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Medidas e Incertezas
CKS 2
• O que é medição?
– É o processo empírico e objetivo de designação de números a propriedades...
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CKS 3
• Tipos de medidas
– Medida Nominal
• Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são
iguai...
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CKS 5
• O Processo de Medida
– Operador
• Conhecimento do processo de medida
• Domínio do instrumento de medida
• Escolh...
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CKS 7
Objeto a ser medido
Valor medido:
21 ≤ m ≤ 22
( )
( )
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Max Minm m
δ
δ
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= = =
• Exemplo 2
CKS...
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CKS 9
– Resumindo
• Medida
– É um Intervalo e não um valor
• Intervalo de Confiança
– Depende do processo de medida (ins...
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CKS 11
– Incerteza de um Conjunto de Medidas
• Vamos supor um voltímetro com precisão de 1 microvolt
• De saída é possív...
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CKS 13
– Algarismos Significativos
• São todos os algarismos obtidos no processo de medida.
• Os zeros incluidos para lo...
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CKS 15
– Critérios de Arredondamento
• O critério de arredondamento a ser utilizado será igual ao empregado por
calculad...
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CKS 17
• Operações Matemáticas com Medidas
– Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado
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CKS 19
• Subtração das Medidas
• Exemplo
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
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(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
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CKS 21
• Divisão das Medidas
• Exemplo
( )
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(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
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Ma...
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CKS 23
• Erros
– Erros Sistemáticos
• São erros constantes e geralmente conhecidos
• Causas
– Instrumento
– Método
– Op...
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CKS 25
δA → Erro Aleatório
δS → Erro Sistemático
InexatoExato
ImprecisoPreciso
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δA
δS δS
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  1. 1. 1 Medidas e Incertezas CKS 2 • O que é medição? – É o processo empírico e objetivo de designação de números a propriedades de objetos ou eventos do mundo real de forma a descreve-los. – Outra forma de explicar este processo é comparando a quantidade ou variável desconhecida com um padrão definido para este tipo de quantidade, implicando então num certo tipo de escala,
  2. 2. 2 CKS 3 • Tipos de medidas – Medida Nominal • Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (Ex. duas cores , acidez de dois líquidos) – Medida Ordinal • Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (Ex. Classificação por peso e altura de uma turma)) – Medida em Intervalos • Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (Ex. no caso anterior usar a escala de metros e quilogramas) – Medidas Normalizadas • Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (Ex. O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máximo medido). – Medidas Cardinais • O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de medidas SI. CKS 4
  3. 3. 3 CKS 5 • O Processo de Medida – Operador • Conhecimento do processo de medida • Domínio do instrumento de medida • Escolha adequada do instrumento – Instrumento de Medida • Exemplo 1 Objeto a ser medido Valor medido: 20 ≤ m ≤ 25 A medida é um intervalo e não um número O intervalo [20:25] é conhecido como: Intervalo de Confiança O Intervalo de Confiança é no mínimo igual à precisão do equipamento. Neste caso = 5 CKS 6 ( ) ( ) Intervalo de Confiança Incerteza 2 2 25 20 2,5 2 Max Minm m δ δ δ = = − = − = = • INCERTEZA DA MEDIDA • Representação da Medida ( ) ( ) 20 25 2 25 20 45 2,5 2,5 22,5 2,5 2 2 22,5 2,5 Min Max Max Min m m m m m mas m m m m m então m δ δ = = = ± + = ± + = ± = ± = ± = ±
  4. 4. 4 CKS 7 Objeto a ser medido Valor medido: 21 ≤ m ≤ 22 ( ) ( ) 2 22 21 1 0,5 2 2 Max Minm m δ δ − = − = = = • Exemplo 2 CKS 8 ( ) ( ) 21 22 2 22 21 43 0,5 0,5 21,5 0,5 2 2 21,5 0,5 Min Max Max Min m m m m m mas m m m m m então m δ δ = = = ± + = ± + = ± = ± = ± = ± • Representação da Medida
  5. 5. 5 CKS 9 – Resumindo • Medida – É um Intervalo e não um valor • Intervalo de Confiança – Depende do processo de medida (instrumento / operador) – Intervalo entre o valor Máximo e Mínimo da Medida » Intervalo de Confiança = [mMax – mMin] – Seu valor mínimo é igual a precisão da escala do equipamento de medida. Freqüentemente é maior. • Incerteza – Depende o processo de medida – Seu valor é estimado a partir do intervalo de confiança – É a metade do intervalo de confiança • Incerteza Explícita – 123,05 + 0,01 • Incerteza Implícita (a incerteza esta na primeira casa decimal) – 123,1 CKS 10 – Conclusão • Precisão de uma escala → é sua menor divisão – Ex.: Uma régua com divisão em milímetros – Sua precisão é 1 mm = Intervalo de Confiança • Como a incerteza corresponde à (Intervalo de Confiança)/2 – Então a Incerteza de um equipamento é – Incerteza do Equip. = (Precisão do Equip.) / 2
  6. 6. 6 CKS 11 – Incerteza de um Conjunto de Medidas • Vamos supor um voltímetro com precisão de 1 microvolt • De saída é possível definir a incerteza do equipamento – Incerteza = Precisão / 2 = 1µV / 2 = 0,5 µV = 0,0000005 V • Os valores medidos foram • Valor médio do conjunto de dados: 0,126446 V • Desvio padrão do conj. de medidas: 0,0005177921 V • Valor Máximo medido: Max = 0,127003 V • Valor Mínimo medido: Min = 0,125827 V • Representação da Incerteza do Conjunto de Medidas 0,1265985 0,1258274 0,1270033 0,1259822 0,1268211 Valor (V)Medida CKS 12 – Representação • Opção 1 → A mais correta – Incerteza = Desvio Padrão + Incerteza do Equipamento – δ = 0,0005177921 + 0,0000005 = 0,0005182921 V • Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos) – Incerteza = (Max – Min)/2 + Incerteza do Equipamento – δ = 0,000588 + 0,0000005 = 0,0005885 V
  7. 7. 7 CKS 13 – Algarismos Significativos • São todos os algarismos obtidos no processo de medida. • Os zeros incluidos para localizar o ponto decimal não contam (zeros à esquerda) • Ex.: – 1945,1 (5 algarismos significativos) – 0,00034 (2 algarismos significativos) – 1000 (4 algarismos significativos) – 2 x 105 (5 algarismos significativos) – 4,189 x 10-7 (4 algarismos significativos) • A Incerteza só deve conter UM (1) algarismo significativo – LOGO: » A incerteza deve ser arredondada após sua determinação CKS 14 – Mudanças de Unidade • Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos significativos • Ex.: – 46 cm → 0,46 m (Está correto) – 46 cm → 460 mm (está errado pois aumentou a incerteza) • A notação de potencia de dez evita este problema – 46 cm → 46 x 101 mm – Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos
  8. 8. 8 CKS 15 – Critérios de Arredondamento • O critério de arredondamento a ser utilizado será igual ao empregado por calculadoras científicas e programas afins. • Se o número à direita do ponto de arredondamento é: – 0, 1, 2, 3, 4 → Simplesmente elimina-se a parte a direita – Ex.: dado o número 0,563729452 » Arredondando para 8 casas depois da vírgula » = 0,56372945 » Arredondando para 4 casas depois da vírgula » = 0,5637 » Arredondando para 2 casas depois da vírgula » = 0,56 – 5, 6, 7, 8, 9 → Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita. – Ex.: dado o número 0,563729452 » Arredondando para 7 casas depois da vírgula » = 0,5637295 » Arredondando para 5 casas depois da vírgula » = 0,56373 » Arredondando para 1 casa depois da vírgula » = 0,6 CKS 16 – Usando o Arredondamento para Representar Medidas • Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior fica: • Medida Anterior • Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos) – Tensão = 0,126446 + 0,0005885 V • Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo – Tensão = 0,126446 + 0,0006 V • Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula existem na incerteza (4 neste caso) – Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário – Então: – Tensão = 0,1264 + 0,0006 V (Resultado Final) – OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE – Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas. – Razão: cada arredondamento intruduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.
  9. 9. 9 CKS 17 • Operações Matemáticas com Medidas – Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação. – Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. – Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da medida. – Ex.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme: • A = a + δa • B = b + δb CKS 18 • Soma das Medidas • Exemplo ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Maior valor que a operação pode assumir Menor valor que a operação pode assumir Max Min A B a a b b a b Max a a b b Min a a b b δ δ δ δ δ δ − + = ± + ± = + ± = + + + = − + − ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3) 2 Maior valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 19,8 Menor valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 19,2 19,8 19,5 Max Min A B Max Min A B − + = ± + ± = + ± = + + + = + = = − + − = + = − + = ± [ ]19,2 19,5 0,3 2 = ±
  10. 10. 10 CKS 19 • Subtração das Medidas • Exemplo ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (cuidado com os sinais) (cuidado com os sinais) ( ) 2 Maior valor que a operação pode assumir Menor valor que a operação pode assumir Max Min A B a a b b a b Max a a b b Min a a b b δ δ δ δ δ δ − − = ± − ± = − ± = + − − = − − + ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3) 2 Maior valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,2 9,2 Menor valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,4 8,6 9,2 8,6 8,9 2 Max Min A B Max Min A B − − = ± − ± = − ± = + − − = − = = − − + = − = − − = ± 8,9 0,3= ± CKS 20 • Multiplicação das Medidas • Exemplo ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Maior valor que a operação pode assumir Menor valor que a operação pode assumir Max Min A B a a b b a b Max a a b b Min a a b b δ δ δ δ δ δ − × = ± × ± = × ± = + × + = − × − ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3) 2 Maior valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 77,76 Menor valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 72,8 77, 75,26 Max Min A B Max Min A B − × = ± × ± = × ± = + × + = × = = − × − = × = − = ± [ ]76 72,8 75,26 2,48 75 2 2 − = ± = ±
  11. 11. 11 CKS 21 • Divisão das Medidas • Exemplo ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (cuidado com os sinais) (cuidado com os sinais) 2 Maior valor que a operação pode assumir Menor valor que a operação pode assumir a a Max MinA a B b b b a a Max b b a a Min b b δ δ δ δ δ δ ± −  = = ±  ±   + = − − = + ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) (apenas as 5 primeiras casas decimais) 14,2 0,2 14,2 5,3 0,1 5,3 2 Maior valor que a operação pode assumir 14,2 0,2 14,4 2,76923 5,3 0,1 5,2 Menor valor que a operação pode assumir 14, Max MinA B Max Min ± −  = = ± ±   + = = = − = ( ) ( ) [ ] (apenas as 5 primeiras casas decimais) 2 0,2 14,0 2,59259 5,3 0,1 5,4 2,76923 2,59259 2,67924 2,67924 0,08832=2,68 0,09 2 A B − = = + − = ± = ± ± CKS 22 • Exponenciação de uma Medida • Exemplo ( ) [ ] ( ) ( ) 33 3 3 3 2 Maior valor que a operação pode assumir Menor valor que a operação pode assumir Max Min B b b b Max b b Min b b δ δ δ − = ± = ± = + = − ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 33 3 3 3 3 5,3 0,1 5,3 2 Maior valor que a operação pode assumir 5,3 0,1 5,4 157,464 Menor valor que a operação pode assumir 5,3 0,1 5,2 140,608 157,464 140,608 148,877 148,877 8,428=149 8 2 Max Min B Max Min B − = ± = ± = + = = = − = = − = ± = ± ±
  12. 12. 12 CKS 23 • Erros – Erros Sistemáticos • São erros constantes e geralmente conhecidos • Causas – Instrumento – Método – Operador – Outros fatores (climáticos, mecânicos,...) • Detecção – Medir com outro equipamento – Medir empregando outro método – Medida por outro operador – Erro Grosseiro • Técnica Inadequada • Imperícia do Operador • Ex.: Erro na leitura da escala / digitação • Podem ser completamente eliminados CKS 24 – Erros Randômicos • Permanecem após a eliminação dos erros sistemáticos • Propriedades: – Erros randômicos positivos e negativos tem a mesma probabilidade de ocorrência. – São menos prováveis quando o valor absoluto medido aumenta. – Quando o número de medidas aumenta a média aritmética dos erros randômicos em uma amostra tende a zero. – Para um determinado método de medida os erros randômicos não excedem um determinado valor. Medidas excedendo este valor devem ser refeitas e, se necessário, estudadas separadamente. • Erros randômicos também são chamados de Acidentais ou Fortuitos
  13. 13. 13 CKS 25 δA → Erro Aleatório δS → Erro Sistemático InexatoExato ImprecisoPreciso δA δA δS δS FIM

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