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Equação do 2º grau

  Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com
coeficientes numéricos a.b e c com   .

Exemplos:

                   Equação      a         b        c
                   x²+2x+1      1         2        1
                   5x-2x²-1     -2        5        -1



Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do
2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:


x²-9=0 » x²=9 » x=            » x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

                     Resolução de equações do 2º grau:

 A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos
agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com
a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas
pela fórmula de Bháskara.

  Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º
grau?

  Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de
Bháskara:

 Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
      4a²x²+4abx=-4ac

  Somamos b² aos dois membros:

      4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

  Fatoramos o lado esquedo e chamamos de      (delta)
b²-4ac:

      (2ax+b)²=


      2ax+b=


       2ax=-b

  Logo:


                           ou

                                Fórmula de Bháskara:




  Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2


             = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:




                =



                e

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4


            = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:



            » x=2




- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
      )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5


            = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

  Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a
equação não possui nenhuma raiz real.

Logo:      » vazio

                                 Propriedades:



                          Duas raízes reais e diferentes
                          Duas raízes reais e iguais
                          Nenhuma raiz real



Relações entre coeficientes e raízes




Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com          e       , suas raízes são:
e

A soma das raízes será:




Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:




        Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:




Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.



Obtendo:



Substituindo por          e    :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:



                                x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8




c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:




                   Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

  Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o
processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:



a)                Onde     , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x



Então:

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:


              »

Aplicando a fórmula de Bháskara:




Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}



b)                                          e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)



Então:
Eliminando os denominadores:


                          »         »         »

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o
denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1 » S={-1}

                  Resolução de equações literais do 2º grau:

  Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.



           Equação                            a         b         c
           x² - (m+n)x + p = 0                1      -(m+n)       p



Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²




                         , Logo:

x = 2a e x = a » S={a,2a}

                      Resolução de equações biquadradas

  Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão
elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:



                                             onde



Exemplo resolvido:


1)


Fazendo x² = y , temos

Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:




Logo, y = 4 e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4 »             e     x²=1 »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente

                                  Equação do 2º grau

1) Complete o quadro conforme o exemplo:

                                                 Coeficientes
                       Equação
                                            a         b         c
            6x²-3x+1=0                      6        -3         1
            -3x²=5/2+4x
            y²=5y
            6x²=0

2) Determine as raízes das seguintes equações:
a) x²-3x+2=0

b) 2y²-14y+12=0

c) -x²+7x-10=0

d) 5x²-x+7=0

e) y²-25=0

f) x²-1/4=0

g) 5x²-10x=0

h) 5+x²=9

i) 7x²-3x=4x+x²

j) z²-8z+12 = 0
2) Determine o valor de k nas equaçoes, de modo que:
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais

b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais

c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais

d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes

3) Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a
            Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a

               Equação           Soma das raízes     Produto das raízes
        x² - 6x + 9 = 0                6                     9
        x² - 2x + 3 = 0
        2x² + 5x - 8 = 0
        x² + 5x -24=0                    -5                     24
                                          5                     -6
                                         -6                     -3

4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:



a)



b)



c)



d)



e)



f)

5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:

a) x² - (a+1) + x = 0

b) x² - (a+m) + am = 0

c) y² - by - 2b³ = 0

d) ax² - (a²+1) + a = 0
e) x² - 3rx + 2r² = 0

6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:


a)


b)


c)


d)

e)

7) Resolução de equações irracionais:




Primeiramente devemos eliminar o radical




Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical

Exemplo:




x - 1 = x² - 6x + 9

x² - 7x +10 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2

Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se
a igualdade é satisfeita

Para x=5


1º membro:

2º membro: x-3 = 5-3 = 2

Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x=5 é solução da equação

Para x`=2


1º membro:
2º membro: x-3 = 2-3 = -1

Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação

Portanto, V={5}

Nunca esqueçam de fazer a verificação...


a)


b)


c)


d)


e)

8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?

Resposta: 8) 11


Autor professor Antonio Carlos Carneiro Barroso

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Resolução de Equações do 2o Grau

  • 1. Equação do 2º grau Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com . Exemplos: Equação a b c x²+2x+1 1 2 1 5x-2x²-1 -2 5 -1 Classificação: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 2º caso: c=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 » x=0,9 3º caso: b=c=0 2x²=0 » x=0 Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. - Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: Multiplicamos os dois membros por 4a:
  • 2. 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) b²-4ac: (2ax+b)²= 2ax+b= 2ax=-b Logo: ou Fórmula de Bháskara: Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
  • 3. 2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na fórmual de Bháskara: » x=2 - Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: » vazio Propriedades: Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real Relações entre coeficientes e raízes Vamos provar as relações descritas acima: Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
  • 4. e A soma das raízes será: Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será: Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. Obtendo: Substituindo por e : Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: x² - Sx + P = 0 Exemplos: 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0 [Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
  • 5. b) 2x² - 6x -8 =0 Sendo a=2, b=-6 e c=-8 c) 4-x² = 0 Sendo a=-1, b=0 e c=4: Resolução de equações fracionárias do 2º grau: Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. Exemplos resolvidos: a) Onde , pois senão anularia o denominador [Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x Então: Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: » Aplicando a fórmula de Bháskara: Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4} b) e [Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) Então:
  • 6. Eliminando os denominadores: » » » * Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente: x=-1 » S={-1} Resolução de equações literais do 2º grau: Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. Equação a b c x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 1) x²-3ax+2a²=0 [Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara: a=1, b=-3a, c=2a² , Logo: x = 2a e x = a » S={a,2a} Resolução de equações biquadradas Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: onde Exemplo resolvido: 1) Fazendo x² = y , temos Substituindo os valores na equação, temos:
  • 7. y² - 5y + 4 = 0 Aplicando Bháskara: Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x: Como y=x², temos: x²=4 » e x²=1 » Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente Equação do 2º grau 1) Complete o quadro conforme o exemplo: Coeficientes Equação a b c 6x²-3x+1=0 6 -3 1 -3x²=5/2+4x y²=5y 6x²=0 2) Determine as raízes das seguintes equações: a) x²-3x+2=0 b) 2y²-14y+12=0 c) -x²+7x-10=0 d) 5x²-x+7=0 e) y²-25=0 f) x²-1/4=0 g) 5x²-10x=0 h) 5+x²=9 i) 7x²-3x=4x+x² j) z²-8z+12 = 0
  • 8. 2) Determine o valor de k nas equaçoes, de modo que: a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes 3) Complete o quadro: Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a Equação Soma das raízes Produto das raízes x² - 6x + 9 = 0 6 9 x² - 2x + 3 = 0 2x² + 5x - 8 = 0 x² + 5x -24=0 -5 24 5 -6 -6 -3 4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias: a) b) c) d) e) f) 5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais: a) x² - (a+1) + x = 0 b) x² - (a+m) + am = 0 c) y² - by - 2b³ = 0 d) ax² - (a²+1) + a = 0
  • 9. e) x² - 3rx + 2r² = 0 6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas: a) b) c) d) e) 7) Resolução de equações irracionais: Primeiramente devemos eliminar o radical Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical Exemplo: x - 1 = x² - 6x + 9 x² - 7x +10 = 0 Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2 Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se a igualdade é satisfeita Para x=5 1º membro: 2º membro: x-3 = 5-3 = 2 Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x=5 é solução da equação Para x`=2 1º membro:
  • 10. 2º membro: x-3 = 2-3 = -1 Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação Portanto, V={5} Nunca esqueçam de fazer a verificação... a) b) c) d) e) 8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é? Resposta: 8) 11 Autor professor Antonio Carlos Carneiro Barroso