Seminário 1 - Biofísica

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  • Seminário 1 - Biofísica

    1. 1. TRANSPORTE PASSIVO Biofísica - 2010/1 Aluno: Pedro Taam Professor: Pedro Persechini Física MédicaReferências: Margarida, «Fisiologia»,3ªed. pp.117-125 Butkov, «Física Matemática», pp.301-303 Diomara, «Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis», 3ªed Griffiths, «Introduction to Eletrodynamics», 3ªed., tabela de identidades vetoriais O’Hanlon, «A User’s Guide to Vacuum Technology», cap.2.1 & 2.3; apêndice B.1 taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    2. 2. ConteúdoI - Campos vetoriais, potencial e gradiente de potencialII - Difusão, Lei de Fick e Movimento BrownianoIII - Força difusional, potencial osmótico, pressão osmótica, potencial eletroquímico, forçaeletrodifusional e força moventeIV - Potencial de equilíbrio e Lei de Nernst taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    3. 3. II - Campos vetoriais, potencial e gradiente de potencialII - Difusão, Lei de Fick e Movimento BrownianoIII - Força difusional, potencial osmótico, pressão osmótica, potencial eletroquímico, forçaeletrodifusional e força moventeIV - Potencial de equilíbrio e Lei de Nernst taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    4. 4. TransporteO transporte de substâncias entre pontos do organismo é condição sine qua non para amanutenção da vida.Do ponto de vista físico, podemos dividir os transportes em- Passivos - O organismo não realiza trabalho- Ativos - O organismo realiza trabalho taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    5. 5. Transporte passivoSabemos da mecânica básica que o trabalho relativo à variação da energia cinética de umamassa em queda livre é devido ao campo gravitacional.Pela conservação da energia, vetores em negrito, W = ∫F.dsNesse caso, F = m.g.A que se deve esse fato? taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    6. 6. Campo gravitacionalNo caso da massa em queda livre, o seu deslocamento s tem a mesma direção e sentido de g(de fato, s herda seu caráter vetorial de g).Quem é g, afinal?Sabendo que F = m.g, faz sentido pensar que, se dividirmos F por m teremos uma equaçãodo tipo campo, chamado aqui de T em função da posição. Se for multiplicada por uma massa mela nos dirá a força F exercida sobre uma massa (pontual) m em todo ponto (T portanto éfunção somente de r, vetor posição).Se F/m = T é um campo, precisamos rever um pouco do cálculo que a ele se aplica (cálculointegral e diferencial de funções de várias variáveis e/ou funções vetoriais). taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    7. 7. Cálculo vetorial - O pseudovetor NablaHá diversas formas interessantes de tomar derivadas de funções de várias variáveis. Uma delasé através de operadores diferenciais parciais.O operador diferencial mais fundamental é o pseudovetor Nabla.Em três dimensões e coordenadas cartesianas, cada uma das suas componentes é a derivadaparcial em relação àquela componente. Repare que não foi especificado o que estamosderivando. A forma de aplicar o operador nabla depende diretamente do objeto ao qual oestamos aplicando, bem como da informação que dele desejamos extrair. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    8. 8. Cálculo vetorial - O vetor GradienteGradienteResulta do operador nabla aplicado a um campo escalar. Indica a variação de uma grandezaescalar (função de várias variáveis) em função da posição. O gradiente de uma função nosindica as direções de crescimento dessa função, nas coordenadas escolhidas. A integral decaminho do ponto A ao ponto B num campo gradiente independe do caminho. Pela mesmarazão, a integral de caminho fechado vale 0. Isso só é possível porque um campo gradientetem um potencial (a função geratriz ou campo escalar). Uma outra forma de dizer isso é queseu rotacional vale zero. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    9. 9. Gradiente de potencialNum campo gravitacional clássico ou eletrostático (aqui tomados como exemplo por seremcampos centrais puramente gradientes) é conveniente definir:Sendo E e V funções de (r) (vetor posição medido da origem, considerando cargas pontuaisna origem ou simetria equivalente), o sinal - nos indica que, no infinito, tanto E quando V sãozero, o que condiz com o resultado experimental. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    10. 10. Cálculo vetorial - O pseudovetor* RotacionalRotacionalAplicado sobre um campo vetorial por produto vetorial nos dá a informação sobre as linhasfechadas daquele campo. Se um campo só tem linhas fechadas (i.e., o divergente desse campovale zero), podemos determinar o campo em qualquer ponto do espaço conhecendo apenasseu rotacional e um pouco de sua simetria (lei de Ampère na magnetostática). Outrainterpretação é o quanto a quantidade descrita pelo campo roda ou circula (daí o nome). Se ocampo descrever o escoamento de um fluido ou o campo de velocidades de um fluido, orotacional nos fala sobre a presença e localização de vórtices. Em mecânica, o rotacionaldescreve o atrito e as forças não conservativas.* Chama-se pseudovetor porque quando o sistema de coordenadas é girado, o rotacional gira acompanhando-o, mas quando é invertido (x -x, y -y, z -z) um vetor se invertiria, (v -v) enquanto um pseudovetor não. Como o rotacional não se inverte, é um pseudovetor. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    11. 11. Cálculo vetorial - O escalar DivergenteDivergenteAplicado sobre um campo vetorial por produto escalar. Indica a presença de fontes ousumidouros de alguma coisa. O divergente nos indica se algo está sendo criado (liberado) oudestruído (retido). Dito isso, o divergente de um campo também nos dá informações sobre aslinhas abertas desse campo. Se um campo só tem linhas abertas (i.e., se o rotacional dessecampo vale zero), dado o o divergente desse campo é possível determiná-lo completamente sesoubermos um pouco sobre sua simetria (lei de Gauss na eletrostática).Segundo o teorema (ou decomposição) de Helmholtz, todo campo vetorial pode ser escritoatravés da soma de outros dois: o gradiente de um escalar e o rotacional de um vetor. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    12. 12. Cálculo vetorial - O escalar LaplacianoLaplacianoSe aplicarmos um divergente sobre um campo vetorial e esse campo tiver, por sua vez,nascido de um gradiente aplicado a um escalar, podemos dizer que aplicamos um Laplacianosobre esse escalar. Em outras palavras, o Laplaciano é o divergente do gradiente.O Laplaciano de ƒ num ponto é proporcional à diferença do valor de ƒ no ponto e ao valormédio de ƒ na vizinhança desse ponto. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    13. 13. Campo elétricoPela lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico através de uma superfíciefechada é igual à carga contida nessa superfície dividida por uma constante que depende dosistema de unidades escolhido. Em outras palavras,Pela lei de Gauss associada ao teorema fundamental do cálculo sob a forma do teorema deGauss-Ostrogradsky (teorema do fluxo-divergência),Lembrando-se que,Podemos expressar essa equação em termos do Laplaciano, taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    14. 14. Gradiente de potencialQuando aplicamos o operador gradiente sobre um campo escalar (função de várias variáveis),temos como resposta um campo vetorial gradiente.Esse campo possui uma série de propriedades interessantes. O campo gradiente nos informaa direção de crescimento de uma função. Se a nossa função é a energia potencial, ou,simplesmente, o potencial associado a um campo, a variação ou o gradiente do potencial nosinforma quais as direções privilegiadas de movimento.A integral de caminho entre dois pontos desse campo vai nos informar, fisicamente, otrabalho realizado para realizar um deslocamento entre dois pontos do campo.Se o valor da integral for positivo (potencial do ponto de partida é menor que o do ponto dechegada), o transporte consumiu trabalho de uma força externa ao campo, portanto, foi ativo.Se o valor for negativo (potencial do ponto de chegada é menor do que o potencial do pontode partida), o transporte consumiu um trabalho igual ao da variação de potencial, trabalhoesse exercido pelo próprio campo, portanto trata-se de transporte passivo. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    15. 15. Gradiente de potencialDeve-se ser especialmente cuidadoso com o tratamento matemático do potencial, a fim de seevitar confusões com o sinal.É preciso ter em mente, antes de qualquer representação escrita, a idéia por trás do que seestá fazendo.Uma boa forma de nunca se perder o espírito prático e intuitivo da coisa é sempre lembrarque para subir o transporte é ativo, mas para descer o transporte é passivo. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    16. 16. Gradiente de potencialNum campo gradiente, integral feita sobre o caminho que liga dois pontos A e B dependeapenas do potencial em cada ponto, em outras palavras: taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    17. 17. Potencial logarítmicoSe o campo em questão for do tipo 1/r, que vai a 0 quando r ∞ e é um tipo de gradientebastante comum e especialmente importante para nossos interesses,o valor da integral será simplesmente a diferença entre os logaritmos nos pontos A e B, que,pelas propriedades básicas dos logaritmos, pode ser escrito como:Esse tipo de potencial denomina-se logarítmico. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    18. 18. Conservação da energiaNa ausência de forças externas, a tendência de toda a matéria é buscar o estado de menorenergia.Em geral, o estado de menor energia é também aquele de menor potencial.Por transporte passivo, a matéria se move na direção do mínimo do gradiente depotencial, para a região onde o potencial tende a zero (na verdade o mínimo do módulo dopotencial).Tal princípio é mais uma expressão da lei mais fundamental do universo: a conservação daenergia.(Imaginem o contrário: toda a matéria se move em direção ao maior potencial. Como não há um máximo finito para o módulo do potencial, toda amatéria buscaria o potencial infinito. Tal conceito é uma aberração física e não condiz com o que se observa experimentalmente.)A questão que se põe é: como a matéria se move nessa direção? taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    19. 19. III - Campos vetoriais, potencial e gradiente de potencialII - Difusão, Lei de Fick e Movimento BrownianoIII - Força difusional, potencial osmótico, pressão osmótica, potencial eletroquímico, forçaeletrodifusional e força moventeIV - Potencial de equilíbrio e Lei de Nernst taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    20. 20. DifusãoO fluxo da matéria (j) em direção à região de menor energia e em decorrência da agitaçãotérmica, chamado Difusão, foi descrito em 1855 por Adolph Fick, também inventor daslentes de contato. A equação linear que o descreve é a chamada Lei de Fick,onde ρ é a densidade em função da posição e D é o coeficiente de difusão, intrínseco ao meio.A equação da continuidade (advinda da conservação das massas) nos diz que,Ou seja, a variação da densidade da matéria mais a matéria que surge ou desaparece é igual azero. Num sistema biológico, a densidade em função da posição pode ser encarada como aconcentração de uma substância num ponto. Não existe matéria surgindo nemdesaparecendo, apenas sendo retida ou liberada. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    21. 21. DifusãoNo caso que nos interessa, os sistemas biológicos, por complexos que sejam, as soluções dalei de Fick terão a forma logarítmica.É muito importante entender que a natureza logarítmica das soluções da lei de Fickadvém de uma função potencial do tipo 1/r, isto é, que cai a zero no infinito.Existem semelhanças fundamentais com o eletromagnetismo e a gravitação. Se um cristalde sal é depositado num recipiente contendo água destilada, o gradiente de concentração serámáximo nos pontos próximos ao cristal (r vai a 0) e mínimo nos pontos mais distantes docristal.Existe uma pequena aberração matemática envolvida, pois tanto a função 1/r quanto ln(r)não estão definidas no ponto em que r tende a zero. Essa aberração tem origem na nossaaproximação de que o cristal é pontual. Em geral, não teremos interesse em calcular opotencial nesses pontos, então isso não deve nos atrapalhar. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    22. 22. DifusãoJá sabemos que toda a matéria se move em direção à posição que faça mínima sua energiapotencial, sem receber trabalho externo.Da mesma forma, para levar a matéria de um lugar de menor potencial para um de maiorpotencial, a energia que devemos aplicar é exatamente igual à variação do potencial.Ter isso em mente facilitará tudo o que devemos aprender no curso de Biofísica.A forma com que a matéria se distancia, isto é, a trajetória de cada partícula e o tempo quedemora para percorrer uma certa distância, são regidos pelas leis do movimento Browniano,descrito em 1827 por Robert Brown, botânico, estudado em 1905 por Albert Einstein, físico edemonstrado experimentalmente em 1908 por Jean Perrin, químico, físico e político francês. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    23. 23. Movimento BrownianoA velocidade com que uma partícula se distancia de um ponto depende do tempo, datemperatura e da mobilidade da partícula naquele meio.A dificuldade da modelagem matemática do movimento Browniano é que a trajetória écompletamente aleatória e que, estatisticamente, o deslocamento é nulo. Maisprecisamente:I - Num dado instante, a soma das velocidades vetoriais de todas as partículas seanula (não há movimento conjunto) ;II - Dada uma partícula ao curso do tempo, o baricentro de sua trajetória é o pontoinicial, ou seja, ela realiza deslocamentos «em torno» desse ponto.É difícil, portanto, caracterizar tal movimento. A solução foi encontrada por LouisBachelier, e apresentada em sua tese defendida em 29 de março de 1900. Ele demonstra queo que caracteriza o movimento não é a média aritmética das posições <X> mas a médiaquadrática. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    24. 24. Movimento BrownianoSe x(t) é a distância da partícula à sua posição inicial no instante t, então:que nos retorna:onde ‘‘d’’ é a dimensão do problema, ‘‘D’’ o coeficience de difusão ( o mesmo da Lei deFick!) e t o tempo. Por fim, a média da posição da partícula num instante t em umadimensão vale:Como será a aparência disso? taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    25. 25. Movimento BrownianoNum líquido Num gás taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    26. 26. Movimento Browniano Bactérias! (num líquido) taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    27. 27. IIII - Campos vetoriais, potencial e gradiente de potencialII - Difusão, Lei de Fick e Movimento BrownianoIII - Força difusional, potencial osmótico, pressão osmótica, potencial eletroquímico,força eletrodifusional e força moventeIV - Potencial de equilíbrio e Lei de Nernst taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    28. 28. Força DifusionalNos modelos biológicos é freqüentemente mais conveniente definir e quantificar adifusão em termos da «força difusional».Seou seja, o trabalho realizado é a integral da força exercida sobre o caminho percorrido, etambém seou seja, o trabalho realizado é igual à diferença do potencial nos pontos de saída e chegada edepende unicamente desses pontos, podemos definir o módulo da força difusional como oresultado numérico da integral de W dividido pela distância entre A e B. Seu caráter vetorial(direção e sentido) pode ser herdado do vetor que sai de A e vai pra B.A força difusional que age sobre um soluto localizado num ponto P é simplesmente ogradiente de potencial químico naquele ponto vezes a concentração de soluto em P. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    29. 29. Potenciais aplicáveis ao sistemaA teoria do potencial apresentada aqui vale para todo e qualquer potencial existente,desde que apresente as condições necessárias. Em matemática, falaríamos sobre umafunção contínua, infinitamente derivável (ou pelo menos duas vezes), suave por partes, sobreintegrais que devem convergir, sobre número finitos de pontos descontínuos ou singulares,enfim...Se assumirmos que todos os campos aqui tratados cumprem as condições necessáriaspara que a teoria a eles seja aplicada, ou, melhor, se assumirmos que esta é uma boaaproximação da realidade dentro de nossa esfera de interesses,Reduzimos então qualquer problema, simplesmente, a encontrar o campo que nosinteressa dentro do problema biológico envolvido, ou seja, indentificar nossas variáveis ecomo elas se relacionam entre si.Em outras palavras, uma vez que identificamos o(s) potencial(is) que se aplica(m) aosistema, a resolução é trivial. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    30. 30. Potenciais aplicáveis ao sistemaSão dois os principais potenciais que nos interessam aqui:I - Potencial osmótico (químico)II - Potencial eletroquímicoO potencial osmótico se aplica ao tranporte de qualquer substância (que possa sertransportada passivamente, em geral por membranas e poros, o que na maioria dos casosnos restringe a moléculas pequenas, principalmente íons).O potencial eletroquímico se aplica apenas a íons e depende tanto da carga do íonquanto do campo elétrico criado por todas as outras cargas presentes no meio. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    31. 31. Potencial químico ou osmóticoO potencial osmótico (químico) depende de todos os solutos presentes num meio e dacapacidade de transporte de cada um deles no meio.Para falarmos do potencial químico, precisamos definir o conceito de osmolaridade,OSMOLARIDADE = Número de moles de partículas osmoticamente ativas volume em litros da soluçãoQuanto mais saturado (i.e., quanto maior for sua osmolaridade) estiver o meio, maior seráa força que impele todo o solvente em direção à área de menor concentração.Antes de definir o potencial químico propriamente dito, vamos falar de algumas ferramentasnecessárias para deduzi-lo e defini-lo formalmente. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    32. 32. Variáveis de estado, função de estado e entalpiaEm termodinâmica, o estado de um sistema é caracterizado por um certo número deparâmetros chamados variáveis de estado: volume, temperatura, pressão, quantidade dematéria, etc.Uma função de estado é uma função de variáveis de estado que descreve os estados deequilíbrio de um sistema termodinâmico. Fisicamente, essa função possui a propriedadede não depender do estado de equilíbrio no qual se encontra o sistema, qualquer que tenhasido o caminho que o sistema percorreu para chegar a esse estado. Durante umatransformação entre dois estados de equilíbrio, a variação de uma função de estado nãodepende, então, do caminho percorrido pelo sistema durante a transformação, masunicamente dos estados de equilíbrio final e inicial.A entalpia (do prefixo en- e do grego thalpein  : «esquentar») é uma função de estado datermodinâmica, cuja variação nos permite exprimir a quantidade de calor utilizada duranteuma transformação isobárica de um sistema termodinâmico durante a qual o sistemarecebe ou fornece um trabalho mecânico. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    33. 33. Potencial químicoSe a variação da entalpia nos permite exprimir a quantidade de calor utilizada numprocesso isobárico que realiza ou recebe trabalho, é natural pensar que esse calor veio deou vai para algum lugar.Esse pensamento, que não é senão uma forma intuitiva da conservação da energia, nos levanovamente ao conceito de potencial.O calor recebido ou doado pelo sistema ou estava armazenado por ligações químicas(que se rompem ou transformam num processo exotérmico) ou vai ser armazenado pelasmesmas ligações (que se formam ou transformam por um processo endotérmico). Quantomaior for a quantidade de gás por unidade de volume (densidade, nesse caso, ouconcentração, em outros casos), maior a quantidade de moléculas, por conseguinte deligações químicas e por conseguinte de energia armazenada.Sendo o calor é armazenado ou originário de ligações químicas, pela conservação daenergia nos convém definir o potencial químico como a variação da entalpia no sistemaem relação à quantidade de matéria que o constitui (que é onde a energia em forma decalor vai ser armazenada). taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    34. 34. Potencial químicoO potencial químico é definido, então, como a derivada parcial da entalpia livre dosistema em relação à quantidade de matéria que o constitui, mantendo entropia,temperatura e pressão constantes:A função entalpia livre G é uma função de estado,logo, sua derivada total é exata e igual à soma das diferenciais parciais tomadas emrelação a cada variável envolvida: taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    35. 35. Potencial químicoPara pressão e temperatura constantes, temos uma equação mais simples,Aplicando-se a equação dos gases perfeitos: , ou seja, (para 1 mol),a variação da entalpia, então, do ponto inicial pº a um ponto p arbitrário taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    36. 36. Potencial químicoPassando gº para o outro lado, temos:que é a expressão da diferença de potencial químico entre o ponto inicial pº e umponto p arbitrário em função da temperatura e pressão do meio. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    37. 37. Osmose e Pressão osmótica«Osmose» é um termo criado em 1854 pelo químico escocês Thomas Graham a partir dogrego ὠσµός que significa «dirigido» para designar a força que tende a equilibrar asconcentrações moleculares.A osmose é definida por sua evidência experimental como o fenômeno de difusão demoléculas de solvente (água, em geral) através de uma membrana semi-permeável(permeável somente à água) que separa duas soluções de concentrações diferentes. Apassagem de líquido de um compartimento a outro vai criar uma diferença de pressãohidrostática que vai compensar exatamente a diferença de pressão osmótica.A pressão osmótica é, então, definida como a pressão mínima que deve ser aplicada paraimpedir a passagem de um solvente de uma solução menos concentrada (hipotônica)para uma solução mais concentrada* (hipertônica) através de uma membrana a elepermeável, desconsiderando a pressão osmótica exercida pelas proteínas (chamada de pressãooncótica).*- Notar que não estamos na direção contrária ao gradiente de potencial: minimizamos a energia potencial ao diminuir a concentração do meiohipertônico. De fato, o potencial iguala a zero quando os dois meios ficam isotônicos, ou seja, têm a mesma osmolaridade. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    38. 38. Pressão osmóticaA pressão osmótica é quantificada pela lei de Van t’Hoff:onde,∏= pressão osmóticaR = constante dos gases perfeitosC = osmolaridadeV = volumeƒs= fração molar taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    39. 39. Potencial eletroquímicoSe o soluto que estamos estudando tiver carga total ≠ 0, ou seja, se for um íon, além dopotencial químico teremos um potencial elétrico a ele associado.O potencial eletroquímico é uma grandeza termodinâmica (em unidades de joules pormoles) equivalente ao potencial químico, mas tendo em conta espécies carregadas. Nãodeve ser confundido com o potencial elétrico medido em volts. A noção de potencialeletroquímico é útil para os processos químicos envolvendo a difusão, especialmente ofluxo de íons através de uma membrana. O potencial eletroquímico é definido como:onde:µi = potencial químicoziFϕj = potencial eletrostático ou potencial de Galvani (valência do íon vezes constante deFaraday vezes potencial elétrico) taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    40. 40. Força eletrodifusionalAnalogamente ao potencial eletroquímico, a força eletrodifusional é a soma da forçadifusional com a força elétrica. Sua forma simplificada é chamada de força movente. Fed = R.T.(1/Cs).(dCs/dx) + zF.(dV/dx)onde,R = constante dos gases perfeitosT = temperaturaCs = osmolaridadez = valência do íonF = constante de Faraday ( carga elementar vezes número de avogadro), taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    41. 41. IVI - Campos vetoriais, potencial e gradiente de potencialII - Difusão, Lei de Fick e Movimento BrownianoIII - Força difusional, potencial osmótico, pressão osmótica, potencial eletroquímico, forçaeletrodifusional e força moventeIV - Potencial de equilíbrio e Lei de Nernst taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    42. 42. Potencial de equilíbrioQuando a força eletrodifusional é igual a zero, isto é, quando a força resultante da somavetorial das forças eletrostáticas e difusionais é igual a zero temos o chamado potencial deequlílbrio.Nesse estado de equilíbrio, as forças eletrostáticas e difusionais têm mesmo módulo edireções inversas.Cada íon tem um potencial de equilíbrio particular, que pode ser calculado pela Lei deNernst. taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    43. 43. Lei de NernstA lei de Nernst nos permite calcular o potencial de equilíbrio de membrana de cadaíon separadamente:onde,R = constante dos gases perfeitosT = temperatura[I]A = concentração do íon no meio externo[I]B = concentração do íon no meio internoz = valência do íonF = constante de Faraday ( carga elementar vezes número de avogadro), taam@if.ufrj.br Pedro Taam
    44. 44. Agradecimentos taam@if.ufrj.br Pedro Taam

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