Prezentacja i dowód twierdzenia odwrotnego do Twierdzenia Pitagorasa

1. Twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Pitagorasa
Autor: Piotr Szlagor

2. Troszkę Historii
Twierdzenie to, wbrew temu co podpowiada nam intuicja,
najprawdopodobniej było znane i powszechnie wykorzystywane o
wiele wcześniej niż Twierdzenie Pitagorasa.
Starożytne kultury Azji (Indie, Chiny, czy Babilonia), a także
Egipcjanie wykorzystywali je do praktycznego wyznaczania kąta
prostego w terenie budując trójkąt o bokach 3, 4, 5. Kąt prosty
uzyskuje się wtedy pomiędzy bokami o długości 3 i 4.

3. Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia
Pitagorasa
Twierdzenie brzmi następująco:
Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch
krótszych boków jest równa kwadratowi długości
najdłuższego z nich, to jest to trójkąt prostokątny, a kąt
prosty znajduje się pomiędzy dwoma krótszymi bokami.
a 2 + b2 = c 2
|<MKL| = 90o

4. Dowód Twierdzenia
Twierdzenie to można uzasadnić w poniższy sposób:
1. Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio:
|AB| = a, |BC| = b, |AC| = c
spełniający warunek:
a2 + b2 = c2
Naszym zadaniem będzie
pokazanie, że:
|<ABC| = 90o

5. Dowód Twierdzenia
2. Narysujmy trójkąt KLM, taki że:
|KL| = a |LM| = b |<KLM| = 90o

6. Dowód Twierdzenia
3. Trójkąt KLM jest prostokątny, a więc możemy skorzystać z
twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok KM.
a2 + b2 = |KM|2
Z trójkąta ABC mamy:
c2 = a2 + b2 = |KM|2
a więc:
|KM| = c

7. Dowód Twierdzenia
4. Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty
ABC i KLM są przystające. Z faktu iż trójkąt KLM jest prostokątny,
wynika, że trójkąt ABC jest również prostokątny.
Zostało więc pokazane, że każdy trójkąt, którego suma kwadratów
długości krótszych boków jest równa kwadratowi długości
najdłuższego z boków, jest trójkątem prostokątnym.