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C
FUNCIÓNCUADRÁTICA
LICEO VILLA MACUL ACADEMIA
“Compromiso-Innovación-Excelencia”
3° MEDIO – Matemática Común
OBJETIVOS:
• Conocer y aplicar los conceptos
matemáticos asociados al estudio de la
función cuadrática.
• Graficar una función cuadrática,
determinando vértice, eje de simetría y
concavidad.
• Indicar las características gráficas de una
parábola a través del análisis del
discriminante.
• Determinar las intersecciones de la parábola
con los ejes cartesianos.
Contenidos
Función cuadrática
3 Intersección con el eje Y
4 Concavidad
5 Eje de simetría y vértice
6 Discriminante
1 Parábola
2 Intersección con el eje X
7 Dominio y Recorrido
Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Ejemplos:
y su gráfica es una parábola.
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2
con a =0; a,b,c  IR
PARÁBOLAS EN LA VIDA
COTIDIANA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y
de una recta fija llamada directriz.
1. Parábola
2. Intersección con eje X
Todos los puntos sobre el eje X son de la forma (x,0);
esto implica que para que se cumpla la condición, la
coordenada “y” debe ser igual a 0. Si la función cuadrática
es y = f(x) = ax2 + bx + c , podemos reemplazar y=0.
Entonces ax2 + bx + c =0 . Es decir, debemos resolver
esta ecuación para encontrar los valores de x.
Tu ya sabes resolver ecuaciones cuadráticas (las raíces o
soluciones x1 y x2 son las intersecciones con el eje x)
x1 x2
Ejemplo
Dada la función cuadrática
encontremos la intersección de esta parábola con el
eje x. Resolvemos la ecuación cuadrática haciendo
f(x) = 0
Los puntos de
intersección son
x1 = -2 y X2 = 0
Puntos coordenados
(-2,0) y (0,0)
3. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el
coeficiente c indica la ordenada del punto donde la
parábola intersecta al eje Y.
x
y
x
y
c
(0,C)
4. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el
coeficiente a indica si la parábola es cóncava
hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,
es cóncava hacia arriba
Si a < 0,
es cóncava hacia abajo
El valor de “b” en la ecuación permite saber el
movimiento horizontal de la parábola y “a” su
concavidad.
Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c
Entonces:
Si a>0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la derecha.
Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la izquierda.
Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la derecha.
Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la izquierda.
La importancia del valor de “a” y de “b”
Ej. f(x)=2x² - 3x +2
Ej. f(x)=x² + 3x - 2
Ej. f(x)=-3x + 4x – 1
Ej. f(x)=-x² - 4x + 1
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4),
es cóncava hacia arriba y está orientada hacia la derecha
respecto al eje Y.
x
y
Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a =1 ; b=-3 y c = -4.
(0,-4)
5. Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de
la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.
Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
2a 2a
V =
-b , f -b
4a
-b , 4ac – b2
2a
V =
-b
2a
x =
Ejemplo:
2·1
-2
x =
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y
c = - 8, entonces:
V = ( -1, f(-1) )
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-b
x =
-b , f -b
2a 2a
V =
 


f(x)
V = ( -1, -9 )
x = -1
Eje de simetría:
Vértice:
i) y =a(x-h)²
Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h
unidades y abre hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→) 2) y=-3(x-4)² (↓→)
Si y=ax² una función cuadrática cualquiera, entonces:
Comportamiento de la función de acuerdo a
“a”, “h” y “k”
x
y
x
y
ii) y =a(x+h)²
Significa que la función se movió a la izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo.
Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←) 2) y=-(x+1)² (↓←)
x
y
iii) y=a(x-h)² ± k
significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.
1) y=5(x-1)² - 4 (↑→↑) 2) y=-3(x-7)² + 6 (↓→↓)
iv) y=a(x + h)² ± k
Significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k
unidades hacia arriba o hacia abajo.
1) y=(x+6)² - 5 (↑←↑) 2) y=-5(x+3)² + 3 (↓←↓)
Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.
x
y
Si la parábola es abierta hacia
arriba, el vértice es un mínimo y
si la parábola es abierta hacia
abajo, el vértice es un máximo.
Por ejemplo:
¿Cuál es el gráfico de la función:
a) f(x)= (x – 1)2 – 6 b) f(x)= -(x + 1)2 + 2
-1
2
V(-1,2)
-6
1
V(1,-6)
El discriminante se define como:
Δ = b2 - 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la
parábola intersecta en dos puntos al eje X.
Δ > 0
6. Discriminante
Propiedad Intelectual Cpech
b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intersecta al eje X.
Δ < 0
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces
la parábola intersecta en un solo punto al
eje X, es tangente a él.
Δ = 0
 Dominio: El dominio de cualquier función cuadrática
siempre será IR.
Dom f = IR
 Recorrido: Dependerá de la concavidad de la parábola:
 Sí es cóncava hacia arriba, (a>0) es:
ó
 Sí es cóncava hacia abajo, (a<0) es:
ó
7. Dominio y recorrido
ACTIVIDADES DE REFUERZO
• Desarrolla las actividades propuestas en las
páginas 128 a 136 de tu texto.
• 142 (actividades de función cuadrática)
v , vi , vii ,
viii (1,2,3,4,8,10,11,16,17,18,20,22,
23,33,34,35,36,37,38,39,40)

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  • 1. C FUNCIÓNCUADRÁTICA LICEO VILLA MACUL ACADEMIA “Compromiso-Innovación-Excelencia” 3° MEDIO – Matemática Común
  • 2. OBJETIVOS: • Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. • Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad. • Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante. • Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos.
  • 3. Contenidos Función cuadrática 3 Intersección con el eje Y 4 Concavidad 5 Eje de simetría y vértice 6 Discriminante 1 Parábola 2 Intersección con el eje X 7 Dominio y Recorrido
  • 4. Función Cuadrática Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c Ejemplos: y su gráfica es una parábola. a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2 a = 2, b = 3 y c = 1 a = 4, b = -5 y c = -2 con a =0; a,b,c  IR
  • 5. PARÁBOLAS EN LA VIDA COTIDIANA
  • 6.
  • 7. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. 1. Parábola
  • 8. 2. Intersección con eje X Todos los puntos sobre el eje X son de la forma (x,0); esto implica que para que se cumpla la condición, la coordenada “y” debe ser igual a 0. Si la función cuadrática es y = f(x) = ax2 + bx + c , podemos reemplazar y=0. Entonces ax2 + bx + c =0 . Es decir, debemos resolver esta ecuación para encontrar los valores de x. Tu ya sabes resolver ecuaciones cuadráticas (las raíces o soluciones x1 y x2 son las intersecciones con el eje x) x1 x2
  • 9. Ejemplo Dada la función cuadrática encontremos la intersección de esta parábola con el eje x. Resolvemos la ecuación cuadrática haciendo f(x) = 0 Los puntos de intersección son x1 = -2 y X2 = 0 Puntos coordenados (-2,0) y (0,0)
  • 10. 3. Intersección con eje Y En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y x y c (0,C)
  • 11. 4. Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo
  • 12. El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento horizontal de la parábola y “a” su concavidad. Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c Entonces: Si a>0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la derecha. Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la izquierda. Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la derecha. Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la izquierda. La importancia del valor de “a” y de “b” Ej. f(x)=2x² - 3x +2 Ej. f(x)=x² + 3x - 2 Ej. f(x)=-3x + 4x – 1 Ej. f(x)=-x² - 4x + 1
  • 13. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4), es cóncava hacia arriba y está orientada hacia la derecha respecto al eje Y. x y Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a =1 ; b=-3 y c = -4. (0,-4)
  • 14. 5. Eje de simetría y vértice El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. x y Eje de simetría Vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad.
  • 15. Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: b) Su vértice es: a) Su eje de simetría es: 2a 2a V = -b , f -b 4a -b , 4ac – b2 2a V = -b 2a x =
  • 16. Ejemplo: 2·1 -2 x = En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces: V = ( -1, f(-1) ) a) Su eje de simetría es: x = -1 b) Su vértice es: V = ( -1, -9 ) 2a -b x = -b , f -b 2a 2a V =    
  • 17. f(x) V = ( -1, -9 ) x = -1 Eje de simetría: Vértice:
  • 18. i) y =a(x-h)² Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→) 2) y=-3(x-4)² (↓→) Si y=ax² una función cuadrática cualquiera, entonces: Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k” x y x y
  • 19. ii) y =a(x+h)² Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo. Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←) 2) y=-(x+1)² (↓←) x y
  • 20. iii) y=a(x-h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. 1) y=5(x-1)² - 4 (↑→↑) 2) y=-3(x-7)² + 6 (↓→↓)
  • 21. iv) y=a(x + h)² ± k Significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. 1) y=(x+6)² - 5 (↑←↑) 2) y=-5(x+3)² + 3 (↓←↓) Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola. x y
  • 22. Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.
  • 23. Por ejemplo: ¿Cuál es el gráfico de la función: a) f(x)= (x – 1)2 – 6 b) f(x)= -(x + 1)2 + 2 -1 2 V(-1,2) -6 1 V(1,-6)
  • 24. El discriminante se define como: Δ = b2 - 4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0 6. Discriminante Propiedad Intelectual Cpech
  • 25. b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0
  • 26. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es tangente a él. Δ = 0
  • 27.  Dominio: El dominio de cualquier función cuadrática siempre será IR. Dom f = IR  Recorrido: Dependerá de la concavidad de la parábola:  Sí es cóncava hacia arriba, (a>0) es: ó  Sí es cóncava hacia abajo, (a<0) es: ó 7. Dominio y recorrido
  • 28. ACTIVIDADES DE REFUERZO • Desarrolla las actividades propuestas en las páginas 128 a 136 de tu texto. • 142 (actividades de función cuadrática) v , vi , vii , viii (1,2,3,4,8,10,11,16,17,18,20,22, 23,33,34,35,36,37,38,39,40)