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1. “Año de la Promoción de la Industria Responsable y del
Compromiso Climático”
14 de enero de
2014
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TEMA: TEORIA DE POISSON
 ALUMNAS:
 Ariza Espinoza, Gisela
 Huanca Alarcón, Gabriela
 Jaimes Loarte, Stefany
 PROFESOR:
 Luis Daniel Mejía Gutierrez
 Ciclo: IV
 Aula: 301
 Turno: Noche
 Año:
2014

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Compromiso Climático”
14 de enero de
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DEDICATORIA
Quiero dedicarle este trabajo
A Dios que me ha dado la vida y fortaleza
para terminar este trabajo,
A mis Padres por estar ahí cuando más los necesité.

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Compromiso Climático”
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INTRODUCCION DE PROBABILIDAD
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que
los resultados observados son diferentes aunque las
condiciones iniciales en las que se produce la experiencia
sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas
veces resultará cara y otra cruz... Estos fenómenos,
denominados aleatorios, se ven afectados por la
incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es
poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..."
hacen referencia a esta incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para
modernizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra
parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la
recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la
probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad
de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas.
Debido al importante papel desempeñado por
la probabilidad dentro de la estadística, es necesario
familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el
objetivo del presente tema.

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PROBABILIDAD
CONCEPTO
Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de
medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o
experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada
en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del
siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos
anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado
importantes contribuciones a su desarrollo.
La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias
preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces
se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea
el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,
ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca,
y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más
sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual
probabilidad de ocurrir.
Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran
favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n.

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TEORIA DE POISSON
En teoría de la probabilidad y la estadística, la distribución de Poisson es una
distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de que un
determinado número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo
y/o espacio si estos eventos se producen con una tasa media conocida e
independientemente del tiempo desde el último evento. La distribución de
Poisson también puede ser utilizado para el número de eventos en otros
intervalos especificados tales como la distancia, área o volumen.
Por ejemplo, supongamos que alguien normalmente recibe 4 piezas de correo
por día en promedio. Habrá, sin embargo, una cierta extensión: a veces un
poco más, a veces un poco menos, de vez en cuando nada en absoluto.
Teniendo en cuenta sólo la tasa media, durante un cierto período de
observación, y suponiendo que el proceso, o la mezcla de los procesos, que
produce el flujo del evento es esencialmente aleatoria, la distribución de
Poisson especifica qué tan probable es que el recuento será 3, o 5 , o 10, o
cualquier otro número, durante un período de observación. Es decir, que
predice el grado de propagación en torno a una tasa media conocida de
ocurrencia.
La derivación de la sección de distribución de Poisson muestra la relación con
una definición formal.
Antecedentes históricos de la distribución de Poisson fue descrito por
Gullberg
PROPIEDADES
La función de masa o densidad de la distribución de Poisson es
donde
 k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la
probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
 λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se
espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si

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el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos
interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo
de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ =
10×4 = 40.
 e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con
distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior
son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una
interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la
distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-
ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no
entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los
símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero
positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor
esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente
divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de
parámetro λ0 a otra de parámetro λ es
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.
3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de
Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de
Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:
X1 ~ P(λ = λ1) y X2 ~ P(λ = λ2)

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y definimos Z = X1 + X2, entonces,
Z ~ P(λ = λ1 + λ2)
Características de la Distribución de Poisson
Un modelo de probabilidad de Poisson tiene las siguientes características:
1. El espacio muestra se genera por un número muy grande (puede
considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de
probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por
esta razón, a la distribución de Poisson suele llamársele de eventos raros. Las
repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos
de un intervalo de tiempo o espacio.
2. El número de éxitos en el intervalo li es ajeno al número de éxitos en el
intervalo lk, por lo que li Ç lk = f
3. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del
intervalo es cero.
4. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante l, que no
cambia de intervalo a intervalo.
EJEMPLOS:
 Una empresa que se dedica a crear alimentos transgénicos experimenta
problemas con una plaga llamada gusano del maíz. El examen de 5000

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mazorcas seleccionadas al azar reveló que se encontraron en total 3500
gusanos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mazorca seleccionada al azar no
tenga gusanos?
b) Desarrolla una distribución de probabilidad de Poisson para este
experimento.
a) p (x = 0) = 0.4966, que se encuentra de:
μ = 3500 / 5000 = 0.7
Se utilizan las tablas de distribución de probabilidad de Poisson, haciendo
referencia a una μ = 0.7 y una X = 0
b)
Número de éxitos
x
Probabilidad de ocurrencia
P (x)
0 0.4966
1 0.3476
2 0.1217
3 0.0284
4 0.0050
5 0.0007
6 0.0001
Una representación gráfica de esta distribución de probabilidad es la siguiente:

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En resumen, la distribución de Poisson es parte del grupo de distribuciones
discretas. Para aplicarla, n debe ser grande y p debe ser pequeña. Todo lo que
se necesita para construir una distribución de Poisson es μ, que es el número
promedio de éxitos durante un intervalo específico. μ se calcula multiplicando
n por p.
 Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son
las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día
dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo
que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
 = 6 cheques sin fondo por día
 = 2.718
b)
x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan
al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5 6
Probabilidad
Número de gusanos
Distribución de probabilidad de Poissin para μ =
0.7
133920
24
0024801296
4
71826
64
64
.
).)((
!
).()(
),x(p 



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 = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en
dos días consecutivos
Nota:  siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra
forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
 En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico
continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto.
Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3
minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más
una imperfección en 15 minutos.
Solución:
b) a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en
la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
 = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en
la hojalata
c) b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en
la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
 = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la
hojalata
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416
d) c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en
la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.
 = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en
la hojalata
1049530
3628800
00000615101019173646
10
718212
1210
1210
.
).)(.(
!
).()(
),x(p 




3293070
1
548845060
1
718260
601
601
.
).)(.(
!
).().(
).,x(p
.











!
).)((
!
).()(
),,x(p)....etc,,,x(p
1
71821
0
71821
111011432
110


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= 0.0498026 + 0.149408
= 0.1992106
 Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy
peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco
accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido
conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en
carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4
accidentes en un mes determinado.
Aplicando la fórmula anterior:
P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370
P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425
P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042
P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las
probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a :
P(0) = 0.00674
P(1) = 0.03370
P(2) = 0.08425
P(3) = 0.14042
P(3 o menos) = 0.26511


!
).()(
!
).()(
),x(p),x(p),,x(p
1
71823
0
71823
3130310
3130


12. “Año de la Promoción de la Industria Responsable y del
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Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511
entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 =
0.73489.
La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.
Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe
cumplir con ciertas condiciones como :
n=>20
p=<0.05