Expoc

1. 1
Unidad 1
Soluciónnuméricade sistemasde
ecuacioneslineales.

2. 2

3. 3

4. 4
¿Que son los Métodos Numéricos?
Métodos no computacionales

5. 5
¿Que son los Métodos Numéricos?
con computadoras

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¿Que son los Métodos Numéricos?

7. 7
¿Que son los Métodos Numéricos?

8. 8

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12. 12

13. Problemas Matemáticos y sus soluciones
 Estudio numérico-experimental de zona de separación en conducto
rectangular con escalón
13

14. 14

15.  Análisis numérico del clima interior en un
invernadero de tres naves con ventilación
mecánica
15

16. 16

17.  Análisis tensional del soporte rotatorio de una grúa
torre.
17

18. 18
Sistema de ventilación de un garage

19. 19

20. PROGRAMACION Y SOFTWARE
 Paquetes y Software
 Excel, Matlab
 Uso de Herramientas disponibles
 Creación de Macros, Mfiles que permitan resolver problemas.
PROGRAMAS COMPUTACIONALES
 Representación de Información Sencilla (declaración constantes,
variables)
 Representación Compleja (Estructura de Datos, Arreglos y Registros)
 Formulas Matemáticas (Asignación, Reglas de Prioridad, funciones )
 Entrada/Salida
 Representación Lógica (Secuencias, Repeticiones)
 Programación Modular (funciones Subrutinas)
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21. 21

22. 22
DEFINICIONES DE ERROR
Los métodos numéricos solo dan una aproximación a la solución analítica exacta
con lo cual siempre va a existir un error
En muchos casos no se puede calcular el error de manera exacta.
Por ello se deben usar aproximaciones o estimaciones de los errores
Para la estimación de errores se lleva a cabo:
Identificación de los errores
Cuantificación de los errores
Minimización de los errores
Entender el concepto de error es importante para utilizar en forma efectiva los métodos numéricos

23. 23
Aproximaciones
Se entiende por aproximación numérica X’ una cifra que representa a un número cuyo
valor exacto es X. En la medida en que la cifra X’ se acerca más al valor exacto X, será una
mejor aproximación de ese número
Ejemplos:
hasta el infinito. Como las computadoras retienen sólo un número finito de cifras
significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud.
• 3.1416 es una aproximación numérica de .
• 2.7183 es una aproximación numérica de e.
• 1.4142 es una aproximación numérica de 2.
• 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.
A la omisión del resto de cifras significativas se llama error de redondeo
𝜋 = 3,141592653589793238462643383279 … … .

24. 24
Cifras o dígitos significativos
Se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El
número de cifras significativas es el número de dígitos, más un dígito estimado que se pueda
usar con confianza.
Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por ejemplo, un velocímetro para medir la
velocidad de un automóvil, o un odómetro para medir el kilometraje recorrido.
3 cifras significativas en el velocímetro y
7 cifras significativas en el odómetro.

25. APROXIMACIONES ,ERRORES DE REDONDEO
Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS
 El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la
precisión de una medición.
 Se debe tomar en cuenta que los ceros no siempre son cifras
significativas se suelen usar para ubicar el punto decimal, por
ejemplo 0.00001845 tiene cuatro cifras significativas.
 Mediante cifras significativas es posible decir que la aproximación
es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras
significativas.
25

26. 26
Cifras o dígitos significativos
Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo,
los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras
significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en
cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como
cifras significativas.

27. 27
Cifras o dígitos significativos

28. 28
Cifras o dígitos significativos

29. 29
Cifras o dígitos significativos

30. 30
Cifras o dígitos significativos

31. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes
en el estudio de los métodos numéricos.
1. Los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se
deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son
dichos resultados. Una manera de hacerlo es en términos de cifras
significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es
aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras
significativas.
31
APROXIMACIONES, ERRORES DE REDONDEO Y
CIFRAS SIGNIFICATIVAS

32. Definición
Exactitud: se refiere a que tan
cercano esta el valor calculado o
medido del valor verdadero.
Precisión: se refiere a que tan
cercanos están, uno de otros ,
diversos valores calculados o
medidos.
Inexactitud: se define como una
desviación sistemática del valor
verdadero.
Imprecisión: se refiere a la magnitud
en la dispersión de los disparos.
Ejemplo
Representación grafica
Aproximaciones y errores de redondeo “Exactitud y
precisión”
32
Ejemplo de puntería ilustra los conceptos de exactitud y precisión a) Inexacto e
Impreciso, b)exacto e impreciso, c)Inexacto y preciso y d)Exacto y preciso

33. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin
sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de
ingeniería. También deben ser suficientemente precisos para ser
adecuados en el diseño de la ingeniería. En este libro se usa el término
error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en las
predicciones.
33
Aproximaciones y errores de redondeo “Exactitud y
precisión”

34. 34
Definición de errores
Para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en las predicciones se usa el
término error
En ingeniería consiste en trabajar con modelos matemáticos representativos de un
fenómeno físico.
En consecuencia existen diferencias entre los resultados obtenidos
experimentalmente y los que se obtienen del modelo matemático.
Las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les denomina Errores.

35. 35
Introducción al análisis de Error
Análisis de Error
Como aparecen los errores en la matemática?
Objetivos de la ciencia son: entender, modelar y simular los fenómenos reales
Utilización de la matemática mediante modelos matemáticos

36. 36
Clasificación de los errores
Errores del método.
* Truncamiento queresultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto. Se produce cuando una expresión matemática
complicada se reemplaza por una fórmula más simple. Este error se conoce
como de truncamiento o de consistencia
* Redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite
de cifras significativas para representar números exactos.
Errores del modelo inherente. En muchas ocasiones los datos con que se inician los
cálculos contienen un cierto error (datos experimentales)
Conocido también como error propio de los datos, son aquellos que se producen al
leer algún dispositivo de medición una magnitud, al transmitirla o al reproducirla, son
debidos a la imprecisión de los instrumentos o errores humanos

37. 37
Error numérico total

38. 38
TIPOS DE ERRORES NUMÉRICOS
Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado verdadero y el
aproximado está dada por:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
Reordenando la ecuación anterior, se encuentra que el error numérico es igual a la
diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:
𝐸v = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜

39. TIPOS DE ERRORES NUMÉRICOS
En aplicaciones reales
No se conoce a priori la respuesta verdadera
Alternativa: Normalizar el error usando la mejor estimación posible al valor verdadero
El índice a indica que el error está normalizado a un valor aproximado
Uno de los retos de los MN es el de determinar estimaciones de error en ausencia del conocimiento de
valores verdaderos
Ej. En el método iterativo se hace una aproximación considerando la aproximación anterior; proceso que se
efectúa varias veces, para tal caso:

40. 40
Ejercicio

41. 41
Convergencia
Se dice que una sucesión de números 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 converge a un valor 𝑥, si para
todo ε> 0 existe un numero m, tal que para todo entero 𝑛 > 𝑚, se cumple que:
𝑥 − 𝑥𝑛 < ε
Para determinar la convergencia de un método de aproximaciones sucesivas, cuyos
valores son los números 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 no es posible aplicar la definición anterior,
debido a que no se conoce el valor de x.

42.  A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo
del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor
que una tolerancia porcentual prefijada Es
 Para relacionar estos errores con el número de cifras significativas en
la aproximación. Si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la
seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras
significativas.
42
DEFINICION DE ERROR

43. 43
Convergencia
Sin embargo, se puede demostrar que si el método converge, la diferencia en valor
absoluto de las dos ultimas aproximaciones es menor que la diferencia en valor
absoluto entre la penúltima y antepenúltima aproximación, es decir:
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2
El criterio anterior es valido únicamente en el intervalo de 𝑥𝑛−2 a 𝑥𝑛; sin
embargo, al cumplirse en los primeros valores de n, puede esperarse que la
convergencia continúe.

44. 44
Polinomios y series de Taylor
Estos poloinómios se usan ampliamente en el análisis numérico.

45. 45
Polinomios y series de Taylor
La serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del
valor de la función y sus derivadas en otro punto.

46. 46
Ejemplo 1
En matemáticas a menudo se pueden representar las funciones mediante una serie
infinita. Por ejemplo la función “exponencial” se puede calcular usando:
Mientras más terminos se le agregan a la serie, la aproximación se acerca cada vez más al valor de 𝑒𝑥, a
la representación anterior se le llama “Serie de Maclaurin”.
Empezando con el primer termino 𝒆𝒙 = 𝟏 y agregando un termino a la vez, estímese el valor de 𝒆𝟎.𝟓.
Después que se agregue cada término, calcúlese el error relativo. Obsérvese que el valor real de 𝑒0.5 es
de 1.64872121. Agréguese términos hasta que el valor del error absoluto 𝑒𝑎 sea menor al criterio
establecido 𝑒𝑠 = 0.05%. Para este caso considere:

47. 47
Resultados

48. 48
Ejemplo

49. 49
Ejemplo

50. 50
Ejemplo

51. 51

52. 52
El error en la solución aproximada, para el método
de Gauss-Seidel, está determinado por el número
de iteraciones
Los errores de redondeo entonces no son
preocupantes para este método.

60. Iteración X1 X2 X3 Error X1 Error X2 Error X3
0 0 0 0
1 2,33333333 -1,61904762 -0,92380952
2 1,17777778 -1,84988662 -0,62331066 98,1132075 12,4785487 48,2101281
3 1,30116402 -1,738728 -0,63809481 9,48275862 6,39310014 2,31692038
4 1,3283608
-
1,74894932 -0,6482981 2,04739368 0,58442616 1,57385868

61. Iteración X1 X2 X3 Error X1 Error X2 Error X3
0 0 0 0
1 2,33333333 -1,61904762 -0,92380952
2 1,17777778 -1,84988662 -0,62331066 98,1132075 12,4785487 48,2101281
3 1,30116402 -1,738728 -0,63809481 9,48275862 6,39310014 2,31692038
4 1,3283608
-
1,74894932 -0,6482981 2,04739368 0,58442616 1,57385868

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Introducción
Resolver un sistema de ecuaciones lineales algebraicas (SEL)
puede ser un problema cuya complicación depende de varios
factores, entre ellos,
- las dimensiones del sistema (cantidad de incógnitas y
cantidad de ecuaciones del mismo);
- las características de los coeficientes (números reales,
complejos, racionales, irracionales, etc.);
- la sensibilidad de la solución o de las soluciones del sistema
(sistemas mal condicionados: cercanía del determinante del
sistema a cero)
En situaciones como las anteriores los Métodos Numéricos para
resolver SEL son de gran ayuda.

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El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones:
𝐀𝑥 = 𝐛

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𝐀𝑥 = 𝐛
la matriz inicial del sistema (A) tiene que ser transformada a triangular superior.
𝑈𝑥 = 𝑏
con solución única (𝑑𝑒𝑡𝐔 ≠ 0) y tal que la matriz U es triangular superior. Entonces las
componentes de la solución del sistema se pueden calcular por el método de sustitución
regresiva.

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71. 71

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75. 75

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• Puede haber una división en cero. Para evitar esto se utiliza la técnica de
pivoteo.
• Errores de redondeo.
• Sistemas mal condicionados: pequeños cambios en los coeficientes generan
grandes cambios en la solución
Dificultades en el método de eliminación
Desventajas del método de Gauss:
- No adecuado para sistemas “muy grandes” (sistemas de 100 o mas
ecuaciones).
- Es inestable.

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Evita división para cero
Minimiza el error de redondeo
Resuelve parcialmente el mal condicionamiento