Tecnica de integracao resumo

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Resumo de Técnicas de Integração

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Tecnica de integracao resumo

  1. 1. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 1 Elaine Cristina Ferruzzi 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 1.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES Uma técnica de integração muito útil é a integração por partes, que depende da fórmula para a diferencial de um produto. Sejam f e g funções diferenciáveis de x. Então, pela regra do produto, temos:     )x(g).x('f)x(g).x(fxD)x('g).x(f )x(f).x('g)x(g).x('f)x(g).x(fxD   Integrando ambos os membros, temos:       dx)x('f).x(gdx)x(g).x(fxD dx)x('g).x(f Verificamos que a primeira integral do lado direito é igual a f(x) . g(x) + C . Como da Segunda integral resulta outra constante de integração, é desnecessário incluir C na fórmula, isto é:   dx)x('f).x(g)x(g).x(fdx)x('g).x(f Fazendo u = f(x) e v = g(x) , de modo que du = f ’(x) dx e dv = g’(x) dx, então a fórmula precedente pode ser escrita:   du.vv.udvu A fim de aplicar esta fórmula a uma determinada integral, representamos por u uma parte do integrando e por dv o restante, ( inclusive dx) . Exemplo 1 Calcule ln xdx Verificamos que não existe fórmula para esta integral na tabela. Fazemos Assim: Cxxlnxxdxln Cxxlnxxdxln dxxlnxxdxln dx x x xlnxxdxln dx x 1 )x()x.(xlnxdxln du.vv.uxdxln dv.uxdxln                    Exemplo 1 Calcule  dxx2e.x Fazendo: Voltando na integral, temos: C 4 x2e 2 x2e.x dxx2e.x 2 x2e 2 1 2 x2e.x dxx2e.x dxx2e 2 1 2 x2e.x dxx2e.x dx 2 x2e 2 x2e .xdxx2e.x du.vv.udxx2e.x dv.udxx2e.x             Obs: Para resolver esta parte direita devemos fazer uma substituição. u = ln x e dv = dx dx x 1 du  v = x    Cxvdxdvdxdv dx2xe=dvexu  du = dx dxx2edv   C 2 x2e v 
  2. 2. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 2 Elaine Cristina Ferruzzi Seja 2 dt dx2 dx dt x2t   Substituindo, temos C 2 x2e dxx2eC 2 te dxx2e dtte 2 1 dxx2e 2 dttedxx2e       Exemplo 2 Calcule  dxxcos.xe Seja Integrando por partes,  dxxcos.xe =  du.vv.u  dxxcos.xe =  xdxsenxexsenxe (a) Apliquemos em seguida a integração por partes à integral da direita da equação (a). Fazendo: cosx-=vdxxedu dxsen x=dvxeu   e integrando por partes temos:  dxxsen.xe =  du.vv.u  dxxsen.xe =  xdxcosxexcosxe (b) Levando agora a equação ( b) no membro direito da equação (a), obtemos;  dxxcos.xe =         xdxcosxexcosxexsenxe  dxxcos.xe =  xdxcosxexcosxexsenxe C 2 )xcosx(senxe xdxcosxe )xcosx(senxexdxcosxe.2 )xcosx(senxexdxcosxexdxcosxe         EXERCÍCIO E.1 Calcule as seguintes integrais:      dxxe.2xf)dx.x2e2x)e dx3x.e2xd)dxxe.x)c dxx2e.xb)dxxe.x)a     xdx3secn)dx.x2secx)m xdx3senl)dx.xcosxe)k dxx.secx.tgxj)xdx5cos.x)i dxxsen2xeh)dxxsenx)g      xdx3cost)dx.2xln)s dxlnxxr)xdx2sen.x)q dxxsenxep)dxxsen2x)o senx=vdxxedu dxxcos=dvxeu  
  3. 3. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 3 Elaine Cristina Ferruzzi Respostas: E1 C 4 1 x 2 1 .x2e)b C)1x(xe)a          C)1x(e)c x  C 27 2 9 x2 3 2xx3e)d           C 2 1 x2xx2e 2 1 )e        C)2x22x.(xe)f  Cxcosxxsen)g    Cxcosxsen2 5 x2e )h  Ctgxxseclnxsecx)j Cx5cos 25 1 x5sen 5 x )i     C 3 x3cos2 xcosx2sen)l Cxcosxsen 2 xe )k   Cxcoslnxtgx)m  Ctgxxsecln 2 1 tgx.xsec 2 1 )n  Cxcosexsenexxcos2x)o    Cx2sen 4 1 x2cosx 2 1 )q Cxcosxsen 2 xe )p   C2 3 x 9 4 xln2 3 x 3 2 )r  C3x2ln 2 3 x3x2lnx)s  Cx3sen 3 1 xsen)t  1.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Nesta seção discutiremos um método para o cálculo de integrais contendo radicais, realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Para determinar a área de um círculo ou de uma elipse, uma integral do tipo   du2u2a aparece, onde a > 0. Se a integral fosse do tipo   du2u2a.u uma simples substituição de variáveis ( 2u2at  ) seria suficiente para resolver a integral em questão, mas como esta definida a integral que queremos solucionar é mais difícil. Muitas vezes substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de determinadas integrais. Se o integrando envolver funções contendo as expressões: 2a2uou2u2a,2u2a  com a > 0, é possível realizar uma substituição trigonométrica apropriada conforme vemos na Fig. 1 Figura 1 Podemos assim sugerir a seguinte tabela: 1.2.1 Tabela de Substituições trigonométricas. expressão substituição 2u2a   senau * 2u2a   tgau * 2a2u   secau **
  4. 4. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 4 Elaine Cristina Ferruzzi * 22    ** 2 0   ou 2 3  1.2.2 Identidades trigonométricas úteis   2sec2tg1)ii 2cos2sen1)i Observe as resoluções abaixo. 1º caso: A função integrando envolve 2u2a  . Neste caso, faremos a substituição  senau . Então  dcosadu . Assim, temos 2u2a  =  2sena2a  = 2sen2a2a  = 2sen12a       = 2cos2a  2u2a  = cosa 2º caso: A função integrando envolve 2u2a  Neste caso, faremos a substituição  tgau . Então  d2secadu . Assim, temos 2u2a  =  2tga2a  = 2tg2a2a  = 2tg12a       = 2sec2a  2u2a  = seca 3º caso: A função integrando envolve 2a2u  Neste caso, faremos a substituição  secau . Então  dtg.secadu . Assim, temos 2a2u  = 2a2sec2a  = 12sec2a       = 2tg2a  2a2u  = tga Exemplo 3 Calcule a integral   dx 2x 2x9 Resolução: Usamos  dcos3dxentão,sen3x Substituindo na integral, temos:   dx 2x 2x9 =        dcos3 2sen3 2sen39 Pelo 1º caso, temos que:   dx 2x 2x9 =      dcos3 2sen3 cos3 =      d 2sen3 2cos3 =   d2gcot =        d12eccos   dx 2x 2x9 = cgcot  Devemos agora escrever este resultado em termos da variável original x. Sabendo que se 22 - com,sen3x     , então 3 x arcsen .
  5. 5. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 5 Elaine Cristina Ferruzzi Observando a Fig 1 (a) vemos que x 2x9 gcot   . Assim, temos:   dx 2x 2x9 = cgcot    dx 2x 2x9 = C 3 x arcsen x 2x9   Exemplo 4 Calcule a integral   dx x 252x com 5x  . Resolução: Observamos que esta integral envolve a função 2a2u  do 3º tipo, com a = 5 . Assim, podemos fazer a substituição sugerida. Fazendo x = 5 sec  , temos dx = 5 sec  . tg  d.   dx x 252x =       dtgsec5 sec5 252sec25 =       dtgsec5 sec5 tg5 =   d2tg5 =        d12sec5   dx x 252x = C5tg5  Agora precisamos expressar o resultado em função de x. Como x = 5 sec  , então        5 x secarc e observando a Fig 1c vemos que 5 252x tg   . Daí, substituindo no resultado da integral, temos:   dx x 252x = C 5 x secarc5 5 252x .5               dx x 252x = C 5 x secarc5252x.  Exemplo 5 Calcule a integral   dx 92x5 2x . Resolução: Observamos que esta integral envolve a função 2a2u  do 2º tipo, com a = 3 . Assim, podemos fazer a substituição sugerida. Fazendo x = 3 tg  , temos dx = 3 sec2  d. Assim, o radicando  sec392x .   dx 92x5 2x =     d2sec3. 92tg95 2tg9     d2sec3. )12tg(95 2tg9     d2sec3. 2sec95 2tg9     d2sec3. sec3 2tg 5 9   dsec.2tg 5 9        dsec12sec 5 9        dsec3sec 5 9 (1) Agora, usando a tabela de integrais, podemos ver que:     tgseclndsec (2) e que
  6. 6. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 6 Elaine Cristina Ferruzzi        dnsec            d2nsec 1n 2n tg2nsec 1n 1 isto é,        d3sec =     dsec 2 1 tgsec 2 1 (3) Assim, substituindo (2) e (3) na expressão (1) e realizando as simplificações, teremos:        dsec3sec 10 9 = = Ctgsecln 10 9 tgsec 10 9  Daí, a integral é:   dx 92x5 2x = Ctgsecln 10 9 tgsec 10 9  Precisamos agora retornar a variável x. Observando a Fig 1b, temos 3 92x sec   e 3 x tg  , logo realizando estas substituições, teremos:   dx 92x5 2x = 3 x 3 92x ln 10 9 3 x 3 92x 10 9       dx 92x5 2x = C 3 92xx. ln 10 9 10 92x.x     EXERCÍCIO E.2 Resolva as seguintes integrais dx 42x2 2x )c dx 2x2 2x9 )a     )d   2x42x dx   2x162x dx )e   dx 2x4 1 )f   dx x 92x )g   dx 6x x1 )h 2 3 2     dx 2x9x 1 )i   dx 252x2x 1 )j   dx 2x9 x )k Respostas: C 3 x arcsen x 2x9 2 1 )a               C 2 x4x ln4xx 4 1 )c 2 2    C2x4 x4 1 )d  C x16 2x16 )e    C 2 xx4 ln)f 2   ou Dx2x4ln)f  onde D = ln2 +C
  7. 7. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 7 Elaine Cristina Ferruzzi C 3 x secarc392x)g        C 5x5 2 5 2x1 )h         C x 2x4 x 2 ln 3 1 )i    C x25 252x )j   Cx9)k 2  1.3 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma )x(q )x(p )x(R  , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A idéias é desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser integradas. É fácil verificar que: 1x 1 1x 1 12x 2       A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de 12x 2  . Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de 12x 2  . Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo: C 1x 1x lndx 12x 2 C1xln1xlndx 12x 2 dx 1x 1 dx 1x 1 dx 12x 2                  O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes; CASO 1 : O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1º grau. Neste caso , a cada fator da forma (ax +b) , a  * e b , que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma )bax( A  . Exemplo 6 )1x( C )1x( B x A )12x.(x 2 )1x).1x.(x 2 )12x.(x 2         Exemplo 7 Calcule dx x32x23x 9x132x4    Resolução: Sabemos que: )1x).(3x.(xx32x23x )3x22x.(xx32x23x   Assim, )1x( C )3x( B x A x3x2x 9x13x4 )1x).(3x.(x 9x13x4 x3x2x 9x13x4 23 2 2 23 2            Tirando o m.m.c. e eliminando os denominadores, temos:
  8. 8. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 8 Elaine Cristina Ferruzzi A3x)C3BA2(x)CBA(9x13x4 A3Cx3BxAx3AxCxBxAx Cx3CxBxBxA3Ax3AxAx Cx3CxBxBx)1x)(A3Ax( )3x.(x.C)1x.(x.B)1x)(3x(A9x13x4 22 222 222 22 2      Comparando os coeficientes de x, temos: 3A9A3  e 1-=Btemos,2=Ce3=AcomAgora 2=C8=4C 17=4C+3.3temos,3=Acomo 17=4C+3A 13C3BA2 4CBA         a decomposição em frações parciais, é pois: )1x( 2 )3x( 1 x 3 x32x23x 9x132x4        Agora, integrando, temos; C 3x )1x.(x ln x3x2x 9x13x4 C1xln3xlnxln x3x2x 9x13x4 C1xln23xlnxln3 dx )1x( 2 dx )3x( 1 dx x 3 x3x2x 9x13x4 23 23 2 23 23 2 23 2                        CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1º grau. A cada fator da forma ( ax + b ) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n frações da forma: n)bax( nA ... 2)bax( 2A bax 1A      Exemplo: 4)1x( 5A 3)1x( 4A 2)1x( 3A )1x( 2A )1x( 1A 2)1x22x.(2)1x( x1 4)1x.(2)1x( 1 2)1x22x.(2)1x( x1 2]2)1x).[(1x)(1x( x1 2)1x22x.(2)1x( x1                       Exemplo 8 Calcule dx 3)2x).(1x( 4x292x183x3    Resolução: Verificamos que: 323 23 )2x( D )2x( C )2x( B )1x( A )2x).(1x( 4x29x18x3           tirando o m.m.c. e eliminando o denominador, temos; )1x(D)2x).(1x.(C)2x).(1x(B)2x(A 4x29x18x3 23 23   daí, temos: A = 2 , B = 1 , C = -3 e D = 2 Então: 32 3 23 )2x( 2 )2x( 3 )2x( 1 )1x( 2 )2x).(1x( 4x29x18x3            
  9. 9. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 9 Elaine Cristina Ferruzzi Integrando, temos: C )2x( 1 )2x( 3 2xln1xln2 )2x).(1x( 4x29x18x3 dx )2x( 2 dx )2x( 3 dx )2x( 1 dx )1x( 2 )2x).(1x( 4x29x18x3 2 3 23 32 3 23                           CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da forma q x ax bx c co( )    2 m a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1º grau. A cada fator q(x) que aparece no denominador , corresponde uma fração da forma )x(q BAx  Exemplo: )1x( BxA )1xx( BxA )1x)(1xx( 1 2 22 2 11 22        Exemplo 9 Calcule dx 4x82x3x2 21x2x    Resolução: O denominador pode ser fatorado como se segue: )1x2)(42x( )1x2(4)1x2(2x 4x82x3x2    Assim: 1x2 C 42x BAx 4x82x3x2 21x2x        tirando o m.m.c e eliminando o denominador, teremos; BC4x)AB2(2x)CA2(21x2x C42CxBBx2Ax2Ax221x2x )42x(C)1x2)(BAx(21x2x    Daí, temos; A=3, B= 1, C= - 5 Assim: 1x2 5 42x 1 42x x3 4x82x3x2 21x2x 1x2 5 42x 1x3 4x82x3x2 21x2x                  Integrando, temos: C1x2ln 2 5 2 x tg 2 1 4xln 2 3 dx 4x8xx2 21xx dx 1x2 5 dx 4x 1 dx 4x x3 dx 4x8xx2 21xx 12 23 2 22 23 2                           CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da forma q x ax bx c co( )    2 m a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1º grau. A cada fator q(x) que aparece repetido no denominador , corresponde uma soma de fração da forma:    n)x(q nBxnA +...+ 2)x(q 2Bx2A + )x(q 1Bx1A 
  10. 10. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 10 Elaine Cristina Ferruzzi Exemplo 10 Calcule dx 2)12x( 3x72x33x5    Resolução; Verificamos que: 2)12x( DCx )12x( BAx 2)12x( 3x72x33x5         e portanto: DCx)12x)(BAx(3x72x33x5  daí: A=5 , B = -3 C= 2 e D = 0 Portanto: 222222 23 22222 23 )1x( x2 )1x( 3 )1x( x5 )1x( 3x7x3x5 )1x( x2 )1x( 3x5 )1x( 3x7x3x5                Integrando, temos; C 1x 1 xtg31xln 2 5 dx )1x( 3x7x3x5 dx )1x( x2 dx )1x( 3 dx )1x( x5 dx )1x( 3x7x3x5 2 12 22 23 2222 22 23                            EXERCÍCIO E.3 Calcule as seguintes integrais: dx )5x(2)1x( 33x252x2 f)dx x43x 8x102x5 )e dx 8x22x 16x d)dx 2)1x( 11x6 )c dx )3x)(2x)(1x( x1137 b)dx )4x(x 12x5 )a                Respostas: C5xln3 1x 1 1xln5)f C2xln42xlnxln2)e C2xln34xln2)d C 1x 5 1xln6)c C3xln2xln51xln4)b C4xln2xln3)a          

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