy), kesesuaian hasil pengukuran
terhadap nilai obyek sesungguhnya (bias kecil)
Presisi (precision), tingkat skala ketelitian
pengukuran dari alat pengukur, atau ketersebaran
yang relatif mengumpul (variansi atau deviasi kecil)
12

Akurat dan Presisi
Tidak presisi, akibat pola sebaran sampel
lebih melebar daripada pola sebaran
populasi menyebabkan deviasi yang besar.
Tidak akurat, akibat pergeseran
pemusatan sampel menjauh dari
pemusatan populasi menyebabkan bias
yang besar.
Akurat dan presisi, bias dan deviasi kecil,
membutuhkan sampel sedikit.
13

Kesalahan Pengambilan Kesimpulan
Galat tipe 1 () : kesalahan menyimpulkan karena
menolak hipotesa yang semestinya diterima
Galat tipe 2 () : kesalahan menyimpulkan karena
menerima hipotesa yang semestinya ditolak
14
 

Kesalahan Pengambilan Kesimpulan
15
The true state of nature
Decision H0 is true H0 is false
Reject H0 Type I error Exact decision
Fail to reject H0 Exact decision Type II error
The true state of nature
Decision H0 is true H0 is false
Reject H0  1 – 
Fail to reject H0 1 –  

Ukuran Ketelitian Pendugaan
Tingkat keberartian (significance level, ), probabilitas
penolakan data observasi, karena menyimpang signifikan terhadap
sasaran.
Tingkat kepercayaan (confidence coefficient,1-), persentase
data observasi yang diyakini tidak berbeda signifikan dengan target.
Kuasa statistik (power,1-), persentase data observasi yang
diyakini berbeda signifikan dengan target.
Derajat kebebasan (degree of freedom, df=n-k), besaran
yang menunjukkan bebas terhadap bias dari n data observasi.
16

Kekeliruan pada Analisa Regresi
 Tidak ada logika penalaran atau alasan logis yang mendasari hipotesa
variabel bebas mempengaruhi variabel terikat.
 Deskripsi dari variabel bebas tidak mempunyai hubungan kausal
dengan deskripsi dari variabel terikat.
 Pengukuran atau pengumpulan data dilakukan oleh/dari pihak yang
mempunyai konflik kepentingan atau yang tidak punya kewenangan
atas data.
 Variabel bebas dan/atau variabel terikat diukur pada hanya satu obyek
yang bernilai tunggal atau statis.
 Rentang data sampel sangat sempit, namun dipergunakan untuk
menginduksi rentang populasi yang sangat lebar dengan ekstrapolasi.
17

Kekeliruan pada Analisa Regresi
 Variabel bebas (x) = tinggi badan anak-anak di desa A (pertumbuhan tiap tahunnya);
Variabel terikat (y) = harga emas (kenaikan tiap tahunnya). Meskipun jika dihitung,
menunjukkan pertumbuhan tinggi badan anak-anak di desa A mempunyai korelasi
kuat dengan kenaikan harga emas.
 Variabel bebas (x) = motivasi kerja; Variabel terikat (y) = kinerja. Deskripsi “motivasi
kerja” adalah mendapatkan pengakuan dari keluarga besar karena menjadi karyawan
pabrik.Deskripsi “kinerja” adalah waktu penyelesaian pekerjaan lebih cepat daripada
batas waktu yang ditargetkan.
 Data yang diukur : Banyaknya pelanggaran yang dilakukan. Ditanyakan pada pelaku
pelanggaran, atau pada pihak yang tidak pernah melihat pelaku pelanggaran.
 Data yang diukur : Aturan pengupahan dari satu perusahaan di satu waktu.
 Rentang data sampel pada 10 < x < 50, namun dipergunakan untuk menduga nilai Y
jika x=200.
18

Kekeliruan pada Analisa Regresi
19

Kekeliruan pada Analisa Regresi
20

Analisa Regresi
21

Perbedaan Korelasi dan Regresi
22
Correlation Regression

Perbedaan Korelasi dan Regresi
23
Correlation Regression

Analisa Regresi
24

Analisa Regresi
25

Analisa Regresi
26

Analisa Regresi Linier
27

Analisa Regresi Linier
28

Analisa Regresi Linier
29

Analisa Regresi Nonlinier
30

Analisa Regresi Nonlinier
31

Analisa Regresi Nonlinier
32

Analisa Regresi Nonlinier
33

Analisa Regresi Nonlinier
34

Regresi Polynomial
35

Regresi Polinomial
36

Regresi Polinomial
37

Regresi Polinomial
38

Regresi Polinomial
39

Regresi Polinomial
40

Estimasi Parameter Regresi Polinomial
y = β0 + β1.x + … + βm.xm
1. Hitung x, x2, … , x2m, y , xy , … , xmy
2. Taksiran nilai β0 , β1 , … , βm dari
41
































y
x
x
x
x
x
xy
x
x
x
x
y
x
x
x
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
2
2
2
1
1
0
1
3
2
2
1
0
2
2
1
0
















Example 1
42

Example 1
43

Example 1
44
x x2 x3 x4 y xy x2y
20 400 8.000 160.000 1,81 36,20 724,00
25 625 15.625 390.625 1,70 42,50 1.062,50
30 900 27.000 810.000 1,65 49,50 1.485,00
35 1.225 42.875 1.500.625 1,55 54,25 1.898,75
40 1.600 64.000 2.560.000 1,48 59,20 2.368,00
50 2.500 125.000 6.250.000 1,40 70,00 3.500,00
60 3.600 216.000 12.960.000 1,30 78,00 4.680,00
65 4.225 274.625 17.850.625 1,26 81,90 5.323,50
70 4.900 343.000 24.010.000 1,24 86,80 6.076,00
75 5.625 421.875 31.640.625 1,21 90,75 6.806,25
80 6.400 512.000 40.960.000 1,20 96,00 7.680,00
90 8.100 729.000 65.610.000 1,18 106,20 9.558,00
640 40.100 2.779.000 204.702.500 16,98 851,3 51.162,00

Example 1
45
00
,
51162
204702500
.
2779000
.
40100
30
,
851
2779000
.
40100
.
640
98
,
16
.
40100
.
640
.
12
2
1
0
2
1
0
2
1
0


















Dengan substitusi atau eliminasi selanjutnya akan diperoleh :
00012507
,
0
02252236
,
0
19826629
,
2
2
1
0







2
.
00012507
,
0
.
02252236
,
0
19826629
,
2 x
x
y 


Sehingga persamaan regresi polinomialnya adalah :

Example 2
46

Example 2
47
x x2 x3 X4 y xy x2y
0 0 0 0 9,1 0 0
1 1 1 1 7,3 7,3 7,3
2 4 8 16 3,2 6,4 12,8
3 9 27 81 4,6 13,8 41,4
4 16 64 256 4,8 19,2 76,8
5 25 125 625 2,9 14,5 72,5
6 36 216 1296 5,7 34,2 205,2
7 49 343 2401 7,1 49,7 347,9
8 64 512 4096 8,8 70,4 563,2
9 81 729 6561 10,2 91,8 826,2
45 285 2.025 15.333 63,7 307,3 2153,3

Regresi Nonlinier
dengan Transformasi
ke Linier
48

Model Umum Regresi Nonlinier
49
No Model Fungsi Non Linier Fungsi Linier
1. Exponential model y = a0.ea1.x Ln(y) = Ln(a0) + a1.x
2. Power model y = a0.xa1 Ln(y) = Ln(a0) + a1.Ln(x)
3. Logistic model y = ea0+a1.x Ln(y) = a0 + a1.x
4. Saturation growth y = (a0.x) / (a1 + x) 1/y = 1/a0 + a1/a0.x
Algoritma :
1. Transformasi data dari fungsi non linier ke dalam bentuk fungsi linier
2. Lakukan analisa regresi linier

Example 3
50
)
,
(
,
...
),
,
(
),
,
( 2
2
1
1 n
n y
x
y
x
y
x
Given best fit
bx
ae
y  to the data.
Figure. Exponential model of nonlinear regression for y vs. x data
bx
ae
y 
)
,
(
n
n
y
x
)
,
( 1
1
y
x
)
,
(
2
2
y
x
)
,
(
i
i
y
x
i
bx
i ae
y 

Example 3
51
Finding Parameter of Exponential Model
To find the parameters of many nonlinear models, it results in solving
simultaneous nonlinear equations. For mathematical convenience,
some of the data for such models can be transformed. For example,
the data for an exponential model can be transformed.
As shown in the previous example, many chemical and physical processes
are governed by the equation,
bx
ae
y 
Taking the natural log of both sides yields,
bx
a
y 
 ln
ln
Let y
z ln
 and a
a ln
0 
(implying) o
a
e
a  with b
a 
1
We now have a linear regression model where x
a
a
z 1
0 


Example 3
52
Finding Parameter of Exponential Model
Using linear model regression methods,
_
1
_
0
1
2
1
2
1
1 1
1
x
a
z
a
x
x
n
z
x
z
x
n
a
n
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
i
i











 

 
 

 
Once 1
,a
ao are found, the original constants of the model are found as
0
1
a
e
a
a
b



Example 3
53
Finding Parameter of Exponential Model
Substituting a back into the previous equation
0
1
2
1
2
1
1










n
i
bx
i
n
i
bx
bx
n
i
i
bx
i
n
i
i
i
i
i
i e
x
e
e
y
e
x
y
The constant b can be found through numerical methods
such as bisection method.





n
i
bx
n
i
bx
i
i
i
e
e
y
a
1
2
1
Solving the first equation for a yields

Example 3
54
x (t, hours) 0 1 3 5 7 9
y (γ) 1.000 0.891 0.708 0.562 0.447 0.355
Many patients get concerned when a test involves injection of a
radioactive material. For example for scanning a gallbladder, a
few drops of Technetium-99m isotope is used. Half of the
Technetium-99m would be gone in about 6 hours. It, however,
takes about 24 hours for the radiation levels to reach what we
are exposed to in day-to-day activities. Below is given the
relative intensity of radiation as a function of time.
Table. Relative intensity of radiation as a function of time.

Example 3
55
Find:
a) The value of the regression parameters A and λ
b) The half-life of Technetium-99m
c) Radiation intensity after 24 hours
The relative intensity is related to time by the equation
x
a
t
e
a
y
Ae .
1
0


 

• Variabel independen/bebas : t
• Variabel dependen/terikat : γ
• Konstanta : A, λ
Transform into linear form
    t
A 
 
 ln
ln
Assuming 
ln

z ,  
A
ao ln
 and 

1
a we obtain
t
a
a
z
1
0


This is a linear relationship between z and t

Example 3
56

Example 3
57
1
2
3
4
5
6
0
1
3
5
7
9
1
0.891
0.708
0.562
0.447
0.355
0.00000
−0.11541
−0.34531
−0.57625
−0.80520
−1.0356
0.0000
−0.11541
−1.0359
−2.8813
−5.6364
−9.3207
0.0000
1.0000
9.0000
25.000
49.000
81.000
25.000 −2.8778 −18.990 165.00
Summations for data transformation are as follows
Table. Summation data for Transformation of data
model
i i
t i
 i
i
z 
ln
 i
i
z
t 2
i
t

With 6

n
000
.
25
6
1



i
i
t




6
1
8778
.
2
i
i
z




6
1
990
.
18
i
i
i
z
t
00
.
165
6
1
2



i
i
t

Example 3
58
Using the linear relationship, we can calculate 1
0 ,a
a
 

 
 

 









n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
i
i
t
t
n
z
t
z
t
n
a
1
2
1
2
1
1
1 1
1
and
t
a
z
a 1
0 

where
1
a


0
a
e
A 

Example 3
59
Calculating 1
0 ,a
a
    
   2
1
25
00
.
165
6
8778
.
2
25
990
.
18
6





a 11505
.
0


 
6
25
11505
.
0
6
8778
.
2
0 



a
4
10
6150
.
2 



Since
 
A
a ln
0 
0
a
e
A 
4
10
6150
.
2 


 e 99974
.
0

11505
.
0
1 

 a

also
The regression formula is then
t
e 11505
.
0
99974
.
0 




Example 3
60
Resulting model is
t
e 11505
.
0
99974
.
0 



0
0.5
1
0 5 10
Time, t (hrs)
Relative
Intensity
of
Radiation,
t
e 11505
.
0
99974
.
0 



Figure. Relative intensity of radiation as a function of
temperature using transformation of data model.

Example 3
61
b) Half life of Technetium-99m is when
0
2
1


t


   
 
hours
.
t
.
t
.
.
e
e
.
e
.
t
.
.
t
.
0248
6
5
0
ln
11505
0
5
0
99974
0
2
1
99974
0
11508
0
0
11505
0
11505
0










Example 3
62
c) The relative intensity of radiation after 24 hours is then
 
24
11505
.
0
99974
.
0 
 e

063200
.
0

This implies that only %
3216
.
6
100
99983
.
0
10
3200
.
6 2


 
of the radioactive
material is left after 24 hours.

Software Aplikasi
Spreadsheet
63

64
Analisis Regresi Nonlinier
Estimasi Parameter
y = a0.ea1.x dengan bentuk linier Ln(y) = Ln(a0) + a1.x
koefisien a0
INDEX(LOGEST(YRange;Xrange;TRUE);2)
koefisien a1
INDEX(LOGEST(YRange;Xrange;TRUE);1)

65
Analisis Regresi Nonlinier
Estimasi Parameter
setelah transformasi bentuk linier
Intercept,
INTERCEPT(YRange;XRange)
INDEX(LINEST(YRange;Xrange;TRUE);2)
Slope,
SLOPE(YRange;XRange)
INDEX(LINEST(YRange;Xrange;TRUE);1)

66
Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???