1. 0
MAKALAH
PROGRAM LINEAR
“ METODE SIMPLEKS ”
Disusun Oleh :
Kelompok 4 (Empat)
 Anggia Murni (4131230002)
 Muhammad Adi Rianta (4131230007)
 Muhammad Ridwan Mukti (4133230022)
 Nila Aulia (4133230028)
 Ria Rahmadita Surbakti (4131230008)
 Romanus Relawan Waruwu (4132230017)
 Rony Genevent (4133230032)
 Vivi Milan Nababan (4132230018)
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
T.A 2015/2016

2. 1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan
rahmat-Nya sehingga kami dapat menyusun makalah “Metode Simpleks”. Kami
ucapkan terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah PROGRAM LINEAR
yang telah menuntun kami untuk menyelesaikan makalah ini. Terakhir kami
ucapkan terimakasih kepada teman – teman dan semua pihak yang telah
membantu dalam diskusi untuk menyelesaikan makalah ini. Kami berharap
makalah ini dapat membantu dalam menyelesaikan tugas ataupun pekerjaan yang
kita lakukan.
Medan, Maret 2015
Kelompok 4

3. 2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.......................................................................................................... 0
DAFTAR ISI ....................................................................................................................... 2
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................................... 3
A. Latar Belakang ............................................................................................................. 3
B. Rumusan Masalah ........................................................................................................ 4
C. Tujuan.......................................................................................................................... 4
BAB II PEMBAHASAN...................................................................................................... 5
1. Masalah Maksimasi...................................................................................................... 5
2. Kendala (Syarat) Bertanda “ = ” ................................................................................. 14
3. Masalah Minimumisasi .............................................................................................. 20
4. Masalah Primal dan Dual ........................................................................................... 24
5. Degeneracy ................................................................................................................ 30
BAB III PENUTUP ........................................................................................................... 32
1. Kesimpulan................................................................................................................ 32
2. Saran.......................................................................................................................... 32
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 33

4. 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan
masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear
merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model
matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang
kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu
dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan
pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah
keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala
bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada
penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang
tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan
menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi
saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali
oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada
penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan
bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan
solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier
programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-
ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart)
sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan
menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi
sebelumnya.

5. 4
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode
simpleks?
2. Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
3. Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode
simpleks?
4. Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam
program linear?
5. Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
C. Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
 Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
 Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program
linear
 Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
 Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam
program linear
 Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program
linear

6. 5
BAB II
PEMBAHASAN
1. Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus
lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan
adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi
dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari atau sama dengan (
≤ ) yang menunjukkan keterbatasan sumber daya yang tersedia. Untuk bentuk-
bentuk lain seperti masalah minimisasi maupun penyimpangan–penyimpangan
lain dalam batasan-batasan yang berlaku akan dibicarakan tersendiri.
Berikut merupakan langkah-langkah menggunakan metode simpleks yaitu :
 Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan
 Menyusun persamaan-persamaan di dalam table
 Memilih kolom kunci
 Memilih baris kunci
 Merubah nilai-nilai pada baris kunci
 Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci
 Melanjutkan perbaikan/pengulangan/iterasi
Contoh 1:
Maksimumkan 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
Batasan (constrain) (1) 2𝑥1 ≤ 8
(2) 3𝑥2 ≤ 15
(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30
Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan
 Fungsi tujuan

7. 6
𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 diubah menjadi 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0
 Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel)
(1) 2𝑥1 ≤ 8 menjadi 2𝑥1 + 𝑥3 = 8
(2) 3𝑥2 ≤ 15 menjadi 3𝑥2 + 𝑥4 = 15
(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 menjadi 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥5 = 30
Fungsi tujuan : Maksimumkan 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0
Fungsi batasan (1) 2𝑥1 + 𝑥3 = 8
(2) 3𝑥2 + 𝑥4 = 15
(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥5 = 30
Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel
Beberapa istilah dalam Metode Simpleks yaitu :
 NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama
dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan
3 sebesar 30.
 Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari
persamaan. Pada persamaan 2𝑥1 + 𝑥3 = 8, kalau belum ada kegiatan apa-
apa, berarti nilai𝑥1 = 0, dan semua kapasitas masih menganggur, maka
pengangguran ada 8 satuan, atau nilai 𝑥3 = 8. Pada tabel tersebut nilai
variabel dasar 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini
harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif
𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 diubah menjadi 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0.
(1) 2𝑥1 ≤ 8 menjadi 2𝑥1 + 𝑥3 = 8
(2) 3𝑥2 ≤ 15 menjadi 3𝑥2 + 𝑥4 = 15
(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 menjadi 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥5 = 30

8. 7
Maka tabel simpleks yang pertama yaitu sebagai berikut :
Variabel
Dasar
𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK
𝑍 1 -3 -5 0 0 0 0
𝑥3 0 2 0 1 0 0 8
𝑥4 0 0 3 0 1 0 15
𝑥5 0 6 5 0 0 1 30
Langkah 3: Memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel
simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang
bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom 𝑥2 dengan nilai
pada baris persamaan tujuan –5. Berilah tanda segi empat pada kolom 𝑥2, seperti
tabel berikut
Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama
Variabel
Dasar
𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK
𝑍 1 -3 -5 0 0 0 0

9. 8
𝑥3 0 2 0 1 0 0 8
𝑥4 0 0 3 0 1 0 15
𝑥5 0 6 5 0 0 1 30
Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan,
berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).
Langkah 4: Memilih baris kunci
Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel
simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai
pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.
𝑰𝒏𝒅𝒆𝒌𝒔 =
(𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑲𝒐𝒍𝒐𝒎 𝑵𝑲)
(𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒖𝒏𝒄𝒊)
Untuk baris batasan 1 besarnya indeks =
8
0
= ∞, baris batasan 2 =
15
3
= 5,
dan baris batasan 3 =
30
5
= 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan
angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri
tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga
masuk dalam baris kunci disebut angka kunci.
Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci
Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci,
seperti tabel dibawah ini. bagian bawah
0
3
= 0 ;
3
3
= 1 ;
0
3
= 0 ;
1
3
=
1
3
;
0
3
= 0;
15
3
=
5 . Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian
atas kolom kunci (𝑥2).
Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci

10. 9
Variabel Dasar Z 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK
Keterangan
(indeks)
𝑍 1 -3 -5 0 0 0 0
𝑥3 0 2 0 1 0 0 8 8/0 = ∞
𝑥4 0 0 3 0 1 0 15 15/3 = 5
𝑥5 0 6 5 0 0 1 30 30/5 = 6
Z
𝑥3
𝑥2 0 0 1 0 1/3 0 15/3
𝑥5
Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci
Dengan menggunakan rumus berikut
𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 − 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
× 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
Baris pertama (Z)
[-3 -5 0 0 0, 0 ]

11. 10
(-5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )
Nilai baru = [-3 0 0 5/3 0, 25]
Baris ke-2 (batasan 1)
[2 0 1 0 0, 8 ]
(0) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )
Nilai baru = [2 0 1 0 0, 8]
Baris ke-4 (batasan 3)
[ 6 5 0 0 1, 30 ]
(5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )
Nilai baru = [ 6 0 0 -5/3 1, 5 ]
Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru
Variabel Dasar 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
𝑥3 0 2 0 1 0 0 8
𝑥4 0 0 3 0 1 0 15

12. 11
𝑥5 0 6 5 0 0 1 30
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
𝑥3 0 2 0 1 0 0 8
𝑥2 0 0 1 0 1/3 0 5
𝑥5 0 6 0 0 -5/3 1 5
Langkah 7: Melanjutkan perbaikan
Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk
memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru
berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai
negatif
Variabel
Dasar
𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK
Keterangan
(Indeks)
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
𝑥3 0 2 0 1 0 0 8 = 8/2 = 4
𝑥4 0 0 1 0 1/3 0 5
𝑥5 0 6 0 0 -5/3 1 5 = 5/6 (minimum)
Z 1

13. 12
𝑥3 0
𝑥2 0
𝑥1 0 6/6 0 0 -5/18 1/6 5/6
Nilai baru
Baris ke-1
[-3 0 0 5/3 0, 25 ]
(-3) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )
Nilai baru = [ 0 0 0 5/6 ½, 271
/2]
Baris ke-2 (batasan 1)
[ 2 0 1 0 0, 8 ]
(2) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )
Nilai baru = 0 0 1 5/9 -1/3, 61
/3]
Baris ke-3 tidak berubah karena nilai pada kolom kunci = 0
[ 0 1 0 1/3 0, 5 ]
(0) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

14. 13
Nilai baru = 0 1 0 1/3 0, 5]
Tabel simpleks final hasil perubahan
Variabel
Dasar
𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK
Z 1 0 0 0 5/6 ½ 271
/2
𝑥3 0 0 0 1 5/9 -1/3 61
/3
𝑥2 0 0 1 0 1/3 0 5
𝑥1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat
dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal
Dari tabel final didapat
𝑥1 =
5
6
𝑥2 = 5
𝑍 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 = 27
1
2

15. 14
2. Kendala (Syarat) Bertanda “ = ”
Kendala berbentuk sama dengan (=) juga tidak memiliki variabel basis.
Oleh karena itu tambahkan satu variabel basis semu, agar table awal simpleks
dapa dibentuk.
Misalkan,2𝑥1 + 4𝑥2 = 20 , dapat diubah menjadi 2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑄 = 20, dimana
Q adalah variabel basis semu.
Meskipun semua kendala telah memiliki variabel basis, tetapi penambahan
variabel semu tersebut bukan penyelesaian yang fisibel bagi masalah aslinya.
Variabel semu harus dikurangi nilainya hingga menjadi nol. Ada dua metode yang
dapat dilakukan untuk mengnolkan variabel semu yaitu :
1. Metode M besar
2. Metode dua fase (dua tahapan)
Metode M Besar
Dalam metode ini, koefisien fungsi tujuan untuk variabel semu diberi nilai
yang sangat besar yaitu negatif M atau – M untuk fungsi tujuan maksimum dan
positif M atau + M untuk fungsi tujuan minimum.
Contoh 2 Masalah variabel semu
Model LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut :
Maksimum 𝑍 = 50𝑥1 + 80𝑥2
d.k 1. 𝑥1 ≤ 40
2. 𝑥2 ≥ 20
3. 𝑥1 + 𝑥2 = 50
4.𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Model LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut:
Maksimum 𝑍 = 50𝑥1 + 80𝑥2 + 0𝑆1 − 0𝑆2 − 𝑀𝑄1 – 𝑀𝑄2
d.k 1. 𝑋1 + 𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑄1 + 0𝑄2 = 40
2. 𝑥2 + 0𝑆1 − 𝑆2 + 𝑄1 + 0𝑄2 = 20
3. 𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑄1 + 𝑄2 = 50
4. 𝑥1, 𝑥2 , 𝑆1, 𝑆2, 𝑄1, 𝑄2 ≥ 0

16. 15
Tabel awal simpleks dapat dibuat seperti berikut ini:
Tabel awal simpleks Metode M besar
CB Vrb. basis
Cj
bj
50 80 0 0 -M -
M
Indeks
X1 x2 s1 s2 Q1
Q2
0
-M
-M
S1
Q1
Q2
Zj - Cj
40
20
50
-70M
1 0 1 0 0 0
0 1 0 -1 1 0
1 1 0 0 0 1
-M-50 -2M-80 0 M 0
0
40/0 = ~
20/1 =
20
50/1 =
50
Nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj Tabel di atas diisi dengan menggunakan
cara sebagai berikut:
Z = [0, -M, -M]
40
20
50
- 0 = 0 – 20M – 50M = - 70M
Z1 = [0, -M, -M]
1
0
1
- 50 = 0 – M – 50 = - M - 50
Z2 = [0, -M, -M]
0
1
1
- 80 = 0 – M – M - 80 = - 2M - 80
Z4 = [0, -M, -M]
0
−1
0
- 0 = 0 + M + 0 = M
Dan seterusnya.
Dengan mengikuti langkah-langkah metode simpleks terdahulu,
penyelesaian contoh ke-2 dapat dilihat berikut ini.
Tabel iterasi 1

17. 16
CB Vrb. basis
Cj
bj
50 80 0 0 -M -
M
Indeks
x1 x2 s1 s2 Q1
Q2
0
80
-M
S1
x2
Q2
Zj - Cj
40
20
30
-
30M+1.600
1 0 1 0 0 0
0 1 0 -1 1 0
1 0 0 1 -1 1
-M-50 0 0 -M-80 2M+80
0
40/0 = ~
20/-1=-20
30/1 = 30
Tabel Iterasi 2 (Optimum)
CB Vrb. basis
Cj
bj
50 80 0 0 -M -M
Indeks
x1 x2 s1 s2 Q1 Q2
0
80
0
S1
x2
s2
Zj - Cj
40
50
30
4000
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 -1 1
30 0 0 0 M M+80
Solusi optimum dicapai apabila 𝑥1 = 0 dan 𝑥2 = 50, dengan nilai Z = 4.000
Metode dua fase
Dalam metode dua fase, penyelesaian dipisahkan menjadi dua tahapan.
Setiap tahapan menggunakan tabel simpleks dan proses kerjanya tetap
menggunakan langkah-langkah metode simpleks.
Fase 1
Tahapan pertama bertujuan untuk mngnolkan/menghilangkan variabel
semu, dengan cara membuat fungsi tujuan semu. Fungsi tujuan semu memiliki
jumlah variabel sama dengan jumlah variabel semuanya. Kemudian fungsi tujuan
semu dimaksimumkan dengan table simpleks. Koefisien fungsi tujuan untuk
variabel semu diberi nilai minus satu atau (-1) jika fungsi tujuan maksimum dan

18. 17
plus satu atau (+1) jika fungsi tujuan minimum. Fase satu berakhir apabila fungsi
tujuan semu memiliki nilai nol. Proses dilanjutkan ke fase ke-dua.
Lihat kembali Contoh 2 di atas. Jumlah variabel semu ada dua yaitu Q1
dan Q2. Oleh karena itu fungsi tujuan semunya adalah maksimum Z= - Q1 - Q2.
Fungsi tujuan semu ini kita maksimumkan , sehingga penyelesaian fase pertama
nampak sebagai berikut.
Tabel Awal
CB Vrb. basis Cj
bj
0 0 0 0 -1 -1
Indeksx1 x2 s1 s2 Q1 Q2
0
- 1
- 1
S1
Q1
Q2
Zj - Cj
40
20
50
-70
1 0 1 0 0 0
0 1 0 -1 1 0
1 1 0 0 0 1
-1 -2 0 1 0 0
40/0 = ~
20/1 = 20
50/1 = 50
Tabel Iterasi 1 Fase Pertama
CB Vrb. basis Cj
bj
0 0 0 0 -1 -1
Indeksx1 x2 s1 s2 Q1 Q2
0
0
- 1
S1
x2
Q2
Zj - Cj
40
20
30
-30
1 0 1 0 0 0
0 1 0 -1 1 0
1 0 0 1 -1 1
-1 0 0 -1 2 0
40/0 = ~
20/-1 = -20
30/1 = 30
Tabel Iterasi 2 Fase Pertama (Optimum)
CB Vrb. basis
Cj
0 0 0 0 -1 -1
Indeks
x1 x2 s1 s2 Q1 Q2

19. 18
bj
0
0
0
S1
x2
s2
Zj - Cj
40
50
30
30
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 -1 1
1 0 0 0 1 1
Pada table di atas (optimum) fungsi tujuan semu sudah di optimumkan, dan
variabel semu Q1 dan Q2 sudah keluar dari basis. Proses dapat dilanjutkan ke fase
ke-dua.
Apabila variabel semu masih berada dalam basis dengan nilai positif, maka
persoalan tersebut tidak layak. Mungkin kesalahan dalam proses perhitungan atau
kesalahan dalam formulasi LP. Proses tahap kedua tidak perlu dilanjutkan.
Fase 2
Tabel akhir fase pertama merupakan tabek awal fase kedua. Kemudian
dioptimalkan dengan memasukkan fungsi ujuan aslinya. Karena pada fase
pertama kita telah mengnolkan variabel semu, maka pada fase kedua variabel
semu tidak perlu disertakan lagi dalam table (dihilangkan). Lihat table awal fase
kedua berikut ini.
Tabel awal fase kedua
CB Vrb. basis
Cj
bj
50 80 0 0
Indeks
x1 x2 s1 s2
0
80
0
S1
x2
s2
Zj - Cj
40
50
30
4.000
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 1
30 0 0 0
Setelah koefisien fungsi tujuan asli dimasukkan ke dalam table awal fase
kedua, secara langsung table awal tersebut menunjukkan table optimum. Karena
nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj ≥ 0. Solusi optimum adalah x1 = 0 dan x2 =
50.

20. 19
Membandingkan metode M besar dengan metode dua fase, dapat
disimpulkan bahwa kedua metode sama-sama menggunakan variabel semu.
Perbedaan terletak pada tahapan penyelesaian. disamping itu Metode M besar
perhitungannya lebih rumit. Hal ini yang perlu diperhatikan dalam penggunaan
metode M besar dan dua fase adalah :
1. Variabel semu hanya ditambahkan untuk mendapatkan pemecahan awal yang
fisibel. Jika kita menggunakan program komputer seperti QSB (Quantitative
System for Business), maka penambahan variabel semu tidak perlu dilakukan,
karena QSB sudah diprogram sedemikian rupa dalam menghadapi berbagai
macam bentuk kendala.
2. Apabila variabel semu telah keluar dari dalam basis, maka pada abel
berikutnya variabel semu tidak perlu muncul kembali.
3. Pada tabel optimum semua variabel semu harus keluar dari dalam basis. Jika
variabel semu masih terdapat dalam basis dengan nilai positif, maka
persoalan tidak layak.

21. 20
3. Masalah Minimumisasi
Masalah minimisasi sangat mungkin ditemui di dalam formulasi LP
(Linear Program). Bagaimana menyelesaikan masalah LP jika fungsi tujuannya
berbentuk minimisasi? Misalkan fungsi tujuannya adalah : 𝑍 𝑀𝑖𝑛. = 40𝑥1 +
30𝑥2
Untuk menangani masalah ini, ada dua metode yang dapat dilakukan, yaitu:
Meode 1
Mengubah fungsi tujuan minimum menjadi maksimum. Caranya adalah
mengalikan fungsi tujuan minimum dengan minus satu. Misalkan, fungsi tujuan
𝑍 𝑀𝑖𝑛. = 40𝑥1 + 25𝑥2, diubah maksimum menjadi: − 𝑍 ∗ 𝑚𝑎𝑘. = 𝑍 =
40𝑥1 + 25𝑥2.
Jika cara ini dilakukan , maka berlaku ketentuan sebagai berikut ini.
1. Tabel simpleks berakhir (optimal) apabila nilai yang terdapat pada baris Zj
– Cj ≤ 0.
2. Pada table awal, nilai pada baris Zj – Cj yang berkorespondensi dengan
variabel keputusan bertanda positif.
3. Kolom kunci dipilih dari nilai positif terbesar.
4. Baris kunci tetap mengikuti aturan perbandingan minimum dan bukan
negatif.
Proses iterasi selanjutnya sama dengan cara terdahulu.
Contoh 1. Masalah Minimisasi Produk Mix
Sebuah masalah LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut :
Minimum 𝑍 = 40𝑥1 + 25𝑥2
d.k
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 150
8𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 200
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
Formulasi LP di atas dapat diubah menjadi bentuk standar dengan fungsi
tujuan diubah menjadi bentuk maksimum.

22. 21
𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 – 𝑍 ∗ = 𝑍 = − 40𝑥1 − 25𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2
d.k 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆1 + 0𝑆2 = 150
8𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑆1 + 𝑆2 = 200
u.h 𝑥1, 𝑥2, 𝑆1, 𝑆2 ≥ 0
Dengan mengikuti langkah-langkah metode simpleks, penyelesaian
masalah minimisasi produk mix adalah sebagai berikut.
Tabel awal Simpleks Masalah Minimisasi
CB
Vrb.
basis Cj
bj
-40 -25 0 0
IndeksX1 x2 s1 s2
0
0
S1
S2
Zj - Cj
150
200
0
3 2 1 0
8 2 0 1
40 25 0 0
150/3 = 50
200/8 = 25
Tabel Iterasi 1
CB
Vrb.
basis
Cj
bj
-40 -25 0 0
Indeks
X1 x2 s1 s2
0
-40
S1
X1
Zj - Cj
75
25
-1000
0 1,25 1 -3/8
1 0,25 0 1/8
0 15 0 -5
75/1,25 = 60
25/0,25 = 100
Tabel Iterasi 2 (Optimum)
CB
Vrb.
basis
Cj
bj
-40 -25 0 0 Inde
ksX1 x2 s1 s2
-25
-40
X2
X1
Zj - Cj
60
10
-1.900
0 1 0,8 -0,3
1 0 -0,2 0,2
0 0 -12 -0,5
Hasil tabel iterasi ke-2, menunjukkan bahwa solusi optimum adalah:

23. 22
𝑥1 = 10, dan 𝑥2 = 60.
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑛 𝑍 = −𝑍 ∗ = −40(10) – 25(60)
= −(−1.900) = 1.900
Metode 2
Dalam metode ini, kita tidak melakukan perubahan bentuk fungsi tujuan,
tetapi secara langsung fungsi tujuan minimum dimasukkan dalam table (tetap
seperti aslinya).
Jika cara ini dilakukan, maka berlaku ketentuan sebagai berikut:
1. Tabel simpleks berakhir (optimal) apabila nilai yang terdapat pada baris Zj -
Cj ≥ 0
2. Oleh karena fungsi tujuan berbentuk minimum, maka kolom kunci dipilih
nilai negatif terkecil yang terdapat pada baris Zj - Cj
3. Baris kunci tetap mengikuti aturan perbandingan minimum dan bukan
negatif.
4. Proses iterasi selanjutnya sama dengan cara terdahulu.
Lihat kembali contoh 1 di atas. Bentuk standar masalah minimisasi produk mix
adalah sebagai berikut:
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑍 = 40𝑥1 + 25𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2
d.k 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆1 + 0𝑆2 = 150
8𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑆1 + 𝑆2 = 200
u.h 𝑥1, 𝑥2, 𝑆1, 𝑆2 ≥ 0
Jika bentuk standar tersebut diselesaikan menurut metode 2, hasilnya adalah
sebagai berikut:
Tabel awal Simpleks Masalah Minimisasi
CB Vrb. basis
Cj
bj
-40 -25 0 0
Indeks
X1 x2 s1 s2
0
0
S1
S2
Zj - Cj
150
200
0
3 2 1 0
8 2 0 1
-40 -25 0 0
150/2 = 75
200/2 = 100

24. 23
Tabel Iterasi 1
CB Vrb. basis
Cj
bj
-40 -25 0 0
Indeks
X1 x2 s1 s2
0
0
X2
S2
Zj - Cj
75
50
1.875
1,5 1 0.5 0
5 0 -1 1
-5/2 0 12,5 0
75/1,5 = 50
50/5 = 10
Tabel Iterasi 2 (optimum)
CB Vrb. basis Cj
bj
-40 -25 0 0
IndeksX1 x2 s1 s2
25
40
X2
X1
Zj - Cj
60
10
1.900
0 1 0,8 -0,3
1 0 -0,2 0,2
0 0 12 0,5
Tabel optimum kedua metode tersebut menunjukkan hasil yang sama, yaitu
𝑥1 = 10 unit dan 𝑥2 = 60 unit dengan total nilai 𝑍 = 𝑅𝑝 1.900,00.

25. 24
4. Masalah Primal dan Dual
Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting
dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang
melatarbelakangi teori ini adalah bahwa setiap persoalan programa linier
mempunyai suatu programa linier lain yang saling berkaitan yang disebut “dual”,
sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut "primal”) juga
memberi solusi pada dualnya.
Pendefinisian dual ini akan tergantung pada jenis pembatas, tanda-tanda
variabel, dan bentuk optimasi dari persoalan primalnya. Akan tetapi, karena setiap
persoalan programa linier harus dibuat dalam bentuk standar lebih dahulu sebelum
modelnya dipecahkan , maka pendefinisian dibawah ini akan secara otomatis
meliputi ketiga hal di atas.
Bentuk umum masalah primal dual adalah sebagai berikut :

26. 25
Kalau kita bandingkan kedua persoalan di atas, ternyata terdapat
korespondensi antara primal dengan dual sebagai berikut :
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual,
sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi
dual.
2. Untuk tiap pembatas primal ada satu variaebl dual, dan untuk setiap variabel
primal ada satu pembatas dual.
3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.
4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya).
5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada
dual.
6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada
dual.
7. Dual dari dual adalah primal.
Hubungan Primal Dual
Nilai tujuan dalam suatu pasangan masalah primal dan dual harus
memenuhi hubungan berikut ini :
1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dual yang layak
2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah

27. 26
Untuk menjelaskan hubungan antara primal dan dual, perhatikan ilustrasi berikut
ini :
Soal ini kita selesaikan melalui penyelesaian dualnya, yakni :
Karena soal ini hanya terdiri dari dua choice variabel sehingga dapat
diselesaikan dengan metode grafis, namun soal ini kita selesaikan dengan metode
simpleks, sebab dengan cara ini dari tabel akhir dapat kita baca jawaban untuk
persoalan primalnya. Untuk ini bentuk constraint di atas diubah dulu menjadi
persamaan dengan memasukkan slack variable t1, t2, dan t3 (untuk primal
problem ; slack/surplus variable kita pakai lambang S), yakni :
Sedangkan fungsi objectivenya ditulis dalam bentuk :
Dengan demikian penyelesaian dari persoalan diatas adalah sebagai berikut :

28. 27
Karena pada tabek di atas tidak terdapat lagi entry negatif pada baris w, maka
tabel ini merupakan tabel akhir dan fungsi objective telah mencapai nilai optimal,
yakni :
𝑊𝑚𝑎𝑥 = 540 untuk 𝑦1 = 5 unit, 𝑦2 = 3 unit dan 𝑡3 = 17 unit, yakni bahan
yang tidak terpakai dari konstraint ketiga, sedangkan 𝑡1 = 𝑡2 = 0.
Dari tabel ini dapat kita baca nilai 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 dari primal problem, yakni :
𝑥1 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑦 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑡1 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑤, sehingga 𝑥1 = 15
𝑥2 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑦 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑡2 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑤, sehingga 𝑥2 = 10
𝑥3 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑦 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑡3 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑤, sehingga 𝑥3 = 0
Nilai shoice variable dari primal ini kalau kita masukkan pada fungsi objective
dari primal harus cocok = 540, yakni :
𝑍 = 16𝑥1 + 30𝑥2 + 36𝑥3
= 16 (5) + 30 (10) + 36 (0) = 540
𝑧 𝑚𝑖𝑛 = 𝑤 𝑚𝑎𝑥

29. 28
Sifat-sifat primal dua penting untuk dipahami terutama pada saat kita
membicarakan masalah analisis sensitivitas. Dengan menggunakan sifat-sifat ini
kita dapat menentukan nilai variabel-variabel tertentu dengan cara yang sangat
efisien. Ada empat sifat yang perlu diketahui, yaitu :
Sifat 1 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awal.
Pada setiap iterasi solusi simpleks, baik primal maupun dual, koefisien fungsi
tujuan variabel-variabel basis awalnya dapat dicari dengan cara :
a. Mengalikan fungsi tujuan yang original dari variabel-variabel basis pada
iterasi yang bersangkutan dengan matriks di bawah variabel basis awal pada
iterasi yang bersangkutan. Koefisien ini biasa disebut simplex multiplier.
b. Kurangi nilai-nilai simplex multiplier ini dengan fungsi tujuan yang original
dari variabel-variabel basis awal.
Sifat 2 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel nonbasis awal.
Pada setiap iterasi dari persoalan primal, koefisien fungsi tujuannya dapat
ditentukan dengan menyubstitusikan simplex multiplier pada variabel-variabel
pembatas dari dual, kemudian mencari selisih antara ruas kiri dan ruas kanan dari
pembatas dual tersebut.
Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel-variabel basis.
Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, nilai ruas kanan (kolom
solusi) variabel-variabel basis pada iterasi yang bersangkutan dapat ditentukan
dengan cara sebagai berikut :

30. 29
Sifat 4 : Menentukan koefisien pembatas.
Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, koefisien pembatas dari
setiap variabel dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Contoh : Maksimumkan : 𝑍 = 4𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3
Berdasarkan pembatas : 4𝑥1 − 4𝑥2 ≤ 5
−𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 5
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 5
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
Salah satu iterasi dari persoalan di atas adalah sebagai berikut :
Tentukanlah harga-harga a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, dan t
dengan menggunakan sifat-sifat primal dual.

31. 30
5. Degeneracy
Suatu pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi jika satu atau
lebih peubah dasarnya memiliki nilai nol. Untuk melihat bagaimana terjadinya
degenerasi pemrograman linear, perhatikan perubahan nilai sisi sebelah kanan dari
kendala waktu perakitan pada masalah PT. Maju Terus. Modifikasi linearnya
diperlihatkan sebagai berikut:
Maksimumkan Z = 50x1 + 40x2
Dengan kendala
3x1 + 5x2 ≤ 175 waktu perakitan
x2 ≤ 20 monitor portable
8x1 + 5x2 ≤ 300 kapasitas gedung
x1, x2 ≥ 0 tak negatif
Tabel 2.7. Tabel simpleks setelah iterasi pertama
Dasar CB
x1 x2 S1 S2 S3
B
50 40 0 0 0
S1 0 0 25/8 1 0 -3/8 125/2
S2 0 0 1 0 1 0 20
x1 50 1 5/8 0 0 1/8 75/2
zj 50 250/8 0 0 0 1875
cj – zj 0 70/8 0 0 0
Entri dalam baris evaluasi bersih menunjukkan bahwa x2 harus memasuki
dasar itu. Maka kita hitung rasio yang tepat untuk menentukan baris pivot,
diperoleh:
1 12 2 22 3 32
125/ 2 75/ 2
/ 20, / 20/1 20, / 60
25/8 5/8
     b a b a b a , maka terlihat
hubungan antara baris pertama dan kedua. Ini merupakan indikasi bahwa kita
akan memiliki suatu degenerasi penyelesaian layak dasar pada iterasi berikutnya.
Tabel 2.8. Tabel simpleks setelah iterasi berikutnya

32. 31
Dasar CB
x1 x2 S1 S2 S3
50 40 0 0 0
x2 40 0 1 8/25 0 -3/25 20
S2 0 0 0 -8/25 1 3/25 0
x1 50 1 0 -5/25 0 5/25 25
Zj 50 40 70/25 0 130/25 2050
cj – zj 0 0 -70/25 0 -130/25
Bilamana kita memiliki hubungan dalam rasio minimum /i ijb a , akan
selalu ada peubah dasar yang sama dengan nol dalam tabel berikutnya. Oleh
karena itu, kita tidak merekam endosikan untuk memperkenalkan langkah-
langkah khusus ke dalam metode simpleks guna menghapus kemungkinan
terjadinya degenerasi. Jika saat melakukan iterasi algoritma simpleks muncul
suatu hubungan untuk rasio minimum /i ijb a , maka kita hanya
merekomendasikan untuk memilih baris atas sebagai baris pivot.

33. 32
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa program linier programming
digunakan sebagai alat bantu dalam pengambilan keputusan untuk
memaksimalkan ataupun meminimalkan hasil yang didapat.
2. Saran
Penulis menyadari tentang penyusunan makalah, tentu masih banyak
kesalahan dan kekurangannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya
rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis
banyak berharap para pembaca yang budiman sudi kiranya memberikan kritik dan
saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan
penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini
berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada
umumnya.

34. 33
DAFTAR PUSTAKA
Fitriani. Metode Simpleks. UPI : Bandung
Hartanto, Eko. Metode Simpleks Dan BIG-M. Universitas Indonesia : Jakarta
Tim Dosen. Modul Program Linear . Universitas Negeri Medan : Medan
Widasari, Dian. Metode Simpleks Dalam Program Linear. STMIK Triguna
Dharma : Medan
http://lambang.files.wordpress.com/2010/03/03_metode-simplex.pdf
http://mathematica.aurino.com/wp-content/uploads/2008/10/simplex.pdf