Para resolver este problema debemos analizarlo como un problema de vectores:
- La corriente tiene una velocidad de 0,50 m/s hacia el este. Este es un vector.
- El guardavidas nada a 1,5 m/s. Este también es un vector.
- Para llegar lo más rápido posible al joven en peligro, el guardavidas debe nadar en la dirección opuesta a la corriente. Es decir, la suma de los vectores corriente y velocidad de nado debe apuntar en línea recta hacia el joven.
Si analizamos las posibles pos
Representación y expresiones analíticas de magnitudes
Vectores en física
1.
2. VECTORES Y ESCALARES
Tipos de Magnitudes:
Magnitudes escalares: Magnitudes vectoriales:
Son las que se caracterizan mediante Involucran un valor numérico y una
números reales en escala adecuada dirección, de modo que no se pueden
Tienen módulo, unidad y no poseen representar de forma completa por un
dirección número real.
Ejemplos: 30 ºC (temperatura), 50 Kg Posee magnitud como dirección.
(masa), 2 horas (tiempo), etc. Se denota con una K.
Ejemplos: Fuerza, velocidad, aceleración y
desplazamiento.
Cuando una partícula se mueve de A a B a lo
largo de una trayectoria arbitraria
representado por una línea punteada, su
desplazamiento es una cantidad vectorial
indicada por la flecha dibujada de A a B
3. VECTORES Y ESCALARES
Vector: Es un segmento de recta orientado A B
y dirigido, que tiene origen y un extremo. ORIGEN EXTREMO
Elementos:
O Dirección F = 4 Nw
Punto de
aplicación Módulo Sentido
1.- Módulo: Queda representado por la longitud del segmento que contiene el
vector que representa
2.- Punto de aplicación u origen: es el punto donde se considera aplicada la
magnitud a quien el vector representa.
3.- Dirección: representa la dirección de la recta que contiene al vector. Puede ser
horizontal, vertical, inclinada.
Sentido: esta indicada por la punta de la flecha colocada al extremo del vector.
Pueden ser: hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha.
4. VECTORES Y ESCALARES
Igualdad de Vectores: “Dos vectores A y B pueden
definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en
la misma dirección”, es decir que:
A=B ↔ A = B
Suma de Vectores: Cuando dos o más vectores se suman todas deben tener las
mismas unidades”. Ejemplo: no se pude sumar un vector velocidad a un vector
desplazamiento.
V + d no se puede realizar
Reglas para sumar dos vectores por métodos geométricos:
Regla del triángulo: Para sumar un vector B al vector A, se dibuja
primero el vector A, con su magnitud representada en una escala
adecuada sobre un papel gráfico.
Luego se dibuja el vector B a la misma escala con su origen empezando
desde el punto de A.
Finalizando uniendo el origen del A con el extremo B
5. VECTORES Y ESCALARES
Suma de varios vectores:
Si tenemos cuatro vectores A, B, C, D,
realizar su suma
Regla de adición por el paralelogramo:
En esta construcción los orígenes de los dos
vectores A y B están juntos y el vector
resultante R es a diagonal de un
paralelogramo formado con A y B como sus
lados
Ley conmutativa de la suma:
A + B = B + A
6. VECTORES Y ESCALARES
Ley asociativa:
Si tres o más vectores se suman, su total es
independiente de la manera como se
agruparon los vectores individuales
Negativo de un vector:
El negativo de un vector A se define como el A
vector que al sumarse a A produce cero para la
-A
suma vectorial. Es decir A + (-A) = 0
Los Vectores A + (-A) tiene la misma magnitud
pero apuntan en sentido opuesto
Sustracción de vectores:
La sustracción de vectores emplean la
definición del negativo de un vector.
Definimos la operación A - B como el
vector –B sumando al vector A
7. VECTORES Y ESCALARES
Descomposición y suma de vectores es su forma analítica:
El método geométrico de suma de vectores nos es muy útil cuando tratamos con vectores
en tres dimensiones, inclusive en el caso de dos dimensiones a menudo es conveniente.
Otra forma de sumar vectores es de forma analítica, que implica descomponer vectores en
sus componentes con respecto a un sistema coordenado.
A = Ax + Ay
Ax = A Cos θ tag θ = Ay / Ax
Ay = A Sen θ
θ= arctag Ay A = Ax2 + Ay2
Ax
Coordenadas polares:
x = r cos θ y = r sen θ
tag θ = y / x r= x2 + y2
8. VECTORES Y ESCALARES
Vector en tres dimensiones:
V = ( Vx, Vy, Vz )
Se puede realizar analíticamente y geométricamente, como: Z
Componentes geométricos: módulo y ángulo: Y
Módulo V = Vx2 + Vy2 + Vz2
X
Si tenemos el siguiente vector
Z
θ V
Y
φ
X
Vz = V Cos θ Vx = V Sen θ Cos φ Vy = V Sen θ Sen φ
9. VECTORES Y ESCALARES
Vector en tres dimensiones: Cuando descomponemos un vector en sus componentes
algunas veces es útil introducir un vector de longitud unitaria en una dirección
determinada.
a
Ejemplo: a Asi el vector a puede escribirse
por ejemplo como:
Ua U=1
a = Ua a
A menudo es conveniente emplear vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas
escogidos.En el sistema de coordenadas rectangulares ordinariamente se emplean los símbolos
especiales i, j y k, para vectores unitarios en las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z
respectivamente
ax i, ay j , az k Componentes Vectoriales
ax i, ay j , az k Cantidades Vectoriales
10. VECTORES Y ESCALARES
Operaciones de vectores:
Suma y Resta:
Va = ( Ax , Ay, Az)
Vb = (Bx , By, Bz)
Va + Vb = ( Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)
Va - Vb = ( Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)
Ejemplo:
V1 = ( 3, -2, 1) unidades
V2 = ( 4, 5, -3) unidades
V1 + V2 = ( 7, 3, -2) unidades
V1 - V2 = ( -1, -7, -4) unidades
11. VECTORES Y ESCALARES
Multiplicación de vectores:
Tipos:
1.- ESCALAR . VECTOR = VECTOR
2.- VECTOR . VECTOR = ESCALAR (PRODUCTO ESCALAR)
3.- VECTOR x VECTOR = VECTOR (PRODUCTO VECTORIAL)
Producto de un Vector por un escalar:
El producto de un escalar K por un vector A se escribe K.A y se define un nuevo vector
cuya magnitud es K, veces mayor que la magnitud de A.
y
Ejemplo:
K.A
4 ( 3, 5, -2 ) = ( 12, 20, -8 )
Ay
A
Ax y
12. La velocidad es una magnitud vectorial, no alcanza
con decir que se mueve un auto a 45 km/h. (eso es el
módulo!!)
El auto puede venir hacia ti
O el auto puede alejarse de ti
13. En ambos casos la dirección es horizontal, pero el sentido es
diferente. En el caso de arriba el sentido es hacia la derecha y
en el de abajo es hacia la izquierda.
El módulo de la velocidad en ambos es de 45 km/h
14. La fuerza es una interacción entre por lo
menos dos cuerpos. No alcanza con decir que
Juan le hizo una fuerza de 400N a un
auto….esa fuerza la puede ejercer en
diferentes direcciones y sentidos!!
15. Siempre que estés hablando de una magnitud
vectorial debes de dar;
- Módulo.
- Dirección.
- Sentido.
- Punto de aplicación.
16.
17. Ejercicio
Un río fluye de sur a norte a 5.0 km/h. En
este río, una lancha va de este a oeste,
perpendicular a la corriente, a 7.0 km/h.
Vista por una águila suspendida en reposo
sobre la ribera, ¿que tan rápido y en que
dirección viaja la lancha?
18. Lo primero es realizar un bosquejo o dibujo de la situación.
Toma un papel y un lápiz , lee la letra del ejercicio y realiza el
bosquejo.
En este momento puedes hacerte trampa y
avanzar en la diapositiva, ES COMO
HACERTE UNA TRAMPA AL SOLITARIO!!!!
19.
20. Lo primero es ubicar los puntos
cardinales, en nuestro sistema de
referencia.
Luego debemos de indicar la velocidad
del agua y de la lancha.
Un río fluye de sur a norte a 5.0 km/h.
La lancha va de este a oeste,
perpendicular a la corriente, a 7.0 km/h
21. El río fluye de sur a norte a 5.0 km/h.
La lancha va de este a oeste a 7,0km/h.
Análisis: Mientras la lancha avanza hacia el oeste, el río la lleva levemente hacia el norte.
¿Cómo determinamos la velocidad de la lancha?
Lo que debemos hacer es sumar los vectores de velocidad. La velocidad final de la lancha es la
suma de la velocidad del río más la velocidad de la lancha. A esa velocidad final los marinos la
llaman velocidad de deriva.
En lenguaje de ecuaciones:
El resultado final NO es sumar 7,0km/h + 5,0km/h …. ESTOS SON
VECTORES!!!!!!!!!!!!!!!!! Tienen módulo, dirección, sentido y punto de
aplicación.
LEER CONCEPTO DE VECTOR RESULTANTE
22. Trazamos las paralelas a cada uno de los
vectores.
Luego desde el punto de unión de los vectores
trazamos un vector sobre la diagonal, hasta la
intersección de las paralelas trazadas
anteriormente.
Ese es el vector resultante (Velocidad de
deriva)de sumar la velocidad de la lancha
con la velocidad del río .
Ahora vamos a determinar el módulo de esa
velocidad de deriva….
23. Queremos obtener el módulo del vector resultante, para eso miremos el dibujo una vez más y
observemos que hay dos triángulos rectángulos. Como tenemos triángulos rectángulos
podemos usar al teorema de Pitágoras y determinar el módulo (valor) de la velocidad de deriva.
Elegimos un triángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras.
Nosotros eligiremos el triángulo gris.
24. El teorema de Pitágoras dice que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los catetos al cuadrado.
En una ecuación:
Observando nuestro dibujo los
catetos son las velocidades del río y
de la lancha, y la hipotenusa es la
velocidad de deriva. Por lo tanto
sustituyendo esto, obtenemos;
25. Ahora conocemos el módulo de la velocidad, pero como la velocidad es una
magnitud vectorial debemos de determinar la dirección y sentido.
Esto se hace calculando el ángulo respecto a la horizontal, o sea el ángulo
comprendido entre la velocidad de deriva y la velocidad de la lancha. (en
nuestro triángulo gris)
Para eso utilizamos trigonometría y denominamos al ángulo con la letra
“tita” (letra griega) ϴ.
26.
27. La velocidad de deriva es
de 8,6 km/k a 35,5° hacia
el norte respecto del oeste.
(horizontal).
Los marinos acostumbran a
dar el ángulo respecto del
norte.
28. Estaba tranquilo en la playa, hasta que
ve a un joven en peligro.
Antes de entrar al agua observa la
situación:
La corriente tiene una
velocidad de 0,50m/s
hacia el este y el
guardavidas nada a una
velocidad de 1,5 m/s