Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número: algumas reflexões<br />Joana Broc...
2<br />Sumário<br /><ul><li>Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
Números decimais versus fracções
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado
Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais
Princípio 3. Construir significados e relações
Nem oito nem oitenta!</li></li></ul><li>Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />3<br />Números d...
Foco no cálculo algorítmico
Naturais e decimais: o mesmo algoritmo</li></li></ul><li>4<br />Os números racionais não negativos: o que se altera e porq...
Calcular automaticamente 12 × 0,6 ou 1,25 × 100;
Não recorrer à calculadora para calcular 123,6 – 103,5 ou 0,75 × 24. </li></li></ul><li>5<br />Os números racionais não ne...
6<br />Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />Perspectivar o desenvolvimento de sentido de núme...
A excepção é o contexto de dinheiro mas que envolve, habitualmente, números inteiros.</li></li></ul><li>7<br />Os números ...
Usar as propriedades das operações de forma flexível e produtiva </li></ul>12 × 13 ou 12,5 × 24 (não usar a calculadora ) ...
12,5 × 24 usar a propriedade associativa (no caso particular da relação dobro-metade) obtendo 25 × 12 = 50 × 6 = 100 × 3 =...
Números decimais versus fracções
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais
Princípio 3. Construir significados e relações
Nem oito nem oitenta!</li></li></ul><li>Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de n...
10<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar con...
11<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar con...
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13<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar con...
14<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2.  Desenvo...
que ideias globais é fundamental destacar?
o que poderão ser marcos importantes ao nível da evolução da sua aprendizagem numa perspectiva de desenvolvimento do senti...
16<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2.  Desenvo...
17<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2.  Desenvo...
18<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2.  Desenvo...
19<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2.  Desenvo...
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número: algumas reflexões (Joana Brocardo)

  1. 1. Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número: algumas reflexões<br />Joana Brocardo<br />ESE de Setúbal<br />Seminário final do PFCM Julho 2010<br />
  2. 2. 2<br />Sumário<br /><ul><li>Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
  3. 3. Números decimais versus fracções
  4. 4. Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
  5. 5. Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
  6. 6. Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado
  7. 7. Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais
  8. 8. Princípio 3. Construir significados e relações
  9. 9. Nem oito nem oitenta!</li></li></ul><li>Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />3<br />Números decimais versus fracções<br /><ul><li>Foco na representação posicional
  10. 10. Foco no cálculo algorítmico
  11. 11. Naturais e decimais: o mesmo algoritmo</li></li></ul><li>4<br />Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número <br />Ser exigente ao nível do cálculo<br /><ul><li>Não usar o algoritmo para calcular 23,5 + 12,5 ou 6 : 15;
  12. 12. Calcular automaticamente 12 × 0,6 ou 1,25 × 100;
  13. 13. Não recorrer à calculadora para calcular 123,6 – 103,5 ou 0,75 × 24. </li></li></ul><li>5<br />Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número <br />Valorização da construção do sentido que os números podem progressivamente ir assumindo para os alunos<br /><ul><li>colocar e retirar rótulos (5 lápis mais 2 lápis ou 5 + 2)</li></ul>3+2+1=<br />2+2+2=<br />4+1+1=<br />3+1+1+1=<br />
  14. 14. 6<br />Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número <br />Valorização da construção do sentido que os números podem progressivamente ir assumindo para os alunos<br />Introdução dos vários conjuntos numéricos deve ser cuidadosamente<br />pensada de acordo com a complexidade dos contextos que permitem<br />rotularea complexidade da representação que se introduz.<br /><ul><li>Contextos de partilha equitativa e de relação parte-todo mais acessíveis do que os associados a representação decimal.
  15. 15. A excepção é o contexto de dinheiro mas que envolve, habitualmente, números inteiros.</li></li></ul><li>7<br />Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê<br />Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número <br />Foco na construção de relações numéricas<br /><ul><li>Mobilizar o conceito de dobro para calcular 2410 – 1205; 1 – 0,5 ou metade de 50%
  16. 16. Usar as propriedades das operações de forma flexível e produtiva </li></ul>12 × 13 ou 12,5 × 24 (não usar a calculadora ) <br /><ul><li>12 × 13 é igual a 130 + 26, ou seja, 156.
  17. 17. 12,5 × 24 usar a propriedade associativa (no caso particular da relação dobro-metade) obtendo 25 × 12 = 50 × 6 = 100 × 3 = 300.</li></li></ul><li>8<br />Sumário<br /><ul><li>Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
  18. 18. Números decimais versus fracções
  19. 19. Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
  20. 20. Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
  21. 21. Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
  22. 22. Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais
  23. 23. Princípio 3. Construir significados e relações
  24. 24. Nem oito nem oitenta!</li></li></ul><li>Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados<br />Dobragem de papel <br />9<br />
  25. 25. 10<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados<br />O que torna este contexto um bom exemplo <br /> (i) ter significado e ser entusiasmante para os alunos que gostam sempre de dobrar, pintar e cortar; <br /> (ii) permitir lidar a um nível informal com ideias que progressivamente vão sendo formalizadas. <br />
  26. 26. 11<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados<br />Outros contextos - Depósito de gasolina<br />40<br />0<br />10<br />0<br />1<br />0<br />10<br />40<br />0<br />1<br />Relação entre o contexto e os modelos não é simples<br />
  27. 27. 12<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados<br />Outros contextos<br />
  28. 28. 13<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados<br />Outros contextos<br />
  29. 29. 14<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />Significados das fracções não são tópicos a ensinar<br /><ul><li>Quando pensamos nos números racionais e na sua aprendizagem
  30. 30. que ideias globais é fundamental destacar?
  31. 31. o que poderão ser marcos importantes ao nível da evolução da sua aprendizagem numa perspectiva de desenvolvimento do sentido do número? </li></li></ul><li>15<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />Números decimais versus fracções <br />“grandes” ideias (Fosnote Dolk, 2002)<br />1<br />relação parte-todo<br />2<br />equivalência versus congruência<br />3<br />relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções<br />4<br />o todo importa<br />5<br />relações de relações<br />6<br />decimais e percentagens – representações equivalentes<br />7<br />valor de posição<br />
  32. 32. 16<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />1<br />Relação parte-todo<br />A relação parte-todo está no centro da compreensão do que é uma fracção <br />
  33. 33. 17<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />1<br />Relação parte-todo<br />Observa a embalagem de bolas de 2 cores. Completa a etiqueta de modo que ela represente, relativamente ao total de bolas, a parte de bolas brancas e a parte de bolas amarelas. <br />Quantas bolas brancas e amarelas poderá ter uma embalagem que tem a seguinte etiqueta: <br />
  34. 34. 18<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />1<br />Relação parte-todo<br />Resposta de Francisco e Gustavo<br />
  35. 35. 19<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />2<br />Equivalência versus congruência<br />As partes de um mesmo todo não precisam de ser congruentes<br />
  36. 36. 20<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />Números decimais versus fracções <br />“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)<br />1<br />relação parte-todo<br />2<br />equivalência versus congruência<br />3<br />relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções<br />4<br />o todo importa<br />5<br />relações de relações<br />6<br />decimais e percentagens – representações equivalentes<br />7<br />valor de posição<br />
  37. 37. 21<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />4<br />O todo importa<br />O todo importa pois as fracções são relações<br />
  38. 38. 22<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />Números decimais versus fracções <br />“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)<br />1<br />relação parte-todo<br />2<br />equivalência versus congruência<br />3<br />relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções<br />4<br />o todo importa<br />5<br />relações de relações<br />6<br />decimais e percentagens – representações equivalentes<br />7<br />valor de posição<br />
  39. 39. 23<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />Números decimais versus fracções <br />“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)<br />1<br />relação parte-todo<br />2<br />equivalência versus congruência<br />3<br />relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções<br />4<br />o todo importa<br />5<br />relações de relações<br />6<br />decimais e percentagens – representações equivalentes<br />7<br />valor de posição<br />
  40. 40. 24<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais<br />Números decimais versus fracções <br />“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)<br />1<br />relação parte-todo<br />2<br />equivalência versus congruência<br />3<br />relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções<br />4<br />o todo importa<br />5<br />relações de relações<br />6<br />decimais e percentagens – representações equivalentes<br />7<br />valor de posição<br />
  41. 41. 25<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br /><ul><li>‘Desestabilização’ provocada pelos ‘novos’ números
  42. 42. Atenção ao ‘prolongamento’ indevido de regras </li></ul>1/2 + 1/3 ≠ 2/5 <br /> (Fosnot e Dolk, 2002)<br />
  43. 43. 26<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Estabelecer relações e significados <br /><ul><li>Saber operar com os naturais, fraccionários ou decimais é importante. Mas é-o porque isso é necessário para resolver problemas de forma flexível, percebendo relações entre as várias representações dos números e seleccionando estratégias adequadas.</li></li></ul><li>27<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Evolução hipotética de José e Leandra<br />No 1.º ciclo - Problema das ementas<br /><ul><li>A Ana convidou 4 amigas para irem almoçar a um pequeno restaurante no dia dos seus anos. Todas decidiram escolher o prato do dia. No entanto, estavam indecisas sobre como encomendar as doses pois consideram que uma dose dá para duas pessoas. Que diferentes possibilidades teriam de o fazer? Qual das possibilidades é mais económica?</li></li></ul><li>28<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Evolução hipotética de José e Leandra<br />No 1.º ciclo – Resolução dos alunos<br /><ul><li>A Ana convidou 4 amigas para irem almoçar a um pequeno restaurante no dia dos seus anos. Todas decidiram escolher o prato do dia. No entanto, estavam indecisas sobre como encomendar as doses pois consideram que uma dose dá para duas pessoas. Que diferentes possibilidades teriam de o fazer? Qual das possibilidades é mais económica?</li></li></ul><li>29<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Evolução hipotética de José e Leandra<br />Ainda no 1.º ciclo<br /><ul><li>Devem ser capazes de perceber relações entre diferentes representações numéricas, percebendo que ½ x 5 não representa o mesmo que 5,50 × 5 pois ½ de uma dose não é o mesmo que o preço de meia dose.
  44. 44. ½ x5pode representar metade de 5 doses ou de 5 pessoas (o que, tendo em conta o contexto, não faz sentido) e não o preço de cinco meias doses. </li></li></ul><li>30<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Evolução hipotética de José e Leandra<br />No 2.º ciclo <br /><ul><li>Deverão ter tido oportunidade de aprofundar aspectos centrais relativos aos números racionais que lhe permitam relacionar, com sentido, as suas várias representações e ser capazes de manipulá-las adequadamente na resolução de problemas.</li></li></ul><li>31<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Evolução hipotética de José e Leandra<br />No 2.º ciclo <br />Devem, por exemplo, compreender que:<br /><ul><li>o preço de 0,764 kg de laranjas a 1,40 euros por quilo é aproximadamente ¾ de 1,40 euros;
  45. 45. ter um desconto de 25% corresponde a pagar ¾do preço inicial;
  46. 46. é mais barato comprar um frasco de compota que pesa 400 gramas e custa 3,80 euros do que um frasco com 300 gramas da mesma compota mas que custa 3 euros;
  47. 47. numas eleições em que 40 em cada 100 portugueses votou, houve maior percentagem de abstenção do que nas eleições anteriores, em que votaram 5 em cada 9 portugueses.</li></li></ul><li>32<br />Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número<br />Princípio 3. Construir significados e relações<br />Evolução hipotética de José e Leandra<br /><ul><li>Globalmente, José e Leandra deverão ter tido oportunidade de explorar problemas matemáticos ricos, lidando e relacionando as diferentes formas de representar os números racionais.
  48. 48. A partir de um processo sucessivo de retirar rótulos, deverão saber comparar e representar números racionais na recta numérica, assim como calcular o valor de expressões numéricas em situações sem contexto, estabelecendo relações entre os números nas suas várias representações e usando o tipo de cálculo que melhor se adequa aos números envolvidos e suas representações. </li></li></ul><li>33<br />Sumário<br /><ul><li>Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
  49. 49. Números decimais versus fracções
  50. 50. Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
  51. 51. Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
  52. 52. Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado
  53. 53. Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números racionais
  54. 54. Princípio 3. Construir significados e relações
  55. 55. Nem oito nem oitenta!</li></li></ul><li>34<br />Nem oito nem oitenta!<br />n8n80<br />O equilíbrio não é fácil. <br />Sobrevalorização versus subvalorização do cálculo<br /><ul><li>Manipulação formal não é importante e os alunos podem sempre usar a calculadora
  56. 56. Usar materiais é ‘bom’</li></li></ul><li>35<br />Nem oito nem oitenta!<br />n8n80<br />O equilíbrio não é fácil. <br /><ul><li>Existem cada vez mais materiais de apoio ao trabalho do professor com qualidade;
  57. 57. A introdução do PMEB criou, em algumas escolas, dinâmicas de trabalho bastante interessantes;
  58. 58. O Programa de Formação Contínua em Matemática.</li></li></ul><li>Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número: algumas reflexões<br />Joana Brocardo<br />ESE de Setúbal<br />Seminário final do PFCM Julho 2010<br />

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