Análise limite em pórticos sylvio martins caro junior

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Análise limite em pórticos sylvio martins caro junior

  1. 1. ANÁLISE LIMITE EM PÓRTICOS Sylvio Martins Caro Júnior DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Aprovada por: ________________________________________________ Profa. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc. ________________________________________________ Prof. José Luis Lopes da Silveira, D.Sc. ________________________________________________ Profa. Angela Cristina Cardoso de Souza, D.Sc. ________________________________________________ Dra. Cyntia Gonçalves da Costa Matt, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 2006
  2. 2. ii CARO JÚNIOR, SYLVIO MARTINS Análise Limite em Pórticos [Rio de Janeiro] 2006 VII, 58 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Mecânica, 2006) Dissertação - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Análise Limite em Pórticos I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
  3. 3. iii Por este trabalho agradeço a Deus que me dirigiu a começar o mestrado e me fortaleceu em todos os momentos, à minha esposa Sandra e ao meu filho Daniel por terem suportado minha ausência em muitos períodos e à minha orientadora, professora Lavinia, pela paciência.
  4. 4. iv Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) ANÁLISE LIMITE EM PÓRTICOS Sylvio Martins Caro Júnior Junho / 2006 Orientadora: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges Programa: Engenharia Mecânica Este trabalho tem como objetivo a proposição de um modelo de análise limite para determinação da carga de colapso em pórticos, considerando a superfície de escoamento na sua forma não linear. Mostra-se que, além das hipóteses clássicas da teoria de vigas, nenhuma outra aproximação é necessária para a formulação discreta do problema. Os esforços normais são incluídos na função de plastificação e esta também é utilizada na sua forma não linear. Para a solução do problema, foi desenvolvido um algoritmo cuja idéia básica é utilizar em cada iteração uma fórmula de Newton para a solução do conjunto de igualdades que constituem as condições de otimalidade associados ao problema de análise limite. Esta primeira fase é seguida de uma segunda em que se realiza um relaxamento de passo e um escalonamento dos esforços, para preservar as restrições de admissibilidade plástica ao final da iteração.
  5. 5. v Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) LIMIT ANALYSIS ON FRAMES Sylvio Martins Caro Júnior June / 2006 Advisor: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges Department: Mechanical Engineering The aim of this work is to propose a model of limit analysis to determine the collapse load on frames, considering the yield surface on its non linear form. It shows that any approach, besides the classic hypotheses of the theory of beams, is necessary for the discreet formulation of the problem. The normal efforts are included in the plasticity function which is also considered on its non linear form. For the solutions of the problem, was developed an algorithm whose basic idea is to use a Newton-like formula on each iteration, for the solution of the set of equalities that forms the optimality conditions associated to the limit analysis problem. This first stage is followed by a second one in which is carried out a step relaxation and a stress scaling, in order to preserve the plastic admissibility constraint at the end of the iteration.
  6. 6. vi Sumário 1 Introdução..................................................................................................................... 1 2 Modelos de Vigas Retas ............................................................................................... 3 2.1 Equilíbrio.......................................................................................................... 3 2.2 Cálculo de Superfícies Limite de Escoamento em Perfis Simétricos Submetidos à Flexão e Esforço Axial............................................................. 8 2.2.1 Cálculo da Superfície de Escoamento para Vigas Submetidas a Tração e Flexão Combinadas ......................................................................... 9 2.2.2 Superfícies de Escoamento para Perfis Retangulares e Tubulares .......................................................................................... 11 2.3 Dissipação Plástica em Vigas......................................................................... 17 3 Análise Limite em Pórticos ........................................................................................ 18 3.1 Taxas de Deformação Elástica ....................................................................... 19 3.2 Teorema do Limite Inferior............................................................................ 20 3.3 Teorema do Limite Superior........................................................................... 20 3.4 Caracterização Matemática do Problema ....................................................... 21 4 Algoritmo de Solução................................................................................................. 24 4.1 Primeiro Estágio, Estimativa de Incremento pela Fórmula de Newton ......... 26 4.2 Segundo Estágio, Relaxação do Passo e Escalonamento da Tensão.............. 31 4.3 Atualização..................................................................................................... 33 4.4 Requisitos para a Inicialização ....................................................................... 34 4.5 Critério de Convergência................................................................................ 34 4.6 Resumo do Algoritmo para Análise Limite.................................................... 35
  7. 7. vii 5 Aplicações .................................................................................................................. 40 5.1 Aplicação 1..................................................................................................... 40 5.2 Aplicação 2..................................................................................................... 45 5.3 Aplicação 3..................................................................................................... 49 6 Conclusões.................................................................................................................. 55 Referências Bibliográficas.............................................................................................. 57
  8. 8. 1 Capítulo 1 Introdução O principal objetivo deste trabalho é a proposição de um modelo de análise limite para determinação da carga de colapso em pórticos, considerando a superfície de escoamento na sua forma não linear. Mostra-se que, além das hipóteses clássicas da teoria de vigas, nenhuma outra aproximação é necessária para a formulação discreta do problema. A teoria de análise limite é uma teoria consagrada, tratada em diversos trabalhos (Borges et al. 1996, Casciaro e Cascini, 1982, Cohn e Maier, 1977, Christiansen 1980, 1981 e 1996, Dang Hung, 1983, Frémond, 1980, Frémond e Friaa, 1982, Gao Yang, 1988, Gaudrat, 1991, Gill, 1970, Huh e Yang, 1991, Lubliner, 1990, Martin, 1975, Panagiotopoulos, 1985, Romano e Sacco, 1985, Zouain et al, 1993), que fornece ferramentas que permitem o cálculo direto das cargas sob as quais um corpo, que pode ser aproximadamente modelado como elástico perfeitamente plástico ou que sofre um processo de encruamento limitado, atinge um estado crítico. Entende-se por estado crítico um estado no qual ocorrem grandes aumentos de deformação plástica, sem nenhum aumento na carga. No caso de corpos perfeitamente plásticos, este estado é chamado de fluxo plástico irrestrito ou colapso plástico, e o estado de carregamento no qual isto se torna possível é chamado de carregamento limite. A análise limite de estruturas sob carregamento proporcional consiste em achar o fator de carga limite ℜ∈α de maneira que um corpo sofra colapso plástico quando submetido a um sistema de cargas de referência amplificado uniformemente por α.. Na análise limite em vigas e pórticos é usual não incluir os esforços axiais na condição de plastificação e, mesmo quando estes são incluídos, a superfície de escoamento é aproximada por funções lineares (Hodge, 1959, Borges, 1984, Lubliner, 1990). Na proposta deste trabalho, os esforços normais são incluídos na função de plastificação e esta é utilizada na sua forma não linear. O problema de análise limite pode ser enunciado através de princípios de otimização e, no caso de superfícies de escoamento lineares ou linearizadas, é usual
  9. 9. 2 utilizar técnicas de programação linear para a solução (Casciaro e Cascini, 1982, Cohn e Maier, 1977, Christiansen 1980, 1981, Lubliner, 1990, Martin, 1975, Borges, 1984). No presente trabalho, para a solução do problema, foi desenvolvido um algoritmo, considerando a superfície de escoamento não linear, e projetado para aproveitar a estrutura particular do problema em questão. Este procedimento numérico é baseado no proposto por Borges et al. (1996) para problemas de elementos finitos bidimensionais. A idéia básica do algoritmo é utilizar em cada iteração uma fórmula de Newton para a solução do conjunto de igualdades que constituem as condições de otimalidade dos problemas de otimização que, originalmente, são utilizados para enunciar o problema de análise limite. Esta primeira fase é seguida de uma segunda em que se realiza um relaxamento de passo e um escalonamento dos esforços, para preservar as restrições de admissibilidade plástica ao final da iteração. O conteúdo deste trabalho está dividido em cinco capítulos adicionais ao atual. No Capítulo 2 são apresentados os princípios básicos que norteiam a formulação elasto- plastica de vigas e pórticos, especificamente as condições de equilíbrio, cinemática e equações constitutivas. Neste mesmo capítulo são apresentadas as equações que definem a função de escoamento para barras retas de seção retangular e seção tubular. Baseando-se nos conceitos enunciados no Capítulo 2, no terceiro capítulo é apresentada a teoria geral de análise limite, incluindo a caracterização matemática do fenômeno de colapso plástico, a apresentação dos princípios de otimização que resultam desta caracterização, seguida de uma breve discussão sobre as características básicas do problema a ser resolvido. No Capítulo 4 é apresentada toda a metodologia envolvida no desenvolvimento do algoritmo proposto, além de um resumo da estrutura de programação dentro do ambiente computacional Mathematica® . Finalmente, visando validar a formulação apresentada, no Capítulo 5, alguns resultados obtidos em aplicações clássicas são apresentados e comparados com os obtidos na literatura.utilizada. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões fundamentais do trabalho.
  10. 10. 3 Capítulo 2 Modelos de Vigas Retas Neste capítulo é apresentado o modelo discreto de vigas, definido a partir das condições de equilíbrio de um elemento de viga reta. A partir destas condições são deduzidos a matriz de equilíbrio BT e um sistema que representa a forma discreta do equilíbrio para pórticos e vigas. Neste aspecto, a definição do modelo discreto não envolve nenhuma aproximação. Em seguida, são deduzidas as expressões das superfícies de escoamento para perfis retangulares e tubulares, sendo mostrado que são praticamente idênticas. 2.1 Equilíbrio Nesta seção será mostrado um processo de discretização, baseado no princípio de Mínima Energia Complementar, aplicado a um elemento de viga reta. Toda teoria é baseada nos princípios básicos de equilíbrio que são impostos de forma exata. A primeira parte do processo consiste em descrever o conjunto de campos equilibrados αS por um sistema definido por um número finito de equações. Para tal, considera-se a Figura 3.1, onde estão representandos os esforços internos no sistema local de coordenadas e carga distribuída W(x, y)=(Wxg,( y), Wyg(x)), orientada na direção do sistema global (x, y). Os esforços internos são definidos de acordo com a Figura 3.1, onde: Ni, Nj - são os esforços axiais nos nós inicial i e final j ; Vi, Vj - são os esforços cortantes nos nós inicial i e final j ; Mi, Mj - são os momentos fletores nos nós inicial i e final j .
  11. 11. 4 Figura 3.1: Esforços Internos no elemento. Por equilíbrio, é trivial mostrar que: j i r0 N N w (r)dr L = − (2.1) Li j i s0 M -M r V w (r) 1- dr L L = + (2.2) i j j s0 M -M r V w (r) dr L L L = − (2.3) onde L é o comprimento do elemento e r xg ygw (r) W (y)cos( ) W (x)sin( )= θ + θ (2.4) s xg ygw (r) W (y)sin( ) W (x)cos( )= − θ + θ (2.5) lembrando que ( ) ( ), e ,x x r s y y r s= = . Portanto, verifica-se, que existem apenas três esforços independentes na definição do equilíbrio do elemento, ou seja, todo o Vi x y r s θMi Mj Wxg,(y) Wyg,(x) Vj Nj Ni
  12. 12. 5 equilíbrio é descrito apenas por três parâmetros e mais um termo independente que é função do carregamento distribuído e da posição da seção no elemento (Borges, 1984). Por conveniência, foram escolhidos os esforços Ni, Mi e Mj como os parâmetros independentes e, desta forma, o vetor de parâmetros do modelo, para cada elemento e, é dado por: , , Te i i jQ N M M= (2.6) Definindo-se o vetor de esforços internos dos elementos por: ( ) ( ) ( ) e r N r Q r M r = (2.7) as Eqs. (2.1)-(2.3) podem ser reescritas na forma: ( ) ( ) ( )e e r wQ r r Q Q r= Υ + (2.8) onde 0 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )1 0 ( )( ) ( )(1 ) r r w r L s s w d r Q rr r w r d r w dL L L ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − Υ = =− − − − (2.9) Por equilíbrio, pode-se também estabelecer a relação entre os esforços internos elementares e os externos, representados por e LR e T e e L LR B Q W= + (2.10) sendo T LB denominada matriz de equilíbrio. As componentes de e LR no sistema global de coordenadas são obtidas pela transformação:
  13. 13. 6 e eT e G LR T R= (2.11) sendo T a matriz de rotação do sistema local para o global. Substituindo (2.10) em (2.11) obtém-se a equação de equilíbrio elementar descrita em relação ao sistema global de coordenadas, ou seja, e eT e e G gR B Q W= + (2.12) onde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -cos - 0 cos 0 - cos -1 - cos 0 -cos 0 -cos 1 e sen sen B sen L L sen L L sen L L sen L L θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = (2.13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) 1- cos ( ) 1- 0 cos ( ) sin ( ) ( ) cos ( ) 0 L s L s e g L L r s L L r s r sen w r dr L r w r dr L W r w r dr w r dr L r sen w r dr w r dr L θ θ θ θ θ θ − = − − − + (2.14) Define-se agora o vetor de forças F, de dimensão igual ao número de graus de liberdade não restritos da estrutura (ngl), contendo todas as cargas e momentos nodais aplicados à estrutura, descritos em relação ao sistema global de coordenadas, ou seja, F=[Fxgi, Fygi, FMi]T para i= 1....ngl. (2.15) Para associar as variáveis elementares e da estrutura serão utilizadas as matrizes Booleanas, ou seja:
  14. 14. 7 e e e e u QU L U Q L Q= = (2.16) onde Ue representa o vetor de deslocamentos nodais elementares e U da estrutura, ambos referidos ao sistema global de coordenadas. O vetor Q contém os esforços internos de todos os elementos da estrutura. Cabe ressaltar que, ao contrário dos deslocamentos que são contínuos nos nós, os esforços são considerados descontínuos entre elementos. Desta forma, o vetor Q é obtido simplesmente coletando-se seqüencialmente os vetores Qe , tendo assim dimensão igual a 3 nel, sendo nel o número total de elementos da estrutura. O equilíbrio global da estrutura pode agora ser obtido aplicando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais, escrito agora como: * * * 1 . nel e e G n R U F U U V = ⋅ = ∀ ∈ (2.17) ou * * * * * 1 1 . ( ) . nel nel e T e e T eT e e u G u Q g n n L R U F U L B L Q W U F U U = = ⋅ = + ⋅ = ∀ (2.18) Sendo U* o conjunto de todos os deslocamentos virtuais admissíveis. (Feijóo, 1981). Desta forma, o equilíbrio da estrutura pode ser escrito como: * * ( ) 0T gB Q W F U U+ − ⋅ = ∀ (2.19) onde T e T eT e e T e u Q g u gB L B L W L W= = (2.20) Cabe observar que a simbologia adotada em (2.20) representa a montagem das matrizes globais na forma usual dos métodos de análise matricial de estruturas e no método dos elementos finitos.
  15. 15. 8 Como U* é um vetor de deslocamento arbitrário, a igualdade anterior é equivalente a impor: T gB Q F W= − (2.21) O sistema (2.21) representa a forma discreta do equilíbrio para pórticos e vigas. Deve-se observar que a proposição deste sistema não envolve nenhuma aproximação adicional às hipóteses básicas da teoria clássica de vigas. Em resumo, o conjunto αS que contém todos os esforços internos equilibrados com uma carga externa, representada pelo vetor gWFR −= , amplificada pelo parâmetro α, pode agora ser escrito como: ( ){ }T gS Q B Q F Wα α= = − (2.22) 2.2 Cálculo de Superfícies Limite de Escoamento em Perfis Simétricos Submetidos à Flexão e Esforço Axial Nesta seção serão apresentadas as equações que definem as superfícies de escoamento vigas tendo seções transversais retangulares e/ou tubulares, submetidas a esforços axiais e de flexão. Seja M0 o momento que plastifica toda a seção quanto está submetida somente à flexão e N0 a tensão que plastifica toda a seção quanto está submetida a esforço axial puro. Para perfis simétricos em relação a y e z e constituídos de material em que a tensão limite de escoamento a tração é idêntica a tensão limite de escoamento a compressão, a superfície limite de vigas pode ser definida a partir das condições de equilíbrio e distribuição de tensão de colapso apresentada na Figura 3.2. Assim, obtém- se: 0 YN Aσ= (2.23) 0 YM Acσ= (2.24)
  16. 16. 9 Figura 3.2 - Perfil Simétrico em relação a y e z. (a) Distribuição de tensão quando submetida ao esforço M0, (b) Distribuição de tensão quando submetida ao esforço N0. onde Yσ a tensão limite de escoamento em tração pura, A é a área da seção transversal e c o centróide da semi-área da seção em relação a um eixo que passa pelo centróide da seção. 2.2.1 Cálculo da Superfície de Escoamento para Vigas Submetidas a Tração e Flexão Combinadas Para o estudo da interação entre os esforços axiais e de flexão na situação de colapso, as equações serão consideradas apenas para o caso de esforços de momento positivos. Os demais casos podem ser obtidos por simetria. Comparando as Figuras 3.2 e 3.3, observamos que o esforço normal age no sentido de diminuir o valor de M0, deslocando a linha neutra de uma quantidade e. Com isto, podemos calcular a influência do esforço normal considerando o deslocamento da linha neutra quando em flexão pura (no caso coincidente com o eixo z), para uma posição (-e), no caso de termos tração ou (+e) no caso de termos compressão.
  17. 17. 10 Figura 3.3: Perfil Simétrico – Tração e Flexão combinadas. (a) Distribuição de tensão submetido a Tração e Flexão combinadas. (b) e (c) Decomposição em flexão e tração, respectivamente. Assim, ( )2Y n nM Ac A cσ= − (2.25) e 2Y nN Aσ= (2.26) onde nA é a área submetida apenas a tração e nc é o centróide da porção central da viga submetida apenas a tração. Como 0 0eY YM Ac N Aσ σ= = , 0 2 1 n nA c M M Ac = − (2.27) 0 2 nA N N A = (2.28) ou, 0 0 1nM N c M N c + = (2.29)
  18. 18. 11 2.2.2 Superfícies de Escoamento para Perfis Retangulares e Tubulares As equações anteriores serão utilizadas para definir a superfície limite de seções retangulares e tubulares. Figura 3.4: Perfil retangular. Considerando o perfil retangular da Figura 3.4, então 2 n e c = e 4 h c = e, conseqüentemente, 2nc e c h = (2.30) Como 2 2 enA b e A bh= = , 2 2 ne A h A = (2.31) e 0 2nc e N c h N = = (2.32) Substituindo (2.32) em (2.29), tem-se a superfície de escoamento para o perfil retangular dada por:
  19. 19. 12 2 0 0 1 M N M N + = (2.33) Definindo as variáveis adimensionais m e n por 0M M m = , 0N N n = , (2.34) tem-se: 12 =+ nm (2.35) Considerando, agora, o perfil tubular da Figura 3.5, Figura 3.5: Perfil tubular. onde mA é a área submetida apenas a flexão e mc é o centróide da porção central da viga submetida apenas a flexão, tem-se: ( ) 2 1 dt A π α += , d t2 1−=α , mn A A A −= 2 e mmnn cAc A Ac −= 2 (2.36) t
  20. 20. 13 Utilizando as expressões (2.36d) e (2.36c) em (2.27) e (2.28), respectivamente tem-se 0 0 2 2 , 1m m mM A c N A M Ac N A = = − (2.37) onde, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 cos arccos cos cos 4 2 m send A γ γ γ α γ α γ α = − − + − , (2.38) ( ) ( )( ) 3 33 22 cos 12 m m d c A sen γ α γ= − − . (2.39) A substituição de (2.38) e (2.39) em (2.37) resulta em ( ) ( )( ) 33 22 3 0 cos 1 sen M M γ α γ α − − = − (2.40) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 0 cos 2 2 2 arccos 2cos cos 1 1 sen N N γ γ γ α γ α γ α α π − − + − = − − (2.41) As superfícies de escoamento para barras de seção retangular e tubular estão representadas graficamente na Figura 3.6. Podemos verificar que, apesar da diferença marcante entre as funções analíticas que definem estas superfícies, geometricamente elas diferem muito pouco.
  21. 21. 14 Figura 3.6: Superfícies de escoamento para barra retangular e barra tubular sob tração e flexão combinadas. Em muitas aplicações práticas em elastoplasticidade e análise limite, estas superfícies não-lineares, como a das barras retangulares e tubulares, são aproximadas por segmentos lineares (Onat e Prager, 1954, Borges, 1984), introduzindo uma aproximação ao modelo. Neste trabalho, esta aproximação não será considerada. Por outro lado, como evidenciado na Figura 3.6, as superfícies de escoamento para elementos de viga de seções retangulares e tubulares diferem muito pouco, sendo quase coincidentes. Assim sendo, por simplicidade, a equação da superfície de escoamento para a seção tubular será sempre aproximada por uma forma quadrática como a da seção retangular, utilizando os valores de 00 e MN da seção tubular. Assim, no algoritmo que será definido no próximo capítulo, como função que define a superfície de colapso ou superfície limite será definida a forma quadrática (2.33), ou seja, 1),( 2 00 −+= N N M M NMf (2.42) onde M significa “+” se M > 0 e “-” se M < 0. Esta notação foi introduzida para compactar em uma única expressão os dois modos de plastificação. A forma matricial, mais conveniente para implementação computacional, é 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n m barra retangular barra tubular
  22. 22. 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 )( 00 01 ),( 0 2 0 −+⋅= rM rN M rM rM rN rM rNN NMf . (2.43) ou, compactamente ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1e e e e r r r rf Q r CQ r Q r A Q r= ⋅ + ⋅ − (2.44) onde = 00 01 2 0N C , = 0 0 MM A . (2.45) Utilizando Eq. (2.8) em (2.44), obtém-se ( ) ( ) ( ) ( )rKQraQQrcQrf eeee ,,,, ααα −⋅+⋅= (2.46) onde ( ) CrYCrYrc T == )()( , (2.47) ( ), 2 ( ) ( , ) ( )α α= +T T wa r Y r CQ r Y r A , (2.48) ( ) [ ]1),()(),()()(, −⋅+⋅,−= rQArYrQrQCrYrK w T ww T αααα . (2.49) A forma (2.46), escrita em relação aos parâmetros do modelo discreto, será a efetivamente utilizada no algoritmo desenvolvido no trabalho, por incorporar à definição da superfície limite a representação discreta dos esforços internos associados ao modelo de viga. Estas restrições devem então ser impostas em “nk” pontos dentro de cada elemento, adequadamente selecionados, para garantir a não violação da admissibilidade das tensões em qualquer ponto da estrutura. No caso de estruturas carregadas estritamente com cargas nodais, em cada elemento, a verificação da admissibilidade plástica apenas nos nós garante a verificação
  23. 23. 16 em toda a estrutura, tendo em vista a conexidade de f e a linearidade da distribuição de esforços. No caso de cargas distribuídas, é preciso escolher pontos distribuídos ao longo dos elementos, mas não é trivial uma escolha adequada para garantir a admissibilidade estrita em toda a estrutura. Por simplicidade, a notação 0)( ≤Qf será utilizada para expressar o conjunto das nk x nel restrições de admissibilidade plástica dos esforços impostas à estrutura. Assim, cada componente do vetor )(Qf contém a restrição associada a um ponto de verificação e a desigualdade deve ser entendida componente a componente, ou seja: [ ] nkknelerQfQfQf k e r e k 1,10))(()(0)( ==≤=≡≤ (2.50) Finalmente, cabe observar que o parâmetro de amplificação de carga α aparece na função de plastificação somente nos casos em que o carregamento distribuído é considerado como carga viva e amplificado na mesma proporção das cargas concentradas. Este é o caso, por exemplo, quando α é visto como um fator de segurança em relação ao colapso plástico. No algoritmo será também necessário o cálculo do gradiente e da matriz Hessiana da função de plastificação, computados a partir da derivada de (2.46) em relação a e Q e α, ou seja: ( ) ( ) ( ), , 2 ,e e e Q f r Q c r Q a rα α∇ = + (2.51) ( ) ( ) ( , ) , , ,e e dK r f r Q a r Q d α α α α α α ∇ = ∇ ⋅ − (2.52) ( ) ( )rcQrf e Qe 2,, 2 =∇ α (2.53) ( ) ( ) ( )raQrf d rKd Qrf e Q e e ,,, ),( ,, 2 2 2 αα α α α ααα ∇=∇=∇ (2.54)
  24. 24. 17 2.3 Dissipação Plástica em Vigas Finalmente, cabe lembrar que aqui, a dissipação plástica é definida em função dos esforços generalizados )(rQe r e das taxas de deformação generalizada, ( ) 0 ( ) ( ) T p D r r k rε= onde 0ε é a taxa de deformação da linha neutra e k é a taxa de deformação de curvatura. Assim, em cada elemento a dissipação é dada por: ( ) ],0[0),()(),(max)( L 0 LrrQfdrrDrQD e r pe r Q p e r ∈∀≤⋅=ℵ αα (2.55) Como nas vigas a plastificação é definida por deformações plásticas localizadas, a expressão (2.55) é reduzida à soma da dissipação plásticas que ocorre em cada pondo onde a tensão atingiu a superfície limite e se desenvolvem rótulas e/ ou expansões plásticas. Assim, ( ) 0)(,)()()( 1 =⋅=ℵ = k e r nk k k p k e r p rQfrDrQD α (2.56) onde rk representa a coordenada local dos nk pontos do elemento onde ocorrem rótulas ( p θ∆ ) e expansões plásticas ( p u∆ ), simbolicamente representados pelo vetor + − = ∆ ∆ = )()( kp p k p rU u rD θ (2.57) onde + − )( krU representa o salto nas taxas nos campos de velocidades em rk . Pode-se mostrar que as condições de ótimo do problema (2.55) são equivalentes a lei da normalidade (Borges et al., 1996, Christiansen, 1980, Lubliner, 1990): ( ) 1 1 ,αλ α = = = ∇ nel nel kP e k e e k D f Q (2.58) ( ) ( ) nkkneleQfQf e k e k e k e k 1,10,00, ===≥≤ λαλα (2.59)
  25. 25. 18 Capítulo 3 Análise Limite em Pórticos A teoria de análise limite fornece ferramentas que permitem o cálculo direto das cargas sob as quais um corpo, que pode ser aproximadamente modelado como elástico perfeitamente plástico ou que sofre um processo de encruamento limitado, atinge um estado crítico. Entende-se por estado crítico um estado no qual ocorrem grandes aumentos de deformação plástica, consideravelmente maiores que as deformações elásticas, sem nenhum aumento na carga. No caso de corpos perfeitamente plásticos, este estado é chamado de fluxo plástico irrestrito ou colapso plástico, e o estado de carregamento no qual isto se torna possível é chamado de carregamento limite. Pode ser mostrado que no estado de fluxo plástico irrestrito a taxa de deformação elástica é nula e, então, uma teoria baseada em comportamento rígido- plástico é válida também para corpos elasto-plásticos. A prova do teorema de análise limite é baseada no princípio da máxima dissipação plástica, e conseqüentemente, ele é válido somente para materiais padrão. O estado de colapso plástico iminente é o estado em que ocorre uma taxa deformação não nula ( 0P D ≠ ) sob carregamento constante ( 0=−= WFR ). A classificação de “iminente” é importante por estarmos olhando para o início de um estado onde a deformação inicial é da mesma ordem de magnitude da deformação elástica, assim as mudanças de geometria podem ser desconsideradas e a aceleração também, e o problema pode ser tratado como quase estático. Apesar da generalidade dos conceitos que serão apresentados, toda teoria de análise limite será aqui formulada no âmbito restrito de estruturas como pórticos e vigas, utilizando a notação apresentada no capítulo anterior.
  26. 26. 19 3.1 Taxas de Deformação Elástica Assume-se que as equações de equilíbrio e as condições de contorno de tensão podem ser diferenciadas em relação ao tempo sem mudança de forma, conseqüentemente o princípio dos trabalhos virtuais é válido também em relação às taxas de tensão. Seja um campo de deslocamentos virtuais tUδ e um campo de taxa deformação virtual p D , sendo U um campo de velocidade atual e δt um pequeno incremento de tempo. No colapso iminente então, 0)()()()()()( 1 1 0 1- 1 0 =⋅+⋅==⋅ = == nel e nk k L e r e rk P k e r nel e L e r drrQrQrDrQrDrQUR C (3.1) onde C é matriz que contem as constantes elásticas do material e Q-1 C é a parcela elástica da deformação. A positividade da energia elástica, isto é 0-1 ≥⋅ QQC , combinada com a inequação de Drucker 0)()( 1 ≥⋅ = k P nk k k e r rDrQ , determina que no colapso iminente as taxas de tensão desaparecem, então pe DDD == e0 . Em outras palavras, um corpo sofrendo colapso plástico se comporta como se fosse rígido-plástico ao invés de elasto-plástico (Lubliner, 1990). Este resultado, primeiramente observado por Drucker et al. (1951), torna possível a aplicação do teorema de análise limite, previamente formulado para corpos rígido-plásticos, a corpos elasto-plásticos. Adicionalmente, caracteriza-se como estando em colapso iminente um corpo submetido a um campo de tensões Q, equilibradas com o carregamento externo representado pelo vetor R, e associadas via relação constitutiva a um campo de taxas de deformações D, puramente plásticas e compatíveis com um campo de velocidades U . Para caracterizar matematicamente este problema, serão enunciados a seguir os dois teoremas fundamentais da análise limite: o teorema do limite inferior e do limite superior.
  27. 27. 20 3.2 Teorema do Limite Inferior Se, de alguma maneira, pode-se determinar o campo de tensões Q*, plasticamente admissíveis e equilibradas com a carga R* = (1/αs)R, onde αs é um fator numérico, então, a partir do Princípio das Potências Virtuais, [ ] )( 1 )()( 111 11 1 * == = ℵ=⋅=⋅=⋅=⋅ nel e Pe s nel e nk k k P k e r sss DrDrQUBQURUBQ αααα (3.2) lembrando que )( pe Dℵ representa a dissipação plástica em cada elemento como definido em (2.56). Por outro lado, pelo Princípio da Máxima Dissipação Plástica (Drucker et al., 1951, Lubliner, 1990), a partir de (2.56) tem-se: UBQrDrQD nel e nel e nk k k P k e r Pe ⋅=⋅≥ℵ = = = * 1 1 1 * )()()( (3.3) Comparando (3.3) e (3.2) verifica-se então que αs ≥ 1. Em outras palavras, o fator αs, dito multiplicador de carga estático, é um fator de segurança. 3.3 Teorema do Limite Superior Supõem-se agora que, ao invés de Q* , seja possível determinar um mecanismo de colapso, isto é, um campo de velocidades * U cinematicamente admissível e compatível com um campo de taxas de deformação puramente plásticas D* = Dp* e associado ao carregamento R* . O Princípio da Máxima Dissipação Plástica implica que * * 1 1 1 ( ) ( ) ( ) para ( ) ( ) 0 1 1 nel nel nk e e r k k e e k e e r k r D Q r D r Q r f Q k nk e nel = = = ℵ ≥ ⋅ ∀ ≤ = = (3.4)
  28. 28. 21 Por outro lado, pelo Princípio das Potências Virtuais e considerando que a função dissipação é uma função positiva e homogênea de grau um, é possível obter um parâmetro cα , tal que == = ℵ=⋅=⋅ nel e e nel e nk k kk e rc DrDrQUR 1 * 1 1 *** )()()(α (3.5) De outra forma, combinando (3.4) e (3.5) deduz-se que αc ≥ 1, significando que αc, dito multiplicador de carga cinemático, é um fator de sobre carga. 3.4 Caracterização Matemática do Problema Em resumo, a análise limite para carregamentos proporcionais consiste em achar o fator de carga limite + ℜ∈α tal que uma carga de referência R, amplificada uniformemente por α produza colapso plástico em um corpo ou estrutura. Neste caso, os dois teoremas anteriormente enunciados podem ser expressos da seguinte maneira: As cargas externas aplicadas a um corpo que estão em equilíbrio com um campo de tensões que de nenhuma maneira violam o critério de escoamento, não excedem as cargas de colapso. As cargas que realizam trabalho positivo em um campo de velocidade cinematicamente admissível, a uma taxa igual a dissipação plástica total, são no mínimo iguais às cargas de colapso. Se as cargas oriundas da aplicação dos dois teoremas são iguais, então elas são iguais às cargas de colapso. Em particular, se for encontrado um campo de tensões estaticamente e plasticamente admissível e um campo de velocidades cinematicamente admissível de tal maneira que a taxa de deformação produzida é associada às tensões, então se terá encontrado uma solução completa. Em resumo, o problema discreto de análise limite em pórticos e vigas consiste em achar um fator de carga ℜ∈α , um vetor de tensão nel Q 3 ℜ∈ , um vetor velocidade n U ℜ∈ e um vetor multiplicador plástico nelnk× ℜ∈λ , de maneira que o sistema representado pela matriz de equilíbrio BT : nq ℜ→ℜ e uma função convexa
  29. 29. 22 ( ) nelnk RQf × ∈ entra em colapso plástico sob alguma carga proporcional a um dado vetor de força n R ℜ∈ . Assume-se que todos os movimentos de corpo rígido são governados por deslocamentos cinemáticos prescritos, assim o núcleo da matriz B contém somente o vetor velocidade nulo. As quatro formulações seguintes são expressões equivalentes do problema de análise limite discreto em virtude da convexidade de ( )Qf (Cohn e Maier, 1977, Christiansen 1980, Borges et al., 1996): (i) Formulação Estática 0),( max ** ** * 3* ≤ − = × ℜ∈ ℜ∈ Qf RQBT Q nel α α αα α (3.6) (ii) Formulação Cinemática = ℜ∈ =⋅ℵ= nel e e U URUBn 1 1)(minα (3.7) onde nkkrQfUBrQUB k e nk k ee k e rQ e k e 10))(()(max)( 1 )( =≤⋅=ℵ = (3.8) (iii) Condições de Otimalidade ( ) 0, =∇− λα QfUB Q (3.9) 0=− RQBT α (3.10) 1),(. =⋅∇+ λαα QfUR (3.11) ( ) ( ) nkkneleQfQf e k e k e k e k 1,10,00, ===≥≤ λαλα (3.12)
  30. 30. 23 Todas as versões discretizadas das formulações de análise limite (i), (ii) e (iii) levam a um tipo único de problema dimensional finito, entretanto, os campos de tensões e velocidades não são únicos. A unicidade é restrita ao fator de colapso.
  31. 31. 24 Capítulo 4 Algoritmo de Solução Para resolver o problema de análise limite discreto será utilizado um algoritmo proposto por Borges et al. (1996), aqui adaptado para o modelo de vigas e pórticos. Cada interação do algoritmo consiste em usar a fórmula de Newton para solução do sistema formado pelo conjunto de igualdades pertencentes às condições de otimalidade (3.9)-(3.12), seguidas por uma relaxação no passo e um escalonamento de tensão para preservar a condição de admissibilidade plástica. As condições de otimalidade (3.9)-(3.12), podem ser escritas na forma: ( ) ( )0; , Q 0; e 0g x f α λ= ≤ ≥ (4.1) onde ( ) ( ) 0 , 1),(. , )( = −⋅∇+ − ∇− = λα λα α λα α QG QfUR RQB QfUB xg T Q (4.2) = λ α U Q x (4.3) nkkneleQfdiagQG e k 1,1)),((),( === αα (4.4) sendo a matriz B definida pela Eq. (2.20) e as componentes dos gradientes ( )QfQ ,α∇ e ),( Qf αα∇ dadas por (2.51) e (2.52), respectivamente. Deste ponto em diante a referência em relação aos modos de plastificação ( nkknele 1,1 == ) serão simplesmente designados por nknelm ×=1 .
  32. 32. 25 Utiliza-se um procedimento de dois estágios para achar uma nova iteração x a partir do valor atual x (incógnitas do problema). No primeiro estágio, defini-se uma estimativa de incremento 0 xd para x realizando uma iteração de Newton para as equações não lineares ( ) 0=xg . Então, a estimativa intermediária para x é 00 xdxx += (4.5) No segundo estágio, o incremento de tensão 0 Qd é reduzido por um escalar s, chamado fator de relaxação, e a tensão resultante é escalonada por um fator p, de maneira a garantir que ao final da iteração os esforços definidos por ( )0 QsdQpQ += (4.6) satisfaçam a condição de admissibilidade plástica. Da mesma forma, o fator de colapso α é também modificado pela mesma regra, ( )0 ααα sdp += (4.7) a fim de manter a condição de equilíbrio satisfeita ao longo de todo o processo. Este passo de relaxação e escalonamento é repetido até que αα > . A nova interação é [ ]T UQx λα0 = (4.8) onde 0 U é obtido no primeiro estágio e αeQ no segundo. As componentes de λ são as mesmas de 0 λ , exceto para as não positivas, que são substituídas por um número positivo pequeno.
  33. 33. 26 4.1 Primeiro Estágio, Estimativa de Incremento pela Fórmula de Newton Esta subseção apresenta em maior detalhe as etapas do primeiro estágio da iteração. Um incremento 0 xd em x é computado utilizando a seguinte fórmula de iteração relacionada a ( ) 0g x = : ( ) ( )0 xI x d g x= − (4.9) onde, de acordo com fórmula de Newton, ( ) ( )I x g x= ∇ . Neste caso, 0 0 00 )( = ∇−∇Λ− ∇−−−− − ∇−−− = Gff fHRH RB fHBH xI Q TTT Q T QQQQ α αααα α (4.10) sendo nelnkmdiag m ×==Λ 1)(λ (4.11) e 2 2 2 QQ m QQ m Q m Q m m m m m m H f H f H fα α αα ααλ λ λ= ⋅∇ = ⋅∇ = ⋅∇ (4.12) onde os gradientes estão definidos em (2.53) e (2.54). A matriz HQQ é, geralmente, positiva semi-definida. Para obter uma versão positiva definida desta matriz, conveniente para o desenvolvimento do algoritmo, propõe-se uma pequena perturbação na matriz HQQ, que passa a ser escrita como: +∇⋅= m mQQmQQ MfH )( 2 ελ (4.13)
  34. 34. 27 onde ε é um número prescrito pequeno e M é uma matriz fixa preestabelecida. Esta fórmula geral pode ser simplificada para os casos de vigas e pórticos, tendo em vista que de acordo com (2.47), ( ) ===∇ 000 000 00 1 )()( 2 0 2 N rYCrYrcf T mQQ (4.14) Assim mQQ f2 ∇ pode ser aproximada simplesmente por: =∇ 2 0 2 0 2 0 2 00 00 00 1 N N N fmQQ ε ε (4.15) onde ε deve ser um parâmetro pequeno quando comparado com a unidade (ε << 1). Expandindo as condições na Eq. (4.9), associadas aos sistemas, (4.2), (4.3) e (4.10), e assumindo que o equilíbrio nos nós livres é exatamente satisfeito para os valores atuais de Q e α, conduz ao seguinte sistema de equações: 0 0 0 0 0α αλ− + ∇ + =QQ Q Q QH d BU f H d (4.16) 0 0 0α− =T QB d d R (4.17) 0 0 0 0 1α α αα α λ+ ⋅ + + ∇ ⋅ =T Q QH d R U d H f (4.18) e 0 0 0 0α α λΛ∇ +∇ + =T Q Qf d f d G (4.19)
  35. 35. 28 onde 0 0 eQd dα são estimativas de incremento para Q e α respectivamente, enquanto, 0 0 e λU são estimativas para e λU . Este sistema linear de equações deve ser resolvido para as incógnitas 0 0 0 0 , , eα λQd U d a fim de achar a estimativa de incremento 0 xd . O termo 0 QQ QH d iguala a diferença entre as taxas de deformação plástica e as totais em (4.16). A Eq. (4.17) representa o equilíbrio incremental, enquanto a Eq. (4.18) impõe a necessidade de que a potência externa seja igual a um. O significado da Eq. (4.19) será explicado mais adiante, na próxima seção. Existem algumas características em comum na estrutura das matrizes , , , eα αα α∇ ∇QQ Q QH H H f f e o vetor R, decorrentes da estrutura do modelo discreto, que facilitam a solução do sistema (4.16)-(4.19). Por exemplo, a matriz QQH é composta por blocos quadrados disjuntos entre elementos. Porque os parâmetros de esforços internos são desacoplados, isto é, cada parâmetro está associado a um único elemento. Assim, sendo a matriz QQH uma matriz bloco-diagonal e positiva definida, pode-se eliminar a incógnita 0 Qd do sistema linear, fazendo uso de (4.16). ( )0 1 0 0 0 α αλ− = −∇ −QQQ Q Qd H BU f H d (4.20) A Eq. (4.20), e várias das que estão por vir, envolvem quantidades e operações referentes a um elemento finito por vez. Com a intenção de simplificar, está sendo omitido, sempre que possível, o índice que denota o elemento. A Eq. (4.20) é agora substituída em (4.19). Também multiplica-se (4.19) por 1− Λ , assumindo-se que λm é estritamente positivo para qualquer modo plástico m. Esta consideração será garantida pela regra de atualização, realizada no final da iteração. Assim, ( ) ( )1 1 0 1 1 0 1 0 α α αλ− − − − − ∇ ∇ − Λ + Λ ∇ −∇ = ∇T T T Q QQ Q Q QQ Q Q QQf H f G f f H H d f H BU (4.21) Conseqüentemente, define-se
  36. 36. 29 1 1 1 1 , α α α − − − − = ∇ ∇ − Λ = Λ ∇ −∇T T Q Q QQ Q Q QQ QW f H f G W f f H H (4.22) e 1− = ∇QQ T QT H f (4.23) Foi provado em Zouain et al. (1993) que a matriz simétrica QW é positiva definida, sob certas hipóteses a respeito da função plástica f, que podem ser fisicamente interpretadas. Então, de (4.21)-(4.23), 0 1 0 0 α αλ − = −T QW T BU W d (4.24) Introduzindo esta expressão em (4.20), obtem-se 0 0 0 α α= +ep T Qd BU T W d (4.25) onde 1 1− − = −ep T QQH TW T (4.26) A Eq. (4.25) pode ser interpretada como uma relação tangente entre os esforços internos e a deformação, representada por BU , com ep sendo a matriz de módulo elasto-plástico “fictícia”. Foi provado em Zouain et al. (1993) que ep é positiva semi- definida. Substituindo (4.25) em (4.17) conduz a 0 0 α=KU d R (4.27) onde a matriz K é obtida montando a contribuição de cada elemento na seguinte expressão: T ep K B B= (4.28)
  37. 37. 30 e α= − T T R R B T W (4.29) Pode-se interpretar K como uma rigidez elasto-plástica variável em cada iteração. Usa-se (4.27) e (4.18) para deduzir a seguinte seqüência, com intuito de calcular 0 0 eαd U : Primeiro resolve-se ˆ ,=UK R (4.30) em seguida, ˆU é usado para obter ( ) 1 0 ˆ α − = ⋅d R U (4.31) e, finalmente, faz-se 0 0 ˆ α=U d U (4.32) As incógnitas remanescentes 0 0 eQd λ são obtidas em termos elementares, substituindo 0 U em (4.25) e (4.24).
  38. 38. 31 4.2 Segundo Estágio, Relaxação do Passo e Escalonamento da Tensão O único requisito para gerar um algoritmo de pontos interiores é garantir a viabilidade em relação às restrições das inequações ( ) 0 e 0f Q λ≤ ≥ ao final da iteração. Nesta seção é descrito o procedimento utilizado para determinar os esforços finais, que são plasticamente admissíveis. A aproximação do fator de carga α é devidamente definida, de maneira que o equilíbrio seja sempre satisfeito. A condição 0, . . 0,i eλ λ≥ ≥ é garantida pelo critério de atualização utilizado ao final da iteração, que modifica 0 λ , eliminando as componentes não-positivas. De início, escolhe-se um fator de relaxamento s para o incremento de 0 Qd . A admissibilidade é garantida através do escalonamento dos esforços, i.e. ( )0 QQ p Q sd= + (4.33) sendo o fator de escalonamento p computado restringindo cada modo da função de escoamento a ser estritamente negativo. A tensão Q e o fator plástico α satisfazem o equilíbrio ao início da iteração. Por causa da Eq. (4.17), 0 0 eQd dα satisfazem, também, os requisitos de equilíbrio. Consequentemente, as condições de equilíbrio 0α− =T B Q R (4.34) serão preservadas em cada iteração se o fator de colapso é escalonado e relaxado da mesma maneira que a tensão, ou seja, se ( )0 p sdαα α= + (4.35) Assim,
  39. 39. 32 ( )( ) ( )0 0 min |m m m Q f m m p p f p sd Q sd f Qαα γ= + + + = (4.36) onde ( )0,1fγ ∈ é dado por 0 0 min ,f f dαγ γ α= (4.37) e ( )0 0,1fγ ∈ é um parâmetro de controle fornecido. Esta regra previne que qualquer função plástica se torne exatamente ativa em uma única iteração, enquanto pode se aproximar de zero em poucas iterações. Discutimos a seguir algumas propriedades das aproximações geradas a fim de se determinar um critério apropriado para escolher o fator de relaxamento do passo s. Em vista das condições de equilíbrio entre 0 0 eQd dα e da restrição da potência externa unitária (4.18), temos 0 0 0 α = ⋅d KU U (4.38) onde K é positiva semi-definida. Assim 0 dα é não-negativa e ( )0 0 ,Qd dα é uma direção ascendente para a função objetivo α da formulação estática (3.6). Por outro lado, considerando a equação vetorial (4.19) em forma de componente, 0 0 λ λ∇ = −T m m Q m mf d f (4.39) conclui-se que 0 0 0= ∇ =T m m Qf f d (4.40) pela hipótese de λm ser estritamente positivo. Isto significa que 0 Qd é tangente à superfície 0=mf se este modo estiver ativo. As propriedades de 0 0 eQd dα mencionadas acima, permitem afirmar que é sempre possível obter um fator de relaxamento s, pequeno o suficiente para garantir a condição
  40. 40. 33 de ascendência também para a tensão modificada Q , porque a cada iteração ( )Q Q− torna-se mais próximo à direção de ascendência 0 Qd . Baseado nisto, estabelece-se a seguinte estratégia para determinar o fator s. No começo assume-se 1s = , então é encontrada uma primeira estimativa para p, de acordo com (4.36). Se para esta estimativa α computada por (4.35) for menor que α, substitui- se s por ssγ , onde ( )0,1sγ ∈ é um parâmetro pré-estabelecido. Para este novo s o fator de escalonamento p é computado novamente. Este procedimento é repetido até que se tenha α α≥ . Um bom processo de convergência apresentará valores de s e p próximos de um nas últimas iterações. 4.3 Atualização O conjunto de variáveis , , eα λT U deve ser atualizado para se realizar, se necessário, uma nova iteração. Primeiro atualiza-se eQ α com os já computados eQ α . Nota-se que não há necessidade de atualizar o vetor velocidade. Finalmente atualiza-se λ , levando em consideração que deve ser estritamente positivo, de maneira que a matriz Λ possa ser invertida. ( )0 0 max , λλ λ λ γ λ ∞ ← =m m m (4.41) e 0 min , Qd Q λ λγ γ= (4.42) onde 0 λγ é uma tolerância prescrita, ⋅ é a norma Euclidiana e ∞ ⋅ é a norma do máximo valor absoluto das componentes. Esta regra permite que λm convirja a um valor de multiplicador de Lagrange positivo, se este for o caso para 0 λm , enquanto estão sendo ajustados a um valor positivo pequeno, esses parâmetros λm , correspondendo a 0 λm , tendem a zero.
  41. 41. 34 4.4 Requisitos para a Inicialização Foi assumido em (4.9) que a equação de equilíbrio é exatamente satisfeita para os valores iniciais de cada iteração. Além disto, os incrementos de tensão e do fator de carga computados também estão relacionados pelo equilíbrio como conseqüência de (4.17). Então, basta inicializar o algoritmo com o par ( ),Q α em concordância com as condições de equilíbrio para obter-se aproximações de carga e tensão equilibradas em todo o processo de convergência. A admissibilidade plástica das tensões no início de cada iteração também foi assumida, e é preservada no final em virtude do escalonamento de tensão descrito na seção anterior. Consequentemente, escolhe-se ( ) 1 0, 0 e 0 α λ − = = =m m Q f (4.43) como valores iniciais para o algoritmo, viáveis com respeito à admissibilidade plástica e o equilíbrio. 4.5 Critério de Convergência Para testar se a convergência foi ou não alcançada, considera-se o conjunto de condições de otimalidade (3.9)–(3.12) e o equilíbrio, Eq. (3.10). A igualdade da potência externa (3.11) e a restrição da admissibilidade plástica (3.12a) são garantidas no procedimento de iteração. Então, utiliza-se 0 0 e λU para checar se o presente valor de Q concorda com as Eqs. (3.9), (3.12b) e (3.12c). Assim, a convergência é alcançada se o seguinte critério for satisfeito: 0 0 0 λ ε ∞∞ −∇ ≤m DBU f BU (4.44) 0 0 , m 1, ,λλ ε λ ∞ ≥ − =m k (4.45)
  42. 42. 35 e ( )0 0 , se < 0λλ ε λ ε ∞ ≤ −m m f mf f (4.46) onde os parâmetros , eD fλε ε ε são tolerâncias prescritas. As observações finais sobre o algoritmo dizem respeito à possibilidade de se detectar singularidade ou um mau condicionamento na pseudo matriz de rigidez K. Recorda-se que foi provado que K é somente positiva semi-definida, apesar de que todos os movimentos rígidos foram eliminados em B. Além disto, a Eq. (4.27) deve ser satisfeita, na solução, para a velocidade de colapso e dα igualado a zero, em conseqüência, K necessariamente tende a se tornar singular. A questão é se a singularidade de K é ou não condição suficiente para a convergência. Obviamente, um resultado teórico para esta questão seria muito útil. De qualquer maneira, precisa-se inserir um teste quanto a singularidade na decomposição de K. 4.6 Resumo do Algoritmo para Análise Limite Apresenta-se agora um resumo do algoritmo utilizado para resolver o problema de análise limite. Por simplicidade, este resumo será restrito aos casos onde não há cargas distribuídas. Neste caso, os subíndices Q e α ,que aparecem na notação dos gradientes e Hessianas (Eq. (4.10)), podem ser dispensados, tendo em vista que só o parâmetro Q é considerado nos cálculos das derivadas e, portanto, não há possibilidade de conflito nas definições. Como mencionado anteriormente, cada elemento finito é associado, numa relação de um para um, a um subconjunto de parâmetros de esforços globais e a um subconjunto de restrições de admissibilidade plástica globais. Assim, a estrutura matemática do modelo de pórticos permite que se realize todos os cálculos no âmbito elementar. A única equação global a ser montada é a que aparece no sistema linear (4.30). Entretanto, por brevidade e por não gerar maiores conflitos de notação, o superíndice e, indicando o elemento, não foi adotado. Os parâmetros do algoritmo e os valores típicos usados nas aplicações deste trabalho foram os seguintes:
  43. 43. 36 Parâmetros de controle: 0 2 0 4 -7 10 , 10 a 10 , 0.3, 0.5 ou 0.7f sλγ γ γ− − = = = Perturbação para ( )2 kf Q∇ : 3 5 10 a 10ε − − = Parâmetros para checar a convergência: 3 12 3 3 10 a 10 , 10 , 10D fλε ε ε− − − − = = = O algoritmo foi implementado no programa Mathematica, versão 5.0 de 2003, utilizando-se funções básicas de programação, tais como IF, FOR, WHILE, GOTO.
  44. 44. 37 I) INICIALIZAÇÃO 0 0 = = α e Q for cada modo plástico: ( ) 1 0 m mf λ − = end for II) ESTIMATIVA DO INCREMENTO for cada elemento e ( )( ) 1 1 2 1 1 1 1 D Monte em QQ QQ QQ QQ m m Q T Q Q ep T Q e T ep e H f M T H f W T f G D H TW T K B B K K λ ε − − − − − − = ∇ + = ∇ = ∇ − Λ = − = end for Decompor K if algum elemento da diagonal de K se tornar menor ou igual a zero then terminate
  45. 45. 38 solve ˆKU R= ( ) 1 0 0 0 ˆ. ˆ d RU d U α α − = =U for cada elemento 0 1 0T QW T BUλ − = end for III) TESTE DE CONVERGÊNCIA If 0 0 0 DBU f BUλ ε ∞∞ −∇ ≤ and for cada modo plástico em cada elemento 0 0 m λλ ε λ ∞ ≤ or ( )0m f mf fε≥ end for then terminate (com a convergência alcançada) IV) ESTIMATIVA DO INCREMENTO DE TENSÃO for cada elemento e 0 0ep Qd D BU= end for
  46. 46. 39 V) RELAXAMENTO DO PASSO E ESCALONAMENTO DA TENSÃO =fγ min α γ α 0 0 , d f s=1 repeat until α α> 00 ααα sd+= for cada elemento 0 Q s sdQQ += for cada modo plástico encontre mp tal que ( )( ) ( )0s m m f mf p Q f Qα γ+ = end for end for =p min mp ss p sγ αα ← = 0 end repeat VI) ATUALIZAÇÃO αα ← =λγ min Q dQ 0 0 ,λγ for cada elemento s pQQ ← for cada modo plástico mλ ← max( )0 0 ,m λλ γ λ ∞ end for end for
  47. 47. 40 Capítulo 5 Aplicações A fim de validar o algoritmo utilizado, foram realizadas algumas aplicações conhecidos da literatura. 5.1 Aplicação 1 A primeira aplicação, retirada da seção 6.3.2 de Lubliner (1990), consiste em uma barra de comprimento L engastada na extremidade esquerda e apoiada na direita, com duas cargas pontuais proporcionais a um determinado parâmetro β como mostra a Figura 5.1 . Figura 5.1: Barra engastada na extremidade esquerda e apoiada na direita. A viga foi modelada com 3 elementos de viga reta e seção quadrada, idênticos, mesma seção, comprimento, esforço axial de colapso 0N e momento de colapso 0M , e nós no engaste, em L/3, 2L/3 e no apoio em L. Os pontos de verificação foram os próprios nós. De acordo com Lubliner (1990), a relação entre o fator de colapso α e o momento de colapso M0 deve ser: βF (1-β)F L/3 L/3 L/3
  48. 48. 41 015 2 , para 1 1 3 M LF α β β = < < + (5.1) e 012 2 , para 0< 2 3 M LF α β β = < − (5.2) Uma outra maneira de apresentar o resultado seria considerando as cargas aplicadas em L/3 e 2L/3 como independentes, sendo respectivamente, F1 e F2. Desta forma chega-se, através da análise do equilíbrio e considerando 0M M= no engaste, a duas inequações, ,152 ,122 0 21 0 21 L M FF L M FF ≤+ ≤+ (5.3) representadas graficamente na Figura 5.2. Na região interna às retas, não ocorre colapso plástico. O fator de colapso α é o multiplicador que leva ao ponto de interseção da reta que passa pela origem e o ponto formado pelas nossas cargas, com as retas das inequações. Figura 5.2: Diagrama de interação entre as cargas. 0 5 10 0 5 10 2 0F L M 1 0F L M β=0.7 β=0.3
  49. 49. 42 Utilizando 0 0 0 15, 1.67 e 0.7 M M FL N L β= = = , resulta em 0 8.8235 M FL α = . O resultado do algoritmo foi um fator de colapso 0 8.8173 M FL α = em 9 iterações, como mostra o gráfico da Figura 5.3, onde se pode notar que a partir da quinta iteração os valores de α estabilizaram. Figura 5.3: Fator de colapso versus número de iterações para 0.7β = . Identifica-se uma rótula plástica no engaste e outra em L/3. A Figura 5.5(a) mostra o mecanismo de colapso resultante com as respectivas rótulas, indo de encontro ao apresentado por Lubliner (1990). Os resultados dos momentos também foram bem coerentes, dando 0M em 0 e 3L , zero em L e 0.93 0M em 2 3L . Considerando agora, 0.3β = para a mesma relação 0 0 0 15 e 1.67 M M FL N L = = , tem-se 0 7.0588 M FL α = . O algoritmo apresentou como resultado 0 7.0500 M FL α = em 8 iterações, convergindo de forma estável a partir da quarta iteração, como mostra a Figura 5.4 0 FL M α Iteração 6 7 8 9 0 3 6 9
  50. 50. 43 Figura 5.4: Fator de colapso versus número de iterações para 0.3β = . Também neste caso, o mecanismo apresenta uma rótula plástica no engaste e agora, a rótula plástica que surgia em L/3, aparece em 2L/3. A Figura 5.5(b) mostra o mecanismo de colapso resultante com as respectivas rótulas, indo de encontro ao apresentado por Lubliner (1990). Os resultados dos momentos continuam coerentes, dando 0M em 0 e 2 3L , zero em L e 0.36 0M em 3L . Figura 5.5: Mecanismo de colapso, linhas tracejadas. (a) 0.7β = , (b) 0.3β = . 0.7β = 0.3β = 0 L 0 L (a) (b) 0 FL M α Iteração 6.56 6.80 7.04 0 2 4 6 8
  51. 51. 44 Nesta aplicação o resultado é idêntico ao da referência, pois o esforço axial é nulo e a linearização da superfície de escoamento proposta em Lubliner (1990) não influi no resultado.
  52. 52. 45 5.2 Aplicação 2 A segunda aplicação (Lubliner, 1990) consiste de um pórtico bi-engastado, formado por três barras, submetido a uma força horizontal e a uma força vertical, como mostra a Figura 5.6. O pórtico foi modelado com 4 elementos de viga reta e seção quadrada, idênticos, mesma seção, comprimento, esforço axial de colapso 0N e momento de colapso 0M , formados por nós nos pontos A, B, C D, e E. Os pontos de verificação foram os próprio nós. Figura 5.6: Pórtico bi-engastado submetido a uma força vertical e uma horizontal. Do teorema do limite superior, chega-se às seguintes inequações (Lubliner, 1990): 021 01 02 122 4 8 MLFHF MHF MLF ≤+ ≤ ≤ representadas graficamente na Figura 5.7. Na região interna às retas, não ocorre colapso plástico. H L F2 F1 A B C D E
  53. 53. 46 Escolhendo, por exemplo, 2 0 5F L M = e 1 0 2F H M = para 0 0 1.5 e 12.5, H M L N L = = leva a um fator de colapso α = 1.33, através da interseção da reta que passa pela origem e o ponto (2,5), com as retas das inequações, Figura 5.7 . Deve-se levar em conta que Lubliner (1990) não considerou a contribuição do esforço axial de colapso N0 . Figura 5.7: Diagrama de interação entre as cargas. O resultado do algoritmo foi um fator de colapso α = 0.85 em 7 iterações, como mostra o gráfico da Figura 5.8, onde pode-se notar que a partir da quarta iteração os valores de α estabilizaram. Este valor é coerente por ser menor do que o valor que não considera o esforço axial de colapso N0 . 0 4 8 0 4 8 02 MLF 01 MHF
  54. 54. 47 Figura 5.8: Fator de colapso versus número de iterações. No colapso foram geradas três rótulas plásticas, uma em cada engaste e outra no centro da segunda barra. O mecanismo de colapso, Figura: 5.9(a), assemelha-se ao apresentado por Lubliner (1990). Os resultados dos momentos também foram coerentes, dando 0M nos engastes e no centro da barra horizontal e 0.06 0M nos pontos B e D. Indo de encontro ao diagrama de momento fletor proveniente da teoria, Figura 5.9(b). 0,83 0,84 0,85 1 2 3 4 5 6 7 Iteração α
  55. 55. 48 (a) (b) Figura: 5.9: (a) Mecanismo de colapso, linhas tracejadas, (b) diagrama de momento fletor. M0 M0 M0
  56. 56. 49 5.3 Aplicação 3 Esta aplicação consiste em um arco circular de raio r, bi-apoiado, de tal forma que os apoios apenas permitem rotação, submetido a uma determinada força vertical F na parte superior central, como mostrado na Figura 5.10 . Figura 5.10: Arco bi-apoiado. O arco foi modelado por elementos de viga reta e seção tubular, foram utilizados 4 elementos idênticos, ou seja, com mesma seção, comprimento, esforço axial de colapso 0N e momento de colapso 0M . Os elementos foram distribuídos uniformemente ao longo da geometria do arco. A Figura 5.11 mostra os elementos e os respectivos nós numerados, modelados no algoritmo. Os pontos de verificação foram os próprios nós. F
  57. 57. 50 Figura 5.11: Modelagem com 4 elementos. O resultado do algoritmo para a relação 0 0 0 14.4 e 30.5 M M N R FR = = foi um fator de colapso α = 0.63 em 3 iterações, sendo as duas últimas idênticas, mostrando estabilidade na convergência como pode ser observado na Figura 5.12 . Figura 5.12: Fator de colapso versus número de iterações. F 1 2 3 4 5 α 0,62 2 3 1 Iteração 0,63
  58. 58. 51 O resultado apresentado por Lubliner (1990) é um fator de colapso α = 0.49. Entretanto, ele utiliza uma aproximação linear para a superfície de escoamento. Também é apresentada por Lubliner (1990), uma equação para os momentos ao longo do arco variando com um ângulo φ , que vai de zero radianos em F, a 2π no apoio. O gráfico desta equação é mostrado na Figura 5.13 . Figura 5.13: Momento ao longo do arco. Os momentos resultantes do algoritmo foram: zero nos apoios, nós 1 e 5, 0M nos nós 2 e 4 e zero no nó 3. As rótulas resultaram nos nós 2 e 4, sendo coerente com o valor máximo dos momentos resultantes nestes nós, 0M . Pelo gráfico da Figura 5.13, o valor máximo do momento ocorre em 0.93 radianos, consequentemente onde se forma rótula. O nó mais próximo do modelo está em 4 0.79π = radianos, no caso o nó 2, e também o 4 por simetria. Pelo gráfico, 0.79 radianos equivale a 95% de 0M . A Figura 5.14 apresenta o gráfico dos momentos obtidos pelo algoritmo. 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 -1 -0.5 0.5 1 φ (rd) M(φ)/M0
  59. 59. 52 Figura 5.14: Momento ao longo do arco apresentado pelo algoritmo. O mecanismo de colapso, com as respectivas rótulas, está apresentado na Figura 5.15, pelas linhas tracejadas. A única diferença é que, segundo Lubliner (1990), deve aparecer uma rótula também no centro do arco, nó 3, o que pode ser notado pelo gráfico dos momentos, Figura 5.13. Em 0φ = o momento também é máximo, 0M . O mecanismo de colapso é idêntico ao apresentado por Lubliner (1990). Figura 5.15: Mecanismo de colapso, linhas tracejadas.. M(φ)/M0 -1 -0,5 0 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 φ(rd) F
  60. 60. 53 Vamos agora aprimorar o modelo utilizando-se oito elementos, idênticos aos anteriores, ao invés de quatro, Figura 5.16. A convergência foi idêntica a do modelo com quatro elementos, mostrada na Figura 5.12, apresentando o mesmo valor para o fator de colapso α . Os momentos resultantes foram: zero nos apoios, nós 1 e 9, e no centro, nó 5; 0M nos nós 3 e 7; e 0.74 0M nós 2, 4, 6 e 8 . Também neste caso, as rótulas aparecem nos nós 3 e 7, que equivalem ao nós 2 e 4 do modelo com quatro elementos, e continuou não resultando rótula no centro do arco, nó 5. O mecanismo de colapso permanece idêntico ao apresentado em Lubliner (1990),. Figura 5.17. Foram colocados dois pontos de verificação adicionais, na metade do elemento entre os nós 4 e 5, e 5 e 6, para verificar a rótula central. Entretanto, estes não apresentaram rótula. Com estes pontos, o algoritmo convergiu em sete iterações, dando o mesmo valor do fator de colapso α anterior, a partir da segunda iteração. Mostrando que apesar de apenas três iterações no caso anterior, a estabilidade é confiável. Figura 5.16: Modelo com 8 elementos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F
  61. 61. 54 Figura 5.17: Mecanismo de colapso para 8 elementos, linhas tracejadas. F
  62. 62. 55 Capítulo 6 Conclusões Neste trabalho foi apresentada uma formulação para análise limite em pórticos planos que inclui o desenvolvimento de um algoritmo do tipo Newton para solução do problema. No modelo proposto não foram incluídas outras aproximações além das usuais previstas nas hipóteses clássicas de vigas. A superfície de escoamento adotada considera a influência do esforço normal no critério de plastificação e foi tratada na sua forma não linear. A vantagem em se utilizar superfícies não lineares não se limita à possibilidade de redução no número de restrições impostas ao modelo mas, principalmente, à eliminação das aproximações induzidas por estas linearizações. Muitas vezes, estas linearizações induzem à aproximações sem significado físico claro e podem ser de difícil concepção. Como exemplo, cita-se o caso de superfícies linearizadas para perfis tubulares (Borges, 1984). O algoritmo se mostrou confiável para o cálculo de cargas e da distribuição de esforços no colapso, identificando mecanismos de colapso idênticos aos previstos pela teoria, com rótulas plásticas bastante coerentes em relação às soluções analíticas encontradas na literatura (Lubliner, 1990). O procedimento se mostrou robusto tanto para o cálculo de colapso em estruturas onde o esforço axial é nulo, como foi o caso do exemplo apresentado na seção 5.1, como nos casos onde o esforço axial foi considerado. Quando não há esforços axiais, o resultado é exatamente o mesmo obtido em soluções analíticas (Lubliner,1990). Na aplicação 2, o fator de colapso divergiu do encontrado pela teoria de referência, sendo 64% do apresentado por Lubliner (1990). Este resultado é previsível, pois Lubliner não considera o esforço axial nas restrições plásticas, o que necessariamente conduz a um valor superestimado para o fator de colapso. Adicionalmente, observa-se que nos exemplos estudados a convergência foi estável. Em particular, no exemplo apresentado na seção 5.3, o número de iterações para
  63. 63. 56 a convergência do algoritmo aumentou de três para sete, quando foram considerados dois pontos de verificação adicionais. Em geral, para o estudo de análise limite em vigas, os esforços axiais não são preponderantes e, portanto, o modelo que limita apenas o valor máximo do esforço fletor, oferece uma boa aproximação. Entretanto, este modelo não é adequado quando se deseja verificar a influência do esforço normal, como é o caso de vigas curvas, onde a presença do esforço axial tem maior influência no comportamento estrutural. O modelo de vigas curvas é particularmente importante para os estudos de linhas de tubulações onde, além da pressão interna, outros esforços podem ter atuação significativa no sistema. Neste sentido é que foi pensada a análise mostrada na seção 5.3, onde um arco de 180° foi modelado com elementos retos. O fator de colapso calculado através da metodologia aqui proposta foi 28% maior que o de Lubliner (1990). A solução analítica proposta por Lubliner (1990) considera o esforço axial de colapso e uma linearização da superfície limite. Foi observado que, mesmo tendo–se em conta a aproximação geométrica do arco por elementos retos, a diferença entre os fatores de colapso computado e o apresentado por Lubliner foi menor nos arcos do que no pórtico apresentado na seção 5.2. No caso do arco, o fato de não ter sido apresentado rótula no centro, prevista por Lubliner, atribui-se a utilização de elementos de viga reta para a modelagem geométrica. Por outro lado, as duas rótulas simétricas foram previstas perfeitamente. Uma proposta para futuros trabalhos, seria utilizar modelo de viga curva para a modelagem, o que, provavelmente, trará melhores resultados para aplicações em vigas curvas. O estudo aqui proposto fornece uma primeira idéia para, futuramente, combinar os efeitos da pressão interna em dutos com os carregamentos adicionais que estes sofrem, como os considerados aqui neste trabalho, para análise limite em linhas de tubulação. Finalmente, é importante mencionar que futuramente o modelo aqui proposto deve incluir, no conjunto de restrições, critérios de projeto baseados na condição de estabilidade geométrica, sob pena de falhar na previsão do colapso como um todo. Na presença de esforços axiais, em muitos casos a carga que provoca instabilidade geométrica pode ser bem mais crítica do que a carga que provoca colapso plástico.
  64. 64. 57 Referências Bibliográficas Borges, L. A., 1984. Análise Limite de Pórticos Planos via Otimização. Dissertação de M.Sc., PUC, Rio de Janeiro, Brasil. Borges, L. A., Zouain, N., Huespe, A. E., 1996. A Nonlinear Optimization Procedure for Limit Analysis. Eur. J. Mech., A/Solids, 15(3): 487-512. Casciaro, R., Cascini, L., 1982. A Mixed Formulation and Mixed Finite Elements for Limit Analysis. Int. J. for Numerical Methods in Engineering, 18: 211-243. Christiansen, E., 1980. Limit Analysis in Plasticity as a Mathematical Programming Problem. Calcolo, 17: 41-65. Christiansen, E., 1981. Computation of Limit Loads. Int. J. for Numerical Methods in Engineering, 17: 1547-1570. Cohn, M. Z., Maier, G., 1977. Engineering Plasticity by Mathematical Programming. Proc. of the NATO Advanced study Institute. Ontario. Dang Hung, N., 1983. Sur la Plasticité et le Calcul des États Limites par Éléments Finis. Thesis Doc. Esp. Université de Liége. Drucker, D. C., Greenberg, H. J., Prager, W., 1951. J. Appl. Mech, 18: 371. Feijóo, R. A., Taroco, E., 1981. Curso de Mecânica Teórica e Aplicada. LCC, CNPq. Frémond, M., 1980. Le Matériau Viscoplastique de Norton-Hoff. Curso na II Escola de Matemática Aplicada. Laboratório Nacional de Computação Científica. Rio de Janeiro.
  65. 65. 58 Frémond, M., Friaa, A., 1982. Les Méthodes Statique et Cinématique en Calcul à la Rupture et en Analyse Limite. Eur. J. Appl. Comp. Mech, 1(5): 881-905. Gao Yang, 1988. Panpenalty Finite Element Programming for Plastic Limit Analysis. Computers and Structures, 28(6): 749-755. Gaudrat, V. F., 1991. A Newton-Type Algorithm for Plastic Limit Analysis. Comp. Meth. In App. Mechanics and Engineering, 88: 207-224. Hodge, P. G., 1959. Plastic Analysis of Structures. New York. McGraw-Hill. Huh, H., Yang, W. H., 1991. A General Algorithm for Limit Solutions of Plane Stress Problems. Int. J. Solids Structures, 28(6): 727-738. Lubliner, J., 1990. Plasticity Theory. New York. Macmillan. Martin, J. B., 1975. Plasticity: Fundamentals and General Results. Cambridge. MIT Press. Onat, E. T., Prager, W., 1955. In: Proc. 1st Midwestern Conf. Solid. Mech. 40. Urbana. Panagiotopoulos, P.D., 1985. Inequality Problems in Mechanics and Aplications. Boston. Birkhaüser. Romano, G., Sacco, E., 1985. Convex Problems in Mechanics. In: Eds. Del Piero G. and Maceri F. Unilateral Problems in Structural Analysis 2. CISM Courses no. 304. Springer-Verlag, 279-297. Zouain, N., Herskovits, J., Borges, L. A., Feijóo, R. A., 1993. An Iterative Algorithm for Limit Analysis with Nonlinear Yield Functions. Int. J. Solids Structures. 30(10): 1397-1417.

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