1.
1.2. Equações do tipo: cos x = a
Ficha de trabalho em grupo
1. A equação cos x =
√
2
2
tem duas soluções no intervalo [00
; 3600
]. Qual é a amplitude
dos ângulos x tais que cos x é
√
2
2
?
2. A equação cos x = −
√
2
2
tem duas soluções no intervalo [0; 2π]. Qual é a amplitude
dos ângulos x tais que cos x é −
√
2
2
?
3. Considere a equação cos x = a, com x ∈ [0; 2π] . Esboce os círculos trigonométricos
que traduzem as condições dadas nas alíneas abaixo e, diga os casos possíveis que se
podem verificar nas soluções da equação em cada alínea.
a) Com o valor de a negativo (−1 < a < 0).
b) Com o valor de a positivo (0 < a < 1).
c) Com o valor de a inferior a −1 (a < −1) ou superior a 1 (a > 1).
d) Com o valor de a igual a −1 ou 1 (a = −1 ∨ a = 1).
Respostas esperadas:
1.
10
Passo: cos x =
√
2
2
⇔ cos x = cos 450
, 450
é uma solução.
20
Passo: Marcar os pontos no círculo trigonométrico x = 450
e x = 3600
− 450
= 3150
30
Passo: x = 450
∨ x = 3150
. Logo, S = {450
; 3150
}.
1

2.
2.
10
Passo: cos x = −
√
2
2
⇔ cos x = cos 3π
4
, 3π
4
é uma solução.
20
Passo: Marcar os pontos no círculo trigonométrico x = 3π
4
e x = 2π − 3π
4
= 5π
4
.
30
Passo: x = 3π
4
∨ x = 5π
4
Logo, S =
{3π
4
; 5π
4
}
3.
2

3.
INSTITUCIONALIZAÇÃO
Seja a = cos α, com a ∈ [−1; 1]
A equação cos x = cos α tem duas soluções no intervalo [0; 2π].
• Se cos x > 0 temos: x = α ou x = 2π − α, onde 0 ≤ α ≤ π
2
.
• Se cos x < 0 temos: x = α ou x = 2π − α, onde π
2
≤ α ≤ 3π
2
.
De um modo geral, para resolver uma equação do tipo cos x = a, procede-se do seguinte
modo:
10
: Determinar o ângulo α (com ou sem ajuda da calculadora);
20
: No circulo trigonométrico assinala-se α e 2π − α;
30
: Escrever-se em radianos ou em graus as soluções da equação.
3