Fatoração de polinomios

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Fatoração de polinomios

  1. 1. MatemáticaProf. Pedro Valentim
  2. 2. Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existemalguns produtos muito usuais. É recomendado entãosabê-los “de cor”.
  3. 3. • QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a – b)2 = a2 – 2ab + b2•SOMA PELA DIFERENÇA:(a + b) . (a – b) = a2 – b2• CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3
  4. 4. Fatorar é transformar uma expressão algébrica em umamultiplicação de fatores. Fatoração é o processoinverso dos produtos notáveis.
  5. 5. Veja os retângulos e suas respectivas áreas:•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.Qual polinômio representa a área total?AT = ax + ay + az = a (x + y + z)Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produtoa (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.
  6. 6. Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoraçãomuito importantes para o desenvolvimento do cálculoalgébrico.•Fator comum em evidência;•Fatoração por agrupamento;•Diferença de dois quadrados;•Trinômio do Quadrado Perfeito;•Soma ou diferença de dois cubos.
  7. 7. Como já foi dito fatorar significa transformar umasoma em produto de dois ou mais termos.Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentamum fator comum, podemos colocá-lo em evidência.Por exemplo:•Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois termos,este é o fator comum.A forma fatorada é o produto do fator comum por umaexpressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelofator comum.
  8. 8. É UMA RECORRÊNCIA DO FATORCOMUM EM EVIDÊNCIA.Exemplos:•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)•ax + by +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)
  9. 9. Neste processo verificamos que:a2 – b2 = (a + b).(a – b)
  10. 10. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2a2 – 2ab + b2 = (a – b)2Para reconhecer se um trinômio é um quadradoperfeito, proceda da seguinte forma:• Verifique se a expressão tem dois termos que sãoquadrados perfeitos (a2 e b2);• Determine as raízes desses quadrados (a e b);• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessasraízes (+2ab ou –2ab).
  11. 11. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
  12. 12. FIM!

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