Matematikk og dybdelæring Didaktikk Metodikk Læringssyn Samtaler Undervisning

1. Nyborg skole 15. april 2015
Ole Anders Krogstad
Trondheim kommune

2. 1. Kari er på butikken. Hun har med seg 85kroner
og handler for kr. 98,70. Hvor mye får hun
tilbake eller skylder hun?
2. Til aktivitetsdagen på skolen skal vi servere saft
i pappbegre som hver tar 0,3 liter saft. Vi har 18
liter saft som skal fordeles i pappbegrene. Hvor
mange elever vil vi da kunne gi saft til?

3.  0,7 3 10
 3 liter saft = 10 begre. 6 x 10 begre = 60
85 85,7 88,7 98,7
3 6 9 12 15 18 liter
10 20 30 40 50 60 begre

4.  Hvorfor blir vi redd for å gjøre feil?
 Hvorfor prøver vi å huske det vi lærte?
 Hvorfor prøver vi å huske det læreren sa?
 Hvorfor klarer vi ikke å komme i gang med gode
strategier?

5.  Har vi et bevisst forhold til hva vi tenker om
læring?
 Hva er læring?
 Når lærer elevene best?

6.  Grunnleggjande ferdigheiter
 Grunnleggjande ferdigheiter er integrerte i
kompetansemåla, der dei medverkar til å utvikle
fagkompetansen og er ein del av han. I
matematikk forstår ein grunnleggjande ferdigheiter
slik:

7.  Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining
gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber
å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og
argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis
fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i
samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske
problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i
munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om
matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne.
Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å
bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.

8.  Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein
tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å
bruke matematiske symbol og det formelle matematiske
språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil
det seie å lage teikningar, skisser, figurar, grafar, tabellar og
diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Skriving i
matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga
læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle
uttrykksformer til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein
presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og
systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å
byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse
samanhengar.

9.  Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke
symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i
tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege
tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som
inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar,
symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i
matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og
vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå
ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å
finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å
finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med
avansert symbolspråk og omgrepsbruk.

10.  Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk,
matematiske omgrep, framgangsmåtar og varierte strategiar
til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i
praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem.
Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk
inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar.
Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er.
Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing
og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å
analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit
variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i
aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og
kommunikasjon.

11.  Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale
verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering
og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og
vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing,
simulering og modellering. Vidare vil det seie å finne
informasjon, analysere, behandle og presentere data
med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder,
analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å
arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av
kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den
nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.

12.  Hva er det?
 Bruker vi sirkelprinsippet?
 Hvorfor sier Geir Botten at vi har fått
sirkelprinsippet?
 Hvorfor har elevene så stort behov for repetisjon?

14. • Det er undervisningen, ikke læreren, som er den kritiske
faktoren
• Undervisning er en kulturaktivitet!!!
• Ulike metoder for å forbedre undervisningen (i ulike land)
Video-studie: Sammenligning av
undervisningen i USA, Tyskland og Japan.
231 klasser: 100 i Tyskland, 50 i Japan, 81
i USA. Tilfeldig utvalgt (fra TIMSS-studiet).

15.  Mens vi i Norge regner opptil 30 oppgaver på 1
time, har Japan 3-5 oppgaver.
 De fleste oppgavene i Norge har lave kognitive
krav.

16.  Eksempler viser elevene hvordan de skal fylle ut
riktige svar
 Mange oppgaver som krever lite tenkning
◦ Brøk er å legge sammen tellere. 2 + 3 = 5
 Mange lærer å tolke boka, ikke matematikk.
 Lite oppfordring til refleksjon, problemløsning,
pararbeid, tegning, strukturering og bevisstgjøring
av strategier.

17.  Riktig svar er det samme som forståelse.
 Å arbeide alene gir et inntrykk av at ro er
viktigere enn læring.
 Å herme etter læreren.
 Å huske det læreren sa.
 Matematikk er en konkurranse i å regne flest
stykker.

18. Læren tenker og formidler
sine tanker, øver regler og
viser på mange ulike måter.
Lar elevene bevisstgjøre sine
egne tanker og bruker
fellesskapet til å se
sammenhenger.

19.  Effektiv læring
 Mindre å memorere
 Finner alltid frem til svaret med refleksjon
 Problemløsning i nye situasjoner
 Kognitiv bevissthet
 Trygghet
 Bedre selvbilde
 Eierforhold til faget
 Tilpasset undervisning
 Lærer seg til å se sammenhenger

20.  Når det er ubalanse mellom skjema og ny erfaring,
oppstår en kognitiv konflikt. Piaget mener at
mennesket er konstruert slik at denne konflikten gir
motivasjon for læring, og at mennesket er styrt av en
indre drivkraft
 Passer erfaringen bra med et skjema som allerede
finnes i barnets hodet, kan det utvides. Dette kalles
assimilasjon. Passer erfaringen dårlig med skjema,
må man lage et nytt skjema. Dette kalles
akkomodasjon.

21.  Lev Vygotsky: Menneskets levekår påvirker dets
tenkemåte, og at det er felles egenskaper i
omgivelsene som gir mennesker måter å tenke og
forstå hverandre på.
 Begrepslæring
 Utviklings-sonen
 Stillasbygging

23.  Skape gode læringsprosesser
◦ Sette elevene inn i kontekst/problemstilling
 Skape refleksjon
◦ Individuelt og i par
 Bevisstgjøring og stimulering av strategier
 Stimulere til å se matematiske sammenhenger
 Gi elevene verktøy/modeller i matematikkarbeidet
 Vurdere av elevens strategier

24. PROSEDYRER
 Lærer i fokus
 Gjennomgang
 Læreren viser
 Øve
 En strategier
 Herme
 Deler
 Rom for passive elever
 Læreren modellerer og
bestemmer måter å arbeide
på.
PROSESS
 Eleven i fokus
 Problemstilling
 Eleven bruker seg selv
 Kunne
 Mange strategier
 Refleksjon
 Helhet
 Eleven må være aktiv
 Eleven utforsker modeller som
redskaper og verktøy for
læring

27.  Trygghet
◦ Trygghet til å bruke
◦ Trygghet til å tenke
◦ Trygghet til å formidle
 Bevissthet
◦ Hva kan jeg?
◦ Hva bruker jeg?
◦ Hvilke utfordringer har jeg?
 Kreativitet
◦ Hvilke erfaringer kan jeg bruke?
◦ Hvilken kunnskap kan jeg koble sammen?
◦ Hvordan kan jeg eksperimentere frem nye erfaringer?

28.  Trygghet
◦ La elevene bruke egen kunnskap.
◦ Få elevene til å stole på seg selv.
◦ Få elevene til være trygg på hva de kan.
◦ Få elevene til å være trygg til å utforske.
 Bevissthet
◦ Skape refleksjoner med beviste stimuli
◦ Skap refleksjoner med felles fokus og diskusjon
◦ Skap refleksjoner med et godt begrepsapparat
 Kreativitet
◦ La elevene oppdage sammenhenger og la elevene koble
sammen ulike erfaringer fra ulike tema og fag.

30.  Skape prosesser
Rosie Griffith
University of Leicester

31. Strategier
Modeller
Big ideas

32. Big ideas /matematiske
oppdagelser
Strategies / strategier Models / modeller
•Kardinalitet; forstå
mengde, endelig antall.
•En-til-en
korrespondanse.
•Hierarkisk
innbefatning; 4 er en
mer enn 3.
•Kompensasjon og
likhet.
•Unitizing; gruppere
enere i nye enheter.
•Kommutative
egenskaper; addisjon:
3+4 =4+3.
•Mønstre kan lages av
gjentatte enheter.
•Bruke synkronisering
og en-til-en merking.
•Bruke ”prøve- og feile”
vs. Systematisk
utprøving.
•Bruke doble, nær
doble(1 mer, eller 1
mindre enn nærmeste
doble), og
kompensasjon.
•Telle tre ganger vs. Å
telle videre.
•Hoppetelling.
•Reknerek/
kuleramme
•Åpen tallinje.
•Perlesnor.
•Hundrekart
LÆRINGSLANDSKAP ADDISJON

33. Å skape dybdelæring er å bygge solid.
Stein for stein med læring av ulik størrelse.

34.  Enhetstelling
◦ Kunne telle en enhet og se at det også er enkle. Telle
flere enn 1 i gangen.
 Hoppetelling
◦ Å telle 2-4-6-8-10 eller 3-6-9-12 osv.
 Dobling
◦ Doble og halvere for å komme frem til svaret
◦ 3 x 6 = 18 og 6 x 6 = 36
 Delvise produkt
◦ 8 x 4= (5 x 4) + (3 x 4)= 20 + 12 =32

35.  Den kommutative loven
◦ 7 x 8 = 8 x 7
 Den distributive loven
◦ 7 x 8 = (5 x 8) + (2 x 8) = 40 + 16 = 56
 Plassverdisystemet
◦ 10 x 10 = 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10
◦ (ikke bare å sette på en null, men forstå hva det vil si å
fylle opp tiere, hundrere, tusen osv)

36.  Snakk sammen:
◦ Hvor kan vi arbeide slik at elevene lærer disse
strategiene?

37. 1. Inn i kontekst – konkrete problemstillinger fra
”virkeligheten”
2. Workshop-pararbeid
3. Lage plakat- elevene viser sine strategier
4. Gallerirunde-elevene deler sine strategier
5. Matematikkonferanse-elevene drøfter og bevisstgjør
hverandre sine strategier
6. Minilesson-læreren stimulerer til å bruke andre
strategier ved å stimulere til å oppdage spesielle
sammenhenger og mønster.

38. Hvordan teller elevene frukta?
Hvem teller mange ganger?
Hvem teller 1 og 1?
Hvem teller 2 og 2?
Hvem teller i større grupper?
Hvem teller rader og rekker?
Blir de stimulert til dobling?

41.  Pakke sjokoladebiter
◦ Hvor mange esker trenger vi til 217 biter sjokolade?
◦ Hvor mange biter blir til overs?
◦ Hvilke andre størrelser kan eskene være?
◦ Hvor stor mange biter sjokolade går i disse eskene?
◦ Hvordan kan vi måle med ruter antallet i eskene?
◦ Hvordan kan vi bruke åpen areal-modell?

42. 35 x 6
Hva med 35 x 12?

43.  1. – 4. trinn
◦ Multiplikasjon: Fruktbutikken/sjokoladefabrikken
 5.-7. trinn
◦ Brøk: Bagettoppgaven og ulike brøkoppgaver
Alle får en kontekst med problemstillinger som de skal
arbeide med.
2 ulike oppgavesett.
Mattekonferanse.

44.  Jobb med klassekulturen.
 Velg oppgaver med høye kognitive krav.
 Forutse strategier elevene kommer til å bruke og følg med hvordan
de løser oppgaven.
 La elevenes tenkning forme diskusjoner.
 Undersøk og planlegg diskusjoner.
 Vær strategisk når du «forteller» ny kunnskap.
 Utforsk feil svar.
 Velg bevisst de ideene du vil fremheve i diskusjon
 Bruk de strategiske valgene i diskusjonen til å bringe utvikling av
matematikkforståelsen fremover.
 Forsterk og stimuler elevene til å se sammenhenger ved å
oppsummere diskusjonen.

45.  Gjenta: «Så du sier at…»
 Repetere: «Kan du gjenta hva han sa med dine egne ord?»
 Ressonere: «Er du enig eller ikke enig, og hvorfor? Hvorfor gir det mening?»
 Tilføye: «Har du noe å tilføye til ….?»
 Vente: «Ta den tiden du trenger…vi venter»
 Innspill: Hva tenker dere andre? Gir det mening? Ser dere en sammenheng?
 Hypotese: «Hva tror dere vil skje hvis…?»
 Representasjonsbevis: «Kan du forklare dette ved en tegning, konkreter eller en
modell?»
 Generalisering: «Vil dette alltid fungere?»
 Effektive strategier: «Hvilke strategier var effektive og hvorfor?»
 Forståelse: «Hvilke strategier gav god forståelse?»
 Formidling: «Hvilke plakater, tegninger og modeller gav god forståelse?»
 Er det noe vi har diskutert som har gjort at dere har endret tankegang?

46.  På den ene siden har en barnas egne strategier, på den andre
siden de formelle, effektive løsningene.
 Lærerens mål er å hjelpe barna å effektivisere sine strategier.
 Dette er en balansekunst. En må dyrke elevens løsningsmåter, men
også få dem til å se nye muligheter og hjelpe dem å effektivisere
sine løsningsstrategier.
 Her er det lett at man «trekker» elevene for raskt framover mot de
formelle løsningene. En balanserer på kanten.
 Læring og utvikling er komplekst. «Strategier, big ideas og modeller
er alle involvert, og påvirker hverandre.
 De er steg, de er endring i tenkning og det mentale kartet på reisen.
 De er komponenter i «the landscape of learning» (læringslandskap).

47.  Hva var det du gjorde som hjalp deg til å forstå problemet?
 Var det noe i problemet som minte deg om et tidligere problem du
har arbeidet med?
 Fant du noen tall eller informasjon som du ikke trengte? Hvordan
visste du at denne informasjonen ikke var viktig?
 Hvordan bestemte du deg for hva du skulle gjøre?
 Hvordan fant du ut at svaret ditt var riktig?
 Prøvde du noe som ikke fungerte? Hvordan fant du ut at det ikke
ville fungere?
 Kan noe du gjorde med dette problemet hjelpe deg til å løse andre
problemer?

48.  Beskriv det du ikke forstår
 Les oppgaven nøye
 Forklar for deg selv hvordan du forstår oppgaven
 Se om det er lignende oppgaver du tidligere har gjort
 Finnes det eksempler eller beskrivelser i læreboka
 Lag en tegning
 Bruk konkreter eller modeller
 Spør en annen elev
 Diskuter på gruppa di
 Prøv en strategi
 Spør en lærer

49.  Spørsmålets nivå?
 Målet for kunnskapen?
 Mønstre i spørsmålene?
 Hvem tenker på svarene?
 Hvordan respondere på et svar?

50.  THINK
◦ Talk about the problem
◦ How can it be solved?
◦ Identify a strategy to solve the problem
◦ Notice how your strategy helped you solve the problem.
◦ Keep thinking about the problem. Does it make sense? Is
there another way to solve it?

51.  Se på læringslandskapet. Hva skal elevene oppdage?
 Planlegg en god prosess.
 Sett fokus på strategier ikke svar.
 Bruk en felles oppgave med høye kognitive krav.
 Finn en relevant kontekst.
 Bruk trygge læringspar.
 Tilrettelegg for tegning og bruk av modeller.
 Registrer hvor elevene er i læringslandskapet.
 Bruk tid til formidling av strategier.
 Få frem gode modeller.
 Del strategier i fellesskap.
 La elevene argumentere og bevise svar.
 Stimuler til å se videre sammenhenger.

52.  Mer kontekster
 Åpne felles oppgaver med arbeid i par.
 Mindre gjennomgang på tavla før elevene er påkoblet og
har brukt før-kunnskap.
 Mindre fokus på svar.
 Mer åpning for diskusjon og drøfting av strategier og
tenkemåter.
 Mer tegning og modeller.
 Bevisst bruk av tall og oppgaver for å se
sammenhenger.

53.  Alle fag: Bruke forkunnskaper
 Refleksjon. Kognitiv bevissthet. Hvordan tenker og løser jeg
utfordringer? Hvordan lærer jeg? Hvordan kan jeg knytte
kunnskapen til noe relevant eller virkelighetsnært?
 Norsk: Lage bøker, samle ord, sortere ord, strukturere ord, finne
sammenhenger selv.
 Inn i kontekst: Storytelling
 Samfunn: Hva vet vi om historisk tid? Beskrive ut i fra forutsetninger
og påstander.
 Naturfag: Hypoteser. Hva tror vi vil skje?
 Kroppsøving: Løs en bevegelsesoppgave. Se på andres løsning.
Beskriv. Beste strategi?

54.  «Elementary and Middle School Mathematics,
Teaching Developmentally», Van De
Walle/Karp/Bay Williams
 «Context for Learning», Catherine Fosnot m.l.
(grunnbøker og undervisningshefter)
 «Thinking Mathematically», Carpenter/Franke/Levi
 «Meningsfylt matematikk», Geir Botten
 National Council of Teachers of Mathematics,
www.nctm.org

55. 1. Vær kritisk til læreboka. Skill mellom tenkeoppgaver og utfyllingsoppgaver og
oppgaver som stimulerer til nye oppdagelser. Riktige svar betyr IKKE at elevene har
lært matematikk! Lag heller oppgaver som viser matematiske sammenhenger.
2. Bruk tid til å sette sammen gode samarbeidspar i matematikk hvor begge elevene
har utbytte av samarbeidet. Det er viktigere å prioritere samarbeidsevne framfor
matematisk nivå, men begge må kunne bidra i arbeidet.
3. Bruk kontekster, bilder og reelle eksempler som grunnlag for diskusjoner og felles
problemstillinger. Gode felles problemstillinger, skaper et felles utforskende
læringsmiljø.
4. Sett strategiene til elevene i fokus, ikke svarene. La det blir interessant å se på
hvordan de tenker. La alle få dele sine strategier og stimuler elevene til nye
oppdagelser ved å bruke andre elever. Ikke bli fristet til å fortelle hvordan de skal
tenke.
5. Oppfordre elevene til å tegne og diskuter tenkeoppgaver for å bevisstgjøre sine
strategier. Ikke fokuser på svarene, men hvordan de tenker. Presenter og la elevene
bruke modeller og tegninger som verktøy i prosessen gjennom formidling.

56. 6. La elevene forklare hvilke strategier de brukte og la andre elever med
andre strategier vise hvordan de har gjort det. Stimuler elevene ved å stille
oppklarende spørsmål som stimulerer til viktige oppdagelser.
7. Gi elevene muligheter til å utforske, systematisere og diskutere
tallmønster. Fortsetter mønstrene? Er det alltid slik?
8. La målene være å stimulere til at elevene gjør nye strategiske oppdagelser
i matematikken. Åpne for mange ulike algoritmer.
9. Gi elevene nok tid til å tenke. La gjerne elevene få tid til å drøfte i par før
de svarer. Ikke bruk traktkommunikasjon og la alle få delta i prosessen.
10. Ikke gå for fort frem. Vær tålmodig. Det finnes mye rikdom i enkle tall og
sammenhenger. Finn tall som viser disse sammenhengene og stimuler
disse ofte med korte sekvenser.