3. INTEGRACION NUMERICA
La integración numérica se basa en la interpretación de
la integral como área encerrada bajo la curva.
La integración numérica permite evaluar la integral
definida de una función continua en un intervalo
cerrado con la exactitud deseada.
El método de integración numérica basado en Newton-
Coutes, consiste en el ajuste de un polinomio a un
conjunto de puntos y luego, integrarlos. 1
4. REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio es uno de los métodos mas
utilizados para calcular aproximaciones numéricas de
las integrales definidas.
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas
cerradas de la integración de Newton Cotes.
2
5. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación
es de primer grado:
(1)
Tal que:
(2)
3
6. El área bajo esta línea recta es una aproximación de la
integral f(x) entre los límites a y b:
(3)
El resultado de la integración es la regla del trapecio:
(4)
4
7. EJEMPLO
Integrar numéricamente la siguiente función desde a=0
hasta b=0.8:
Solución:
Evaluar la función en los límites:
1.
f(0)=0.2
f(0.8)=0.232
Aplicando la formula (4) de los trapecios:
2.
9
8. ALGORITMO
Integra aproximadamente f(x) en el intervalo [a, b]
aplicando la formula del trapecio con n subintervalos.
Dividimos el intervalo a,b en n subintervalos de igual
1.
longitud.
Aproximamos en cada subintervalo, la función f(x) por
2.
una recta
Entonces aproximamos el área que hay entre a y b por
3.
la suma de las áreas de los trapecios. (Ver figura 1)
Evaluamos la función en los extremos de los
4.
subintervalos
Aplicar la regla de los trapecios
5. 5
10. ERROR DE LA REGLA DEL TRAPECIO
Una estimación para el error de truncamiento local de
una sola aplicación de la regla trapezoidal es:
(2)
donde está en algún lugar en el intervalo de a a b. La
anterior ecuación indica que si la función sujeta a
integración es lineal, la regla del trapecio será exacta.
(Ver figura 2)
Para funciones con derivadas de segundo orden y de
orden superior, puede ocurrir algún error 7
