Cap´ıtulo 36
Introdu¸c˜ao `as Distribui¸c˜oes e `as Transformadas de
Fourier
Conte´udo
36.1 Fun¸c˜oes de Schwartz e Fun¸c˜...
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decaem a zero...
JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1749/2119
a b x
1
−β −α...
JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1751/2119
Dβ
ϕk converg...
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que
(f ∗ g) ∗...
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´E elementar ...
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A aplica¸c˜ao...
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Proposi¸c˜ao ...
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Corol´ario 36...
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E. 36.14 Exer...
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  1. 1. Cap´ıtulo 36 Introdu¸c˜ao `as Distribui¸c˜oes e `as Transformadas de Fourier Conte´udo 36.1 Fun¸c˜oes de Schwartz e Fun¸c˜oes de Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746 36.2 Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755 36.2.1 Transformadas de Fourier no Espa¸co de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758 36.2.1.1 A Transformada de Fourier de Fun¸c˜oes Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1760 36.2.1.2 Invertibilidade da Transformada de Fourier no Espa¸co de Schwartz . . . . . . . . . . . . 1763 36.2.1.3 Transformadas de Fourier, Produtos de Convolu¸c˜ao e Identidade de Plancherel . . . . . 1765 36.2.2 A Transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768 36.2.2.1 Mais Algumas Transformadas de Fourier Relevantes em Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . 1771 36.2.2.2 A Transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) e suas Propriedades Espectrais . . . . . . . 1773 36.2.3 Transformadas de Fourier: T´opicos Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776 36.2.3.1 A F´ormula de Soma de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776 36.2.3.2 Usos da F´ormula de Soma de Poisson. A Fun¸c˜ao θ de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 1778 36.2.3.3 Transformadas de Fourier e M´edias Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779 36.3 Distribui¸c˜oes e Distribui¸c˜oes Temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784 36.3.1 Primeiros Exemplos de Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786 36.3.2 Outros Exemplos de Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791 36.3.2.1 A Distribui¸c˜ao Valor Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791 36.3.2.2 Distribui¸c˜oes do Tipo Parte Finita de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793 36.3.3 Algumas Rela¸c˜oes ´Uteis Envolvendo Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796 36.3.4 Derivadas de Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1800 36.3.4.1 Alguns Exemplos de Derivadas de Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803 36.3.4.2 C´alculo da Derivada de Algumas Distribui¸c˜oes de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . 1804 36.3.5 Alguns Resultados Estruturais sobre Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805 36.3.6 Transformadas de Fourier de Distribui¸c˜oes Temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807 36.3.6.1 C´alculo de Transformadas de Fourier de Algumas Distribui¸c˜oes Temperadas . . . . . . 1807 36.3.7 Produtos de Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809 36.3.7.1 Produto de Convolu¸c˜ao de Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814 36.4 Equa¸c˜oes Diferenciais Distribucionais, Solu¸c˜oes Fundamentais e Fun¸c˜oes de Green . . . 1816 36.4.1 Solu¸c˜oes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818 36.4.1.1 Solu¸c˜oes Fundamentais como Fun¸c˜oes Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819 36.4.1.2 O Caso de Operadores Lineares a Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822 36.4.1.3 Alguns Exemplos Fisicamente Relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824 36.5 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 APˆENDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835 36.A Prova de (36.18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835 36.B Prova da Proposi¸c˜ao 36.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836 Colocada no devido contexto a no¸c˜ao de distribui¸c˜ao ´e t˜ao natural que parece ter sido descoberta, n˜ao inventada. Em abstrato, uma distribui¸c˜ao ´e um funcional linear cont´ınuo em um certo espa¸co topol´ogico que possua uma estrutura diferenci´avel, mas por tr´as dessa abstra¸c˜ao encontram-se id´eias muito simples, origin´arias do desejo (ou necessidade) de estender a no¸c˜ao de fun¸c˜ao, ou melhor, a no¸c˜ao intuitiva de densidade, de modo a incluir, por exemplo, densidades concentradas em pontos (e outros conjuntos de medida nula), permitindo ainda o emprego de pelo menos parte da estrutura do c´alculo diferencial. 1745 JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1746/2119 A no¸c˜ao de distribui¸c˜ao, foi introduzida em 1935 por Sobolev1 sob o nome de “fun¸c˜ao generalizada” e foi estudada sistematicamente por Schwartz2 a partir de 1948. Essa no¸c˜ao desempenha um papel central em toda discuss˜ao moderna sobre a teoria das equa¸c˜oes diferenciais (lineares, ao menos). As id´eias f´ısicas e matem´aticas subjacentes `a teoria das distribui¸c˜oes originam-se dos trabalhos de Green3 , Heaviside4 , Dirac5 , Weil6 e possivelmente muitos outros. Como a teoria das distribui¸c˜oes ´e intimamente ligada `a teoria das transformadas de Fourier, dedicamos a Se¸c˜ao 36.2, p´agina 1755, ao seu estudo. Na Se¸c˜ao 36.3, p´agina 1784, introduziremos a no¸c˜ao de distribui¸c˜ao em Rn ap´os alguma prepara¸c˜ao breve. Em seguida trataremos de alguns exemplos. Ap´os isso, discutiremos a no¸c˜ao de derivada de uma distribui¸c˜oes para ent˜ao discutirmos equa¸c˜oes diferenciais distribucionais. Isso nos remeter´a ao m´etodo da fun¸c˜ao de Green. Para uma introdu¸c˜ao pedag´ogica e rica em exemplos `a Teoria das Distribui¸c˜oes, vide [31]. Para um tratamento de n´ıvel intermedi´ario, vide [205]. Uma introdu¸c˜ao acess´ıvel (direcionada a aplica¸c˜oes na Teoria Quˆantica de Campos) pode ser encontrada nos primeiros cap´ıtulos de [245]. Para um texto cl´assico, vide [228]. Para textos mais avan¸cados, vide [83] ou [120]. Omitiremos na presente vers˜ao o tratamento da no¸c˜ao de produto de distribui¸c˜oes, de conjuntos de frente de onda e outros itens pr´oprios a uma discuss˜ao mais avan¸cada. Tamb´em com o intuito de manter a discuss˜ao t˜ao simples quanto poss´ıvel, omitiremos quase toda a discuss˜ao topol´ogica sobre a natureza das distribui¸c˜oes no contexto da teoria dos espa¸cos localmente convexos. Para isso remetemos o estudante interessado aos textos supracitados. 36.1 Fun¸c˜oes de Schwartz e Fun¸c˜oes de Teste • Fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis em Rn Diz-se que uma fun¸c˜ao7 f : Rn → C, ´e infinitamente diferenci´avel em um dom´ınio aberto Ω ⊂ Rn se for cont´ınua em Ω e se todas suas as suas derivadas parciais de ordem finita existirem e forem cont´ınuas em Ω, ou seja, se existirem e forem cont´ınuas para todo (x1, . . . , xn) ∈ Ω as fun¸c˜oes ∂|α| f ∂x α1 1 ···∂xαn n (x1, . . . , xn) para todos α1, . . . , αn ∈ N0, sendo |α| = α1 + · · · + αn. O estudante deve ser alertado a n˜ao confundir a no¸c˜ao de diferenciabilidade infinita com a de analiticidade. Por exemplo, a fun¸c˜ao f : R → R definida por f(x) :=    0 , se x = 0 , e− 1 x2 , se x = 0 , ´e infinitamente diferenci´avel, enquanto fun¸c˜ao da vari´avel real x, mas n˜ao ´e anal´ıtica em x = 0. A fun¸c˜ao de uma vari´avel complexa z = x + iy definida por g(z) = e− 1 z2 possui uma singularidade essencial em z = 0. Para z = x ∈ R, x = 0, g ´e idˆentica a f, mas para z = iy, y ∈ R, y = 0, tem-se g(iy) = e + 1 y2 que diverge para y → 0. O conjunto de todas as fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis em Ω ´e freq¨uentemente denotado por C∞ (Ω). ´E elementar constatar que C∞ (Ω) ´e um espa¸co vetorial: combina¸c˜oes lineares finitas de fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis produzem novamente fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis. • O espa¸co de Schwartz em R O conjunto C∞ (R) das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis definidas em R e assumindo valores em C possui um subconjunto que merece particular aten¸c˜ao. Trata-se do conjunto das fun¸c˜oes de C∞ (R) que, assim como suas derivadas, 1Sergei Lvovich Sobolev (1908–1989). 2Laurent-Mo¨ıse Schwartz (1915–2002). 3George Green (1793–1841). 4Oliver Heaviside (1850–1925). 5Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984). 6Andr´e Weil (1906–1998). 7Em toda a presente se¸c˜ao trataremos, salvo men¸c˜ao expl´ıcita, de fun¸c˜oes que assumem valores complexos, mas o tratamento de fun¸c˜oes que assumem valores reais ´e idˆentico, com resultados idˆenticos.
  2. 2. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1747/2119 decaem a zero no infinito mais r´apido do que qualquer polinˆomio, ou seja, ´e o conjunto das fun¸c˜oes f : R → C tais que lim |x|→∞ p(x)f(q) (x) = 0 (36.1) para todo polinˆomio p e todo q ∈ N0. ´E f´acil ver que essa condi¸c˜ao equivale `a condi¸c˜ao lim |x|→∞ (1 + |x|)m f(q) (x) = 0 (36.2) para todo m ∈ N0 e todo q ∈ N0. ´E um exerc´ıcio elementar provar que o conjunto das fun¸c˜oes com a propriedade (36.1) ´e um espa¸co vetorial, ou seja, se f e g satisfazem (36.1) para todo polinˆomio p e todo q ∈ N0, ent˜ao para todos os n´umeros complexos a e b a fun¸c˜ao af + bg tamb´em satisfaz (36.1) para todo polinˆomio p e todo q ∈ N0. Esse espa¸co vetorial ´e denominado espa¸co de Schwartz em R e ´e denotado por S(R). Fun¸c˜oes como e−x2 , sen (x)e−2x8 , (1 − x5 )ecos(x)2 −x4 s˜ao elementos de S(R) (verifique!). E. 36.1 Exerc´ıcio. Para a > 0, fixo, considere a fun¸c˜ao ha(x) := 1 cosh x a , x ∈ R . Mostre que ha ´e uma fun¸c˜ao de Schwartz em R: ha ∈ S(R), a > 0. 6 • Convergˆencia no espa¸co S(R) Devido `a propriedade (36.1), vale para toda fun¸c˜ao f ∈ S(R) que as quantidades definidas para cada m e q ∈ N0 por f m, q := sup (1 + |x|)m f(q) (x) , x ∈ R (36.3) s˜ao finitas e anulam-se todas se e somente se f for identicamente igual a zero. Para cada m, q a express˜ao (36.3) define uma semi-norma em S(R) (a no¸c˜ao de semi-norma ´e definida `a p´agina 199). Esse fato permite introduzir uma no¸c˜ao de convergˆencia no espa¸co S(R). Dizemos que uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes fk ∈ S(R), k ∈ N, converge a uma fun¸c˜ao f ∈ S(R) se lim k→∞ fk − f m, q = 0 para todos m e q ∈ N0. Essas id´eias de convergˆencia podem ser aprofundadas atrav´es da introdu¸c˜ao de no¸c˜oes topol´ogicas apropriadas (introduzindo as no¸c˜oes de espa¸co localmente convexo e de espa¸co de Fr´echet8 ), mas aqui iremos nos limitar a uma discuss˜ao elementar. Vide referˆencias citadas no in´ıcio do presente cap´ıtulo. Vamos agora indicar como o espa¸co S(R) generaliza-se em mais dimens˜oes. Para tal faremos uso da nota¸c˜ao de multi-´ındices, introduzida `a p´agina 730. • O espa¸co de Schwartz em Rn O conjunto C∞ (Rn ) das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis definidas em Rn e assumindo valores em C possui um subconjunto que merece particular aten¸c˜ao. Trata-se do conjunto das fun¸c˜oes de C∞ (Rn ) que, assim como suas derivadas, decaem a zero no infinito mais r´apido do que qualquer polinˆomio, ou seja, ´e o conjunto das fun¸c˜oes f : Rn → C tais que lim x →∞ p(x)Dβ f(x) = 0 . (36.4) para todo polinˆomio p(x) ≡ p(x1, . . . , xn) e todo multi-´ındice β. Acima x = x2 1 + · · · + x2 n ´e a norma de x ∈ Rn . ´E f´acil ver que essa condi¸c˜ao equivale `a condi¸c˜ao lim x →∞ (1 + x )m Dβ f(x) = 0 (36.5) para todo m ∈ N0 e todo multi-´ındice β. 8Maurice Ren´e Fr´echet (1878-1973). JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1748/2119 ´E um exerc´ıcio elementar provar que o conjunto das fun¸c˜oes com a propriedade (36.4) ´e um espa¸co vetorial, ou seja, se f e g satisfazem (36.4) para todo polinˆomio p e todo multi-´ındice β, ent˜ao para todos os n´umeros complexos a e b a fun¸c˜ao af + bg tamb´em satisfaz (36.1) para todo polinˆomio p e todo multi-´ındice β. Esse espa¸co vetorial ´e denominado espa¸co de Schwartz em Rn e ´e denotado por S(Rn ). • Convergˆencia no espa¸co S(Rn ) Devido `a propriedade (36.4), vale para toda fun¸c˜ao f ∈ S(Rn ) que as quantidades definidas para cada m ∈ N0 e cada multi-´ındice β por f m, β := sup (1 + x )m Dβ f(x) , x ∈ Rn (36.6) s˜ao finitas e anulam-se todas se e somente se f for identicamente igual a zero. Esse fato permite introduzir uma no¸c˜ao de convergˆencia no espa¸co S(Rn ). Dizemos que uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes fk ∈ S(Rn ), k ∈ N, converge a uma fun¸c˜ao f ∈ S(Rn ) se lim k→∞ fk − f m, β = 0 para todos m ∈ N0 e multi-´ındice β. Como no caso do espa¸co S(R), comentamos que essa no¸c˜ao de convergˆencia nos espa¸cos S(Rn ) est´a ligada a no¸c˜oes topol´ogicas mais profundas, mas aqui iremos nos limitar a uma discuss˜ao elementar. • Uma desigualdade ´util Devido `a defini¸c˜ao (36.6) vale, para cada q ∈ N0, e cada multi-´ındice β, a desigualdade (1 + x )q |Dβ f(x)| ≤ f q, β para todo x ∈ Rn , o que implica |Dβ f(x)| ≤ f q, β (1 + x )q (36.7) para cada x ∈ Rn . Usaremos a desigualdade (36.7) de diversas formas no que segue. • Fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis de suporte compacto Define-se o suporte de uma fun¸c˜ao f : Rn → R ou f : Rn → C, denotado por supp f, como sendo o fecho do conjunto de todos os pontos onde f n˜ao se anula: supp f := x ∈ Rn| f(x) = 0 (a barra horizontal denota o fecho do conjunto). Fun¸c˜oes que sejam infinitamente diferenci´aveis e tenham suporte compacto s˜ao importantes na Teoria das Distri- bui¸c˜oes. Um exemplo de uma fun¸c˜ao desse tipo ´e a fun¸c˜ao f(x) :=    0 , se x ≤ a ou se x ≥ b , exp − 1 (x − a)2 − 1 (x − b)2 , se a < x < b , (36.8) onde −∞ < a < b < ∞. O suporte dessa fun¸c˜ao ´e [a, b], um conjunto compacto, e a mesma ´e infinitamente diferenci´avel (verifique!). Para um gr´afico esquem´atico dessa fun¸c˜ao, vide o lado esquerdo da Figura 36.1, p´agina 1749. Outro exemplo ´e a fun¸c˜ao g(x) :=    0 , se x ≤ −β ou se x ≥ β , 1 , se − α ≤ x ≤ α , exp − 1 (x2−β2)2 1 − exp − 1 (x2−α2)2 exp − 1 (α2−β2)2 , se α < x < β ou se − β < x < −α , (36.9) para 0 < α < β < ∞. Observe que o suporte dessa fun¸c˜ao ´e o intervalo [−β, β], que a fun¸c˜ao g ´e igual a 1 no intervalo [−α, α] (um subconjunto pr´oprio de [−β, β]). Para um gr´afico esquem´atico dessa fun¸c˜ao, vide o lado direito da Figura 36.1, p´agina 1749.
  3. 3. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1749/2119 a b x 1 −β −α α β x Figura 36.1: `A esquerda, gr´afico esquem´atico da fun¸c˜ao f definida em (36.8). `A direita, gr´afico esquem´atico da fun¸c˜ao g definida em (36.9). E. 36.2 Exerc´ıcio. Prove que a fun¸c˜ao g definida em (36.9) satisfaz 0 ≤ g ≤ 1 em toda a reta R. Sugest˜ao: mostre que a fun¸c˜ao h(x) = x2 − β2 −2 ´e crescente para 0 < x < β, o que implica α2 − β2 −2 < x2 − β2 −2 para α < x < β. 6 E. 36.3 Exerc´ıcio. Prove que as fun¸c˜oes f e g de (36.8) e (36.9), acima, s˜ao infinitamente diferenci´aveis. Sugest˜ao: no caso da fun¸c˜ao f mostre que as derivadas de fun¸c˜oes como exp − 1 (x−a)2 s˜ao sempre da forma exp − 1 (x−a)2 vezes um polinˆomio em 1 (x−a) . Esse polinˆomio diverge quando x → a mas o fator exponencial exp − 1 (x−a)2 vai a zero mais rapidamente. Para g tem-se algo an´alogo. 6 O conjunto de todas as fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis de suporte compacto definidas em Rn ´e freq¨uentemente denotado por C∞ 0 (Rn ). ´E f´acil constatar que o conjunto de todas fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis em Rn de suporte compacto forma um espa¸co vetorial: combina¸c˜oes lineares finitas de fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis de suporte compacto produzem novamente fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis de suporte compacto. Esse espa¸co vetorial ´e freq¨uentemente denotado por C∞ 0 (Rn ) ou por D(Rn ). Os elementos de D(Rn ), ou seja, as infinitamente diferenci´aveis em Rn de suporte compacto, s˜ao freq¨uentemente denominadas fun¸c˜oes de teste9 . ´E bastante claro pela defini¸c˜ao que D(Rn ) ⊂ S(Rn ). Como veremos na Se¸c˜ao 36.2, p´agina 1755, transformadas de Fourier de fun¸c˜oes do espa¸co de Schwartz S(Rn ) s˜ao novamente fun¸c˜oes do espa¸co de Schwartz S(Rn ), fato esse de importˆancia em certos desenvolvimentos. Transformadas de Fourier de fun¸c˜oes de fun¸c˜oes de D(Rn ) n˜ao s˜ao, em geral, elementos de D(Rn ). • Convergˆencia no espa¸co D(Rn ) ´E tamb´em poss´ıvel introduzir uma no¸c˜ao de convergˆencia em D(Rn ). Dizemos que uma seq¨uˆencia ϕk, k ∈ N, de fun¸c˜oes de D(Rn ) converge a uma fun¸c˜ao ϕ de D(Rn ) se as seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas: 1. existe um conjunto compacto K ⊂ Rn tal que para todo k ∈ N grande o suficiente o suporte da diferen¸ca ϕk − ϕ est´a contido dentro de K; 2. para todo multi-´ındice β a diferen¸ca Dβ ϕk −Dβ ϕ converge uniformemente `a fun¸c˜ao nula em K, o que equivale a dizer que lim k→∞ sup Dβ (ϕk − ϕ)(x) , x ∈ K = 0. Por exemplo, a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes de D(R) dada por 1ϕk(x) =    1 k exp − 1 1 − x2 , para x ∈ (−1, 1) , 0 , para x ∈ (−1, 1) , 9Infelizmente, alguns autores tamb´em denominam fun¸c˜oes de teste as fun¸c˜oes de S(Rn). JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1750/2119 k ∈ N, converge `a fun¸c˜ao nula no sentido de convergˆencia do espa¸co D(R), definido acima, mas a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes de D(R) dada por 2ϕk(x) =    e−k2 exp − 1 1 − (x/k)2 , para x ∈ (−k, k) , 0 , para x ∈ (−k, k) , (36.10) k ∈ N, n˜ao converge `a fun¸c˜ao nula no sentido de convergˆencia do espa¸co D(R), definido acima (pois a condi¸c˜ao 1 ´e violada). O estudante deve observar, por´em, que tanto a seq¨uˆencia 1ϕk quanto a seq¨uˆencia 2ϕk convergem `a fun¸c˜ao nula no sentido de convergˆencia definido no espa¸co de Schwartz S(R). Vide Exerc´ıcio E. 36.4. Esses exemplos mostram que as no¸c˜oes de convergˆencia no sentido do espa¸co S(R) e no sentido do espa¸co D(R) s˜ao diferentes! E. 36.4 Exerc´ıcio. Usando (36.3), mostre que lim k→∞ 1ϕk m, q = 0 e lim k→∞ 2ϕk m, q = 0 para todos m, q ∈ N0. Isso diz-nos que tanto a seq¨uˆencia 1ϕk quanto a seq¨uˆencia 2ϕk convergem `a fun¸c˜ao nula no sentido da convergˆencia em S(R). 6 E. 36.5 Exerc´ıcio. Mostre que a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes de D(R) definidas por 3ϕk(x) =    1 k exp − 1 1 − (x/k)2 , para x ∈ (−k, k) , 0 , para x ∈ (−k, k) , k ∈ N, n˜ao converge `a fun¸c˜ao nula no sentido de convergˆencia do espa¸co D(R) e n˜ao converge `a fun¸c˜ao nula no sentido de convergˆencia do espa¸co S(R). 6 Como no caso do espa¸co S(Rn ), comentamos que a no¸c˜ao de convergˆencia nos espa¸cos D(Rn ) est´a associada a no¸c˜oes topol´ogicas mais profundas, mas aqui iremos nos limitar a uma discuss˜ao elementar. Vide referˆencias citadas no in´ıcio da presente se¸c˜ao. Importante nessa discuss˜ao ´e a seguinte afirma¸c˜ao: Proposi¸c˜ao 36.1 Se ϕk ´e uma seq¨uˆencia de elementos de D(Rn ) que converge a uma fun¸c˜ao ϕ ∈ D(Rn ) no sentido de convergˆencia de D(Rn ), ent˜ao ϕk tamb´em converge a ϕ no sentido de convergˆencia de S(Rn ). 2 O exemplo da seq¨uˆencia 2ϕk de (36.10), acima, mostra que a rec´ıproca da afirma¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao n˜ao ´e verdadeira, pois 2ϕk converge `a fun¸c˜ao nula segundo S(R) mas n˜ao segundo D(R) (vide Exerc´ıcio E. 36.4). Prova da Proposi¸c˜ao 36.1. Considere-se uma seq¨uˆencia ϕk de elementos de D(Rn ) que converge a uma fun¸c˜ao ϕ ∈ D(Rn ) no sentido de convergˆencia de D(Rn ). Ent˜ao, existe um compacto K ⊂ Rn tal que ϕk − ϕ tem suporte contido em K para todo k grande o suficiente. Para tais k’s e para valer´a ϕk − ϕ m, β := sup (1 + x )m Dβ (ϕk − ϕ)(x) , x ∈ Rn = sup (1 + x )m Dβ (ϕk − ϕ)(x) , x ∈ K = sup (1 + x )m , x ∈ K sup Dβ (ϕk − ϕ)(x) , x ∈ K , sendo m ∈ N0 e β um multi-´ındice, ambos arbitr´arios. O fator sup (1 + x )m , x ∈ K ´e finito (pois K ´e compacto) e ´e independente do ´ındice k. J´a o fator sup Dβ (ϕk − ϕ)(x) , x ∈ K converge a zero para k → ∞ pois, por hip´otese,
  4. 4. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1751/2119 Dβ ϕk converge uniformemente a Dβ ϕ. Isso provou que lim k→∞ ϕk − ϕ m, β = 0 para todo m ∈ N0 e todo multi-´ındice β, estabelecendo que ϕk tamb´em converge a ϕ no sentido de convergˆencia de S(Rn ). • Uma proposi¸c˜ao ´util A proposi¸c˜ao a seguir ser´a usada no que segue, por exemplo na discuss˜ao sobre a transformada de Fourier no espa¸co de Schwartz. Proposi¸c˜ao 36.2 Se f ∈ S(Rn ) satisfaz f(a) = 0 para algum a = (a1, . . . , an) ∈ Rn , ent˜ao f pode ser escrita na forma f(x) = n k=1 (xk − ak)fk(x), onde as fun¸c˜oes fk s˜ao tamb´em elementos de S(Rn ). 2 Prova. Pelo Corol´ario 35.2, p´agina 1693, sabemos que podemos escrever f(x) = n k=1 (xk − ak)hk(x) , onde as fun¸c˜oes hk s˜ao infinitamente diferenci´aveis. Isso n˜ao implica, todavia, que sejam fun¸c˜oes de Schwartz. Sabemos, por outro lado, que as fun¸c˜oes gk definidas por gk(x) := f(x) (xk − ak) x − a 2 s˜ao infinitamente diferenci´aveis exceto em x = a, e decaem, assim como suas derivadas, mais r´apido que qualquer polinˆomio em x, pois f o faz. Fora isso, vale n k=1 (xk − ak)gk(x) = f(x) n k=1 (xk − ak)2 x − a 2 = f(x) . Seja agora uma fun¸c˜ao infinitamente diferenci´avel e de suporte compacto χ escolhida de modo que χ(x) = 1 para todo x em uma vizinhan¸ca de a. Um exemplo seria a fun¸c˜ao χ(x) = g x − a 2 , onde g ´e a fun¸c˜ao definida em (36.9). Defina-se para cada k fk(x) := 1 − χ(x) gk(x) + χ(x)hk(x) . Como comentamos acima, gk s´o n˜ao ´e diferenci´avel em x = a, mas 1 − χ anula-se em uma vizinhan¸ca de a. No suporte de 1 − χ as fun¸c˜oes gk decaem, assim como suas derivadas, mais r´apido que qualquer polinˆomio em x. Assim, o produto (1 − χ)gk ´e uma fun¸c˜ao de Schwartz. J´a hk ´e infinitamente diferenci´avel e o produto χ(x)hk(x) ´e infinitamente diferenci´avel e de suporte compacto sendo, portanto, uma fun¸c˜ao de Schwartz. Isso provou que as fun¸c˜oes fk s˜ao de Schwartz. Note-se agora que n k=1 (xk − ak)fk(x) = χ(x) n k=1 (xk − ak)hk(x) + (1 − χ(x)) n k=1 (xk − ak)gk(x) = χ(x)f(x) + (1 − χ(x))f(x) = f(x) , completando a prova. • Operadores diferenciais lineares em D(Rn ) Sejam a1, . . . , aN fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis em Rn e sejam α1, . . . , αN multi-´ındices distintos. A express˜ao que a cada ϕ ∈ D(Rn ) associa uma fun¸c˜ao Lϕ ∈ D(Rn ) dada por Lϕ (x) = N k=1 ak(x) Dαk ϕ (x) = N k=1 ak(x) ∂|αk| ϕ ∂xα1 1 · · · ∂xαn n (x) , define um operador diferencial linear em D(Rn ). Simbolicamente, denotamos o operador diferencial linear L por L = N k=1 ak(x) Dαk = N k=1 ak(x) ∂|αk| ∂xα1 1 · · · ∂xαn n . JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1752/2119 Podemos definir, o chamado operador diferencial linear dual de L, denotado por LT como sendo o operador diferencial linear que a cada ϕ ∈ D(Rn ) associa uma fun¸c˜ao LT ϕ ∈ D(Rn ) dada por LT ϕ (x) := N k=1 (−1)|αk| Dαk (akϕ) (x) = N k=1 (−1)|αk| ∂|αk| (akϕ) ∂xα1 1 · · · ∂xαn n (x) . (36.11) ´E importante notar que, com as defini¸c˜oes de acima, vale para todas as fun¸c˜oes ϕ, ψ ∈ D(Rn ) a seguinte rela¸c˜ao: Rn ϕ(x) Lψ)(x) dn x = Rn LT ϕ (x) ψ(x) dn x . (36.12) (Verifique! Sugest˜ao: integra¸c˜ao por partes). A validade dessa rela¸c˜ao ´e a raz˜ao de ser da defini¸c˜ao do operador dual LT . Simbolicamente, denotamos o operador diferencial linear LT por LT = N k=1 (−1)|αk| Dαk (ak ⋆ )(x) = N k=1 (−1)|αk| ∂|αk| (ak ⋆ ) ∂xα1 1 · · · ∂xαn n (x) , (36.13) onde o s´ımbolo “⋆” indica a posi¸c˜ao ocupada pela fun¸c˜ao de D(Rn ) sobre a qual LT atua. Operadores diferenciais lineares podem ser definidos em S(Rn ) sob condi¸c˜oes mais restritivas. Para descrevˆe-los precisamos introduzir a no¸c˜ao de fun¸c˜ao de crescimento polinomialmente limitado. E. 36.6 Exerc´ıcio. Prove, usando a defini¸c˜ao (36.11) ou usando (36.12), que LT T = L. 6 • Fun¸c˜oes de crescimento polinomialmente limitado Uma breve defini¸c˜ao: uma fun¸c˜ao g : Rn → C ´e dita ser uma fun¸c˜ao de crescimento polinomialmente limitado se existirem uma constante C ≥ 0 e um inteiro n˜ao-negativo m tais que para todo x ∈ Rn valer |g(x)| ≤ C(1 + x )m . (36.14) Fa¸camos a observa¸c˜ao que se g ´e uma fun¸c˜ao infinitamente diferenci´avel e de crescimento polinomialmente limitado, ent˜ao suas derivadas n˜ao s˜ao necessariamente de crescimento polinomialmente limitado. Um exemplo a se ter em mente ´e a fun¸c˜ao de uma vari´avel real g(x) := sen ex2 , que ´e de crescimento polinomialmente limitado (pois |g(x)| ≤ 1 para todo x ∈ R), mas sua derivada ´e g′ (x) := 2xex2 cos ex2 que n˜ao ´e de crescimento polinomialmente limitado (devido ao fator ex2 ). • O espa¸co OM Denotaremos por OM (Rn ) a cole¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis que, junto com todas as suas derivadas, sejam de crescimento polinomialmente limitado: OM (Rn ) := g ∈ C∞ (Rn ) para todo n-multi-´ındice α existem Cα ≥ 0 e mα ∈ N0 tais que para cada x ∈ Rn vale |Dα g(x)| ≤ Cα(1 + x )mα . ´E um exerc´ıcio simples provar que se g ∈ OM (Rn ) e f ∈ S(Rn ) ent˜ao o produto gf ´e tamb´em uma fun¸c˜ao de S(Rn ), o mesmo valendo para produtos como (Dα g)(Dα f), para quaisquer n-multi-´ındices α e β. Essa observa¸c˜ao conduz `a no¸c˜ao de operador diferencial linear em S(Rn ), da qual trataremos logo adiante. • Operadores diferenciais lineares em S(Rn ) Sejam a1, . . . , aN elementos de OM (Rn ) e sejam α1, . . . , αN n-multi-´ındices distintos. A express˜ao que a cada f ∈ S(Rn ) associa uma fun¸c˜ao Lf ∈ S(Rn ) dada por Lf(x) = N k=1 ak(x) Dαk f(x) = N k=1 ak(x) ∂|αk| f ∂xα1 1 · · · ∂xαn n (x) ,
  5. 5. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1753/2119 define um operador diferencial linear em S(Rn ). Simbolicamente, denotamos o operador diferencial linear L por L = N k=1 ak(x) Dαk = N k=1 ak(x) ∂|αk| ∂xα1 1 · · · ∂xαn n . Com a1, . . . , aN elementos de OM (Rn ) podemos definir tamb´em o chamado operador diferencial dual de L, denotado por LT como sendo o operador diferencial que a cada f ∈ S(Rn ) associa uma fun¸c˜ao LT f ∈ S(Rn ) dada por LT f (x) := N k=1 (−1)|αk| Dαk (akf)(x) = N k=1 (−1)|αk| ∂|αk| (akf) ∂xα1 1 · · · ∂xαn n (x) . (36.15) ´E importante notar que, com as defini¸c˜oes de acima, vale para todas as fun¸c˜oes ϕ, ψ ∈ S(Rn ) a seguinte rela¸c˜ao: Rn ϕ(x) Lψ)(x) dn x = Rn LT ϕ (x) ψ(x) dn x . (36.16) (Verifique! Sugest˜ao: integra¸c˜ao por partes). A validade dessa rela¸c˜ao ´e a raz˜ao de ser da defini¸c˜ao do operador dual LT . Simbolicamente, denotamos o operador diferencial linear LT por LT = N k=1 (−1)|αk| Dαk (ak ⋆ )(x) = N k=1 (−1)|αk| ∂|αk| (ak ⋆ ) ∂xα1 1 · · · ∂xαn n (x) , onde o s´ımbolo “⋆” indica a posi¸c˜ao ocupada pela fun¸c˜ao de S(Rn ) sobre a qual LT atua. E. 36.7 Exerc´ıcio. Prove, usando a defini¸c˜ao (36.15) ou usando (36.16), que LT T = L. 6 • Duas estruturas alg´ebricas em S(Rn ). O produto pontual e o produto de convolu¸c˜ao Se f e g s˜ao dois elementos do espa¸co S(Rn ) seu produto usual (f · g)(x) = f(x)g(x), tamb´em denominado produto pontual, ´e igualmente um elemento do espa¸co S(Rn ). Para ver isso, sejam dois n-multi-´ındices α e β. Pela regra de Leibniz (16.5) xα Dβ (fg)(x) ≤ β1, β2∈Mn |β| β1+β2=β xα Dβ1 (f)(x)Dβ2 (g)(x) (36.7) ≤ |xα | (1 + x )q1 (1 + x )q2 β1, β2∈Mn |β| β1+β2=β f q1, β1 g q2, β2 . Escolhendo q1 e q2 grandes o suficiente (q1 + q2 > |α|), segue que sup x∈Rn xα Dβ (fg)(x) < ∞, para todos α e β, estabele- cendo, como se desejava, que f · g ∈ S(Rn ). Isso demonstra tamb´em que o espa¸co de Schwartz S(Rn ) ´e uma ´algebra com o produto pontual de fun¸c˜oes. Trata-se de uma ´algebra Abeliana e associativa (para as defini¸c˜oes, vide Se¸c˜ao 2.1.6.3, p´agina 93). Existe uma segunda maneira de fazer de S(Rn ) uma ´algebra Abeliana e associativa, a saber, atrav´es do chamado produto de convolu¸c˜ao. Se f e g s˜ao dois elementos do espa¸co S(Rn ) define-se seu produto de convolu¸c˜ao, denotado por f ∗ g, pela express˜ao (f ∗ g)(x) := 1 (2π)n/2 Rn f(x − y)g(y) dn y . (36.17) O estudante deve ser advertido do fato que alguns autores definem o produto de convolu¸c˜ao sem o fator 1 (2π)n/2 na express˜ao acima. Cuidado ´e, portanto, necess´ario ao se comparar express˜oes de textos diferentes. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1754/2119 Provemos primeiramente que o lado direito de (36.17) existe e define um elemento de S(Rn ). De (36.7) (com β = 0) tem-se que Rn f(x − y)g(y) dn y ≤ f q1, 0 g q2, 0 Rn 1 (1 + x − y )q1 (1 + y )q2 dn y Cauchy-Schwarz ≤ f q1, 0 g q2, 0 Rn 1 (1 + x − y )2q1 dny Rn 1 (1 + y )2q2 dny = f q1, 0 g q2, 0 Rn 1 (1 + y )2q1 dny Rn 1 (1 + y )2q2 dny < ∞ , escolhendo q1 e q2 grandes o suficiente. Isso prova que a integral do lado direito de (36.17) converge absolutamente. Notemos agora que para dois n-multi-´ındices α e β xα Dβ (f ∗ g)(x) ≤ 1 (2π)n/2 Rn xα Dβ x f(x − y) g(y) dn y (36.7) ≤ f 2q, β g 2q, 0 (2π)n/2 Rn |xα | (1 + x − y )2q(1 + y )2q dn y ≤ M f 2q, β g 2q, 0 (2π)n/2 |xα | (1 + x )q , onde na ´ultima passagem usamos a desigualdade Rn 1 (1 + x − y )2q(1 + y )2q dn y ≤ M (1 + x )q , (36.18) v´alida para todo q grande o suficiente (a saber, q > n), onde M > 0 ´e uma constante. A demonstra¸c˜ao de (36.18) encontra- se no Apˆendice 36.A, p´agina 1835. Conclu´ımos que, tomando q grande o suficiente (q > |α|) que sup x∈Rn xα Dβ (f ∗ g)(x) < ∞ para todo α e β, o que demonstra que f ∗ g ∈ S(Rn ). Essas considera¸c˜oes provaram que S(Rn ) ´e uma ´algebra com o produto de convolu¸c˜ao. Para provarmos que a ´algebra ´e Abeliana, ou seja, que f ∗ g = g ∗ f para todos f, g ∈ S(Rn ), notamos que (f ∗ g)(x) = 1 (2π)n/2 Rn f(x − y)g(y) dn y y→x−y = 1 (2π)n/2 Rn f(y)g(x − y) dn y = (g ∗ f)(x) . Para provarmos que a ´algebra ´e associativa, ou seja, que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) para todos f, g, h ∈ S(Rn ), notamos
  6. 6. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1755/2119 que (f ∗ g) ∗ h (x) = 1 (2π)n/2 Rn (f ∗ g)(x − y) h(y) dn y = 1 (2π)n Rn Rn f(x − y − w)g(w) dn w h(y) dn y w→w−y = 1 (2π)n Rn Rn f(x − w)g(w − y) dn w h(y) dn y = 1 (2π)n Rn f(x − w) Rn g(w − y)h(y) dn y dn w = 1 (2π)n/2 Rn f(x − w)(g ∗ h)(w) dn w = f ∗ (g ∗ h) (x) . A invers˜ao da ordem das integra¸c˜oes na passagem da terceira para a quarta linha, acima, ´e justificada pelo r´apido decaimento do integrando. Vemos, ent˜ao, que o espa¸co de Schwartz S(Rn ) ´e uma ´algebra Abeliana e associativa para o produto pontual e para o produto de convolu¸c˜ao. Denotamos essas duas ´algebras por (S(Rn ), ·) e (S(Rn ), ∗), respectivamente. Como veremos adiante (Proposi¸c˜ao 36.9, p´agina 1766), essas duas ´algebras s˜ao isomorfas, o isomorfismo sendo dado pela transformada de Fourier. Os seguintes fatos ser˜ao usados no que seguir´a. Proposi¸c˜ao 36.3 Seja R : S(Rn ) → S(Rn ) definida por (Rf)(x) = f(−x) para toda f ∈ S(Rn ). Ent˜ao, R2 = 1, onde 1 ´e o operador identidade agindo em S(Rn ). Al´em disso, R(a ∗ b) = (Ra) ∗ (Rb) e R(a · b) = (Ra) · (Rb) para duas fun¸c˜oes de Schwartz a e b quaisquer. 2 Prova. Exerc´ıcio! * O espa¸co das fun¸c˜oes de Schwartz S(Rn ) e o espa¸co das fun¸c˜oes de teste D(Rn ) s˜ao de fundamental importˆancia para o tratamento de dois objetos de grande interesse, particularmente para o estudo de equa¸c˜oes diferenciais: as transformadas de Fourier e as distribui¸c˜oes. 36.2 Transformadas de Fourier Nesta se¸c˜ao apresentamos as defini¸c˜oes e os resultados mais relevantes sobre as transformadas de Fourier no espa¸co de Schwartz. As transformadas de Fourier revelam toda a sua importˆancia e todo seu poder quando, aliadas `a Teoria das Distribui¸c˜oes, s˜ao inseridas no contexto da teoria das equa¸c˜oes diferenciais. Seu estudo ´e relevante tamb´em na Teoria dos Espa¸cos de Hilbert e na Teoria de Grupos, mas as mesmas tˆem interesse por si s´o. No obitu´ario que escreveu em homenagem a G. H. Hardy10 , not´orio por sua paix˜ao pela matem´atica pura, em detrimento de suas aplica¸c˜oes, Titchmarsh11 escreve12 , n˜ao sem uma ponta de ironia: “Hardy had singularly little appreciation of science for one who was sufficiently nearly a scientist to be Fellow of the Royal Society. [...] I worked on the theory of Fourier integrals under 10Godfrey Harold Hardy (1877–1947). 11Edward Charles Titchmarsh (1899–1963). 12E. C. Titchmarsh. “Godfrey Harold Hardy”. The Journal of the London Mathamatical Society, 25, 81–101 (1950). JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1756/2119 his guidance for a good many years before I discovered for myself that this theory has applications in applied mathematics, if the solution of certain differential equations can be called “applied”. I never heard him refer to these applications”13 . A teoria das transformadas de Fourier ´e quase t˜ao antiga quanto a teoria das s´eries de Fourier (das quais tratamos na Se¸c˜ao 35.4, p´agina 1696) e, em verdade, derivou daquela. A rela¸c˜ao entre ambas, por´em, nem sempre ´e iluminante e por isso n˜ao iremos nos ater `a mesma aqui. Para um excelente texto, rico em coment´arios hist´oricos e aplica¸c˜oes, vide [146]. Para uma introdu¸c˜ao elementar em l´ıngua portuguesa, vide o tamb´em excelente [73]. Uma fun¸c˜ao f : Rn → C ´e dita ser uma fun¸c˜ao integr´avel em Rn se satisfizer Rn |f(x)| dx < ∞. Denotaremos por L1 (Rn ) o conjunto das fun¸c˜oes integr´aveis (em Rn )14 Se f ´e uma fun¸c˜ao integr´avel (real ou complexa) definida em Rn , define-se a transformada de Fourier15 de f como sendo a fun¸c˜ao definida em Rn , denotada por F[f], dada por F[f](y) := 1 (2π)n/2 Rn f(x) e−iy·x dn x , (36.19) onde x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn , y = (x1, . . . , xn) ∈ Rn e y · x ≡ x · y = x1y1 + · · · + xnyn = y, x R. A transformada de Fourier conjugada de f, denotada por Fc [f], ´e definida por Fc [f](y) := 1 (2π)n/2 Rn f(x) e+iy·x dn x . (36.20) Se denotarmos por R o operador que a cada fun¸c˜ao g(x) associa a fun¸c˜ao g(−x) (ou seja (Rg)(x) = g(−x) para todo x ∈ Rn ) ´e evidente que para toda f integr´avel Fc [f] = R(F[f]) . (36.21) ´E tamb´em evidente pelas defini¸c˜oes que para toda f integr´avel (Fc[f]) = F f . (36.22) Advertˆencia. O estudante deve ser advertido quanto ao fato que a conven¸c˜ao que adotamos para a defini¸c˜ao de transfor- mada de Fourier n˜ao ´e, infelizmente, universal na literatura f´ısica e matem´atica. Alguns autores definem a transformada de Fourier por F[f](p) := Rn f(x) e−ip·x dn x, omitindo o fator 1 (2π)n/2 , o qual reaparece elevado ao quadrado na defini¸c˜ao da transformada de Fourier conjugada: Fc [f](p) := 1 (2π)n Rn f(x) e+ip·x dn x. Nessa conven¸c˜ao, Fc [f] = 1 (2π)n R(F[f]). Outros autores omitem os pr´e-fatores 1 (2π)n/2 , mas inserem um fator 2π no expoente e−ip·x do integrando, que fica e−i2πp·x . Em livros de F´ısica, especialmente nos de Mecˆanica Quˆantica e Teoria de Campos, ´e comum tamb´em introduzir-se um fator no expoente, que fica e−ip·x/ . Cuidado ´e, portanto, necess´ario ao comparar-se textos diferentes16 . • Transformadas de Fourier. Propriedades elementares Antes de nos aprofundarmos na teoria das transformadas de Fourier ´e importante listarmos algumas de suas propri- edades elementares. A transformada de Fourier e a transformada de Fourier conjugada s˜ao lineares: se f e g s˜ao duas fun¸c˜oes integr´aveis quaisquer e α e β s˜ao n´umeros complexos quaisquer, valem F[αf + βg] = αF[f] + βF[g] e Fc [αf + βg] = αFc [f] + βFc [g] . Isso pode ser facilmente constatado pela defini¸c˜ao e ´e deixado como exerc´ıcio. Note que αf + βg tamb´em ´e integr´avel se f e g o forem. Seja a ∈ Rn . Se g ´e uma fun¸c˜ao integr´avel definida em Rn , denotemos por ga a fun¸c˜ao ga(x) := g(x − a), x ∈ Rn , que consiste na fun¸c˜ao g transladada por a. Para a ∈ Rn defina-se tamb´em a fun¸c˜ao ea por ea(x) := e−ia·x , x ∈ Rn . 13Op. cit., pag. 85. 14Tecnicamente, ´e preciso requerer antes que uma fun¸c˜ao integr´avel f seja mensur´avel em rela¸c˜ao `a medida de Lebesgue e a integral considerada na defini¸c˜ao de fun¸c˜ao integr´avel ´e a integral de Lebesgue em Rn. Os espa¸cos Lp(Rn) foram introduzidos na Se¸c˜ao 31.4, p´agina 1417, mas para manter a discuss˜ao em um n´ıvel simples evitaremos ao m´aximo evocar resultados gerais da Teoria da Medida e Integra¸c˜ao neste cap´ıtulo. 15Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830). 16Alguns autores chegam a usar as diversas conven¸c˜oes acima no mesmo texto!
  7. 7. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1757/2119 ´E elementar constatar pelas defini¸c˜oes que para toda g integr´avel valem F[ga](y) = ea(y) F[g](y) e Fc [ga](y) = e−a(y) Fc [g](y) , (36.23) assim como F[eag](y) = F[g](y + a) e Fc [eag](y) = Fc [g](y − a) . (36.24) Um outro fato importante sobre transformadas de Fourier de fun¸c˜oes integr´aveis que mencionamos sem demonstra¸c˜ao ´e o seguinte: Teorema 36.1 Seja f ∈ L1 (Rn ). Se F[f](y) = 0 para todo y ∈ Rn , ent˜ao f(x) = 0 para quase todo x ∈ Rn . 2 A demonstra¸c˜ao desse teorema encontra-se, por exemplo, em [215]. Esse teorema afirma que a transformada de Fourier em L1 (Rn ) ´e injetiva. Afirma¸c˜ao semelhante ser´a demonstrada adiante para fun¸c˜oes do espa¸co de Schwartz S(Rn ). • C´alculo de algumas transformadas de Fourier elementares Transformadas de Fourier podem ser explicitamente calculadas em diversos casos. O exerc´ıcio que segue ilustra as situa¸c˜oes mais simples. E. 36.8 Exerc´ıcio. Reunimos aqui alguns poucos casos de fun¸c˜oes cujas transformadas de Fourier podem ser calculadas por m´etodos elementares. O caso de fun¸c˜oes Gaussianas ser´a tratado mais adiante. a. Para a > 0, constante, seja χ[−a, a] a fun¸c˜ao caracter´ıstica do intervalo [−a, a]: χ[−a, a] :=    1 , se x ∈ [−a, a] , 0 , se x ∈ [−a, a] . Mostre que χ[−a, a] ´e integr´avel em R para todo a > 0 e mostre que F χ[−a, a] (y) = 2 π sen (ay) y . (36.25) b. Seja ha(x) = e−a|x| com a > 0, constante. Mostre que ha ´e integr´avel em R para todo a > 0 e mostre que F[ha](y) = 2 π a y2 + a2 . c. Seja fa(x) := 1 a2+x2 , com x ∈ R, com a > 0, constante. Mostre que fa ´e integr´avel em R para todo a > 0 e mostre que F[fa](y) = π 2 e−a|y| a . Sugest˜ao. M´etodo dos res´ıduos. d. Considere a fun¸c˜ao f(x) definida por f(x) :=    0 , se x < 0 , e−x , se x ≥ 0 . Mostre que f ´e integr´avel em R. Mostre que F[f](y) = 1 √ 2π 1 1 + iy e mostre que F[f] n˜ao ´e integr´avel em R. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1758/2119 e. A transformada de Fourier das fun¸c˜oes de Bessel Jm, m ∈ N0, foi determinada por meios elementares em (15.201), p´agina 716, resultando em F[Jm](u) = (−i)m 2 π Tm(u) √ 1 − u2 χ[−1, 1](u) , (36.26) onde Tm ´e o m-´esimo polinˆomio de Tchebychev (vide p´agina 614) e χ[−1, 1] ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica do intervalo [−1, 1]: χ[−1, 1](u) :=    1 , u ∈ [−1, 1] , 0 , u ∈ [−1, 1] . A rela¸c˜ao (36.26) deve ser entendida no sentido de transformadas de Fourier de distribui¸c˜oes temperadas, tal como discutido na Se¸c˜ao 36.3.6, p´agina 1807. Outras transformadas de Fourier envolvendo fun¸c˜oes de Bessel foram obtidas em (15.202) e (15.203), p´agina 716. Todas as express˜oes de acima ser˜ao usadas neste texto. 6 • Transformadas de Fourier e integrabilidade ´E importante observar que se f ´e uma fun¸c˜ao integr´avel, sua transformada de Fourier nem sempre o ´e. Um exemplo a se ter em mente ´e o da fun¸c˜ao f(x) definida como sendo 1 no intervalo [−1, 1] e 0 fora desse intervalo. Como facilmente se constata, sua transformada de Fourier ´e F[f](y) = 2 π sen y y (Exerc´ıcio E. 36.8, item a) que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao integr´avel (vide discuss˜ao `a p´agina 1411). Outro exemplo ´e encontrado no item d do Exerc´ıcio E. 36.8. Assim, a transformada de Fourier pode ser definida no espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis, mas ela n˜ao mapeia esse espa¸co em si mesmo. Por raz˜oes que ser˜ao apreciadas no correr da nossa discuss˜ao ´e fundamental para certos prop´ositos definir a transformada de Fourier em certos espa¸cos convenientes de fun¸c˜oes, de sorte que F seja um isomorfismo desses espa¸cos, ou seja, uma aplica¸c˜ao linear bijetora desses espa¸cos em si mesmos. H´a pelo menos duas maneira de fazer isso. Uma ´e restringindo a defini¸c˜ao das transformadas de Fourier ao espa¸co das fun¸c˜oes de Schwartz S(Rn ), o qual ´e um subespa¸co do espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis. A outra ´e estendendo a defini¸c˜ao da transformada de Fourier ao espa¸co das fun¸c˜oes de quadrado integr´avel, onde a transformada de Fourier pode ser definida como um operador linear unit´ario. O primeiro procedimento atrair´a mais nossa aten¸c˜ao neste cap´ıtulo. Para alguns coment´arios sobre a transformada de Fourier no espa¸co das fun¸c˜oes de quadrado integr´avel, vide Se¸c˜ao 36.2.2, p´agina 1768. 36.2.1 Transformadas de Fourier no Espa¸co de Schwartz Como toda fun¸c˜ao de Schwartz ´e integr´avel, as defini¸c˜oes (36.19) e (36.20) (assim como (36.21)) valem naturalmente para fun¸c˜oes f ∈ S(Rn ). O ponto fundamental dessa restri¸c˜ao `as fun¸c˜oes de Schwartz ´e que, como veremos logo adiante, a transformada de Fourier leva bijetivamente fun¸c˜oes de S(Rn ) em fun¸c˜oes de S(Rn ). Como comentamos e exemplificamos acima, isso n˜ao ´e sempre verdadeiro no espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis. O primeiro resultado que precisamos para provar essa afirma¸c˜ao ´e o seguinte: Proposi¸c˜ao 36.4 Se f ∈ S(Rn ), ent˜ao F[f] e Fc [f] s˜ao infinitamente diferenci´aveis, ou seja, s˜ao elementos de C∞ (Rn ) e vale Dα p 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−ip·x dn x = (−i)|α| (2π)n/2 Rn xα f(x)e−ip·x dn x , (36.27) para todo n-multi-´ındice α. 2 Prova. A demonstra¸c˜ao para Fc [f] ´e idˆentica `a demonstra¸c˜ao para F[f], de modo que trataremos apenas da segunda. F[f](p) ´e dada pela integral 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−ip·x dn x. O integrando f(x)e−ip·x ´e uma fun¸c˜ao infinitamente diferenci´avel de p e tem-se Dα p f(x)e−ip·x = (−i)|α| xα f(x)e−ip·x . Como f ∈ S(Rn ), a fun¸c˜ao xα f(x)e−ip·x ´e tamb´em um elemento do espa¸co de Schwartz (como fun¸c˜ao de x), decaindo rapidamente a zero quando x → ∞. Com isso, ´e elementar constatar que as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 35.5, II, p´agina 1674, s˜ao satisfeitas e, por aquela proposi¸c˜ao, (36.27) vale para todo n-multi-´ındice α.
  8. 8. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1759/2119 A aplica¸c˜ao R definida para cada f ∈ S(Rn ) por (RF)(x) = f(−x) ´e, evidentemente, uma aplica¸c˜ao linear e invers´ıvel de S(Rn ) em si mesmo, a inversa sendo R−1 = R. No espa¸co C∞ (Rn ) das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis podemos definir outras duas aplica¸c˜oes lineares que usaremos, as quais s˜ao definidas para cada f ∈ C∞ (Rn ) por (Paf)(x) := −i ∂ f ∂xa (x) e (Qaf)(x) := xaf(x) (36.28) para a = 1, . . . , n. Naturalmente, Pa e Qa agem tamb´em nos elementos de S(Rn ) (pois S(Rn ) ⊂ C∞ (Rn )) e ´e evidente pelas defini¸c˜oes que a imagem de Pa e Qa por um elemento de S(Rn ) ´e novamente um elemento de S(Rn ) (Exerc´ıcio!). ´E muito f´acil constatar que os operadores Pa e Qa satisfazem em C∞ (Rn ) as seguintes rela¸c˜oes: PaQb − QbPa = −iδa,b , para todos a, b ∈ {1, . . . , n}. E. 36.9 Exerc´ıcio f´acil. Prove isso usando as defini¸c˜oes (36.28). 6 A seguinte proposi¸c˜ao enuncia propriedades importantes que ser˜ao usadas adiante. Proposi¸c˜ao 36.5 Com as defini¸c˜oes acima, valem em S(Rn ) as rela¸c˜oes FPa = QaF e FQa = −PaF (36.29) para todo a = 1, . . . , n. Al´em disso, vale a rela¸c˜ao FR = RF (36.30) e tamb´em as rela¸c˜oes RQa = −QaR e RPa = −PaR (36.31) para todo a = 1, . . . , n. 2 Prova. Para f ∈ S(Rn ) vale, pela defini¸c˜ao, e usando integra¸c˜ao por partes, F[Paf](y) = −i 1 (2π)n/2 Rn ∂ f ∂xa (x) e−iy·x dn x = i 1 (2π)n/2 Rn f(x) ∂ e−iy·x ∂xa dn x = ya 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−iy·x dn x = QaF[f] (y) , provando que FPa = QaF. Analogamente, F[Qaf](y) = 1 (2π)n/2 Rn xaf(x)e−iy·x dn x (36.27) = i ∂ ∂ya 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−iy·x dn x = − PaF[f] (y) , provando que FQa = −PaF. Para provar (36.30), notemos que para toda f ∈ S(Rn ) F[Rf](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(−x)e−iy·x dn x x→−x = 1 (2π)n/2 Rn f(x)e+iy·x dn x = Fc [f](y) = RF[f] (y) . A prova das rela¸c˜oes (36.31) ´e elementar. Podemos agora provar a afirma¸c˜ao feita acima que a transformada de Fourier leva fun¸c˜oes de Schwartz em fun¸c˜oes de Schwartz. Proposi¸c˜ao 36.6 A transformada de Fourier F e a transformada de Fourier conjugada Fc mapeiam S(Rn ) em S(Rn ). 2 JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1760/2119 Mais adiante, no Teorema 36.3, p´agina 1764, provaremos que F e Fc mapeiam bijetivamente S(Rn ) sobre si mesmo e que Fc ´e a inversa de F em S(Rn ). Prova da Proposi¸c˜ao 36.6. Como Fc = RF, ´e suficiente tratar de F. Seja f ∈ S(Rn ). Consideremos a express˜ao yα Dβ y F[f](y) = i|β| Qα Pβ F[f](y), onde α e β s˜ao n-multi-´ındices, P β := Pβ1 1 · · · Pβn n e Qα := Qα1 1 · · · Qαn n . Usando (36.29), temos yα Dβ y F[f](y) = F (−i)|β| Pα Qβ f (y) . A fun¸c˜ao g = (−i)|β| Pα Qβ f ´e um elemento de S(Rn ) e, portanto, vale |g(x)| ≤ g q, 0 (1 + x )q para todo q ≥ 0. Assim, escolhendo q grande o suficiente (q > n) yα Dβ y F[f](y) ≤ 1 (2π)n/2 Rn g(x)e−iy·x dn x ≤ g q, 0 (2π)n/2 Rn 1 (1 + x )q dn x < ∞ . Isso estabeleceu que sup y∈Rn yα Dβ y F[f](y) < ∞ para todos os n-multi-´ındices α e β, o que prova que F[f] ∈ S(Rn ). E. 36.10 Exerc´ıcio. Sejam f(x) := e−a(x−b)2 e g(x) := e−c(x−d)2 , onde a, b, c e d s˜ao constantes, sendo a > 0 e c > 0. Mostre que (f ∗ g)(x) = 1 2(a + c) exp − ac a + c (x − b − d)2 , ou seja, a convolu¸c˜ao de duas fun¸c˜oes Gaussianas ´e novamente uma fun¸c˜ao Gaussiana. 6 E. 36.11 Exerc´ıcio. [Rela¸c˜oes de Weyl] Para cada a ≡ (a1, . . . , an) ∈ Rn sejam U(a) : S(Rn ) → S(Rn ) e V (a) : S(Rn ) → S(Rn ) os operadores lineares definidos por U(a)f (x) := f(x + a) , V (a)f (x) := ei a, x f(x) , onde a, x denota o produto escalar usual entre vetores a = (a1, . . . , an) e x = (x1, . . . , xn) de Rn : a, x := a1x1 + · · · + anxn. Mostre que valem as seguintes rela¸c˜oes: U(a)V (b) = ei a, b V (b)U(a) , (36.32) U(a)U(a′ ) = U(a + a′ ) = U(a′ )U(a) , (36.33) V (b)V (b′ ) = V (b + b′ ) = V (b′ )V (b) , (36.34) U(a)F = FV (−a) , (36.35) V (a)F = FU(a) , (36.36) para todos a, b, a′ , b′ ∈ Rn . As rela¸c˜oes (36.32) s˜ao por vezes denominadas rela¸c˜oes de Weyl17 6 36.2.1.1 A Transformada de Fourier de Fun¸c˜oes Gaussianas As rela¸c˜oes (36.29) s˜ao ´uteis tamb´em por permitirem calcular facilmente a transformada de Fourier de algumas fun¸c˜oes, notadamente das fun¸c˜oes Gaussianas. Exemplos relevantes s˜ao exibidos nas proposi¸c˜oes e nos exerc´ıcios que seguem. Come¸camos exibindo o fato de que uma particular fun¸c˜ao Gaussiana tem a propriedade de ser invariante pela trans- formada de Fourier. 17Hermann Klaus Hugo Weyl (1885–1955).
  9. 9. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1761/2119 Proposi¸c˜ao 36.7 Seja g ∈ S(Rn ) a fun¸c˜ao g(x) = exp  − 1 2 n j=1 x2 j  . Ent˜ao, Fg = g e Fc g = g. 2 Prova. Pela defini¸c˜ao de g, ´e f´acil constatar que para todo j = 1, . . . , n vale ∂ g ∂xj (x) = −xjg(x), ou seja, (Pj −iQj)g = 0. Aplicando o operador F a essa igualdade e usando as rela¸c˜oes (36.29), obtemos (Qj + iPj)ˆg = 0, onde ˆg ≡ Fg. Isso significa que ∂ ˆg ∂yj (y) + yj ˆg(y) = 0 para todo j = 1, . . . , n. A solu¸c˜ao dessas equa¸c˜oes ´e (justifique!) ˆg(y) = λ exp  − 1 2 n j=1 y2 j   , onde λ ´e uma constante. Assim, estabelecemos que Fg = λg. Para determinar λ calculemos ambos os lados dessa igualdade em um ponto espec´ıfico. Como g(0) = 1, temos que λ = λg(0) = F[g](0) = 1 (2π)n/2 Rn exp  − 1 2 n j=1 x2 j   dn x x= √ 2y = 1 πn/2 Rn exp  − n j=1 y2 j   dn y = 1 . Isso provou que Fg = g. Como Rg = g, segue tamb´em que Fc g = RFg = Rg = g. E. 36.12 Exerc´ıcio. A igualdade F[g] = g para g(x) = exp  − 1 2 n j=1 x2 j   pode tamb´em ser demonstrada usando integra¸c˜ao no plano complexo e o Teorema de Cauchy. Fa¸ca-o! Vide Exerc´ıcio dirigido E. 36.41, p´agina 1828. 6 Antes de estendermos os resultados da Proposi¸c˜ao 36.7, fa¸camos um coment´ario sobre a mesma. • Coment´ario sobre fun¸c˜oes invariantes pela transformada de Fourier A fun¸c˜ao Gaussiana g da Proposi¸c˜ao 36.7 n˜ao ´e a ´unica fun¸c˜ao n˜ao-nula que ´e invariante pela transformada de Fourier e h´a alguns exemplos bastante simples de fun¸c˜oes com essa propriedade. Na Se¸c˜ao 36.2.2, p´agina 1768, mostramos que todas as fun¸c˜oes de Hermite18 da forma h4n, n ∈ N0, s˜ao invariantes pela transformada de Fourier. No exerc´ıcio dirigido E. 36.47, p´agina 1832, mostramos explicitamente que para a fun¸c˜ao de uma vari´avel h(x) = 1 cosh π 2 x vale F[h] = h, ou seja, essa fun¸c˜ao h tamb´em tem a si mesmo como transformada de Fourier. Como veremos adiante (Exerc´ıcio E. 36.19, p´agina 1773), se f ∈ S(Rn ), ent˜ao h := f + F[f] + F2 [f] + F3 [f] tamb´em satisfaz F[h] = h. Em verdade, veremos que h(x) = f(x) + f(−x) + F[f](x) + F[f](−x) e, portanto, se f for uma fun¸c˜ao ´ımpar, h ser´a identicamente nula mas, se f for par, teremos h(x) = 2f(x)+2F[f](x), que n˜ao ´e necessariamente a fun¸c˜ao nula. Por exemplo, para qualquer α > 0 a fun¸c˜ao fα(x) := exp −αx2 + exp − 1 4α x2 √ 2α ´e exatamente desse tipo (pela Proposi¸c˜ao 36.8, p´agina 1762) e, portanto, vale para a mesma F[fα] = fα. Outro exemplo ´e a fun¸c˜ao hβ(x) := 1 cosh β x + π 2 1 β cosh π 2 x β , 18As chamadas fun¸c˜oes de Hermite, denotadas por hm, m ∈ N0, foram introduzidas na Se¸c˜ao 15.2.3.1, p´agina 696. Vide (15.110). JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1762/2119 β > 0, que tamb´em ´e a soma de uma fun¸c˜ao par com sua transformada de Fourier (vide Exerc´ıcio E. 36.47, p´agina 1832) e, portanto, tamb´em satisfaz F[hβ] = hβ. No caso de Rn , n ≥ 2, pode-se provar que a fun¸c˜ao Gaussiana g da Proposi¸c˜ao 36.7 ´e a ´unica fun¸c˜ao simultaneamente invariante pela transformada de Fourier e pela a¸c˜ao do grupo de rota¸c˜oes SO(n). • A transformada de Fourier de fun¸c˜oes Gaussianas O resultado contido na proposi¸c˜ao que segue ´e muito importante e refere-se a transformadas de Fourier de fun¸c˜oes Gaussianas gerais em R. Proposi¸c˜ao 36.8 (Transformada de Fourier de Gaussianas em R) Sejam α > 0 e γ ∈ C, constantes. Ent˜ao, para a fun¸c˜ao h(x) := exp −αx2 + γx , x ∈ R , tem-se F[h](y) = exp − 1 4α y + iγ 2 √ 2α . (36.37) A rela¸c˜ao (36.37) diz-nos que a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao Gaussiana ´e novamente uma fun¸c˜ao Gaussiana. 2 Coment´ario. A express˜ao (36.37) pode ser demonstrada com uso de integra¸c˜ao complexa (vide Exerc´ıcio E. 36.41, p´agina 1828), mas apresentaremos uma demonstra¸c˜ao alternativa, talvez mais simples, sem o uso dessa t´ecnica. Em ambas as demonstra¸c˜oes, no entanto, faz-se uso do seguinte coment´ario. Para y real tem-se, por defini¸c˜ao, F[h](y) = 1 √ 2π ∞ −∞ e−αx2 −i(y+iγ)x dx (36.38) e o integrando, ou seja, a fun¸c˜ao exp − αx2 − i(y + iγ)x , ´e uma fun¸c˜ao inteira da vari´avel y, ou seja, ´e uma fun¸c˜ao de y que ´e anal´ıtica em todo o plano complexo. A integral do lado direito ´e absolutamente convergente devido ao fator e−αx2 . Por isso, aquela integral ´e igualmente uma fun¸c˜ao inteira de y. ♣ Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 36.8. Seja ˆh ≡ F[h]. ´E f´acil constatar que a fun¸c˜ao h satisfaz d dx + 2αx − γ h(x) = 0 e, portanto, satisfaz P − 2iαQ + iγ h = 0. Usando (36.29), segue disso que ˆh satisfaz iP + 1 2α (Q + iγ) ˆh = 0, ou seja, ˆh satisfaz a equa¸c˜ao diferencial ∂ ∂y ˆh(y) = − 1 2α y + iγ ˆh(y). A solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e ˆh(y) = Ce− 1 4α y+iγ 2 , onde C ´e uma constante de integra¸c˜ao a ser determinada. Para isso, lembremos (36.38) e escrevamos Ce− 1 4α y+iγ 2 = 1 √ 2π ∞ −∞ e−αx2 −i(y+iγ)x dx . Notemos que o lado esquerdo ´e tamb´em uma fun¸c˜ao inteira de y e, portanto, a igualdade acima vale para todo y ∈ C. Calculando ambos os lados da igualdade em y = −iγ, teremos C = 1 √ 2π ∞ −∞ e−αx2 dx = 1 √ 2α , provando que ˆh(y) = e− 1 4α y+iγ 2 √ 2α , que ´e o que desej´avamos estabelecer. A rela¸c˜ao (36.37) pode tamb´em ser obtida por integra¸c˜ao complexa. No Exerc´ıcio E. 36.42, p´agina 1830, mostramos como reobter (36.37) por outros meios, a saber, usando a expans˜ao de Taylor da fun¸c˜ao exponencial e propriedades da Fun¸c˜ao Gama de Euler. No Exerc´ıcio E. 36.44, p´agina 1831, mostramos como as id´eias da prova acima podem ser usadas para calcular a transformada de Fourier da fun¸c˜ao e−γx4 , γ > 0, em termos de uma expans˜ao em s´erie de potˆencias. A afirma¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 36.8 pode ser ainda estendida para incluir o caso em que α ´e uma constante complexa, mas com Re (α) > 0.
  10. 10. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1763/2119 Corol´ario 36.1 Sejam α, γ ∈ C, constantes, com Re (α) > 0. Ent˜ao, para a fun¸c˜ao h(x) := exp −αx2 + γx , x ∈ R , tem-se F[h](y) = exp − 1 4α y + iγ 2 √ 2α , (36.39) sendo que, para α = |α|eiθ com −π/2 < θ < π/2, temos acima √ α = |α|1/2 eiθ/2 . 2 Prova. Vamos denotar por Ω+ o sub-conjunto de C composto pelos n´umeros complexos de parte real positiva: Ω+ := {z ∈ C, Re (z) > 0}. A igualdade que desejamos estabelecer ´e 1 √ 2π ∞ −∞ e−αx2 −i(y+iγ)x dx = exp − 1 4α y + iγ 2 √ 2α . (36.40) Notemos que, se Re (α) > 0, ent˜ao tem-se |e−αx2 | = e−Re (α)x2 , o que ´e suficiente para provar que a integral do lado esquerdo em (36.40) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em α na regi˜ao Ω+, pois o integrando ´e uma fun¸c˜ao inteira de α e a integral ´e absolutamente convergente para α ∈ Ω+. Agora, o lado direito de (36.40) ´e igualmente uma fun¸c˜ao anal´ıtica de α na mesma regi˜ao Ω+ com √ α = |α|1/2 eiθ/2 para α = |α|eiθ com −π/2 < θ < π/2. Portanto, como a igualdade (36.40) foi estabelecida (na Proposi¸c˜ao 36.8) para o caso em que α ´e real e positivo, ela ´e v´alida tamb´em em toda a regi˜ao comum de analiticidade Ω+. No Exerc´ıcio dirigido E. 36.41, p´agina 1828, demonstramos o Corol´ario 36.1 (ou seja, a igualdade (36.40) para α, γ ∈ C, constantes, com Re (α) > 0) usando integra¸c˜ao no plano complexo e o Teorema de Cauchy. O resultado apresentado no exerc´ıcio a seguir generaliza a Proposi¸c˜ao 36.8. ´E tamb´em importante, por ser empregado na Mecˆanica Quˆantica, na Teoria Quˆantica de Campos e na Teoria de Probabilidades. E. 36.13 Exerc´ıcio importante. Seja A ∈ Mat (R, n) uma matriz real, auto-adjunta e positiva (isto ´e, tal que seus autovalores sejam n´umeros positivos). Seja tamb´em γ = (γ1, . . . , γn) ∈ Cn . Considere a fun¸c˜ao h(x), x ∈ Rn , definida por h(x) := exp − x, Ax + γ, x , onde a, b denota a forma bilinear usual entre vetores a = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) de Cn : a, b := a1b1+· · ·+anbn. Prove que a transformada de Fourier de h, F[h](y) := 1 (2π)n/2 Rn e− x, Ax −i (y+iγ), x dn x , (36.41) com y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn , ´e dada por F[h](y) := 1 2n det(A) exp − 1 4 (y + iγ), A−1 (y + iγ) . (36.42) Sugest˜ao. Use o seguinte fato. Como A ´e real e auto-adjunta, A pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal: TAT −1 = D, com D sendo diagonal e T ortogonal. Os elementos da diagonal de D s˜ao os autovalores de A. Fa¸ca na integral em (36.41) a mudan¸ca de vari´avel y = Tx. Use tamb´em o resultado da Proposi¸c˜ao 36.8. 6 36.2.1.2 Invertibilidade da Transformada de Fourier no Espa¸co de Schwartz • O comutante de Pa e Qa O teorema estrutural que segue ´e de importˆancia central na teoria das transformadas de Fourier. Ele estabelece que se um operador linear L agindo no espa¸co de Schwartz comuta com as derivadas parciais e com as multiplica¸c˜oes pelas coordenadas, ent˜ao esse operador L ´e um m´ultiplo do operador identidade. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1764/2119 Teorema 36.2 Seja L : S(Rn ) → S(Rn ) um operador linear de S(Rn ) em S(Rn ) que comute com todos os Pa’s e com todos os Qa’s, ou seja, que satisfa¸ca LQa = QaL e LPa = PaL para todo a = 1, . . . , n. Ent˜ao, L ´e um m´ultiplo da identidade, ou seja, existe uma constante l ∈ C tal que L = l1. 2 Prova (Adaptada de [129]). Tomemos um ponto a = (a1, . . . , an) ∈ Rn . Se f ´e uma fun¸c˜ao de Schwartz que se anula em a, a Proposi¸c˜ao 36.2, p´agina 1751, afirma que f(x) = n k=1 (xk − ak)fk(x), com as fk sendo tamb´em fun¸c˜oes de Schwartz. Temos, portanto, do fato que L ´e linear e comuta com Qk que L(Qk − ak) = (Qk − ak)L. Logo, (Lf)(x) = n k=1 (xk − ak)(Lfk)(x) . e essa rela¸c˜ao diz-nos que (Lf)(a) = 0. Seja Ha uma fun¸c˜ao de S(Rn ) que satisfa¸ca Ha(a) = 1. Por exemplo, podemos tomar Ha(x) = exp − n k=1 (xk − ak)2 . Para g ∈ S(Rn ), arbitr´aria, a fun¸c˜ao f(x) := g(x) − g(a)Ha(x) ´e uma fun¸c˜ao de Schwartz e anula-se em x = a. Logo, pelas considera¸c˜oes de acima, tem-se (Lf)(a) = 0, o que implica que (Lg)(a) = l(a)g(a) , (36.43) onde l(a) := L (Ha) (a). ´E claro pela defini¸c˜ao que l n˜ao depende da fun¸c˜ao g. ´E importante notar tamb´em que (36.43) ´e v´alida para todo a ∈ Rn . Vamos provar agora que l independe de a. A rela¸c˜ao (36.43) vale para toda fun¸c˜ao g do espa¸co de Schwartz. Assim, (36.43) vale para g e para suas derivadas Djg, j = 1, . . . , n. Logo, para todo a ∈ Rn valem as rela¸c˜oes (Lg)(a) = l(a)g(a) (36.44) e L(Djg) (a) = l(a)(Djg)(a) , (36.45) essa ´ultima para todo j = 1, . . . , n. Pela hip´otese que L e Dj comutam, teremos l(a)(Djg)(a) (36.45) = L(Djg) (a) LDj =Dj L = Dj(Lg) (a) (36.44) = Dj(lg) (a) regra de Leibniz = l(a)(Djg)(a) + g(a)(Djl)(a) . Essa igualdade diz-nos que g(a)(Djl)(a) = 0 para todo a ∈ Rn . Como g ´e arbitr´aria, isso diz-nos que Djl anula-se em toda parte, provando que l ´e constante. Assim, por (36.43), que vale para toda g ∈ S(Rn ), segue que L = l1 em S(Rn ), completando a prova. O estudante conhecedor da Teoria de Representa¸c˜ao de Grupos pode interessar-se em saber que h´a uma liga¸c˜ao profunda entre o Teorema 36.2 e o Lema de Schur, Teorema 23.2, p´agina 1142. • A transformada de Fourier inversa Na Proposi¸c˜ao 36.6, p´agina 1759, provamos que F e Fc s˜ao operadores de S(Rn ) em si mesmo. Vamos agora provar que esses operadores s˜ao sobrejetores (sua imagem ´e todo S(Rn )) e injetores (um-a-um). Mais que isso, provaremos que um ´e o operador inverso do outro. Al´em disso, provaremos que F2 = R e F4 = 1. Teorema 36.3 F e Fc s˜ao isomorfismos de S(Rn ) em S(Rn ), ou seja, s˜ao aplica¸c˜oes lineares bijetoras de S(Rn ) em S(Rn ). Mais especificamente, temos F−1 = Fc , rela¸c˜ao essa v´alida em S(Rn ). Valem tamb´em em S(Rn ) as rela¸c˜oes F2 = R e F4 = 1 . (36.46) Essas duas express˜oes implicam tamb´em que F3 = F−1 . 2
  11. 11. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1765/2119 Prova. Das rela¸c˜oes (36.29) segue imediatamente que F2 Pa = −PaF2 e F2 Qa = −QaF2 (36.47) Temos tamb´em que RQa = −QaR e RPa = −PaR (vide (36.31)). Logo, RF2 Qa = −RQaF2 = QaRF2 e RF2 Pa = −RPaF2 = PaRF2 . Isso estabeleceu que RF2 comuta com os operadores Qa e Da para todo a. Pelo Teorema 36.2, p´agina 1764, conclu´ımos que RF2 ´e um m´ultiplo da identidade: RF2 = l1 para alguma constante l. Provemos agora que l = 1. Para tal basta calcular RF2 sobre uma fun¸c˜ao g ∈ S(Rn ) espec´ıfica e ver o que disso resulta. Escolhemos para g a fun¸c˜ao g(x) = exp  − 1 2 n j=1 x2 j  . Como vimos na Proposi¸c˜ao 36.7, p´agina 1761, tem-se Fg = g. Fora isso, ´e evidente que Rg = g. Logo, RF2 g = g, provando que l = 1. Provamos, portanto, que RF2 = 1. Como R2 = 1, isso implica F2 = R e isso, por sua vez, implica que F4 = 1 e tamb´em que FRF (36.30) = F2 R = 1. Mais importante, por´em ´e o fato que RF2 = 1 diz-nos que (RF)F = F(RF) = 1. Essas rela¸c˜oes provam que F−1 existe e vale F−1 = RF = Fc . • A transformada de Fourier e a distribui¸c˜ao delta de Dirac Podemos nesse ponto antecipar alguns coment´arios a respeito do papel das transformadas de Fourier na Teoria das Distribui¸c˜oes. Se escrita explicitamente, a rela¸c˜ao F−1 F[f] = f, v´alida para toda f ∈ S(Rn ), induz as seguintes manipula¸c˜oes: f(y) = F−1 F[f] (y) = 1 (2π)n/2 Rn F[f](x)e+iy·x dn x = 1 (2π)n Rn Rn f(w)e−ix·w dn w e+iy·x dn x = 1 (2π)n Rn f(w) Rn e−i(w−y)·x dn x dn w , sendo que a troca de ordem de integra¸c˜ao acima tem, em princ´ıpio, significado apenas simb´olico. A igualdade f(y) = Rn f(w) 1 (2π)n Rn e−i(w−y)·x dn x dn w , obtida formalmente acima, diz-nos que 1 (2π)n Rn e−i(w−y)·x dn x = δ(w − y) , (36.48) onde δ ´e a distribui¸c˜ao delta de Dirac em Rn . Como discutiremos, apesar de (36.48) ter sido obtida acima por um procedimento formal (o estudante h´a de observar que a integral do lado esquerdo de (36.48) n˜ao ´e convergente, tendo, portanto, apenas um significado simb´olico), ela ´e correta se interpretada no sentido de distribui¸c˜oes. A express˜ao (36.48) ´e muito ´util, sendo empregada em diversas ´areas da F´ısica, como na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais, em c´alculos de se¸c˜oes de choque na F´ısica Quˆantica etc. 36.2.1.3 Transformadas de Fourier, Produtos de Convolu¸c˜ao e Identidade de Plancherel • Transformadas de Fourier e produtos de convolu¸c˜ao Vamos agora estudar a rela¸c˜ao entre a transformada de Fourier e o produto de convolu¸c˜ao em S(Rn ). Pelas defini¸c˜oes, JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1766/2119 vale F[f ∗ g](y) = 1 (2π)n/2 Rn (f ∗ g)(x)e−iy·x dn x = 1 (2π)n Rn Rn f(x − w)g(w) dn w e−iy·x dn x = 1 (2π)n Rn Rn f(x − w)e−iy·x dn x g(w) dn w x→x+w = 1 (2π)n/2 Rn 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−iy·x dn x e−iy·w g(w) dn w = 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−iy·x dn x 1 (2π)n/2 Rn e−iy·w g(w) dn w = F[f](y) F[g](y) . Provamos, portanto, que F[f ∗ g] = F[f] · F[g] Como R(a · b) = (Ra) · (Rb) para duas fun¸c˜oes de Schwartz a e b quaisquer (Proposi¸c˜ao 36.3, p´agina 1755), segue disso e de F−1 = RF que F−1 [f ∗ g] = F−1 [f] · F−1 [g] , Como essa rela¸c˜ao vale para todos f, g ∈ S(Rn ), podemos substituir f → F[f] e g → F[g], obtendo F−1 F[f]∗F[g] = f·g e disso segue que F[f · g] = F[f] ∗ F[g] . Como R(a ∗ b) = (Ra) ∗ (Rb) para duas fun¸c˜oes de Schwartz a e b quaisquer (Proposi¸c˜ao 36.3, p´agina 1755), segue disso e de F−1 = RF que F−1 [f · g] = F−1 [f] ∗ F−1 [g] . Para futura referˆencia, reunimos os fatos provados acima na seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ao 36.9 Seja o produto de convolu¸c˜ao definido em S(Rn ) por (f ∗ g)(x) = 1 (2π)n/2 Rn f(x − y)g(y) dn y (36.49) com f, g ∈ S(Rn ) e sejam a transformada de Fourier F e sua inversa F−1 dadas por F[f](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−iy·x dn x e F−1 [f](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)e+iy·x dn x , (36.50) para toda f ∈ S(Rn ). Ent˜ao, para todas f, g ∈ S(Rn ) valem as rela¸c˜oes F[f ∗ g] = F[f] · F[g] , (36.51) F−1 [f ∗ g] = F−1 [f] · F−1 [g] , (36.52) F[f · g] = F[f] ∗ F[g] , (36.53) F−1 [f · g] = F−1 [f] ∗ F−1 [g] . (36.54) Essas rela¸c˜oes estabelecem que as ´algebras (S(Rn ), ·) e (S(Rn ), ∗) (vide p´agina 1755) s˜ao isomorfas, o isomorfismo sendo dado pela transformada de Fourier. 2
  12. 12. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1767/2119 E. 36.14 Exerc´ıcio para o estudante que conhe¸ca a distribui¸c˜ao de Dirac. Obtenha formalmente a rela¸c˜ao F[f]∗F[g] = F[f · g] fazendo uso de (36.48). 6 • A identidade de Plancherel Em S(Rn ) podemos definir um produto escalar por f, g C := Rn f(y) g(y) dn y . ´E f´acil constatar (fa¸ca-o!) que f, g C = (2π)n/2 (Rf) ∗ g (0) = (2π)n/2 f ∗ (Rg) (0) e que f, g C = (2π)n/2 F f · g (0) . (36.55) Logo, F[f], F[g] C = (2π)n/2 (RF[f]) ∗ (F[g]) (0) = (2π)n/2 (F−1[f]) ∗ (F[g]) (0) = (2π)n/2 F f ∗ F[g] (0) (36.53) = (2π)n/2 F f · g (0) (36.55) = f, g C , onde na terceira igualdade usamos que (F−1[f]) = F f , que segue de (36.22) e do fato que F−1 = Fc . A igualdade assim estabelecida F[f], F[g] C = f, g C, v´alida para todos f, g ∈ S(Rn ), ´e denominada identidade de Plancherel19 para as transformadas de Fourier. Ela afirma que F ´e um operador isom´etrico em rela¸c˜ao ao produto escalar acima. Substituindo f → F−1 [f] e g → F−1 [g] na identidade de Plancherel, obtemos f, g C = F−1 [f], F−1 [g] C . Substituindo apenas f → F−1 [f] na identidade de Plancherel, obtemos que f, F[g] C = F−1 [f], g C, que afirma que F∗ = F−1 (na linguagem de operadores duais (adjuntos) em espa¸cos de Hilbert). Substituindo apenas g → F−1 [g] na identidade de Plancherel, obtemos que F[f], g C = f, F−1 [g] C. Para futura referˆencia reunimos os resultados provados acima na seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ao 36.10 Seja o produto escalar definido em S(Rn ) por f, g C = Rn f(y) g(y) dn y para todas f, g ∈ S(Rn ) e sejam a transformada de Fourier F e sua inversa F−1 dadas por F[f](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)e−iy·x dn x e F−1 [f](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)e+iy·x dn x , para toda f ∈ S(Rn ). Ent˜ao, para todas f, g ∈ S(Rn ) valem as rela¸c˜oes F[f], F[g] C = f, g C , (36.56) F−1 [f], F−1 [g] C = f, g C , (36.57) f, F[g] C = F−1 [f], g C , (36.58) F[f], g C = f, F−1 [g] C . (36.59) Essas rela¸c˜oes estabelecem que F e F−1 s˜ao operadores isom´etricos para o produto escalar acima e que vale F∗ = F−1 . A rela¸c˜ao (36.56) ´e denominada identidade de Plancherel. 2 19Michel Plancherel (1885–1967). JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1768/2119 E. 36.15 Exerc´ıcio para o estudante que conhe¸ca a distribui¸c˜ao de Dirac. Obtenha formalmente a rela¸c˜ao F[f], F[g] C = f, g C fazendo uso de (36.48). 6 Para finalizar o presente assunto, fa¸camos um coment´ario elementar que utilizaremos posteriormente em nossa dis- cuss˜ao sobre transformadas de Fourier de distribui¸c˜oes. Considere-se a forma bilinear ω em S(Rn ) que a cada par f, g ∈ S(Rn ) associa ω(f, g) := f, g C = Rn f(y)g(y) dn y . Temos que ω f, F[g] = f, F[g] C (36.58) = F−1 f , g C (36.22) = F[f], g C, estabelecendo que ω f, F[g] ] = ω F[f], g . (36.60) 36.2.2 A Transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) Esta breve se¸c˜ao, cuja leitura ´e dispens´avel para o material que lhe segue no corrente cap´ıtulo, ´e melhor compreendida por estudantes familiarizados com a no¸c˜ao de espa¸co de Hilbert e com alguns fatos relativos a operadores agindo em espa¸cos de Hilbert. Vide Cap´ıtulo 37, p´agina 1843 e Cap´ıtulo 38, p´agina 1870. • A transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) As chamadas fun¸c˜oes de Hermite foram introduzidas na Se¸c˜ao 15.2.3.1, p´agina 696 e s˜ao definidas por hm(x) := cmHm(x)e−x2 /2 , com x ∈ R e m ∈ N0, onde cm := 1 2mm! √ π (36.61) e Hm s˜ao os polinˆomios de Hermite. ´E bastante evidente que todas as fun¸c˜oes de Hermite hm s˜ao elementos do espa¸co de Schwartz S(R). Na Se¸c˜ao 35.6.2, p´agina 1726, provamos tamb´em que essas fun¸c˜oes formam uma base ortonormal completa no espa¸co de Hilbert L2 (R, dx). Desse fato e do Teorema 37.7, p´agina 1861, conclu´ımos que S(R) ´e um sub-espa¸co denso do espa¸co de Hilbert L2 (R, dx). A mesma afirma¸c˜ao se estende facilmente a mais dimens˜oes: S(Rn ) ´e um sub-espa¸co denso do espa¸co de Hilbert L2 (Rn , dx). A identidade de Plancherel informa-nos que a transformada de Fourier F ´e um operador unit´ario no espa¸co de Schwartz S(Rn ). Como esse sub-espa¸co de fun¸c˜oes ´e denso em L2 (Rn , dx), segue do Teorema BLT, Teorema 38.1, p´agina 1876, que F pode ser univocamente estendida como operador unit´ario a todo L2 (Rn , dx). Denotaremos essa extens˜ao tamb´em por F. ´E importante notar que essa argumenta¸c˜ao aplica-se tamb´em sem mudan¸cas `a transformada de Fourier inversa F−1 e, portanto, tamb´em esta possui uma extens˜ao unit´aria a todo L2 (Rn , dx), a qual tamb´em denotamos por F−1 . Como ambos os operadores s˜ao o inverso um do outro no sub-espa¸co denso S(Rn ), conclu´ımos que a extens˜ao F−1 ´e tamb´em a inversa da extens˜ao F em L2 (Rn , dx) e vice-versa. Como F e F−1 s˜ao unit´arias, temos evidentemente F∗ = F−1 em L2 (Rn , dx). H´a um ponto sutil na defini¸c˜ao da extens˜ao de F a todo L2 (Rn , dx) que deve ser compreendido pelo estudante. Se ψ ∈ L2 (Rn , dx) podemos, pelas considera¸c˜oes de acima, definir Fψ univocamente como um vetor de L2 (Rn , dx). Isso, por´em, n˜ao garante que Fψ possa ser expressa pela representa¸c˜ao integral usual da transformada de Fourier F[ψ](p) = 1 (2π)n/2 Rn ψ(x)e−ip·x dn x , (36.62) pois a integral do lado direito pode n˜ao estar definida (no sentido de Lebesgue). Lembrar que a integral do lado direito s´o estar´a definida se ψ ∈ L1 (Rn , dx). Assim, se ψ ∈ L2 (Rn , dx) mas ψ ∈ L1 (Rn , dx) teremos Fψ definida, mas a representa¸c˜ao integral de acima n˜ao existir´a (no sentido de Lebesgue). Tal ´e o caso, da fun¸c˜ao definida em R dada por ψ(x) := i √ 2π 1 x + i , para a qual tem-se F[ψ](y) =    e−y , para y > 0 , 0 , para y < 0 , com F[ψ](0) arbitr´aria.
  13. 13. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1769/2119 Mais adiante descreveremos uma forma de representar Fψ para qualquer ψ ∈ L2 (Rn , dx) em termos de uma s´erie (convergente em L2 (Rn , dx)) envolvendo as fun¸c˜oes de Hermite. • A transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) e algumas de suas rela¸c˜oes alg´ebricas Comecemos com algumas defini¸c˜oes que ser˜ao ´uteis no que segue. Para a ∈ Rn definimos o operador Ta : L2 (Rn , dx) → L2 (Rn , dx) por (Tah) (x) := h(x − a), com h ∈ L2 (Rn , dx). N˜ao ´e dif´ıcil constatar que cada Ta ´e unit´ario e T∗ a = T−1 a = T−a. O operador Ta implementa uma transla¸c˜ao por a nos elementos de L2 (Rn , dx). Para a ∈ Rn definimos o operador de multiplica¸c˜ao ea : L2 (Rn , dx) → L2 (Rn , dx) por (eah) (x) = e−ia·x h(x). N˜ao ´e dif´ıcil constatar que cada ea ´e unit´ario e e∗ a = e−1 a = e−a. Definimos tamb´em o operador R : L2 (Rn , dx) → L2 (Rn , dx) por (Rh)(x) = h(−x). ´E trivial constatar que R ´e unit´ario e R∗ = R−1 = R. O operador R implementa nos elementos de L2 (Rn , dx) uma reflex˜ao sobre a origem em Rn . Por fim, definamos o operador anti-linear C : L2 (Rn , dx) → L2 (Rn , dx) por (Ch)(x) = h(x)). O operador C ´e anti-unit´ario, o que significa que f, Cg C = g, Cf C para todos f, g ∈ L2 (Rn , dx). ´E evidente pelas defini¸c˜oes que valem as seguintes rela¸c˜oes: R2 = 1 , (36.63) C2 = 1 , (36.64) Rea = e−aR , (36.65) Cea = e−aC , (36.66) CT−a = T−aC , (36.67) CR = RC . (36.68) Afirmamos que valem tamb´em as seguintes rela¸c˜oes alg´ebricas entre esses operadores e a transformada de Fourier: CF = F−1 C (36.69) F Ta = ea F , (36.70) F ea = T−a F , (36.71) F R = R F = F−1 , (36.72) F2 = R , (36.73) F4 = 1 , (36.74) para todo a ∈ Rn . As rela¸c˜oes acima j´a foram estabelecidas para S(Rn ): (36.69) foi estabelecida em (36.22); (36.70) e (36.71) foram estabelecidas em (36.23)–(36.24); (36.72) foi estabelecida em (36.30), (36.73) e (36.74) foram estabelecidas em (36.46). Cada uma delas se estende a todo L2 (Rn , dx) pois S(Rn ) ´e denso em L2 (Rn , dx) e pois todos os operadores envolvidos s˜ao limitados. • A transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) e produtos de convolu¸c˜ao Se f e g s˜ao elementos de L2 (Rn , dx) podemos definir seu produto de convolu¸c˜ao por f ∗ g (a) := 1 (2π)n/2 Cf, RT−ag C , a ∈ Rn . (36.75) JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1770/2119 Essa defini¸c˜ao pode parecer estranha e artificial, mas escrevendo-se explicitamente o lado direito de (36.75), temos f ∗ g (a) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)g(a − x) dx , como facilmente se verifica. De fato, (RT−ag)(x) = (T−ag)(−x) = g(−x + a), donde segue facilmente a afirma¸c˜ao. ´E f´acil constatar outrossim que f ∗ g (a) = g ∗ f (a) para todas f, g ∈ L2 (Rn , dx) e para todo a ∈ Rn . De fato, usando as rela¸c˜oes (36.63)–(36.68), a unitariedade de R, a anti-unitariedade de C e o fato que T∗ a = T−a, segue que (2π)n/2 f ∗ g (a) = Cf, RT−ag C = TaRCf, g C = CRT−af, g C = Cg, RT−af C = (2π)n/2 g ∗ f (a) . ´E relevante notar, todavia, que f ∗ g n˜ao ´e necessariamente um elemento de L2 (Rn , dx) se f e g o forem. Coloquemo-nos a seguinte quest˜ao: podem os resultados da Proposi¸c˜ao 36.9, p´agina 1766, ser diretamente estendidos do espa¸co de Schwartz S(Rn ) ao espa¸co de Hilbert L2 (Rn , dx)? Uma evidente dificuldade reside no fato de que S(Rn ) ´e uma ´algebra tanto com rela¸c˜ao ao produto pontual quanto em rela¸c˜ao ao produto de convolu¸c˜ao, enquanto que o espa¸co de Hilbert L2 (Rn , dx) n˜ao o ´e em rela¸c˜ao a nenhum dos produtos. Assim, se f, g s˜ao fun¸c˜oes de L2 (Rn , dx), os produtos fg e f ∗g n˜ao necessariamente o s˜ao e, portanto, n˜ao ´e evidente sequer se a transformada de Fourier e sua inversa podem ser aplicadas a ambas as fun¸c˜oes. Recordemos, por´em, que se f e g s˜ao duas fun¸c˜oes de L2 (Rn , dx) seu produto pontual ´e certamente um elemento de L1 (Rn , dx) pois, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, R |f(x)g(x)|dx 2 ≤ R |f(x)|2 dx R |g(x)|2 dx < ∞. Assim, se f, g ∈ L2 (Rn , dx) a transformada de Fourier e a transformada de Fourier conjugada do produto pontual fg existem e s˜ao dadas por F[fg](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)g(x)e−ix·y dx e Fc [fg](y) = 1 (2π)n/2 Rn f(x)g(x)eix·y dx, respectivamente. Temos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ao 36.11 Para todos f, g ∈ L2 (Rn , dx) tem-se f ∗ g (y) = 1 (2π)n/2 Rn F−1 [f](x) F−1 [g](x) e−iy·x dx . (36.76) A integral `a direita est´a bem definida pois, como j´a comentamos, F−1 [f] · F−1 [g] ∈ L1 (Rn , dx). A igualdade acima estabelece que se f, g ∈ L2 (Rn , dx), ent˜ao f ∗ g ´e a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao de L1 (Rn , dx) (observar que o lado direito de (36.76) ´e a transformada de Fourier de um elemento de L1 (Rn , dx)). Como a transformada de Fourier ´e invert´ıvel em L2 (Rn , dx), segue de (36.76) que F[f] ∗ F[g] = F[fg] . (36.77) Note-se que a transformada de Fourier do lado direito, F[fg], ´e entendida como a transformada de Fourier de um elemento de L1 (Rn , dx). Seque disso tamb´em que F−1 [f] ∗ F−1 [g] = Fc [fg] , (36.78) sempre para f, g ∈ L2 (Rn , dx). 2 Incidentalmente, (36.76) fornece uma prova alternativa de que f ∗ g = g ∗ f para f, g ∈ L2 (Rn , dx). Prova da Proposi¸c˜ao 36.11. Fazendo uso da unitariedade da transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) e das rela¸c˜oes (36.63)–(36.68) e (36.69)–(36.74), obtem-se (2π)n/2 f ∗ g (y) (36.75) := Cf, RT−yg C unitariedade = FCf, FRT−yg C = CF−1 f, eyF−1 g C = Rn F−1 [f](x) F−1 [g](x) e−iy·x dx .
  14. 14. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1771/2119 Verifique! Na ´ultima igualdade nos limitamos a escrever explicitamente o produto escalar. A rela¸c˜ao (36.77) segue disso substituindo-se f e g por F[f] e F[g], respectivamente, que tamb´em s˜ao elementos de L2 (Rn , dx). A rela¸c˜ao (36.78) ´e obtida tomando-se a conjuga¸c˜ao complexa ou aplicando-se o operador R a ambos os lados de (36.76) ou de (36.77). 36.2.2.1 Mais Algumas Transformadas de Fourier Relevantes em Aplica¸c˜oes Nosso prop´osito nesta se¸c˜ao ´e justificar a validade de algumas identidades utilizadas com freq¨uˆencia em problemas de F´ısica, no cˆomputo de certas solu¸c˜oes fundamentais (fun¸c˜oes de Green) associadas a certas equa¸c˜oes diferenciais lineares n˜ao-homogˆeneas: O primeiro exemplo ´e o seguinte. Seja ω∗ um n´umero complexo com Im (ω∗) > 0. Ent˜ao, vale ∞ −∞ eiωt ω − ω∗ dω = 2πiH(t)eiω∗t , (36.79) onde H ´e a chamada fun¸c˜ao de Heaviside, que vale H(t) = 1 para t ≥ 0 e H(t) = 0 para t < 0. O integrando do lado esquerdo n˜ao ´e uma fun¸c˜ao integr´avel (ou seja, n˜ao ´e um elemento de L1 (R, dx)) e a integral do lado esquerdo deve ser entendida no sentido de integrais de Riemann indefinidas, ou seja, como lim A→∞ A −A eiωt ω − ω∗ dω. Analogamente, para ω∗ ∈ C com Im (ω∗) < 0, vale ∞ −∞ eiωt ω − ω∗ dω = −2πiH(−t)eiω∗t , (36.80) express˜ao esta que pode ser facilmente obtida de (36.79) tomando-se o complexo conjugado daquela (fa¸ca-o!). As rela¸c˜oes (36.79) e (36.80) podem ser conjuntamente escritas na forma ∞ −∞ eiωt ω − ω∗ dω = 2πi sgn Im (ω∗) H sgn Im (ω∗) t eiω∗t , (36.81) onde sgn Im (ω∗) ´e o sinal de Im (ω∗) A rela¸c˜ao (36.79) pode ser obtida com uso do chamado “m´etodo dos res´ıduos”, da teoria das fun¸c˜oes de vari´avel complexa, mas seguiremos aqui um procedimento diferente. Considere-se a fun¸c˜ao f(t) := H(t)eiω∗t , t ∈ R. ´E elementar constatar que, devido ao fato de f anular-se na semi-reta real negativa (decorrˆencia do fator H na defini¸c˜ao de f) e decair exponencialmente para t → ∞ (decorrˆencia de ter-se Im (ω∗) > 0), vale que f ∈ L1 (R, dx) e que f ∈ L2 (R, dx), ou seja, ∞ −∞ f(t) dt e ∞ −∞ f(t) 2 dt s˜ao ambas finitas. Conseq¨uentemente, a transformada de Fourier de f, que denotamos por ˆf(ω) ≡ F[f](ω), ω ∈ R, ´e dada por ˆf(ω) = 1 √ 2π ∞ −∞ H(t)eiω∗t e−iωt dt = 1 √ 2π ∞ 0 e−i(ω−ω∗)t dt = 1 i √ 2π 1 ω − ω∗ . Verifique! Por ser a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao em L2 (R, dx), ˆf ´e igualmente uma fun¸c˜ao de L2 (R, dx), mas n˜ao necessariamente de L1 (R, dx). E. 36.16 Exerc´ıcio. Constate explicitamente que ∞ −∞ ˆf(ω) 2 dω < ∞, mas que ∞ −∞ ˆf(ω) dω diverge. Sugest˜ao: use o fato que, escrevendo-se ω∗ = α∗ + iβ∗, com α∗, β∗ ∈ R, tem-se |ω − ω∗| = (ω − α∗)2 + β2 ∗ e conclua que 1/ |ω − ω∗| decai como 1/|ω| para |ω| → ∞. 6 Assim, temos que F−1 ˆf (t) = f(t) (no sentido de L2 (R, dx)). Formalmente, essa igualdade se escreve como 1√ 2π ∞ −∞ ˆf(ω)eiωt dω = f(t), ou seja, 1 2πi ∞ −∞ 1 ω − ω∗ eiωt dω = H(t)eiω∗t . JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1772/2119 Essa j´a ´e a identidade desejada (36.79), mas como ˆf n˜ao ´e integr´avel, ´e necess´ario dar um sentido mais preciso `a integra¸c˜ao do lado esquerdo. Isso pode ser feito aproximando-se ˆf em L2 (R, dx) por fun¸c˜oes em L1 (R, dx) ∩ L2 (R, dx), o que pode ser feito de diversas formas. Uma possibilidade ´e considerar-se as fun¸c˜oes FA(ω) = χ[−A, A](ω) ˆf(ω), para A > 0, onde χ[−A, A] ´e a fun¸c˜ao carac- ter´ıstica do intervalo [−A, A]. ´E evidente que FA ∈ L1 (R, dx)∩L2 (R, dx) para todo A > 0 e ´e f´acil ver que FA converge na norma de L2 (R, dx) `a fun¸c˜ao ˆf. E. 36.17 Exerc´ıcio. Verifique essas afirma¸c˜oes. 6 Uma outra situa¸c˜ao importante em aplica¸c˜oes envolve o cˆomputo de integrais como ∞ −∞ eiωt ω2 + βω + γ dω (36.82) com β, γ ∈ C satisfazendo β2 = 4γ. Escrevemos 1 ω2 + βω + γ = 1 (ω − ω+)(ω − ω−) = 1 ω+ − ω− 1 (ω − ω+) − 1 (ω − ω−) , onde ω± s˜ao as ra´ızes do polinˆomio ω2 + βω + γ, ou seja, ω± = 1 2 − β ± β2 − 4γ (aqui e no que segue as ra´ızes quadradas s˜ao tomadas no ramo principal). Inserindo isso em (36.82), teremos ∞ −∞ e−iωt ω2 + βω + γ dω = 1 ω+ − ω− ∞ −∞ eiωt ω − ω+ dω − ∞ −∞ eiωt ω − ω− dω (36.81) = 2πi ω+ − ω− σ+H σ+t eiω+t − σ−H σ−t eiω−t , (36.83) onde σ± := sgn Im (ω±) , o sinal da parte imagin´aria de ω±. ´E f´acil constatar que o lado direito de (36.83) pertence a L1 (R, dt) ∩ L2 (R, dt). • Exemplos de aplica¸c˜oes de (36.83) Vamos aqui apresentar alguns usos de (36.83). A integral J+, ǫ(t), abaixo, aparece no cˆomputo do chamado propagador de Feynman de campos escalares relativ´ısticos e as integrais K±, ǫ(t) aparecem no cˆomputo de fun¸c˜oes de Green retardadas e avan¸cadas, tamb´em no contexto de Teorias Quˆanticas de Campos relativ´ısticas, ou no Eletromagnetismo. Exemplo I. Um problema de interesse em aplica¸c˜oes ´e o cˆomputo da integral J+, ǫ(t) := ∞ −∞ eiωt ω2 − ω2 0 + iǫ dω , (36.84) onde ω0 > 0 e ǫ > 0. Nesse caso β = 0, γ = −ω2 0 + iǫ e ω± = ± ω2 0 − iǫ. Claramente, sgn Im (ω±) = ∓1 e teremos J+, ǫ(t) = πi ω2 0 − iǫ −H(−t)ei √ ω2 0−iǫt − H(t)e−i √ ω2 0 −iǫt . Analogamente, ´e f´acil ver que J−, ǫ(t) := ∞ −∞ eiωt ω2 − ω2 0 − iǫ dω = πi ω2 0 + iǫ H(t)ei √ ω2 0+iǫt + H(−t)e−i √ ω2 0+iǫt . E. 36.18 Exerc´ıcio. Verifique! 6 Definindo-se J±(t) := lim ǫ→0+ J±, ǫ(t), teremos: J+(t) = − πi ω0 H(−t)eiω0t + H(t)e−iω0t e J−(t) = πi ω0 H(t)eiω0t + H(−t)e−iω0t . (36.85)
  15. 15. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1773/2119 Exemplo II. Outro problema de interesse em aplica¸c˜oes ´e o cˆomputo da integral K+, ǫ(t) := ∞ −∞ eiωt (ω + iǫ)2 − ω2 0 dω , (36.86) onde ω0 > 0 e ǫ > 0. Nesse caso β = 2iǫ e γ = −ω2 0 − ǫ2 . Aqui ω± = ±ω0 − iǫ. Claramente, sgn Im (ω±) = −1 e, portanto, segue de (36.83) que K+, ǫ(t) := 2π ω0 H(−t) sen ω0t eǫt . (36.87) Verifique! De forma totalmente an´aloga, demonstra-se que K−, ǫ(t) := ∞ −∞ eiωt (ω − iǫ)2 − ω2 0 dω = − 2π ω0 H(t) sen ω0t e−ǫt . (36.88) Verifique! De particular interesse s˜ao os limites K±(t) := lim ǫ→0+ K±, ǫ(t). Teremos: K+(t) = 2π ω0 H(−t) sen ω0t e K−(t) = − 2π ω0 H(t) sen ω0t . (36.89) 36.2.2.2 A Transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) e suas Propriedades Espectrais • A transformada de Fourier em L2 (Rn , dx). Representa¸c˜ao espectral No exerc´ıcio e nas considera¸c˜oes que seguem estabelecemos que o espectro da transformada de Fourier no espa¸co de Hilbert L2 (Rn , dx) ´e composto pelas ra´ızes qu´articas da unidade: σ(F) = {1, −i, −1, i} (vide tamb´em Teorema 38.15, p´agina 1924 e coment´arios que se lhe seguem). Em seguida, exibimos uma base ortonormal completa de auto-fun¸c˜oes em L2 (R, dx): as fun¸c˜oes de Hermite, introduzidas na Se¸c˜ao 15.2.3.1, p´agina 696. Esse exerc´ıcio ´e melhor apreciado pelo leitor familiarizado com o Teorema Espectral, quer na vers˜ao para matrizes (Teorema 9.6, p´agina 374), quer na vers˜ao para operadores limitados em espa¸cos de Hilbert (vide Teorema 38.46, p´agina 2025, para o caso de operadores auto-adjuntos). E. 36.19 Exerc´ıcio. Seja f ∈ S(Rn ). Usando o fato que F4 = 1 (vide Teorema 36.3, p´agina 1764), mostre que as fun¸c˜oes ga, a ∈ Z, definidas por ga := 3 j=0 i(j+1)a Fj [f] = ia f + (−1)a F[f] + (−i)a F2 [f] + F3 [f] satisfazem F[ga] = (−i)a ga para todo a ∈ Z (em verdade, como i4 = 1, s´o os casos a = 0, 1, 2, 3 s˜ao independentes). Mostre tamb´em que f = 1 4 3 a=0 (−i)a ga = 1 4 g0 − ig1 − g2 + ig3 . Isso prova que toda fun¸c˜ao de Schwartz pode ser escrita como combina¸c˜ao linear de quatro fun¸c˜oes de Schwartz, as quais s˜ao auto-fun¸c˜oes da transformada de Fourier com autovalores (−i)a com a = 0, 1, 2, 3. Essa ´e uma vers˜ao do chamado Teorema Espectral para as transformadas de Fourier em S(Rn ). Mostre, usando as express˜oes acima, que F = 3 a=0 (−i)a Ea , onde Ea := 1 4 3 j=0 i(j+1)a Fj+1 a = 0, 1, 2, 3. Prove que 3 a=0 Ea = 1 e que EaEb = δa, bEa para todos a, b = 0, 1, 2, 3, e conclua disso que os Ea’s s˜ao os projetores espectrais de F. ´E de se observar que as propriedades e rela¸c˜oes estabelecidas acima valem n˜ao apenas para a transformada de Fourier F agindo em S(Rn ), mas tamb´em para sua extens˜ao agindo em L2 (Rn , dx). Justifique! 6 JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1774/2119 • A Transformada de Fourier em L2 (Rn , dx) e as fun¸c˜oes de Hermite Como dissemos acima, as chamadas fun¸c˜oes de Hermite foram introduzidas na Se¸c˜ao 15.2.3.1, p´agina 696, e s˜ao definidas por hm(x) := cmHm(x)e−x2 /2 , com x ∈ R e m ∈ N0, onde cm ´e dado em (36.61) e Hm s˜ao os polinˆomios de Hermite. Em (15.117) provamos que podemos expressar cada hn, n ∈ N0, na forma hn(x) = cn x − d dx n e−x2 /2 , (36.90) com x ∈ R. Como hn ∈ S(R), e usando os operadores P e Q, podemos escrever (36.90) na forma hn = cn Q − iP n h0 com h0(x) ≡ e−x2 /2 . ´E claro por essa express˜ao, com uso de (36.29), que F[hn] = cn − P − iQ n F[h0] = (−i)n cn Q − iP n h0 , onde usamos o fato j´a provado que F[h0] = h0 (Proposi¸c˜ao 36.7, p´agina 1761). Portanto, provamos que F[hn] = (−i)n hn , (36.91) para todo n ∈ N0 e com isso estabelecemos que cada fun¸c˜ao de Hermite hn ´e auto-fun¸c˜ao da transformada de Fourier com autovalor (−i)n . De acordo com (15.111), p´agina 697, essas fun¸c˜oes satisfazem ∞ −∞ hn(x)hm(x) dx = δn,m para todos n, m ∈ N0. Na Se¸c˜ao 35.6.2, p´agina 1726, provamos tamb´em que essas fun¸c˜oes formam uma base ortonormal completa no espa¸co de Hilbert L2 (R, dx). Nota. A equa¸c˜ao (36.91) n˜ao deve surpreender o leitor acostumado `a Mecˆanica Quˆantica pois, devido a (36.29), ´e f´acil ver que F comuta com o “operador Hamiltoniano” do problema do oscilador harmˆonico: H = P 2 + Q2. Sendo as fun¸c˜oes de Hermite hn auto-fun¸c˜oes de H, elas devem ser tamb´em auto-fun¸c˜oes de F. ♣ As observa¸c˜oes de acima permitem-nos exprimir a transformada de Fourier sobre elementos de L2 (R, dx) da seguinte forma. Seja ψ = ∞ n=0 hn, ψ C hn a decomposi¸c˜ao de ψ ∈ L2 (R, dx) na base ortonormal completa composta pelas fun¸c˜oes de Hermite, com f, g C := R f(x)g(x)dx sendo o produto escalar usual em L2 (R, dx). Obtemos, ent˜ao, por (36.91), Fψ = ∞ n=0 (−i)n hn, ψ C hn = 3 a=0 (−i)a ∞ n=0 h4n+a, ψ C h4n+a , (36.92) onde usamos o fato que as fun¸c˜oes de Hermite h4n+k tˆem auto-valores (−i)k , para todo n ∈ N0 e todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. A convergˆencia das s´eries acima se d´a no sentido da norma de L2 (R, dx). A rela¸c˜ao (36.92) permite exprimir a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao ψ arbitr´aria de L2 (R, dx) e ´e v´alida mesmo quando a integral (36.62) n˜ao est´a definida. Essa abordagem da teoria das transformadas de Fourier no espa¸co de Hilbert L2 (R, dx) fazendo uso das fun¸c˜oes de Hermite ´e empregada no estudo de s´eries temporais e foi introduzida por Wiener20 (vide e.g. [271]). Vemos do exposto acima que os projetores espectrais Ea, a = 0, . . . , 3, de F s˜ao dados, na nota¸c˜ao de Dirac21 , por Ea = ∞ n=0 h4n+a h4n+a e que podemos escrever F = 3 a=0 (−i)a Ea = 3 a=0 (−i)a ∞ n=0 h4n+a h4n+a . Essa ´a a representa¸c˜ao espectral da transformada de Fourier. Com a nota¸c˜ao de Dirac podemos igualmente escrever F = ∞ n=0 (−i)n hn hn 20Norbert Wiener (1894–1964). 21Nessa nota¸c˜ao ψ ψ denota o projetor ortonormal sobre um vetor normalizado ψ ∈ L2(R, dx).
  16. 16. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1775/2119 que ´e por vezes denominada representa¸c˜ao de Wiener da transformada de Fourier. Com a posse dessas express˜oes, abrem-se diversas possibilidades, como por exemplo, a de se definir potˆencias ar- bitr´arias de transformadas de Fourier (tamb´em denominadas transformadas de Fourier fracion´arias), dadas para γ ∈ C por Fγ := 3 a=0 e−i πaγ 2 Ea = 3 a=0 e−i πaγ 2 ∞ n=0 h4n+a h4n+a . * * * E. 36.20 Exerc´ıcio. Considere-se a fun¸c˜ao de Schwartz dada por h(x) = π 8 1/4 1 cosh π 2 x . Mostre que essa fun¸c˜ao tem norma 1 no espa¸co de Hilbert L2 (R, dx), ou seja, mostre que h, h L2(R, dx) = ∞ −∞ h(x)2 dx = 1 . Sugest˜ao: use a express˜ao (36.226) do Exerc´ıcio dirigido E. 36.48, p´agina 1833, e tome o limite y → 0. N˜ao esque¸ca o fator 1√ 2π da transformada de Fourier! No Exerc´ıcio dirigido E. 36.47, p´agina 1832, demonstramos que a fun¸c˜ao h tem a si mesmo como transformada de Fourier: Fh = h. Conclua disso que h ´e um elemento do fecho do sub-espa¸co de L2 (R, dx) gerado pelas fun¸c˜oes de Hermite cuja ordem ´e um m´ultiplo de 4, ou seja, {h4n, n ∈ N0}. Isso implica que a proje¸c˜ao de h sobre as demais fun¸c˜oes de Hermite ´e nula. Assim, vale h, hk L2(R, dx) = 0 para todo k ´ımpar, o que implica que ∞ −∞ 1 cosh π 2 x Hk(x)e−x2 /2 dx = 0 para todo k ´ımpar (o que ´e trivial, pois h ´e uma fun¸c˜ao par mas hk ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar para todo k ´ımpar) mas vale tamb´em que h, h2+4n L2(R, dx) = 0 para todo n ∈ N0, o que implica que ∞ −∞ 1 cosh π 2 x H2+4n(x)e−x2 /2 dx = 0 para todo n ∈ N0, uma rela¸c˜ao que, aparentemente, n˜ao se deixa demonstrar facilmente por meios diretos! Segue das considera¸c˜oes acima que podemos escrever π 8 1/4 1 cosh π 2 x = ∞ n=0 h4n, h L2(R, dx) h4n(x) , como a expans˜ao de h na base ortonormal completa definida pelas fun¸c˜oes de Hermite em L2 (R, dx). Obtenha de forma expl´ıcita os coeficientes h4n, h L2(R, dx) = π 8 1/4 c4n ∞ −∞ 1 cosh π 2 x H4n(x)e−x2 /2 dx como fun¸c˜ao de n (obs.: isso n˜ao ´e uma tarefa simples!). Os coeficientes cm s˜ao os dados em (36.61). 6 E. 36.21 Exerc´ıcio. No Exerc´ıcio dirigido E. 36.47, p´agina 1832, demonstramos que a fun¸c˜ao do espa¸co de Schwartz h(x) = π 8 1/4 1 cosh π 2 x JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1776/2119 tem a si mesmo como transformada de Fourier: Fh = h. Mostre que as fun¸c˜oes rn(x) := Q − iP n h(x) = π 8 1/4 x − d dx n 1 cosh π 2 x , n ∈ N0 , e sn(x) := Q + iP n h(x) = π 8 1/4 x + d dx n 1 cosh π 2 x , n ∈ N0 , satisfazem Frn = (−i)n rn e Fsn = in sn para todo n ∈ N0 6 36.2.3 Transformadas de Fourier: T´opicos Suplementares 36.2.3.1 A F´ormula de Soma de Poisson Vamos aqui apresentar uma interessante conex˜ao entre s´eries e transformadas de Fourier e alguns de seus usos. Trata-se de uma rela¸c˜ao not´avel e de grande utilidade denominada f´ormula de soma de Poisson22 . Proposi¸c˜ao 36.12 (F´ormula de Soma de Poisson) Para cada g ∈ S(R) vale a identidade ∞ n=−∞ g(x + n) = √ 2π ∞ m=−∞ F[g] 2πm ei2πmx (36.93) para todo x ∈ R. Em particular, vale a identidade ∞ n=−∞ g(n) = √ 2π ∞ m=−∞ F[g] 2πm . (36.94) Ambas as express˜oes (36.93) e (36.94) s˜ao denominadas f´ormula de soma de Poisson. 2 As hip´oteses sobre a fun¸c˜ao g podem ser ainda mais enfraquecidas. Vide Exerc´ıcio E. 36.22, logo adiante. Prova da Proposi¸c˜ao 36.12. Em primeiro lugar, observemos que, devido ao r´apido decaimento de g, a s´erie ∞ n=−∞ g(x+n) converge absolutamente e uniformemente em compactos e, portanto, define uma fun¸c˜ao cont´ınua em R, que denotaremos por G: G(x) := ∞ n=−∞ g(x + n) . ´E evidente pela defini¸c˜ao que G ´e uma fun¸c˜ao peri´odica e de per´ıodo 1. Paralelamente, como F[g] ∈ S(R), podemos afirmar tamb´em que a s´erie √ 2π ∞ m=−∞ F[g](2πm)ei2πmx converge absolutamente e uniformemente em compactos e, portanto, define uma fun¸c˜ao cont´ınua em R, que denotaremos por H: H(x) := √ 2π ∞ m=−∞ F[g] 2πm ei2πmx . ´E tamb´em evidente que H ´e uma fun¸c˜ao peri´odica e de per´ıodo 1, pois as fun¸c˜oes ei2πmx o s˜ao. Para provarmos, como desejamos, que G = H, ´e suficiente, pelo Corol´ario 35.3, p´agina 1704, provarmos que os coeficientes de Fourier de G coincidem com os de H, que s˜ao obviamente dados por √ 2πF[g](2πm) (vide (35.59)). De 22Sim´eon Denis Poisson (1781–1840).
  17. 17. JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1777/2119 acordo com (35.59), o m-´esimo coeficiente de Fourier de G ´e dado por Gm = 1/2 −1/2 e−i2πmy G(y) dy = 1/2 −1/2 e−i2πmy ∞ n=−∞ g(y + n) dy (35.2) = ∞ n=−∞ 1/2 −1/2 e−i2πmy g(y + n) dy p=y+n = ∞ n=−∞ n+1/2 n−1/2 e−i2πm(p−n) g(p) dp ei2πmn =1 = ∞ n=−∞ n+1/2 n−1/2 e−i2πmp g(p) dp = ∞ −∞ e−i2πmp g(p) dp = √ 2πF[g] 2πm , completando a prova. E. 36.22 Exerc´ıcio. Mostre que as identidades (36.93) e (36.94) valem tamb´em para fun¸c˜oes g que sejam diferenci´aveis e satisfa¸cam a seguinte propriedade: existe K > 0 tal que |g(x)| + |g′ (x)| ≤ K 1+x2 para todo x ∈ R. Sugest˜ao: constate que todas as manipula¸c˜oes da prova da Proposi¸c˜ao 36.12 s˜ao v´alidas sob a hip´otese acima. Vide [73]. 6 • Alguns usos da f´ormula de soma de Poisson E. 36.23 Exerc´ıcio. Usando a f´ormula de soma de Poisson (36.94) e o resultado do Exerc´ıcio E. 36.8, itens b e c, p´agina 1757, prove que para a > 0 vale ∞ n=−∞ 1 a2 + (2πn)2 = 1 2a tanh(a/2) . (36.95) Compare (36.95) com (35.131). 6 O resultado do Exerc´ıcio E. 36.23 pode ainda ser generalizado. E. 36.24 Exerc´ıcio. Usando a f´ormula de soma de Poisson (36.93) e o resultado do Exerc´ıcio E. 36.8, itens b e c, p´agina 1757, prove que para a > 0 vale ∞ m=−∞ e2πimx a2 + (2πm)2 = ha(x) , (36.96) onde ha ´e a fun¸c˜ao cont´ınua e peri´odica de per´ıodo 1 que no intervalo [0, 1) vale ha(x) = 1 2a cosh a x − 1 2 senh a 2 . (36.97) Sugest˜ao: A somat´oria ∞ m=−∞ e−a|m+x| pode ser calculada da seguinte forma. Trata-se claramente de uma fun¸c˜ao peri´odica JCABarata. Notas para um Curso de F´ısica-Matem´atica. Vers˜ao de 27 de maio de 2015. Cap´ıtulo 36 1778/2119 de per´ıodo 1. Podemos, portanto, restringir x ao intervalo [0, 1) e escrever ∞ m=−∞ e−a|m+x| = −1 m=−∞ e−a|m+x| + e−a|x| + ∞ m=1 e−a|m+x| = −1 m=−∞ ea(m+x) + e−ax + ∞ m=1 e−a(m+x) = e−ax + eax + e−ax ∞ m=1 e−am = e−ax + eax + e−ax e−a 1 − e−a = cosh a x − 1 2 senh a 2 . (36.98) Na segunda igualdade em (36.98) usamos que para 0 ≤ x < 1 vale |m + x| = −(m + x) sempre que m ≤ −1, que vale |m + x| = m + x sempre que m ≥ 1 e que e−a|x| = e−ax . A ´ultima igualdade em (36.98) envolve apenas manipula¸c˜oes simples. Complete todos os detalhes. 6 E. 36.25 Exerc´ıcio. A identidade (36.96)–(36.97) pode tamb´em ser obtida computando-se a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao h l´a definida. Fa¸ca-o! (Exerc´ıcio E. 35.24, p´agina 1735). 6 36.2.3.2 Usos da F´ormula de Soma de Poisson. A Fun¸c˜ao θ de Jacobi E. 36.26 Exerc´ıcio. A chamada Fun¸c˜ao θ de Jacobi23 , denotada por θ, ´e definida por θ(z, t) := ∞ n=−∞ e2πinz−πn2 t , (36.99) com z ∈ C e t ∈ C com Re (t) > 0. a. Usando a f´ormula de soma de Poisson (36.94) e tamb´em (36.37), mostre que θ satisfaz a seguinte rela¸c˜ao: θ(z, t) = 1 √ t ∞ n=−∞ e− π t (z−n)2 . (36.100) Constate pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao θ que 1 √ t ∞ n=−∞ e− π t (z−n)2 = e− πz2 t √ t θ −iz t , 1 t e conclua de (36.100) que vale a identidade θ(z, t) = e− πz2 t √ t θ −iz t , 1 t , (36.101) para z ∈ C e t ∈ C com Re(t) > 0. Essa express˜ao ´e denominada identidade funcional da fun¸c˜ao θ de Jacobi, ou rela¸c˜ao funcional da fun¸c˜ao θ de Jacobi. b. Observe que para z ∈ C e t ∈ C com Re (t) > 0 podemos escrever θ(z, t) = 1 + 2 ∞ n=1 e−πn2 t cos 2πnz . (36.102) 23Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

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