素数大富豪に関する自由研究まとめ5. グロタンディーク素数切切り
! 通称: グロタンカット
! ⼀一般の⼤大富豪で⾔言う「8切切り」
! 有名な数学者の逸話に則り、57は素数として出すことができる
(合成数として出すことはできない)
! 57が出た時は、強制的に場を流流し、
それを出したプレイヤーの⼿手番から
ゲームを再開する
特別なルール(1)
8. よく使う倍数判定法
! 2の倍数 → (⼀一の位が)偶数
! 5の倍数 → ⼀一の位が5または0
! 3の倍数 → 各桁の和が3の倍数
! 3桁の数Aについて
A = 100a + 10b + c (例例:A=729ならa=7,b=2,c=9)
= (99+1)a + (9+1)b + c
= 99a + 9b + a + b + c
= 3(33a+3b) + a + b + c
∴ a + b + cが3の倍数ならAは3の倍数
10. (参考)⼤大富豪で出すことのできる⼿手
! 1枚ずつ: (1〜~K) + ジョーカー = 14通り
! 同じ数字2枚〜~4枚: 13 × 3 + 1 = 40通り
! 連続する数字3枚: (3,4,5) 〜~ (K, A, 2) = 11通り
! 連続する数字4枚〜~13枚: 10+9+‥+2+1 = 55通り
! 計120通り
! マークの違いまで考慮に⼊入れると 464通りくらい
(※ローカルルールよって多少変動あり)
16. 5桁〜~6桁のとき
! 1〜~9の数字は、ジョーカーを使えば6つまで使⽤用可
0を3つ以上使う素数はトランプでは表現不不可(10の形を除く)
! 5桁:40,009、70,001、70,003、70,009、90,001、90,007
! 6桁:100,003など、計203個
! 5〜~6桁の素数は全部で 77,269個
! 素数⼤大富豪で出すことができる6桁までの数は
1,229 + 77,269 – 209 = 78,289 個
19. 9桁のとき
! 8桁と同様のプログラムを少しアレンジして使⽤用
! 同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数
… 591,433個
! 9桁の素数は 45,086,079個
! 素数⼤大富豪で出すことができる8桁までの素数は
5,690,231 + 45,086,079 – 591,433 = 50,184,877個
20. ここまでの成果まとめ
桁数 全ての素数 トランプで表現可能な素数 (累累計)
1 4 4 4
2 21 21 25
3 143 143 168
4 1,061 1,061 1,229
5 8,363 8,357 9,586
6 68,906 68,703 78,289
7 586,081 581,998 660,287
8 5,096,876 5,029,944 5,690,231
9 45,086,079 44,494,646 50,184,877
22. ゴールを確認する
! 最⼤大の数は (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁?
! 対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は
99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,222,131,313,131,313,
121,212,121,111,111,111,101,010,101
! 試しに因数分解してみた
23. ゴールを確認する
! 最⼤大の数は (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁?
! 対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は
99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,222,131,313,131,313,
121,212,121,111,111,111,101,010,101
! 試しに因数分解してみた → 7で割れる
7 × 11 × 13 × 37 ×
2,699,972,696,972,396,942,393,942,093,912,091,457,546,003,000,275,727,545,727,545,727,273
27. 表現不不能な素数の個数を求める(8桁)
! a = 10,000,001とする
! aが3,5,7,11で割り切切れる場合はその時点で除外
! aを1桁ごとに分け、10進数表⽰示で使われる数字の個数をそれぞ
れカウントする(変数 zero, two〜~nine)
! 1は11を使えば7つ以上表現可能なので省省略略
! aを2桁ごとに分け、10,12が含まれる場合は0,2のカウントを減らす
! zeroが3以上、または [zero + two〜~nineのどれか] が7以上にな
るものについて素数判定を⾏行行い、該当する個数をカウントする
! a = a + 2 として繰り返す(a = 99,999,999となるまで)